利潤最大化の一般的記述：ホテリングの補題

完全競争企業の利潤を

Dpf .L; K/ wL rK

と表し（価格pは定数），企業はその利潤が最大となるようLとKを決めるものとする。

^をL^，K^{で微分すると}

@

@L DpfL wD0

@

@K DpfK rD0

が 得 ら れ ，そ の 解 と し て L.p; w; r/^，K.p; w; r/，さ ら に 生 産 関 数 に よ っ て 産 出 量 x.p; w:r/Df .L.p; w; r/; K.p; w; r//が決まる。この両式よりpfLD w^，pfK Dr ^を 得る。これらは『労働の限界生産力と財の価格の積（「労働の限界生産力の価値」と呼ぶ）

が賃金率に等しく，資本の限界生産力と財の価格の積（「資本の限界生産力の価値」）が資 本レンタルに等しくなるように労働，資本投入量を決めることが利潤最大化の条件であ る』ことを示している。

L.p; w; r/，K.p; w; r/を へ代入すると

.p; w; r/Dpf .L.p; w; r/; K.p; w; r// wL.p; w; r/ rK.p; w; r/

@

@p Df .L; K/CpfLLpCpfKKp wLp rKp

@

@w DpfLLwCpfKKw wLw L rKw

@

@r DpfLLrCpfKKr wLr rKr K

が得られる。ここでLp，Kp，Lw，Kw，Lr，Krは価格，賃金率，資本レンタルの変化に よる労働，資本投入量の変化を表す。この3つの式にpfLDw，pfK Drを代入すると

@

@p Df .L; K/Dx

@

@w D L; @

@r D K が導かれる。これらの関係はホテリングの補題と呼ばれる。

企業の利潤が

Dpx wL rK

と表されるから，x^，L^，K^{を一定とすれば @}_@p Dxとなるのはあたりまえのように思わ れるがそういう意味ではない。p^{が変われば}x^，L^，Kは変化するが，それらの変化が，

利潤最大化条件から得られるpfLDw^，pfK Drによって打ち消し合うのである。

■企業の利潤最大化の例 xを産出量，pを財の価格として生産関数がxDL¹²K²⁵ であ るとすると利潤は

DpL¹²K²⁵ wL rK である。これをL，Kで微分して0とおくと

1

2pL ¹²K²⁵ Dw; 2

5pL¹²K ³⁵ Dr が得られる。左の式からL ¹² D ^2wp K ²⁵ より

L¹² D p 2wK²⁵ となる。これを右の式に入れると

p²

5wK ¹⁵ Dr となりK¹⁵ D 5rw^p2 より

KD p¹⁰

5⁵r⁵w^{5（資本の需要関数）}

3.21 費用最小化と利潤最大化の数学的分析 167 が求まる。そうするとL¹² D 2w^p

p⁴ 5²r²w² より LD p¹⁰

2²5⁴r⁴w^{6（労働の需要関数）}

が得られる。産出量は

xDL¹²K²⁵ D p⁹ 25⁴r⁴w⁵ である。また，このときwLD ₂²₅^p410_r⁴_w^5，rKD ₅^5p_r¹⁰⁴_w^{5 より}

wLD 5 4rKD

1 2 2 5

rK が成り立つ。これはコブ・ダグラス生産関数の特徴である。

利潤関数はDpx wL rKより D p¹⁰

25⁴r⁴w⁵

p¹⁰ 2²5⁴r⁴w⁵

p¹⁰

5⁵r⁴w⁵ D p¹⁰ 205⁴r⁴w⁵ となる。これをw^，r^{で微分すると}

@

@p D p⁹

25⁴r⁴w⁵ Dx

@

@w D p¹⁰

45⁴r⁴w⁶ D L

@

@r D p¹⁰

5⁵r⁵w⁵ D K が得られ，ホテリングの補題が成り立つ。

rが上昇してもwが上昇しても資本，労働の需要は減少するが，これは生産が減少する ことによる。産出量を一定とすればそうはならない。

■産出量が一定のときの企業の利潤最大化（費用最小化）の例 ラグランジュ関数は px wL rKC.L¹²K²⁵ x/

となる。これをL^，K^{で微分して}0とおくと wC1

2L ¹²K²⁵ D0; rC 2

5L¹²K ³⁵ D0

を得る。xは一定なのでxでは微分しない。pxは一定なので，この形の利潤最大化は，

一定の産出量のもとでwLCrKで表される費用を最小化するのと同じことである。両式 からwLD ⁵4rKが得られる。これからLD 4w^5rKとなり，L¹²K²⁵ Dx（xは一定）に代 入すると _4w^5r12

K¹⁰⁹ Dxより

KD 4w

5r ⁵₉

x¹⁰⁹（産出量一定のもとでの資本の需要関数）

LD 5r

4w ⁴₉

x¹⁰⁹（産出量一定のもとでの労働の需要関数）

となり，r が上昇すると労働の需要は増え，wが上昇すると減る。費用関数は

cDwLCrKD

5⁴r⁴w⁵ 2⁸

¹9

x¹⁰⁹ C

2¹⁰r⁴w⁵ 5⁵

¹9

x¹⁰⁹ D 1

2 25⁴r⁴w⁵¹₉

x¹⁰⁹ C 2

5 25⁴r⁴w⁵¹₉

x¹⁰⁹ D 9

10 25⁴r⁴w⁵¹₉ x¹⁰⁹ これをw，rで微分すると

@c

@w D 5r

4w ⁴₉

x¹⁰⁹ DL

@c

@r D 4w

5r ⁵₉

x¹⁰⁹ DK

となりシェパードの補題が得られる。費用関数cをxで微分すると限界費用 dc

dx D 25⁴r⁴w⁵¹₉ x¹⁹

を得る。この限界費用が価格に等しいという利潤最大化条件を考えると，産出量が xD p⁹

25⁴r⁴w⁵

となり，上の利潤最大化で求めた産出量と等しいことがわかる。

この費用関数は逓増的な限界費用を持つ。これは生産関数の指数の和(¹₂C²5)が1より 小さくなっており，規模に関して収穫逓減になっているからである。一方指数の和が1に 等しい規模に関して収穫一定の場合には限界費用は一定になり，価格と限界費用の一致に よる企業の産出量は決まらなくなる。