第 9 章 多様体上の積分 165
10.6 熱力学への応用
例として熱力学の例を考えよう。次の1-形式を考える。
ω=P dV +dE=:δQ (10.28)
ここで、P, V, Eはそれぞれ圧力、体積、内部エネルギーである。この量
は熱力学では熱量の変化に等しいのでδQと書いた。ただし、完全微分で はないのでdQではなく、δQと書いた。10.2節の結果からこの1-形式は 適当な積分因子を掛けることにより完全微分にすることができる。それを 1/T(E, V)と書くと
dS:= δQ T = P
TdV + 1
TdE (10.29)
T は絶対温度、Sはエントロピーである。(10.29)より
dE=T dS−P dV (10.30)
EをS, V の関数とみなして両辺の外微分をとると、d(dE) = 0より
0 =dT ∧dS−dP ∧dV (10.31)
ここで、V, Sを独立変数とみなすと 0 = ∂T
∂V dV ∧dS−∂P
∂SdS∧dV (10.32)
よって
(∂T
∂V )
S
=− (∂P
∂S )
V
(10.33) これはMaxwellの関係式である。同様にして、(10.31)でT, V を独立変 数とみなすと
0 =dT ∧ ∂S
∂VdV −∂P
∂TdT ∧dV (10.34)
よって
(∂S
∂V )
T
= (∂P
∂T )
V
(10.35) これもMaxwellの関係式である。これらを(10.3)と比較すると、Maxwell の関係式は(10.30)が積分可能であるための条件[(10.3)を見よ]となって いることが分かる。同様に、(10.29)の外微分ddS = 0をとると
1 T
(∂P
∂T )
V
dT ∧dV − P
T2dT ∧dV − 1
T2dT ∧dE= 0
これから次式が得られる。
T (∂P
∂T )
V
−P = (∂E
∂V )
T
(10.36) 熱力学ではP, V, T, Sのうち２つを独立変数ととる。そこで、T =T(P, S), S = S(T, P), P =P(T, S)と考えて外微分を変数変換していくと
dT ∧dS = (∂T
∂P )
S
dP ∧dS
= (∂T
∂P )
S
(∂S
∂T )
P
dP ∧dT
= (∂T
∂P )
S
(∂S
∂T )
P
(∂P
∂S )
T
dS∧dT (10.37) こうして
(∂T
∂P )
S
(∂S
∂T )
P
(∂P
∂S )
T
=−1 (10.38)
が得られる。
第 11 章 微分形式の応用
11.1 ホッジスター演算子
ホッジ(Hodge)スター演算子1は、n次元空間のk-形式から(n−k)-形 式を作る演算子である。n次元空間のk-形式はnCk個の基底から構成さ れ、(n−k)-形式はnCn−k個の基底から構成されるので、基底の個数が等 しく1対1対応が成立する。n次元空間のk-形式
ω=dxi1∧dxi2∧ · · · ∧dxik (11.1) に対して、ホッジスター演算子∗ωは次の等式が満足されるように定義さ れる。
ω∧ ∗ω =dx1∧dx2∧ · · · ∧dxn (11.2)
11.1.1 3次元空間
具体例として、まず、3次元空間(n= 3)の場合を考えよう。このとき、
(11.2)を満足するようにスター演算子を求めると次のようになることがわ
かる。
∗1 =dx1∧dx2∧dx3, ∗dx1 =dx2∧dx3,
∗dx2=−dx1∧dx3, ∗dx3 =dx1∧dx2 (11.3)
∗(dx1∧dx2) =dx3, ∗(dx1∧dx3) =−dx2,
∗(dx2∧dx3) =dx1 (11.4)
∗(dx1∧dx2∧dx3) = 1 (11.5) このうち、最初と最後の関係式は左辺が右辺で定義されているとみなして もよい。これらは次のようにまとめることができる。
∗dxi= 1
2ϵijkdxj∧dkk (11.6)
∗(dxi∧dxj) =ϵijkdxk (11.7)
1Sir William Vallance Douglas Hodge, 1903-1975.
(11.6)にϵilmを掛けて公式
ϵijkϵilm =δjlδkm−δjmδkl (11.8) を用いると
dxi∧dxj =ϵijk∗dxk (11.9) が得られる。また、(11.7)の両辺にϵijlを掛けて同様の計算をすると
dxi= 1
2ϵijk∗(dxj∧dxk) (11.10) が得られる。特に、
∗(dxi∧dxj∧dxk) =ϵijk (11.11) であることに注意しよう。また、3次元の場合はk-形式ω(0≤k≤3)に 対して
∗ ∗ω=ω (11.12)
が成立することは上記の結果から確かめることができる2。dxiの具体的 な表式を考える際には注意が必要である。3次元直交座標(x, y, z)の場合 はdx1 =dx, dx2 = dy, dx3 = dzであるが、極座標(r, θ, ϕ)の場合は、
dx1 = dr, dx2 =rdθ, dx3 = rsinθdϕととらなければならない。実際、
このように取ることで、微小ベクトルが各座標表示における正規直交単位 ベクトルを用いて統一的な形に書くことができる。
dr = exdx+eydy+ezdz=erdr+eθrdθ+eϕrsinθdϕ
=
∑3 i=1
eidxi
同様に、円筒座標の場合はdx1 =dr, dx2 =rdθ, dx3 =dzである。
具体例としてまず、0-形式（スカラー場)fを考える。df =∂if dxiなの で(11.6)より
∗df =∂if ∗dxi =∂if1
2ϵijkdxj∧dxk (11.13) が得られる。両辺の外微分をとると
d∗df =∂l∂if1
2ϵijkdxl∧dxj∧dxk (11.14)
2一般のn次元のk-形式ωについては∗ ∗ω= (−1)(n−k)kωが成立する。たとえば、
n= 2の場合は、∗dx1=dx2,∗dx2=−dx1なので∗ ∗dx1=−dx1となる。
ここで、dxl∧dxj∧dxk=ϵljkdx1∧dx2∧dx3を使い、更に、ϵijkϵljk = 2δil を用いると
d∗df =∂i2f dx1∧dx2∧dx3 (11.15) であることが分かる(dd= 0であるが、d∗d̸= 0であることに注意せよ)。 両辺のホッジスターをとり、(11.5)を用いると
∗d∗df =∂2if = ∆f (11.16) であることが分かる。このように、スカラー関数に作用するラプラシアン (Laplacian) ∆ =∇2はホッジスター演算子を用いて表すことができる。
次に1-形式を考えよう。
ω=ωidxi (11.17)
を考えよう。この外微分は
dω= (∂iωj)dxi∧dxj (11.18) であるが、右辺に(11.9)を代入すると
dω=ϵijk(∂iωj)∗dxk= (rot⃗ω)k∗dxk (11.19) が得られる。ここで、⃗ω:= (ω1, ω2, ω3)である。(11.19)の両辺に*を演算 して(11.12)を用いると
∗dω=ϵijk(∂iωj)∗ ∗dxk=ϵijk(∂iωj)dxk= (rot⃗ω)kdxk (11.20) が得られる。この両辺の外微分をとると
d∗dω=ϵijk(∂l∂iωj)dxl∧dxk (11.21) 両辺に*を作用させて(11.7)を用いると
∗d∗dω = ϵijk(∂l∂iωj)∗(dxl∧dxk)
= ϵijk(∂l∂iωj)ϵlkmdxm
= (∂i∂jωj−∂j2ωi)dxi
= (graddiv⃗ω−∆⃗ω)idxi
= (rotrot⃗ω)idxi (11.22) を得る。最後の等式は1-形式の外微分が回転であることを用いた。
一方で、(11.17)と双対の関係にある微分形式は
∗ω=ωi∗dxi = 1
2ϵijkωidxj ∧dxk (11.23) 両辺の外微分をとると
d∗ω = 1
2ϵijk(∂lωi)dxj ∧dxk∧dxl
= div⃗ω dx1∧dx2∧dx3 (11.24) 両辺に*を作用させて(11.11)を用いると
∗d∗ω =∂iωi = div⃗ω (11.25) が得られる。この両辺の外微分をとると
d∗d∗ω = (graddiv⃗ω)idxi (11.26) が得られる。これを(11.22)と組み合わせると、1-形式に対するラプラシ アンの公式
∆ω=d∗d∗ω− ∗d∗dω (11.27) が得られる。
11.1.2 4次元空間
次に、4次元(n= 4)の場合を考えよう。
∗1 =dx1∧dx2∧dx3∧dx4
∗dx1 =dx2∧dx3∧dx4, ∗dx2 =−dx1∧dx3∧dx4
∗dx3 =dx1∧dx2∧dx4∗dx4 =−dx1∧dx2∧dx3 (11.28)
∗(dx1∧dx2) =dx3∧dx4
∗(dx1∧dx3) =−dx2∧dx4, etc. (11.29)
∗(dx1∧dx2∧dx3) =dx4, ∗(dx1∧dx2∧dx4) =−dx3(11.30)
∗(dx1∧dx2∧dx3∧dx4) = 1 (11.31) また、4次元の場合はk-形式ωに対して
∗ ∗ω= (−1)kω (11.32)
が成立することは上記の結果から確かめることができる3。
3一般にn次元空間のk-形式については∗ ∗ω= (−1)k(n−k)ωが成立する。