例を少し

x²D ³ s

2pyu px

!² D ³

s4p²_yu² p_x^{2 と}

yC2D ³ sp²_xu

4p²_y を掛け合わせると

uDx².yC2/

が得られる。

2.9 ^例を少し

1. 次の効用関数を持つ消費者の需要関数を求めよ。記号，予算制約式は標準的なもの を用いる。

(i) uDp xCy (ii) uDx²Cy² (iii) uD3xCy

(iv) uDmin.x; y/^（x; y^{の小さい方）}

■解

(i) ラグランジュ関数を作ると LDp

xCyC.pxxCpyy m/

x，yで微分してゼロとおくと 1 2p

x Cpx D0; 1CpyD0 これらから ¹

2p x

px

py D0が得られ，Xの需要関数が次のように求まる。

xD p_y² 4p_x² 予算制約からYの需要関数は次のようになる。

yD m py

py

4px

m^{が小さいと}yが負になる可能性もあるが，そのときはyD0^とする。

式からy D p^my pxx

py として効用関数に代入すると uDx²C

m py

pxx py

2

となる。これはxの二次関数であるがいわゆる下に凸の二次関数（最小値を 持つ二次関数）なので微分を用いるとやはり効用最小化になる。このときに は可能なxの範囲の両端のいずれかまたは両方において最大値が実現する。

05x5 _p^m_x ^でありxD0^のときuD m

py

2

，xD p^mx のときuD m

px

2

な のでpx > pyのときはx D0; y D p^my，px < pyのときはx D p^mx; y D0 であり，px Dpyのときはこれらのいずれもが需要関数となる。

(iii) 限界代替率（限界効用の比）は ^u_u^x

y D2で一定であるから，相対価格

px py

が 2より大きければyD p^my; xD0，2より小さければxD p^my; xD0となる。

相対価格が2に等しければ2xCyDmを満たす非負のx，yのすべてが需要 となり得る。

(iv) この場合常にxDyでなければいけないので需要関数は xDy D m

pxCpy

である。

2. X, Yの2財，A, B2人の消費者からなる交換経済を考える。それぞれの効用関数

はuADx²y; uB Dxyである。また初期保有量はAが.6; 2/^，Bが.2; 8/^である

（左がX，右がY）。このとき各消費者の需要関数と競争均衡における各財の価格を 求めよ。

■解 X，Yの価格をpx，pyとするとAのラグランジュ関数は LDx²yC.pxxCpyy 6px 2py/ と表される。x，yで微分してゼロとおくと

2xyCpxD0; x²CpyD0 と予算制約式pxxCpyyD6pxC2pyより

xD 2.6pxC2py/ 3px

; yD 6pxC2py

3py

が得られる。これらが需要関数である。同様にしてBについては xD 2pxC8py

2px

; yD 2pxC8py

2py

2.9 例を少し 79 となる。超過需要はAについては

x 6D 2.2py 3px/ 3px

; y 2D 2.3px 2py/ 3py

Bについては

x 2D 8py 2px

2px

; y 8D 2px 8py

2py

となる。均衡においては各財の超過需要の和が0であるが，Xの需給が均衡すれば Yの需給も均衡する（ワルラスの法則）ので

32py 18px

6px D0 より均衡相対価格は ^px

py D ¹⁶9 となる。Aの需要は.x; y/D .¹⁹₄;³⁸₉/^，Bの需要は .x; y/D.¹³₄;⁵²₉/である。

3. 現在，将来の消費をc1,c2，所得をそれぞれm1,m2，利子率をr，消費者の効用関 数をuDc1c2として借入制約がある（現在において借入ができない）ときの消費 を求めよ。

■解 借入制約がないときの予算制約式は c1C c2

1Cr Dm1C m2

1Cr であり，現在と将来の消費を求めると

c1D 1

2.m1C m2

1Cr/; c2D 1

2Œ.1Cr/m1Cm2

となる。借入制約があるとc1はm1を超えることができない。c1 m1が成り立 つ条件は

m1 m2

1Cr

であり，m1 D 1^mC²r のときはc1 D m1となる。m1 < ₁^m_C²_r のときはc1 m1の 範囲内で効用が最大となる消費量を求めることになる。c1 とc2の限界代替率は

@u

@c1 Dc2，_@c^@u

2 Dc1より^c_c²

1 なので ^c_c²

1 1Crである限りc1をできるだけ大きく する方がよい。c1 m1ならば予算制約式よりc2 m2であり，m1< ₁^m_C²_r のと きc1< ₁^c_C²_r が成り立つ。そのとき ^c_c²

1 > 1Crであるからc1Dm1，c2 Dm2と なる。

図で表現すると，c1がm1 より大きくはならないので予算制約線はc1 D m1， c2Dm2の点より右には存在しない。したがってc1D0^からc1Dm1までの部分 と無差別曲線が接する点が効用を最大にする点である。c1D0^からc1Dm1まで の部分で予算制約線と無差別曲線が接していればその点が消費者によって選ばれる

U1

M

N E

現在の消費量 将

来 の 消 費 量

図2.23 予算制約がある場合の現在と将来の消費

が，借入制約がないときにc1 Dm1となる点よりも右側で両者が接するような場 合は，借入制約のあるときにはc1D m1となる点がコーナー（角の点）となって 無差別曲線が予算制約線と接する形となり，その点が消費者によって選ばれる点で ある。図2.23参照。