grad, rot, div

ベクトル解析に現れる微分演算子grad (∇), rot (∇×), div (∇·)はそれ ぞれ0-^形式、1-^形式、2-形式の外微分として現れる。

8.2.1 grad

まず、0-形式(8.1)の外微分をとると

df = (∂_xf)dx+ (∂_yf)dy+ (∂_zf)dz (8.8) となり、これからベクトル場

gradf =∇f := (∂_xf, ∂_yf, ∂_zf) (8.9) が得られる。ここで、∂x =∂/∂x^{などである。}

特に、cを定数とすると、f(x, y, z) =cは3次元空間における2次元曲 面を表している。これに対して外微分を考えると

df = (∂xf)dx+ (∂yf)dy+ (∂zf)dz = gradf·(dx, dy, dz) = 0

なのでgradfは(dx, dy, dz)に垂直である。ところが、後者は曲面上の任 意の線素であるのでgradf は曲面に垂直なベクトル場であることがわか る。このことはn次元空間に対しても当てはまる。すなわち、f =c^はn 次元空間におけるn−1次元曲面を表し、曲面上の各点p^ごとにgradf^方

向に垂直なn−1次元平面が考えられる。これは点p^{において曲面に接す} る平面であり、接平面（接空間）とよばれ記号T_pで表される。

(8.8)の外微分をとると(7.27)より

d²f = [∂_y(∂_xf)dy+∂_z(∂_xf)dz]∧dx+ [∂_x(∂_yf)dx+∂_z(∂_yf)dz]∧dy +[∂x(∂zf)dx+∂y(∂zf)dy]∧dz

= [∂_y(∂_zf)−∂_z(∂_yf)]dy∧dz+ [∂_z(∂_xf)−∂_x(∂_zf)]dz∧dx +[∂x(∂yf)−∂y(∂xf)]dx∧dy

= (rot gradf)xdy∧dz+ (rot gradf)ydz∧dx+ (rot gradf)zdx∧dy

= 0 (8.10)

これから次のベクトル解析の公式が得られる。

rot gradf = 0 (8.11)

スカラー場の外微分は1-^形式のgrad^を与え、1-^{形式の外微分は}2-^形式の rot^を与える(^次節8.2.2^を参照)^。(8.11)^{はスカラー場に対する}dd= 0^の 作用の帰結であると解釈できる（(7.27)参照）。

8.2.2 rot

次に、1-^形式(8.2)^{の外微分をとると}

dω₁ = (dy∂_y+dz∂_z)ω_x∧dx+ (dx∂_x+dz∂_z)ω_y∧dy +(dx∂_x+dy∂_y)ω_z∧dz

= (∂yωz−∂zωy)dy∧dz+ (∂xωy−∂yωx)dz∧dx +(∂_xω_y−∂_yω_x)dx∧dy

= (rotω)xdy∧dz+ (rotω)ydz∧dx+ (rotω)zdx∧dy (8.12) このようにベクトル場の外微分が回転(rot)で与えられることが分かる。

さらにこの外微分をとると

d²ω1 = [∂x(rotω)x+∂y(rotω)y+∂z(rotω)z]dx∧dy∧dz

= (div rotω)dx∧dy∧dz (8.13)

となるが、(7.27)よりdd= 0なので

div rotω= 0 (8.14)

であることが分かる。(8.14)は直接計算することで確かめることができる が、1-形式にdd= 0を作用させた結果とみなすことができる。以上を表 7.16にまとめる。

d d² = 0 0-form gradf rotgradf = 0 1-form rotω divrotω= 0

2-form divb —

表8.1: r-^{形式の外微分。}

8.2.3 div

発散(divergence)は、2-形式(8.4)の外微分から得られる。

dω2 = (∂xωyz+∂yωzx+∂zωxy)dx∧dy∧dz

= (divb)dx∧dy∧dz (8.15)

が得られる。3次元空間の場合は、d²ω₂= 0は自明な関係式なので（r >

n= 3なる外微分形式は恒等的にゼロであることに注意）これから新たな 関係式は得られない。

8.2.4 その他の公式

スカラー関数f ^と1-^形式ω1の積の外微分はライブニッツ則(7.28)^で r= 0の場合に相当することに注意すると、

d(f ω₁) =df ∧ω₁+f dω₁ (8.16) 1-形式の外微分が回転に対応すること(8.12)を思い出すと、これから次の 公式が得られる¹。

rot (f ω) = gradf×ω+frotω (8.17) スカラー関数f^と2-^形式ω2の積の外微分を考えると

d(f ω₂) =df ∧ω₂+f dω₂ (8.18) 2-形式の外微分が発散に対応することを思い出すと、次の公式が得られる。

div (fb) = gradf ·b+fdivb (8.19)

11-形式dfと1-形式ω1のウエッジ積df∧ω1が対応するベクトルの外積になること は、直接計算することによっても確かめることができる。すなわち、

df∧ω1 = (∂if)ωjdxⁱ∧dx^j= (∂yf ωz−∂zf ωy)dy∧dz+· · ·

= (gradf×ω)xdy∧dz+· · ·

2^つの1-^形式ξ, ηの外積の外微分はライブニッツ則(7.28)^でr= 1^の場 合に相当することに注意すると、

d(ξ∧η) =dξ∧η−ξ∧dη (8.20) これから次の公式が得られる。

div (a×b) = rota·b−a·rotb (8.21) 以上をまとめると、p-形式ξとq-形式ηに関するライプニッツ則

d(ξ∧η) =dξ∧η+ (−1)^pξ∧dη (8.22) で、p, qに具体的な整数を代入することで次の諸公式が得られる。

p= 0, q= 0 grad (f g) = (gradf)g+fgradg (8.23) p= 0, q= 1 rot (fa) = gradf ×a+frota (8.24) p= 0, q= 2 div (fa) = gradf·a+fdiva (8.25) p= 1, q= 1 div (a×b) = rota·b−a·rotb (8.26)

In document 東京大学理学系研究科　上田研究室 (Page 160-165)