量のカテゴリーにおける連続性

それでは、このカント予想を、まず「量」のカテゴリーについて検討してみよう。この カテゴリーの「演繹」をカントが「家」の例によって試みている先の引用箇所では、

したがって私が例えば家という経験的直観を、直観の多様を覚知することによって 知覚する場合、［一方で］空間と［他方で］外的感性的直観一般との_必˙ _然˙ _的˙_統˙ _一が私˙ の根底に存しており、私はいわば家の形態（Gestalt）を、空間における多様の総合 的統一に従って描く（zeichne）のである。しかしまさにこの総合的統一は、私が空 間の形式を捨象する場合には、悟性のうちに座を占め、直観一般における同種的な ものを総合するカテゴリー、すなわち量のカテゴリーをなすのであり、これはした がって、あの覚知の総合、すなわち知覚があくまでそれに従わねばならないところ のもの、をなすのである。（強調原著）[B162]

とあった。上のカント予想が成り立つとすれば、ここで潜在化されている幾何学的構 造——何らかの連続性を備えた限りでの——とは何だろうか。それが顕著に現れるのは、

*14この「様相式によって表現可能な諸性質」とは、一般に知られている時制、信念、知識、義務、証明可能 性、等だけでなく、本論文が提示している通り、一般動詞の完了形や未来形、さらには遷移構造間の写像 関係、双模倣関係そのものまでをも包括し、したがって現在までに判明している様相のカテゴリーが覆う 領域は、おそらく当時のカントの想像をはるかに超えるものであろう。

「［純粋悟性の］概念の分析論」に続く、「［純粋悟性概念の経験的使用の］原則の分析論」、

そこでのいわゆるカントの「図式論（Schematismus）」においてである。その始めに「量 の図式」が次のように提示される。

外部感官に関するあらゆる定量（quantorum）の純粋な形象（Bild）は、空間であるが、

しかし、感官一般［つまり、外部感官だけでなく、内部感官も含む］の対象の純粋な形 象は、時間である。これに対して、量（quantitatis）——悟性の概念としての——の 純粋な図式は、数（Zahl）である。それは、（同種的な）一者に対して一者を継起的に加 える操作（die sukzessive Addition von Einem zu Einem/the successive addition of one unit to another）を集約している（zusammenbefassen/resume）一個の表象 である。それゆえ、数とは、一個の同種的な直観一般に属する多様なものの総合の統 一(die Einheit der Synthesis des Mannigfaltigen einer gleichartigen Anschauung berhaupt/the unity of the synthesis of the manifold of a homogeneous intuition) に他ならず、このとき、こうした総合の統一は、私が直観の覚知のうちで時間その ものを産出することによって［可能となって］いる。[B182]^*15

ここでは、量の図式が「数（Zahl）」であると言われ、しかもそれは、「（同種的な）一者に 対して一者を継起的に加える操作を集約している一個の表象である」と言われる。ここで 問題とされている構造は、岡本賢吾・科学基礎論学会2016年度秋の研究例会提題「なぜ ポスト・カント論理哲学を再評価するか」(2016) ([81]) の指摘するように、「自然数構造」

であると考えられる。

ところで、普遍代数 universal algebra の分野で知られている以下の基本的事実があ る^*16。いま、単元集合1 ={∗}を一つ固定し、任意の集合Xに対して、この単元集合1 との直和1+X ={(x,1)| ∗ ∈1} ∪ {(x,2)| x∈X}をとる操作を考えよう。圏論的に見 てこれは、T(X) =1+Xなる集合圏から集合圏への関手T を考えることに他ならない。

このとき、単元集合1から X への関数ϵ : 1 → X と、X から X への関数σ :X →X を考える。これら二つの関数は、1 ={∗}^とX ^の直和1+X ^からX ^{への場合分け関数} [ϵ, σ] : 1+X → X（x ∈ 1つまりx = ∗^のときは [ϵ, σ](x,1) = ϵ(∗), x ∈ X のときは

[ϵ, σ](x,2) =σ(x)）により、一つの関数として組み合わせることができる。このとき、X

と[ϵ, σ]の対 (X,[ϵ, σ]) のことを、 T 代数 T-algebraと呼ぶ。

よく観察すれば、このT 代数 (X,[ϵ, σ]) は、われわれにとって馴染み深い構造を内蔵 していることがわかる。まず、単元集合 1からX への関数ϵ : 1 → X によって、X 中 の「始まり」の要素ϵ(∗)∈ X を指定する。するとこのϵ(∗)はX の要素となるので、関

*15この典拠も再び、科学基礎論学会2016年度秋の研究例会プログラム提題、岡本賢吾「なぜポスト・カン ト論理哲学を再評価するか」([81])^による。

*16以下の基本的事実はJacobs and Rutten (2012) ([34])による。

数σ: X →X が適用可能となり、したがってσ(ϵ(∗))∈X が構成できる。すると再びこ のσ(ϵ(∗))はX の要素なので、関数σ :X →X が適用可能であり、σ(σ(ϵ(∗))) ∈X が 構成できる。すると再びこのσ(σ(ϵ(∗)))はX の要素なので、関数σ : X →X が適用可 能であり、...と以下同様に続く。こうして、X 中の「始まり」の要素ϵ(∗)∈Xを指定す ると、あとはこれに関数σ : X →X の適用が無限に反復可能となる。もはや言うまでも なく、この構造がわれわれにとって馴染み深いのは、「始まり」の要素ϵ(∗)を‘0’ として、

関数σを ‘+1’ として見た場合である。

実際、普遍代数において「自然数構造」とは、上で定義したT 代数たちがなすT 代数 圏の「始対象 initial object」、つまり「始代数 initial algebra」(N,[0,s])のことを指す。

ここで0:1→N^{は単元集合}1={∗}^から0^{を指定する（つまり}0(∗) = 0^{とする）関数} であり、s:N →N^{はこの関数}0によって指定された0に対して反復適用される、+1に あたる後続者関数 successor function である。

この「自然数構造 (N,[0,s]) が始代数となる」ということの意味は、次である。すな わち、始まりの要素を何らかの手続き ϵによって指定でき、この始まりの要素に対して、

何らかの反復適用可能な一項演算 σ をもつ、あらゆる T 代数構造(X,[ϵ, σ])に対して、

(N,[0,s])から(X,[ϵ, σ])へのT 代数準同型射 homomorphism of T-algebras が一意に 存在する、ということである。

ここで、一般に二つのT 代数(A,[ϵA, σA]) と(B,[ϵB, σB])について、h : A → B が (A,[ϵA, σA])から (B,[ϵB, σB])への T 代数準同型射であるとは、hが次の条件を満たす 場合である。

(T-hom) h◦[ϵ_A, σ_A] = [ϵ_B, σ_B]◦T(h)

（ただし、T(h) =id+h:1+A→1+Bで、

x∈1^つまりx=∗^のとき、(id+h)(x,1) = (id(x),1) = (id(∗),1) = (∗, 1) x∈Aのとき、(id+h)(x,2) = (h(x),2)）

この条件は、次のように二段階に分けて述べ直せる。

(base) x∈1つまりx =∗^のとき、h(ϵ_A(∗)) =ϵ_B(∗) (step) x∈Aのとき、h(σA(x)) =σB(h(x))

(base) は、hがA中の始まりの要素（ϵA(∗))）とB中の始まりの要素（ϵB(∗)）を対応づ ける、ということを述べている。(step) はその上でさらに、A中の要素（x）に操作の数 を一つ増やして構成したもの（σ_A(x)）は、その操作前のA中の要素（x）とhによって対 応づけられたB中の要素（h(x)）に、操作の数を一つ増やして構成したもの（σ_B(h(x))） と、hによって対応づけられる、ということを述べている。これらを合わせて直観的に述

べれば、h はA中の要素を構成している操作の数と、B中の要素を構成している操作の 数を保存する、ということである。

以上の普遍代数の基本的事実のうち、(i) 自然数構造 (N,[0,s]) がT 代数の始代数で あることは、次のことを意味していると考えられる。すなわち、われわれが自然数構 造(N,[0,s])（より正確には(N,[0,s])と同型な構造）を構成するとき、この自然数構造 (N,[0,s])は、帰納的に定義できるどんな集合とも対応づけられる。これは言い換えれば、

帰納的に構成できるどんな対象も、その帰納的構成のための操作の数を表す自然数と対応 づけられる、ということである^*17。また、ここで (ii) T 代数準同型射が対象を構成する

「操作の数」を保存する、ということを、その意味で、T 代数準同型射がその対象の「量」

を保存する、ということである、と言い換えることは、「量」という語の日常的用法に照 らしても、それほど逸脱しないと思われる ^*18。^*19

これは、量のカテゴリーについても、次のカント予想の具体的実現を意味しているので はないだろうか。

量のカテゴリー= ⟨ 代数的構造間の準同型射, 帰納的に構成可能な対象を構成するための 代数的操作の数 ⟩

このとき、次のことが気付かれる。すなわち、もしこの量のカテゴリーの解釈が正しけ れば、われわれは、カント予想における「_幾˙ _何˙ _学˙ _{的構造」を、「}˙ _代˙_数˙ _{的構造」をも包摂す}˙ る、狭義のユークリッド的「幾何学」よりも一層深層にある数学的構造の階層を意味する ものとして、考える必要がある、ということである。そしてまさにわれわれは、「代数的

algebraic」をも取り込む、この「幾何学的 geometric」の意味の拡張が、現代数学の進展

状況にも適合し、同時に、整合的なカント解釈にも寄与すると考える。^*20

というのも、

しかしまさにこの［空間における多様の］総合的統一は、私が_空˙ _間˙ _の˙_形˙ _式˙ _を˙ _捨˙ _象˙_す˙ _る˙

*17一般に、数学的構造物だけでなく言語の定義やデータ構造の定義に用いられる帰納的_定˙_義˙ inductive definition の原理は、始代数から任意の代数への代数準同型射の_存˙_在˙ existence と対応することが知ら れている。付随して一方、帰納的定義と合わせて様々な分野で一般的に用いられる帰納的_証˙_明˙ inductive proofの原理は、始代数から任意の代数への代数準同型射の_一˙_意˙_性˙ uniqueness と対応することが知られ ている。Jacobs and Rutten (2012) ([34])を参照。

*18この(ii)の論点は、佐野勝彦氏（北海道大学）の指摘によって明確化された。

*19普遍代数における代数構造は、もちろんこのT 代数だけではない。そこでは、ここで用いた関手T ^以外 の様々な関手の形によって、様々な代数構造が定義される。例えば、モノイドや群に始まる、より複雑な 数学的代数構造だけでなく、有限文字列（list/string）を範例とする、有限データ・タイプの代数構造が そこに含まれる。それに応じて、その代数圏の代数準同型射によって保存される「量」の種類も、様々に 与えられることになるだろう。

*20この点もまた、岡本賢吾氏の指摘による。

（vom der Form des Raumes abstrahiere）場合には、_悟˙_性˙ _の˙ _う˙ _ち˙ _に˙_座˙ _を˙_占˙ _め（˙ hat im Verstande ihren Sitz）、直観一般における同種的なものを総合するカテゴリー、

すなわち量のカテゴリーをなす（強調筆者）[B162]

とあるように、あくまで感性のうちにではなく「悟性のうちに座を占め」る量のカテゴ リーが抽出されるためには、「_空˙_間˙ _に˙ _お˙ _け˙ _{る多様の総合的統一」}˙ ——これがMax Edwards

(2013)によって「幾何学的構成」として取り出されている段階である——と呼ばれるも

のから、少なくとも、その「空間の形式」を捨象することができなければならない。これ は、われわれがカント予想において「幾何学的構造」と呼ぶものが、少なくとも、そこから

「空間」性を捨象してもなお、そこに何らかの数学的実質のある内容を留めるものでなけ ればならない、ということであると考えられる。ここで、やはりカントが「図式Schema」 と呼ぶものの媒介的性格に目を向けざるをえないだろう。

そこで、一方ではカテゴリーと同種性をもち、他方では現象と同種性をもたなけれ ばならず、そして、カテゴリーを現象へ適用できるようにするところの、第三のも のがなければならないことは明らかである。この媒介作用をなす表象は純粋（一切 の経験的なものを含まない）でなければならず、しかも一面では_知˙ _性˙ _{的であり他面}˙ では_感˙ _性˙ 的でなければならない。このようなものが˙ _超˙ _越˙ _論˙ _的˙ _図˙_{式なのである。（強}˙ 調原著）[A138/B177]

この（超越論的）図式の知性的側面と感性的側面に具体性を与えていると思われるのが、

序論でも取り上げた、次の記述である。

［· · ·^］図式（Schema）はやはり形象（Bild）とは区別されねばならない。たとえば私 が5つの点を順次に打つ場合、・・・・・、これは5という数の形象である。これに反 して、私が数一般を単に考える場合、それはさしあたり5でも100でもありえるが、

その場合この思考はむしろ、ある特定の概念に従って、一つの集合量（Menge）（たと えば1000）を、一つの形象に表象する_方˙ _法˙ _の˙_表˙ _象（˙ die Vorstellung einer Methode^） であって、この形象そのものではない。このような形象を私は、1000というよう な集合量においては、見渡して概念と比較することは難しいであろう。そこで、こ のようにある概念にその形象を得させるという構想力の_あ˙ _る˙_一˙ _般˙ _的˙ _手˙ _続˙_き˙ _の˙ _表˙ _象˙

（Diese Vorstellung von einem allgemeinen Verfahren）を、私はこの概念に対す る図式と名づけるのである。（強調筆者）[A140/B179-180]

このように、図式は「ある特定の概念に従って（ここでは一つの集合量（Menge）を）

一つの形象に表象する方法の表象」ないし「ある概念にその形象を得させる一般的手続き の表象」であると言われている。これに関し、様相のカテゴリーに潜在する幾何学的構造