単純ルート

(5.52)^でm−n:=n1とおくと 2(α, β)

(α, α) =n₁ (5.54)

対称性から、この式でαとβの役割を入れ替えた式もまた整数値をとる はずである。

2(α, β)

(β, β) =n₂ (5.55)

両者の積と比からそれぞれ (α, β)²

(α, α)(β, β) = cos²θ_αβ = 1

4n1n2 (5.56) (β, β)

(α, α) = n1

n₂ (5.57)

が得られる。仮定によりα ̸= ±β^なのでcos²θαβ < 1^{である。よって、}

(5.56)^よりθ_αβ のとりうる値は次の場合に限定されることが分かる(0≤ θ_αβ ≤πを仮定)。

cos²θαβ =















0 ↔θ_αβ = ^π₂, ^|_|^α_β^|_| =不定

1

4 ↔θαβ = ^π₃,^2π₃ , ^|_|^α_β^|_| = 1 →SU(3)

2

4 ↔θ_αβ = ^π₄,^3π₄ , ^|_|^α_β^|_| =√

2→SO(5)

3

4 ↔θ_αβ = ^π₆,^5π₆ , ^|_|^α_β^|_| =√

3→G₂

(5.58)

このように2^{つの（単純）ルート}α^とβ^{のなす角度は}π/2,2π/3,3π/4,5π/6 の4^{通りに限られ1、これらに対応する}2つのルートの長さの比はそれぞ れ不定、1,√

2,√

3 である。更に、1,√ 2,√

3はそれぞれコンパクト単純 リー群SU(3), SO(5),および、G₂に対応している。ランクが2の場合は、

ルートは2次元ベクトルなのでルート図(root diagram)はこれら2つのベ クトルで張られる。SU(3)^、SO(5)^、G2のルート図はそれぞれ図5.1^、図 5.2^、図5.3^{のようになる2。}

これらの図から明らかなようにルート図は紙面に垂直な面に対して対 称である。実際、(5.52)は−n以上、m以下なので(5.44)からαとβ が ルートならば

β^′ =β−2(α, β)

(α, α)α (5.59)

もルートになることが分かる。実際、(5.52)^よりβ^′ =β−(m−n)α^であ り、このβ^′は(5.44)の一つであることがわかる。ここで、β^′はα^に垂直 な面に関するβの鏡映になっていることが分かる(図5.4参照)。これをワ イル鏡映(Weyl reflection)という。ルート図のワイル鏡映の全体は群をな し、これをワイル群(Weyl group)という。

ルート空間では(d−r)^{個のルートが}r次元のベクトル空間を構成するか ら(dはリー代数の独立な基底の数)^{、任意のルートはこの}1^{次独立なルー}

1後に示されるように((5.61)参照)、2つの単純ルートのなす角度はπ/2以上でなけ ればならない。

2SU(3)、SO(5)、G2のランクはすべて2である

H₁ H2

s sh s

s s

s s

AA

AAAU simple

α

simple β

図 5.1: コンパクト単純リー群SU(3)のルート図。2つの単純ルートは長 さが等しく、ルートのなす角度は2π/3である。

H1

H₂

s s

s s

s ss s

s 6

@@

@@@R simple α

simple β

図 5.2: ^{コンパクト単純リー群}SO(5)^{のルート図。}2^{つの単純ルートは長} さが異なり、それらのなす角度は3π/4^である

トを用いて表せる。1次独立なルートは次のようにして選ぶことができる。

まず、ルートα = (α1,· · · , αr)の最初のゼロでない成分αa (1≤ a≤r) が正（負）の時、これを正（負）のルート(positive/negative root)^とい う。(d−r)個のルートのうち半分は正、半分は負である((5.7)参照)。次 に、2つのルートα, βが与えられた時、α−β の最初のゼロでない成分が 正の時、α > β と定義する。このようにしてr個の1次独立なルートを 小さい順に 0 < α⁽¹⁾ <· · · < α^{(r) のように並べ、}r^{次元ルート空間の基}

H₁ H2

s s s s

s s

s s s s

s

s 6

JJ J

^ α

β

図 5.3: コンパクト単純リー群G₂のルート図.。2つの単純ルートは長さ が異なり、それらのなす角度は5π/6である。

β−^(α,β)_(α,α)α β−2^(α,β)_(α,α)α β

6

α

AA AA AA AA AK

図5.4: Weyl鏡映

底にとる。これらを単純ルート(simple root)と呼ぶ。他の正のルートは、

交換関係 (5.34)を繰り返し適用することによって得られることが知られ

ている、従って、正のルートは単純ルートの負でない整数係数 n_iの1次 結合で表される。こうして、任意のルートは次のように表される。

α=±

∑r i=1

niα⁽ⁱ⁾ (5.60)

このように、コンパクト単純リー代数の構造は単純ルートによって一意に 決まる。

単純ルートは次の性質がある。

(i) α, β^{が単純ルートのとき、}α−βはルートではない。実際、α−β=:γ がルートであるとすると、それは正または負のルートでなければならな い。正とすると、それはα > γなのでγは単純ルートでなければならない (単純ルートは小さいものから選ばれることを思い出そう)。しかし、これ は単純ルートが1次独立であることに反する。負の場合は、−γ =β−α がβよりも小さな正のルートなので単純ルートとなり、単純ルートが1^次 独立であることに矛盾する。

(ii) α, βが単純ルートのとき、

(α, β)≤0 (5.61)

である。なぜなら、α, βについてのルートのシリーズ(5.44)を考えると (i)よりm= 0となり(5.52)から(5.61)が結論できる。

この結果から、2つの単純ルートのなす角度は次の不等式を満足するこ とが分かる。

π

2 ≤θ_αβ < π (5.62)

単純ルートは互いに線形独立である。もしそうでなければ、単純ルート の適当な線形結合

γ =∑

α

x_αα. (5.63)

がゼロにならなければならない。単純ルートの定義よりすべてのαは正 なので、γ= 0となるためには、右辺の係数の一部が正、残りが負でなけ ればならない。そこで、右辺を係数が正の部分と負の部分の2グループに 分けて

γ =µ−ν, (5.64)

と書こう。定義により、µ^とνは共にすべての係数が正である。すなわち、

µ= ∑

xα>0

x_αα, ν = ∑

yα<0

(−y_α)α. (5.65)

このとき、(5.61)より(µ, ν)≤0なので

γ² = (µ−ν)²=µ²+ν²−2(µ·ν)≥µ²+ν² >0 (5.66)

となりγ = 0と矛盾する。従って、単純ルートは互いに線形独立である。

このことから、任意の正のルートは単純ルートに非負の整数をかけた線形 結合

ϕ=∑

α

n_αα, n_α≥0 (5.67)

で表される。

単純ルートは互いに線形独立なだけではなく、完全である。従って、単 純ルートの数は代数のランク、すなわち、カルタン部分代数の生成子の数 に等しい。実際、もしそうでないとするとすべての単純ルートα^と直交 するベクトルχが存在しなければならない:

∀α ^に対して [χ^aHa, Eα] = 0 (5.68) ところが、χ^aH_aは他のカルタン部分代数の生成子とも交換するので、そ れは代数のすべての生成子と交換してしまい、半単純であることに矛盾す る。こうして、全代数が単純ルートから構成されることが分かる。

例としてSU(3)^{を考えよう3。}(5.58)^からSU(3)^{の場合は、}2^つの単純 ルートα, βは長さが等しく、互いの角度は2π/3である。ルートの長さを 1に規格化すると、

(α)² = (β)²= 1, (α, β) =−1

2 (5.69)

これから、SU(3)^の2^{つの単純ルートは} α= (1/2,√

3/2), β = (1/2,−√

3/2) (5.70)

で与えられることが分かる。α+βはルートであるが、2α+βやα+ 2β はルートではない（図5.5参照)。

ドキュメント内 東京大学理学系研究科　上田研究室 (ページ 83-88)