通常様相と懐疑論的様相

ゲ テ ィ ア 推 論 構 造 第 二 段 階 の 推 論 図 式 の 形 式 化 (O : H) に よ っ て 、O : [(πO|N)⁻¹]((πJ)q ∨ (πB)r)、つ ま り「 ス ミ ス に と っ て 、通 常 の 場 合 、ジ ョ ー ン ズ が

フォードを所有しているか、または、ブラウンがバルセロナにいることは、確実である」

が最終的に結論される。だが、これはあくまで「通常の場合」、つまりO射影πO の制限 πO|Nの逆像関係(πO|N)⁻¹の下での確実性である。そこで、通常の状況の範囲Nへの制 限前の、本来のO射影 π_O の逆像関係π⁻_O¹ の下で、事態がどうなっているかを、図 3.2 を振り返って見直してみよう。

図3.4

これを見れば明らかな通り、スミスの観察状態oから O射影πO の逆像関係 π⁻_O¹ で 遡った先に、⟨j^′, b^′, o⟩ |=¬((π_J)q∨(π_B)r)がある。これは、B上のブラウンの可能な状 態b^′ |= ¬rの存在による。このb^′ は、ゲティアのシナリオでは潜在化されている、バル セロナに_い˙ _な˙ いブラウンの可能な状態を表している。この可能な状態˙ b^′ が考えられなけ ればならないのは、ゲティア自身のシナリオで、ブラウンがバルセロナにいたことは全く の偶然であると設定されているからである。したがって、偶然バルセロナにいたブラウン の現実の状態bが、スミスの現実の観察状態oと、さらにはジョーンズの実はフォードを 所有していない現実の状態j^′ と、現実に組み合わされている状況⟨j^′, b, o⟩^{は、なおさら}

確率の低い偶然ということになる。この偶然性を顕在的にするのが、B 上のb^′の存在で あり、また、このブラウンの可能な状態と、スミスの現実の観察状態、及びジョーンズの 現実の状態が可能的に組み合わされた、J ×B×O上の可能な状態⟨j^′, b^′, o⟩^{の存在であ} る。よってスミスの観察状態oから見たとき、

o|=⟨π_O⁻¹⟩¬((π_J)q∨(π_B)r) であり、したがって

o|=¬[π_O⁻¹]((π_J)q∨(π_B)r) となる。

以上から、ゲティア推論構造の全体にわたって、一方で制限後の射影πO|Nの下での推 論図式と、他方で制限前の射影πOの下でのモデル上の事実を比較してみれば、次のよう になる（ソート表示‘O:−’は見易さのために省略する）。

p

[(πO|N)⁻¹]((πO|N)p→(πJ)q) p→[(π_O|N)⁻¹](π_J)q [(π_O|N)⁻¹](π_J)q

[(π_O|N)⁻¹]((π_J)q∨(π_B)r) (H) (G)

p

¬[π_O⁻¹]((π_O)p→(π_J)q)

¬(p→[π_O⁻¹](πJ)q)

¬[π⁻_O¹](π_J)q

¬[π_O⁻¹]((π_J)q∨(π_B)r)

これは、スミス（われわれ）が_通˙ _常˙ _の˙_状˙ _況˙ _{で推論すれば、}˙ (f) = (πJ)qも(h) = (πJ)q∨(πB)r も確実（[(πO|N)⁻¹] (f), [(πO|N)⁻¹] (h)^）だが、（反例２）のシナリオが描く_異˙ _常˙_な˙ _状˙ _況˙ _で˙ _は、˙ それらはどちらも確実ではない（¬[π_O⁻¹] (f), ¬[π_O⁻¹] (h)）、ということを示している。

以上のことは、常識推論のエージェントが、彼が_常˙ 識推論を使用しているというまさに˙ その事実によって、その際に_二˙_層˙ _の˙ _確˙ _実˙ _性˙_の˙ _階˙層を有している、ということを示唆してい˙ る。そこでこのことを形式的に表現するために、次の様相論理における基本的事実を確認 しておこう。いま、任意のクリプキ構造X を考え、そこでの到達関係R^′ が到達関係R の_部˙分関係であったとしよう。つまり、˙ X 上で、到達関係R^′ とRの間に集合論的包含 関係

R^′ ⊆R

が成り立っていたとする。このとき、これに対応して、X 上の任意の点xと、任意のφ に対し、

x|=⟨R^′⟩φ→ ⟨R⟩φ

が成り立つが、これは言い換えれば、X 上の任意の点xと、任意のφに対し、

x|= [R]φ→[R^′]φ

が成り立つ、ということである（両者の反変性に注意）。ここで、X上の任意の点xにつ いて、

T h(x,[R]) =_def {φ| x |= [R]φ} T h(x,[R^′]) =def {φ| x |= [R^′]φ}

とする。すると、T h(x,[R])はxにおいてRの下で必然的な命題の集合、T h(x,[R^′])は x^においてR^′ の下で必然的な命題の集合、をそれぞれ表す。このとき、上で述べたこと は、R^′ ⊆Rのとき、X 上の任意の点xと、任意のφに対し、

T h(x,[R])⊆T h(x,[R^′])

となる、ということに他ならない。これはつまり、R^′がRの範囲を制限した関係である とき、X 上の全域で、より範囲の狭いR^′ の下で必然的な命題に比べて、より範囲の広い Rの下で必然的な命題の方が、数が少なくなる、ということを表している。

そこでいま、X :=O, R^′ := (π_O|N)⁻¹, R:=π⁻_O¹ とする。すると、π_O|NはJ×B×O からOへの射影πOの制限であることから、

πO|N⊆πO

であり、これに応じて、πO|NとπO それぞれの逆像関係(πO|N)⁻¹とπ⁻_O¹についても、

(πO|N)⁻¹ ⊆π_O⁻¹

が成り立つ。ここで、スミスの現実の観察状態o∈Oについて、

T h(o,[π_O⁻¹]) =def {φ| o|= [π_O⁻¹]φ} T h(o,[(πO|N)⁻¹]) =def {φ| o|= [(πO|N)⁻¹]φ}

とする。すると今の場合、T h(o,[π⁻_O¹]) は o において π_O⁻¹ の下で_確˙ _実˙ _{な命題の集合、}˙ T h(o,[(π_O|N)⁻¹)はoにおいて(π_O|N)⁻¹ の下で_確˙ _実˙ な命題の集合、をそれぞれ表す。す˙ るとこのとき、(π_O|N)⁻¹ ⊆π⁻_O¹から

T h(o,[π⁻_O¹])⊆T h(o,[(π_O|N)⁻¹)

となる。これはつまり、π_O|N が射影 π_O : J ×B×O → O の制限であるとき、スミス の現実の観察状態oにおいて、そこからより狭い可能性の範囲を参照する(πO|N)⁻¹の下 で_確˙_実˙ な命題に比べて、そこからより広い可能性の範囲を参照する˙ π_O⁻¹ の下で_確˙_実˙ _な命˙ 題の方が、当然数が少なくなる、ということを表している。そして実際、前者に属してい るが後者には属していない命題の例として、特に(f) = (πJ)qと(h) = (πJ)q∨(πB)rが ある。というのも、一方で

o|= [(πO|N)⁻¹](πJ)q o|= [(π_O|N)⁻¹]((π_J)q∨(π_B)) であるため、

(πJ)q ∈T h(o,[(πO|N)⁻¹)]) (π_J)q∨(π_B)∈T h(o,[(π_O|N)⁻¹)]) だが、他方で

o̸|= [π_O⁻¹](π_J)q o̸|= [π⁻_O¹]((πJ)q∨(πB)) であるため、

(π_J)q̸∈T h(o,[π_O⁻¹]) (πJ)q∨(πB)̸∈T h(o,[π⁻_O¹]) となるからである。

ところで、正規必然性演算子[R]のよく知られる性質 [R](φ→ψ)→([R]φ→[R]ψ)

([R]φ∧[R]ψ)→[R](φ∧ψ)

から、一般にT h(x,[R])は、(i)含意と(ii)連言について閉じている。すなわち、

(i) φ∈T h(x,[R])かつφ→ψ∈T h(x,[R])ならばψ∈T h(x,[R]) (ii) φ∈T h(x,[R])かつψ∈T h(x,[R])ならばφ∧ψ ∈T h(x,[R])

が言える。これは、正規必然性演算子[R]について、T h(x,[R])が、形式的な意味で「理

論theory」と呼ばれるための、最低限の条件を満たしている、ということに他ならない。

そこで、一方でT h(o,[(πO|N)⁻¹])とは、「通常の場合であれば確実と言える情報に基づ

くスミスの理論」、他方でT h(o,[π_O⁻¹])とは、「異常な場合を熟慮した上でもなお確実と言 える情報に基づくスミスの理論」と解釈できる。その意味で、[(πO|N)⁻¹]の方は「通常様 相」、それに対し、[π⁻_O¹]の方は「懐疑論的様相」と呼ぶことができよう。

すると、上の観察は、次のことを述べていることになる。つまり、(f) = (π_J)q, (h) = (πJ)q∨(πB) という帰結は、あくまで通常様相の下での理論に属しているのであって、懐 疑論的様相の下での理論には属していない。これは、スミスが通常様相の下での理論の背 後に——彼がこの理論に対して潜在的に「普通は...」と意識しうる以上は——懐疑論的様 相の下での理論を同時に有しており、そしてそこでは (f) = (π_J)qも(h) = (π_J)q∨(π_B)r も未だ帰結されていない、ということを、彼自身が少なくとも潜在的に理解している——

このことを示すものと思われる。そして実際、振り返ってみれば、デカルトに限らず、わ れわれの日常はまさにこのようであろう。