おわりに

88

生産性の高い企業は，企業間競争を激化させ，自己の中間財価格を上昇させるが，交 渉力の高さが，中間財価格の上昇を緩和するため，ϕが小さい場合，アウトソーシングを 選択することが有利な状況が存在する．一方，生産性の低い企業は，企業間競争によっ て，供給量を下げるため，アウトソーシングを選択すれば，中間財価格が低下するが，

結果的に部品サプライヤーの投資の減少が限界費用を増加させるのである．この限界費 用の増加は，ϕが小さい場合，FDI の投資費用の増加を上回る．したがって，アウトソ ーシングの選択よりも，ϕが小さい場合，FDI を選択する方が有利な状況が存在するの である．

89

[4] Grossman, Gene, and Elhanan Helpman (2005). “Outsourcing in a Global Economy.” Review of Economic Studies, 72, 135–159.

[5] Grossman, Sanford, and Oliver Hart (1986). “The Costs and Benefits of Ownership: a Theory of Vertical and Lateral Integration.” Journal of Political Economy, 94, 691–719.

[6] Hart, Oliver, and John H. Moore (1990). “Property Rights and the Nature of the Firm.” Journal of Political Economy, 98, 1119–1158.

[7] Leahy, D. and C. Montagna (2007). “ ‘Make-or-Buy’ in International Oligopoly and the Role of Competitive Pressure ”, GEP Research Paper

[8] Leahy, D. and C. Montagna (2009). “Outsourcing vs FDI in Oligopoly Equilibrium”, Spatial Economic Analysis, 4:2, 149-166.

[9] Leahy, D. and C. Montagna (2010). “Strategic investment and international outsourcing in unionized oligopoly. (Dundee Discussion Papers in Economics; No.

231). University of Dundee.

[10] McLaren, John (2000). “Globalization and Vertical Structure.” American Economic Review, 90, 1239–1254.

[11]

Nathan Nunn (2007) “Relationship-Specificity, Incomplete Contracts, and the Pattern of Trade” The Quarterly Journal of Economics 122(2): 569-600

[12] Nickerson, JA. And R. Vanden Bergh (1999). “Economizing in a Context of Strategizing: Governance Mode Choice in Cournot Competition”, Journal of Economic Behavior and Organization, 40, 1-15.

[13] Y. Chen, J. Ishikawa, and Z. Yu (2004). “Trade liberalization and strategic outsourcing”, Journal of International Economics, Vo.63 419– 436

90

付録

A) 5.3 節の捕捉

投資・産出比率θ^𝐼𝐼の導出

𝑑𝑐_𝑖^𝐼

𝑑𝑧_𝑖= −1, ^𝑑𝑐𝑗

𝐼

𝑑𝑧_𝑖= 0より，

∴ θ^𝐼𝐼=𝑑𝛾_𝑖 𝑑𝑧𝑖

= 𝑑 𝑑𝑧𝑖

(𝑎 − 2𝑐_𝑖^𝐼+ 𝑐_𝑗^𝐼

3 ) =2

3

したがって，相手企業が FDI を選択するとき，自企業の FDI の投資は，相手企業の 限界費用に影響を及ぼさないが，自企業の供給量を増加させる．

投資・産出比率θ^𝐼𝑂の導出

（5.10）式：^{𝑑𝑐𝑗𝑂}

𝑑𝑧_𝑖 =^𝑑𝑞_𝑑𝑧^𝑗

𝑖 =^3(1−𝛽_2(1+𝛽^𝑗)

𝑗) 𝑑𝛾_𝑗

𝑑𝑧_𝑖より，

ここで，

𝑑𝛾𝑗

𝑑𝑧𝑖

=1

3(−2𝑑𝑐_𝑗^𝑂 𝑑𝑧𝑖

+𝑑𝑐_𝑖^𝐼 𝑑𝑧𝑖

) = −1 − 𝛽𝑗

1 + 𝛽𝑗

𝑑𝛾𝑗

𝑑𝑧𝑖

−1

3 ∴𝑑𝛾𝑗

𝑑𝑧𝑖

= −𝛽𝑗+ 1 6 < 0 故に，

𝑑𝑐_𝑗^𝑂 𝑑𝑧_𝑖 =𝑑𝑞_𝑗

𝑑𝑧_𝑖 = −1 − 𝛽_𝑗 4 < 0

したがって，相手企業が O を選択するとき，自企業の FDI の投資は，自企業のみな らず，相手企業の限界費用をも減少させる．ここで（5.7）式と

𝑑𝑐_𝑖^𝐼 𝑑𝑧_𝑖 = −1 を用いると，

∴ θ^𝐼𝑂 = 𝑑 𝑑𝑧𝑖

(𝑎 − 2𝑐_𝑖^𝐼+ 𝑐_𝑗^𝑂

3 ) =1

3(2 −1 − 𝛽𝑗

4 ) =7 + 𝛽𝑗

12

投資・産出比率θ^𝑂𝐼の導出

𝑑𝑐_𝑖^𝑂 𝑑𝑧𝑖

=𝑑𝑞_𝑖 𝑑𝑧𝑖

− 1

（5.10）式より，

𝑑𝑞_𝑖 𝑑𝑧𝑖

=3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽𝑖)

𝑑𝛾_𝑖 𝑑𝑧𝑖

∴ 𝑑𝑐_𝑖^𝑂 𝑑𝑧𝑖

=3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽𝑖)

𝑑𝛾_𝑖 𝑑𝑧𝑖

− 1

上の式を用いると，^𝑑𝑐𝑗

𝐼

𝑑𝑧_𝑖 = 0より

91 𝑑𝛾𝑖

𝑑𝑧_𝑖= 𝑑

𝑑𝑧_𝑖(𝑎 − 2𝑐_𝑖^𝑂+ 𝑐_𝑗^𝐼

3 ) = −2

3(3(1 − 𝛽𝑖) 2(1 + 𝛽_𝑖)

𝑑𝛾𝑖

𝑑𝑧_𝑖− 1)

∴ 𝑑𝛾𝑖

𝑑𝑧_𝑖 =1 + 𝛽𝑖

3 > 0 ∴ 𝑑𝑐_𝑖^𝑂

𝑑𝑧_𝑖 = −1 + 𝛽𝑖

2 < 0

したがって，自企業の投資の増加は，限界費用を低下させ，生産量を増加させる．交 渉力の増加はこれらの効果を促進する．ここで（5.14）式を用いると，

∴ θ^𝑂𝐼 =3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽_𝑖)

𝑑𝛾_𝑖

𝑑𝑧_𝑖 =3(1 − 𝛽_𝑖)

2(1 + 𝛽_𝑖)×𝛽_𝑖+ 1

3 =1 − 𝛽_𝑖 2

投資・産出比率（投資1 単位あたりの生産量）は増加する．𝛽_𝑖の増加はこの効果を抑制 する．

投資・産出比率θ^𝑂𝑂の導出 𝑑𝛾_𝑖

𝑑𝑧𝑖

= 𝑑 𝑑𝑧𝑖

(𝑎 − 2𝑐_𝑖^𝑂+ 𝑐_𝑗^𝑂

3 ) =1

3[−2 (3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽𝑖)

𝑑𝛾_𝑖 𝑑𝑧𝑖

− 1) +3(1 − 𝛽𝑗) 2(1 + 𝛽𝑗)

𝑑𝛾𝑗

𝑑𝑧𝑖

] 上の式を整理すると，

𝑑𝛾_𝑖

𝑑𝑧_𝑖 =1 + 𝛽_𝑖

3 +1 + 𝛽_𝑖

4 ×1 − 𝛽_𝑗 1 + 𝛽_𝑗

𝑑𝛾_𝑗

𝑑𝑧_𝑖 ⋯ (∗) 𝑑𝛾_𝑗

𝑑𝑧𝑖

= 𝑑 𝑑𝑧𝑖

(𝑎 − 2𝑐_𝑗^𝑂+ 𝑐_𝑖^𝑂

3 ) =1

3[−2 (3(1 − 𝛽_𝑗) 2(1 + 𝛽𝑗)

𝑑𝛾_𝑗 𝑑𝑧𝑖

) +3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽𝑖)

𝑑𝛾_𝑖 𝑑𝑧𝑖

− 1]

上の式を整理すると，

𝑑𝛾_𝑗

𝑑𝑧_𝑖= −1 + 𝛽_𝑗

6 +1 + 𝛽_𝑗

4 ×1 − 𝛽_𝑖 1 + 𝛽_𝑖

𝑑𝛾_𝑖

𝑑𝑧_𝑖 ⋯ (∗∗)

（*）式と（**）式より，

(

1 −1 + 𝛽𝑖

4

1 − 𝛽_𝑗 1 + 𝛽_𝑗 1 + 𝛽_𝑗

4

1 − 𝛽_𝑖

1 + 𝛽_𝑖 −1

)( 𝑑𝛾𝑖

𝑑𝑧_𝑖 𝑑𝛾𝑗

𝑑𝑧𝑖)

= ( 1 + 𝛽𝑖

3 1 + 𝛽𝑗

6 )

これを解くと，

𝑑𝛾_𝑖 𝑑𝑧_𝑖 =2

3∙ (1 + 𝛽_𝑖)(7 + 𝛽_𝑗)

16 − (1 − 𝛽_𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)> 0, 𝑑𝛾_𝑗 𝑑𝑧_𝑖= −4

3∙ (1 + 𝛽_𝑖)(1 + 𝛽_𝑗)

16 − (1 − 𝛽_𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)< 0

∴ 𝑑𝑐_𝑖^𝑂 𝑑𝑧𝑖

= − 8(1 + 𝛽_𝑖)

16 − (1 − 𝛽_𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)< 0, 𝑑𝑐_𝑗^𝑂 𝑑𝑧𝑖

= − 2(1 + 𝛽𝑖)(1 − 𝛽_𝑗) 16 − (1 − 𝛽_𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)< 0 したがって，両企業が，Oを選択するとき，自企業の投資の増加は自企業のみならず，

ライバル企業の限界費用を低下させる．

∴ θ^𝑂𝑂=3(1 − 𝛽𝑖) 2(1 + 𝛽_𝑖)×2

3∙ (1 + 𝛽_𝑖)(7 + 𝛽_𝑗)

16 − (1 − 𝛽𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)= (1 − 𝛽_𝑖)(7 + 𝛽_𝑗) 16 − (1 − 𝛽_𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)

92 生産量と利潤

（5.2a），（5.2b）を用いると，（5.6）式の最適化の一階条件は，

𝑎 − 2𝛾𝑖− 𝛾𝑗− 𝑐_𝑖^h= 0 (i). h = 𝐼の場合：

𝑎 − 2𝛾𝑖− 𝛾𝑗− (𝑟 + 𝑒̅ − θ^𝐼𝑘𝛾𝑖+ 𝑡) = 0

∴ 𝐴^𝐼− 2𝛾_𝑖− 𝛾_𝑗+ η^𝐼𝑘𝛾_𝑖= 0 ここで，

𝐴^𝐼 = 𝑎 − 𝑒̅ − 𝑟 − 𝑡, η^𝐼𝑘 = θ^𝐼𝑘 =𝑑𝛾_𝑖 𝑑𝑧_𝑖 である．

(ii). h = 𝑂の場合：

𝑎 − 2𝛾_𝑖− 𝛾_𝑗− (𝑟^𝑚+3(1 − 𝛽_𝑖)

2(1 + 𝛽_𝑖)𝛾_𝑖+ 𝑒̅ −3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽_𝑖)

𝑑𝛾_𝑖

𝑑𝑧_𝑖𝛾_𝑖+ 𝑡) = 0

∴ 𝐴^𝑂− 2𝛾_𝑖− 𝛾_𝑗+ η^𝑂𝑘𝛾_𝑖= 0 ここで，

𝐴^𝑂= 𝑎 − 𝑒̅ − 𝑟^𝑚− 𝑡, η^𝑂𝑘= θ^𝑂𝑘−3(1 − 𝛽𝑖)

2(1 + 𝛽_𝑖), θ^𝑂𝑘=3(1 − 𝛽𝑖) 2(1 + 𝛽_𝑖)

𝑑𝛾𝑖

𝑑𝑧_𝑖 とする．故に，（5.6）式，企業iの最適化の一階条件は，

A^h− 2γ_i− γ_j+ η^hkγ_i= 0 where h ∈ {I, O} ⋯ (A5.1) 一方，ライバル企業jの最適化の一階条件は，

A^k− 2γ_j− γ_i+ η^khγ_j= 0 where k ∈ {I, O} ⋯ (A5.2)

（A6.1），（A6.2）の𝛾_𝑖に関する連立方程式の解は，

𝛾_𝑖^ℎ𝑘= (2 − η^kh)A^h− A^k

3 − 2(η^hk+ η^kh) + η^hkη^kh ⋯ (A5.3)

𝑟 = 𝑟_𝑚のケース

𝐹 = 0かつ，全ての企業（部品サプライヤー含む）で生産性が対称的なケースを考察す る．ここで，𝑟 = 𝑟_𝑚, F = 0を仮定し，𝐴^𝐼 = 𝐴^𝑂= Aとすると，（A5.3）式は，

𝛾_𝑖^𝐼𝑘 = (1 − η^𝑘𝐼)𝐴

3 − 2(η^𝐼𝑘+ η^𝑘𝐼) + η^𝐼𝑘η^𝑘𝐼 ⋯ (A5.3′)

∴ √𝜋_𝑖^𝐼𝑘= 𝛾_𝑖^𝐼𝑘√1 − (𝜃^𝐼𝑘)²= √1 − (𝜃^𝐼𝑘)²(1 − η^𝑘𝐼) 3 − 2(η^𝐼𝑘+ η^𝑘𝐼) + η^𝐼𝑘η^𝑘𝐼𝐴

∴ √𝜋_𝑖^𝑂𝑘= 𝛾_𝑖^𝑂𝑘= 1 − η^𝑘𝑂

3 − 2(η^𝑂𝑘+ η^𝑘𝑂) + η^𝑂𝑘η^𝑘𝑂𝐴 θ^𝑂𝐼 =^1−𝛽𝑖

2 , θ^𝑂𝑂= ^{(1−𝛽𝑖)(7+𝛽𝑗)}

16−(1−𝛽_𝑖)(1−𝛽_𝑗)より，

93 η^𝑂𝐼=1 − 𝛽_𝑖

2 −3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽𝑖) η^𝑂𝑂= (1 − 𝛽_𝑖)(7 + 𝛽_𝑗)

16 − (1 − 𝛽_𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)−3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽_𝑖)

(i). k = Iの場合：

η^𝐼𝐼= θ^𝐼𝐼=²₃, η^𝐼𝑂 = θ^𝐼𝑂=^7+𝛽₁₂^𝑗より，

√𝜋_𝑖^𝐼𝐼=√1 − (𝜂^𝐼𝐼)²𝐴 3 − η^𝐼𝐼 =

√1 −4 9 3 −2

3

𝐴 =√5

7 𝐴 ≒ 0.32𝐴

√𝜋_𝑖^𝑂𝐼= (5 − 𝛽_𝑖)𝐴 22 − 2𝛽_𝑖+(𝛽_𝑖− 1)(𝛽_𝑖− 2)

2(1 + 𝛽_𝑖) (17 − 𝛽_𝑖)

⋯ (A5.4)

ここで，η^𝑂𝐼=^1−𝛽₂^𝑖−^3(1−𝛽_2(1+𝛽^𝑖)

𝑖)= −^(𝛽𝑖_2(1+𝛽^{−1)(𝛽𝑖−2)}

𝑖) は，𝛽_𝑖の増加関数である．

（A5.4）式（＝生産量𝛾_𝑖^𝑂𝐼）は，𝛽_𝑖の増加関数である．一方，投資水準𝑧_𝑖^𝑂𝐼 = θ^𝑂𝐼𝛾_𝑖^𝑂𝐼と 中間財価格𝑞𝑖𝑂𝐼は，𝛽𝑖の減少関数であることが分かる．故に，

5

39𝐴 ≈ 0.12A < √𝜋_𝑖^𝑂𝐼<1

5𝐴 = 0.2A

図A5.1

∴ √𝜋_𝑖^𝐼𝐼> √𝜋_𝑖^𝑂𝐼 ⟺ 𝜋_𝑖^𝐼𝐼> 𝜋_𝑖^𝑂𝐼

𝛽i

0 1 1

5𝐴 = 0.2A

√5

7 𝐴 ≈ 0.32A √𝜋_𝑖^𝐼𝐼

√𝜋_𝑖^𝑂𝐼

5

59A ≈ 0.12A

√𝜋_i^𝐼𝐼, √𝜋_i^𝑂𝐼

94 (ii). k = 𝑂の場合：

√𝜋_𝑖^𝐼𝑂 = √1 − (𝜂^𝐼𝑂)²(1 − η^𝑂𝐼) 3 − 2(η^𝐼𝑂+ η^𝑂𝐼) + η^𝐼𝑂η^𝑂𝐼𝐴

∴ √𝜋_𝑖^𝐼𝑂=

√144 − (7 + 𝛽_𝑗)²[1 +(𝛽𝑗− 1)(𝛽𝑗− 2) 2(1 + 𝛽_𝑗) ] 𝐴 22 − 2𝛽_𝑗+(𝛽𝑗− 1)(𝛽𝑗− 2)

2(1 + 𝛽_𝑗) (17 − 𝛽_𝑗)

⋯ (A5.5)

ここで，√𝜋_𝑖^𝐼𝑂は，η^𝑂𝐼 =^1−𝛽₂ ^𝑖−^3(1−𝛽_2(1+𝛽^𝑖)

𝑖)= −^(𝛽𝑗_2(1+𝛽^{−1)(𝛽𝑗−2)}

𝑗) の減少関数である．

したがって，η^𝑂𝐼は，𝛽_𝑗の増加関数であるので，（A5.5）式は 𝛽_𝑗の減少関数である．一 方，投資水準𝑧_𝑖^𝐼𝑂= θ^𝐼𝑂𝛾_𝑖^𝐼𝑂は，𝛽_𝑗の増加関数であることが分かる．故に，

√5

5 A ≈ 0.44A < √𝜋_𝑖^𝐼𝑂 <2√95𝐴

39 ≈ 0.50𝐴

図A5.2

同様に，

√𝜋_𝑖^𝑂𝑂= 𝐴

3 − η^𝑂𝑂= 𝐴

3 − (1 − 𝛽_𝑖)(7 + 𝛽_𝑗)

16 − (1 − 𝛽𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)+3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽_𝑖)

⋯ (A5.6)

ここで，η^𝑂𝑂=_{16−(1−𝛽}^{(1−𝛽𝑖)(7+𝛽𝑗)}

𝑖)(1−𝛽_𝑗)−^3(1−𝛽_2(1+𝛽^𝑖)

𝑖)は， 𝛽_𝑖と𝛽_𝑗の増加関数である．

したがって，（A5.6）は， 𝛽𝑖と𝛽𝑗の増加関数である．一方，投資水準𝑧𝑖𝑂𝑂= θ^𝑂𝑂𝛾𝑖𝑂𝑂と 中間財価格𝑞_𝑖^𝑂𝑂は，𝛽_𝑖の減少関数であるが，それらは𝛽_𝑗の増加関数であることが分かる．

故に，

𝛽_j 0 1

2√95𝐴

39 ≈ 0.50𝐴

√5

5 A ≈ 0.44A

√𝜋_i^𝐼𝑂

5

95 2(𝛽_j+ 15)

7𝛽j+ 121𝐴 < √𝜋_𝑖^𝑂𝑂<1 3𝐴

図A5.3

∴ √𝜋_𝑖^𝐼𝑂 > √𝜋_𝑖^𝑂𝑂⟺ 𝜋_𝑖^𝐼𝑂 > 𝜋_𝑖^𝑂𝑂 が成立する．（証明終わり）

B) 5.4節の捕捉

無差別曲線：𝜋_𝑖^𝑂𝐼 = 𝜋_𝑖^𝐼𝐼の分析

𝜋_𝑖^𝑂𝐼 = 𝜋_𝑖^𝐼𝐼

⟺ 𝐹 = { 5

49− [ 5 − 𝛽_𝑖

22 − 2𝛽𝑖− (1 − 𝛽_𝑖

2 −3(1 − 𝛽_𝑖)

2(1 + 𝛽𝑖)) (17 − 𝛽𝑖) ]

2

}

(𝑎 − 𝑒̅ − 𝑟 − 𝑡)²

𝜋_𝑖^𝑂𝐼は，𝛽_𝑖の増加関数であるので，上式の右辺は，𝛽_𝑖の減少関数である．

25

1521𝐴²≈ 0.016𝐴²< 𝜋_𝑖^𝑂𝐼 < 1

25𝐴²= 0.04𝐴² 故に，無差別曲線：𝜋_𝑖^𝑂𝐼 = 𝜋_𝑖^𝐼𝐼は，次のようになる．

0.062(𝑎 − 𝑒̅ − 𝑟 − 𝑡)²< 𝐹 < 0.086(𝑎 − 𝑒̅ − 𝑟 − 𝑡)² ⋯ (A5.7)

無差別曲線：𝜋_𝑖^𝑂𝑂= 𝜋_𝑖^𝐼𝑂の分析

𝜋_𝑖^𝑂𝑂= 𝜋_𝑖^𝐼𝑂

𝛽i, 𝛽j

0 1 30

121A ≈ 0.24A

√𝜋_𝑖^𝑂𝑂の領域 1

4A = 0.25A 1

3A ≈ 0.33𝐴

√𝜋_i^𝑂𝑂

2(𝛽j + 15) 7𝛽_j+ 121𝐴

96

⟺ 𝐹 = {

(144 − (7 + 𝛽𝑗)²) [1 − (1 − 𝛽_𝑗

2 −3(1 − 𝛽_𝑗) 2(1 + 𝛽_𝑗))]

2

[22 − 2𝛽_𝑗− (1 − 𝛽𝑗

2 −3(1 − 𝛽𝑗)

2(1 + 𝛽_𝑗)) (17 − 𝛽_𝑗)]

2

− 1

[3 − (1 − 𝛽_𝑖)(7 + 𝛽_𝑗)

16 − (1 − 𝛽_𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)+3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽𝑖)]

2

}

(𝑎 − 𝑒̅ − 𝑟 − 𝑡)²

ここで， 𝜋_𝑖^𝑂𝑂は，𝛽_𝑖の増加関数であるので，上式の右辺は，𝛽_𝑖の減少関数である．

Π_𝑖^𝐼𝑂 ≡

(144 − (7 + 𝛽_𝑗)²) [1 − (1 − 𝛽𝑗

2 −3(1 − 𝛽𝑗) 2(1 + 𝛽_𝑗))]

2

[22 − 2𝛽_𝑗(1 − 𝛽_𝑗

2 −3(1 − 𝛽_𝑗)

2(1 + 𝛽𝑗)) − (17 − 𝛽_𝑗)]

2

と置くと，

1

5𝐴²≈ 0.2𝐴²< Π_𝑖^𝐼𝑂<380𝐴²

1521 ≈ 0.25𝐴² (2(𝛽j + 15)

7𝛽_j+ 121)

2

𝐴²< 𝜋_𝑖^𝑂𝑂<1 9𝐴² 故に，無差別曲線：𝜋_𝑖^𝑂𝑂= 𝜋_𝑖^𝐼𝑂は，次のようになる．

0.08(𝑎 − 𝑒̅ − 𝑟 − 𝑡)²< 𝐹 < [380

1521− (2(𝛽_j + 15) 7𝛽j+ 121)

2

] (𝑎 − 𝑒̅ − 𝑟 − 𝑡)² ⋯ (𝐴5.8) 上の不等式の上限値は，𝛽_𝑗の減少関数である．

380 1521− 1

16≈ 0.18 < 380

1521− (2(𝛽_j + 15) 7𝛽_j+ 121)

2

< 380

1521− 900

14641≈ 0.19

故に，簡便化のために𝑎 − 𝑒̅ − 𝑟 = 1として，無差別曲線のグラフを描くと，図5.1のよう になる．

C) 5.5 節：生産性が非対称なケース

(i). 上流と下流の両企業の生産性が非対称なケース ρ ≡ r − r^𝑚とすると，

𝜋_𝑖^𝐼𝐼= 5 (A^O− 𝜌 7 )

2

− 𝐹

∴ 𝜋_𝑖^𝐼𝑂= [

(1 −1 − 𝛽_𝑗

2 +3(1 − 𝛽_𝑗)

2(1 + 𝛽_𝑗)) (A^O− 𝜌) − 𝜌 22 − 2𝛽_𝑗− (1 − 𝛽_𝑗

2 −3(1 − 𝛽_𝑗)

2(1 + 𝛽𝑗)) (17 − 𝛽_𝑗) ]

2

(144 − (7 + 𝛽_𝑗)²) − 𝐹

97 𝜋_𝑖^𝑂𝐼 = [ (1 − η^IO)A^O+ 𝜌

3 − 2(η^OI+ η^IO) + η^OIη^IO]

2

= [ (5 − 𝛽_𝑖)A^O+ 12𝜌 22 − 2𝛽_𝑖− (1 − 𝛽_𝑖

2 −3(1 − 𝛽_𝑖)

2(1 + 𝛽_𝑖)) (17 − 𝛽_𝑖) ]

2

𝜋_𝑖^𝑂𝑂= [ (1 − η^OO)A^O 3 − 4η^OO+ (η^OO)²]

2

= [

A^O 3 − (1 − 𝛽_𝑖)(7 + 𝛽_𝑗)

16 − (1 − 𝛽𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)+3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽𝑖)]

2

無差別曲線：𝜋_𝑖^𝑂𝐼 = 𝜋_𝑖^𝐼𝐼の分析

𝐹 = 5 (A^O− 𝜌 7 )

2

− [ (5 − 𝛽_𝑖)A^O+ 12𝜌 22 − 2𝛽𝑖− (1 − 𝛽_𝑖

2 −3(1 − 𝛽_𝑖)

2(1 + 𝛽𝑖)) (17 − 𝛽𝑖) ]

2

⋯ (A5.9)

𝑑² 𝑑𝜌²

{

5 (A^O− 𝜌

7 )

2

− [ (5 − 𝛽_𝑖)A^O+ 12𝜌 22 − 2𝛽𝑖− (1 − 𝛽_𝑖

2 −3(1 − 𝛽_𝑖)

2(1 + 𝛽𝑖)) (17 − 𝛽𝑖) ]

2

}

⋯ (A5.10)

（A5.10）式をゼロにする，𝛽𝑖の解は，𝛽𝑖≈ 0.03である．𝜋_𝑖^𝑂𝐼は，𝛽𝑖の増加関数なので，上 式の右辺は，𝛽_𝑖の減少関数である．故に，1 > 𝛽_𝑖> 0.03で，上に凸，0 < 𝛽_𝑖< 0.03で，下 に凸のグラフになる．

(5𝐴^𝑂 39 +4𝜌

13)

2

< 𝜋_𝑖^𝑂𝐼< (𝐴^𝑂+ 3𝜌

5 )

2

故に，無差別曲線：𝜋_𝑖^𝑂𝐼 = 𝜋_𝑖^𝐼𝐼のFの範囲は，次のようになる．

5 (A^O− 𝜌 7 )

2

− (𝐴^𝑂+ 3𝜌

5 )

2

< 𝐹 < 5 (A^O− 𝜌 7 )

2

− (5𝐴^𝑂 39 +4𝜌

13)

2

不等式の下限値は，𝜌に関して上に凸の放物線であり，不等式の上限値は，𝜌に関して 下に凸の放物線である．ここで供給量：𝛾_𝑖^h𝑘> 0に注意すると，上式の上限値も下限値も 𝜌の減少関数である．故に，無差別曲線の範囲を示すグラフは以下のようになる．

98 図A5.4

企業 i の交渉力が大きくなると，IIの均衡領域は縮小し，OOの均衡領域が拡大する．

OIとIIが無差別になる均衡領域も交渉力の増加に伴って縮小する．

無差別曲線：𝜋_𝑖^𝑂𝑂= 𝜋_𝑖^𝐼𝑂の分析

Π_𝑖^𝐼𝑂 = [

(1−^1−𝛽𝑗₂ +^{3(1−𝛽𝑗)}

2(1+𝛽𝑗))(A^O−𝜌)−𝜌 22−2𝛽_𝑗−(^1−𝛽𝑗₂ −^{3(1−𝛽𝑗)}

2(1+𝛽𝑗))(17−𝛽𝑗)

]

2

(144 − (7 + 𝛽_𝑗)²)と表現すると，

𝐹 = Π_𝑖^𝐼𝑂− [

A^O 3 − (1 − 𝛽_𝑖)(7 + 𝛽_𝑗)

16 − (1 − 𝛽_𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)+3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽𝑖)]

2

𝑑² 𝑑𝜌²

{ Π_𝑖^𝐼𝑂−

[

A^O 3 − (1 − 𝛽_𝑖)(7 + 𝛽_𝑗)

16 − (1 − 𝛽_𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)+3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽_𝑖)]

2

}

⋯ (𝐴5.11)

（A5.11）式をゼロにする，𝛽𝑗の解は，𝛽𝑗 = 5である．この解は，𝛽𝑖の値に依らない．故 に，無差別曲線：𝜋_𝑖^𝑂𝑂= 𝜋_𝑖^𝐼𝑂は，ρに関して下に凸の曲線である．𝛽_𝑗の値が小さくなるにつ れて，この曲線のグラフは外側に膨らみ，上に凸の形状に近づく．

ここで，𝜋_𝑖^𝑂𝑂= (_3−η^AO_𝑂𝑂)

2

は， η^𝑂𝑂の増加関数であり，η^𝑂𝑂は，𝛽_𝑖の増加関数なので，𝜋_𝑖^𝑂𝑂 は，𝛽_𝑖の増加関数である．（𝛽_𝑖= 0で最小，𝛽_𝑖= 1で最大）

(2(𝛽j+ 15)𝐴^𝑂 7𝛽_j+ 121 )

2

< 𝜋_𝑖^𝑂𝑂< (𝐴^𝑂 3)

2

Π_𝑖^𝐼𝑂は，𝛽𝑗の減少関数なので，

ρ F

𝜋_𝑖^𝐼𝐼の領域 0 𝜋_𝑖^𝑂𝐼の領域 𝜋_𝑖^𝑂𝐼 = 𝜋_𝑖^𝐼𝐼の領域

𝜋_𝑖^𝑂𝐼 = 𝜋_𝑖^𝐼𝐼 (𝛽_𝑖 = 1) 𝜋_𝑖^𝑂𝐼 = 𝜋_𝑖^𝐼𝐼 (𝛽𝑖 = 0)

99 5 (𝐴^𝑂− 2𝜌

5 )

2

< Π_𝑖^𝐼𝑂< 95 (2𝐴^𝑂− 3𝜌 39 )

2

Π_𝑖^𝐼𝑂− (𝐴^𝑂 3)

2

< 𝐹 < Π_𝑖^𝐼𝑂− (2(𝛽_j+ 15)𝐴^𝑂 7𝛽_j+ 121 )

2

ここで，

30𝐴^𝑂

121 <2(𝛽_j+ 15)𝐴^𝑂 7𝛽_j+ 121 <𝐴^𝑂

4

故に，Fの上限は𝛽_𝑖 = 0, 𝛽_𝑗= 1のとき，下限は𝛽_𝑖= 1，𝛽_𝑗= 0のときである．したがって，

無差別曲線の範囲は以下のようになる．

95 (2𝐴^𝑂− 3𝜌 39 )

2

− (𝐴^𝑂 3)

2

< 𝐹 < 5 (𝐴^𝑂− 2𝜌

5 )

2

− (30𝐴^𝑂 121)

2

不等式の下限値と不等式の上限値は，𝜌に関して下に凸の放物線である．ここで供給 量：𝛾𝑖h𝑘> 0に注意すると，（5.19）式の上限値も下限値も𝜌の減少関数である．故に，無 差別曲線の範囲を示すグラフ以下のようになる．

図A6.5

(ii). North の 2 企業の生産性が非対称なケース 𝜌 = 0 ⟺ 𝑟 = 𝑟_𝑚と仮定すると，（A5.3）より，

𝛾𝑖= (2 − η^kh)A^h− A^k 3 − 2(η^hk+ η^kh) + η^hkη^kh

𝐴^h= 𝑎 − 𝑒̅₁− 𝑟 − 𝑡 𝐴^𝑘= 𝑎 − 𝑒̅₂− 𝑟 − 𝑡 ここで，ϕ ≡ 𝑒̅₂− 𝑒̅₁とすると，

𝛾𝑖 = (1 − η^kh)A^h+ 𝜙

3 − 2(η^hk+ η^kh) + η^hkη^kh, 𝛾𝑗= (1 − η^hk)A^k− ϕ 3 − 2(η^hk+ η^kh) + η^hkη^kh

ρ F

0 𝜋_𝑖^𝐼𝐼の領域

𝜋_𝑖^𝑂𝐼の領域 𝜋_𝑖^𝑂𝐼= 𝜋_𝑖^𝐼𝐼の領域

𝜋_𝑖^𝐼𝑂= 𝜋_𝑖^OO(𝛽_𝑖= 0, 𝛽_𝑗 = 1)

𝜋_𝑖^𝐼𝑂 = 𝜋_𝑖^OO(𝛽_𝑖= 1, 𝛽_𝑗 = 0)

100

𝜋_𝑖^𝐼𝑘= (1 − (𝜃^𝐼𝑘)²) [ (1 − η^𝑘𝐼)A^I+ 𝜙 3 − 2(η^𝐼𝑘+ η^𝑘𝐼) + η^𝐼𝑘η^𝑘𝐼]

2

− 𝐹

𝜋_𝑖^𝑂𝑘= [ (1 − η^kO)A^O+ 𝜙 3 − 2(η^𝑂𝑘+ η^𝑘𝑂) + η^𝑂𝑘η^𝑘𝑂]

2

故に，

𝜋_𝑖^𝐼𝐼= 5 (A^k+ 4𝜙

7 )

2

− 𝐹

𝜋_𝑖^𝐼𝑂= [

(1 −1 − 𝛽𝑗

2 +3(1 − 𝛽𝑗)

2(1 + 𝛽_𝑗)) (A^k+ 𝜙) + 𝜙 22 − 2𝛽_𝑗− (1 − 𝛽_𝑗

2 −3(1 − 𝛽_𝑗)

2(1 + 𝛽_𝑗)) (17 − 𝛽_𝑗) ]

2

(144 − (7 + 𝛽𝑗)²) − 𝐹

𝜋_𝑖^𝑂𝐼 = [ (5 − 𝛽_𝑖)(A^k+ 𝜙) + 12𝜙 22 − 2𝛽_𝑖− (1 − 𝛽_𝑖

2 −3(1 − 𝛽_𝑖)

2(1 + 𝛽_𝑖)) (17 − 𝛽_𝑖) ]

2

𝜋_𝑖^𝑂𝑂= [A^k+ 𝜙

3 − η^𝑂𝑂+ 𝜙

(3 − η^𝑂𝑂)(1 − η^OO)]

2

, 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 η^𝑂𝑂= (1 − 𝛽_𝑖)(7 + 𝛽_𝑗)

16 − (1 − 𝛽𝑖)(1 − 𝛽𝑗)−3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽𝑖)

無差別曲線：𝜋_𝑖^𝑂𝐼 = 𝜋_𝑖^𝐼𝐼の分析

𝜋_𝑖^𝑂𝐼= 𝜋_𝑖^𝐼𝐼⟺ 𝐹 = 5 (A^k+ 4𝜙

7 )

2

− [ (5 − 𝛽_𝑖)(A^k+ 𝜙) + 12𝜙 22 − 2𝛽_𝑖− (1 − 𝛽𝑖

2 −3(1 − 𝛽𝑖)

2(1 + 𝛽_𝑖)) (17 − 𝛽_𝑖) ]

2

無差別曲線：𝜋_𝑖^𝑂𝐼 = 𝜋_𝑖^𝐼𝐼のFの範囲は，

(5A^k+ 17𝜙

39 )

2

< 𝜋_𝑖^𝑂𝐼< (A^k+ 4𝜙

5 )

2

無差別曲線：𝜋_𝑖^𝑂𝑂= 𝜋_𝑖^𝐼𝑂の分析

𝐹 = [

(1 −1 − 𝛽𝑗

2 +3(1 − 𝛽𝑗)

2(1 + 𝛽_𝑗)) (A^k+ 𝜙) + 𝜙 22 − 2𝛽_𝑗− (1 − 𝛽𝑗

2 −3(1 − 𝛽𝑗)

2(1 + 𝛽_𝑗)) (17 − 𝛽_𝑗) ]

2

(144 − (7 + 𝛽𝑗)²)

− [A^k+ 𝜙

3 − η^𝑂𝑂+ 𝜙

(3 − η^𝑂𝑂)(1 − η^OO)]

2

𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 η^𝑂𝑂= (1 − 𝛽_𝑖)(7 + 𝛽_𝑗)

16 − (1 − 𝛽_𝑖)(1 − 𝛽_𝑗)−3(1 − 𝛽_𝑖) 2(1 + 𝛽_𝑖) 故に，無差別曲線：𝜋_𝑖^𝑂𝑂= 𝜋_𝑖^𝐼𝑂のFの範囲は，次のようになる．

∴ 95 (2A^k+ 3𝜙 39 )

2

− (A^k+ 2𝜙

3 )

2

< 𝐹 < 5 (A^k+ 2𝜙

5 )

2

− (30A^k+ 𝜙

121 +900𝜙 7381)

2

101

ドキュメント内 多国籍企業の所有権構造と参入戦略 (ページ 97-110)