具体例ー対称群 S 3

2.9.1 既約表現

3^{次の対称群}S3は3! = 6個の元からなり、それらは(1.5)^{に与えられて} いる。群表1.1^{からわかるように、}S3 の元の積は一般には交換しないの で、非アーベル群である。 それゆえ、既約表現は2次元以上であり、表 現行列のすべてを同時に対角化することはできない（それができると、1 次元表現になってしまう）。S₃のユニタリ表現は次のように与えられる。

D(e) = (

1 0 0 1

)

, D(a₁) =

( −_√¹₂ −^√₂³

3 2 −¹₂

)

, D(a₂) =

( −¹₂ ^√₂³

−^√₂³ −¹₂ )

,

D(a₃) =

( −1 0 0 1

)

, D(a₄) = ( 1

2

√3

√ 2 3 2 −¹₂

)

, D(a₅) = ( 1

2 −^√₂³

−^√₂³ −¹₂ )

. (2.69) これらが群表1.1を満足することは直接計算で確かめることができる。こ

れは、原点を中心とする正三角形の頂点を置換する合同変換に対応して いる。

2.9.2 指標

指標(character)は表現のトレースなので、(2.69)のように表現が具 体的に求められるとそこから指標を直ちに計算することはできる。しか し、指標の直交性条件などを用いることで、表現に頼らずに指標を計算す ることもできる。ここではそれについて議論する。まず、S₃の同値類が {e},{a1, a2},{a3, a4, a5}で与えられることを思い出そう。自明な1^次元 表現D0は、群のすべての元に対してD0(g) = 1なるものである。この場 合、指標は明らかにχ0(g) = 1である。表現の次元に対する関係式(2.45)

∑

an²_a=N を用いると、このほかに非自明な1次元表現が1個、2次元 表現が1個存在することが分かる(1²+ 1²+ 2²= 6)。

非自明な1次元表現D₁は H ={e, a₁, a₂} ^がS₃の不変部分群であり、

因子群 S3/H ^が Z2であることを利用して求めることができる。すなわ ち、x² = 1^より1^{次元表現は}x = 1,−1である。この場合、自明な表現 はH^{に対しては}1^、残りの {a3, a4, a5}^{に対しては} -1^{を割り当てること} ができる。(実際、 a²₃ =a²₄=a²₅ = 1である。) 従って、求める指数は前 者に対しては χ₁(e) = 1、後者に対してはχ₁(a₃) =−1である。2次元表

現D2については、D2(e)^が2^行2^{列の単位行列なので}χ2(e) = 2^である。

他の値は、χ₂(a₁) =x, χ₂(a₃) =yとおくと、規格直交条件(2.56)より自 明な1次元表現との直交性より2 + 2x+ 3y= 0 (a₁とa₃の同値類に属す る元の個数がそれぞれ2,3であることに注意)、非自明な1次元表現との 直交性より2 + 2x−3y= 0^{。よって、}x=−1, y = 0^{が得られる。すなわ} ち、χ2(a1) =−1, χ2(a3) = 0^{である。この結果は、}(2.69)^{から直接確か} めることができる。結果を表2.2^{にまとめる。}

表2.2: ^対称群 S3 の指標を1, 2, 3, 6 の各次元の場合について示した。1 次元は自明な表現 D0 と非自明な表現 D1 の2^{種類が存在する。}3^次元 表現D₃については節2.9.3を参照。6次元表現は、D₂とD₃のテンソル 積表現で与えられ、その指標はそれぞれの指標の積で与えられる((2.66) 参照)

PPPPPP PPPP 次元

同値類 {e} {a1, a2} {a3, a4, a5}

1 (D0) 1 1 1

1 (D₁) 1 1 -1

2 (D₂) 2 -1 0

3 (D3) 3 0 1

6 (D2⊗D3) 6 0 0

2.9.3 正則表現

S3の置換表現は3^{次元であり、}(2.15)と同様にして次のように与えら れる。

D3(e) =





1 0 0 0 1 0 0 0 1



, D3(a1) =





0 0 1 1 0 0 0 1 0



,

D₃(a₂) =





0 1 0 0 0 1 1 0 0



, D₃(a₃) =





0 1 0 1 0 0 0 0 1



,

D3(a4) =





1 0 0 0 0 1 0 1 0



, D3(a5) =





0 0 1 0 1 0 1 0 0



. (2.70)

これらから表2,2の指標が得られる。これに公式(2.64)^{を当てはめると、}

既約表現への射影演算子が得られる

P₀ = 1 6



D₃(e) +

∑5 j=1

D₃(a_j)



= 1 3





1 1 1 1 1 1 1 1 1



 (2.71)

P₁ = 1 6



D₃(e) +

∑2 j=1

D₃(a_j)−

∑5 j=3

D(a_j)



= 0 (2.72)

P₂ = 2 6



2D₃(e)−

∑2 j=1

D₃(a_j)



= 1 3





2 −1 −1

−1 2 −1

−1 −1 2



 (2.73)

これから P0 が不変部分空間 (|1⟩+|2⟩+|3⟩)/√

3 ^{への射影演算子である} ことが分かる。他方、P₂ は基底ベクトルの対によって張られる2次元部 分空間への射影演算子である(P₂により生成される部分空間の次元が2で あることに注意)。こうして、D₃は既約表現の直和に分解される。

D3=D0⊕D2 (2.74)

2.9.4 ヤング図

対称群S3 は3^{つの同値類を持つ}: {e}, {a1, a2}, {a3, a4, a5}^。{e}^に対 するヤング図は

□□□

で与えられる。これに対する要素の数は 3!/3! = 1 である。2番目の類 {a₁, a₂}^{に属する元は、}3-サイクルの巡回置換(a³₁ =a³₂ = e、(1.5)をみ よ)であり、対応するヤング図は

□□

□

で与えられ、元の数は確かに 3!/3 = 2 である。3番目の類 {a₃, a₄, a₅} は2-サイクルの巡回置換(a²₃=a²₄ =a²₅=e)と1-サイクルの巡回置換（恒 等置換）からなり、対応するヤング図は

□□□

で与えられる。元の数は確かに3!/2 = 3個である。

前節2.8で述べたように、ヤング図

□□□

は完全対称な状態であり、従って自明な表現に対応する1^{次元部分空間に} 対応している。これに対してヤング図

□□

□

は完全反対称の状態であり、従ってやはり1次元部分空間に対応してい る。この場合、2つの要素の置換に対して符号を変えるので、この1^次元 表現には指標 -1が与えられる。ヤング図

□□□

は同じ行に属する数字については対称化、同じ列に属する数字については 反対称化されるので、次のような状態に対応している。

1 2

3 → |123⟩+|213⟩ − |321⟩ − |231⟩; 3 2

1 → |321⟩+|231⟩ − |123⟩ − |213⟩; 2 3

1 → |231⟩+|321⟩ − |132⟩ − |312⟩; 1 3

2 → |132⟩+|312⟩ − |231⟩ − |321⟩;

3 1

2 → |312⟩+|132⟩ − |213⟩ − |123⟩; 2 1

3 → |213⟩+|123⟩ − |312⟩ − |132⟩.

2, 4, 6個目の状態は1, 3, 5個目の状態を−1倍することで得られ、また

1, 3, 5個目の状態を足し合わせると消えることが分かる。これはこれら

の状態の張る部分空間が2次元であることを意味している。これらの状態 はS3の2次元の既約表現として変換される。実際、このYoung ^図のフッ ク因子は3なので、既約表現の次元は

3!

3 = 2 (2.75)

であることがわかる。

ドキュメント内 東京大学理学系研究科　上田研究室 (ページ 37-41)