SU(2)

SU(2)^は2^行2列の特殊ユニタリ行列の全体{U;U^†U =U U^†= 1,detU = 1} ^{の作る群である。}U ^{のユニタリ性より}U = exp(iX)^と書くとX^はエ ルミート行列で、detU = 1 ^より TrX= 0 ^{である。従って、}X^の独立な パラメータの数は8−4−1 = 3である¹。

SU(2)群のリー代数su(2)は最も単純なコンパクトリー代数であり、そ

の生成子J_j (j = 1,2,3)は交換関係

[J_j, J_k] =iϵ_jklJ_l, j, k, l= 1,2,3 (6.1) を満足する。ここで、ϵjkl はランク3^{の完全反対称テンソル}(completely antisymmetric tensor of rank three) ^である。(6.1)^から、su(2)^の構造定 数はf_jkl=ϵ_jkl であり、カルタン計量は(3.49)^より

gij =ϵimnϵjnm=ϵnimϵnmj (6.2) ここで公式

ϵnabϵncd =δacδbd−δadδbc (6.3)

1一般に、SU(n)の独立なパラメータの数がn²−1であることを思い出そう。

を使うと

g_ij =δ_imδ_mj−δ_ijδ_mm =−2δ_ij (6.4) が得られる(δ_mm = 3に注意せよ)。ここで、

ˆ

gij :=−gij = 2δij (6.5)

を定義する。ˆgij の逆行列は ˆ g^ij = 1

2δij (6.6)

で与えられる。これを用いてルートの添え字の上げ下げが行われる。

交換関係(6.1)から、可換なリー代数の元は自分自身しかないので、SU(2)

のランクは1である。カルタン部分代数としてH₃ =J₃を選ぶと(3.65) より

{ad(J₃)}ij =−iϵ_3ij =





0 −i 0 i 0 0

0 0 0



 (6.7)

この行列のゼロでない固有値はα=±1であり、ルートは図6.1のように 1次元である。固有値α=±1に対応する固有ベクトルは

s -s

図 6.1: SU(2)のルート図 v_±= 1

2(1,±i,0)^T (6.8)

であり、それゆえ固有ベクトルの昇降演算子は E₊= (v₊)ⁱJ_i= 1

2(J₁+iJ₂), E₋=E^†₊= 1

2(J₁−iJ₂) (6.9) で与えられ、交換関係

[H₃, E_±] =±E_±,[E₊, E₋] = 1

2H₃ (6.10)

を満たす ²。これはSO(3)^{のリー代数の交換関係}(5.32)^{と同じ形をして} いるので、SU(2)^とSO(3)のリー代数は同型である。このことは、SU(2)

2物理ではJ_±= 2E_±,J3=H3 を用いる場合が多い(J_±=√

2E_±を採用している教 科書もある)。このとき、交換関係は

[J3, J_±] =±J±,[J+, J₋] = 2J3

となる。

とSO(3)の単位元付近の構造が同一であることを意味している。すなわ ち、SU(2)とSO(3)は局所同型(locally isomorphic)である。しかし、群 全体の構造は異なっており、SU(2)はSO(3)の普遍被覆群となっている。

ルートおよびウエイトは共に1次元ベクトルであり、カルタン計量(6.6) を考えるとα1 = 1, α¹ = 1/2,(α, α) =α1α¹= 1/2^である。

SU(2)^{の既約表現}N^{は最高ウエイト}j=jα^{によって決まる。}j^のワイ ル鏡映

j^′ =j−2(α,j)

(α, α)α=j−2j(α, α)

(α, α)α=j−2jα=−j (6.11) が最低ウエイトである。

ウエイトµの固有ベクトルを|µ,N⟩^とすると(5.88)より

E₋|µ,N⟩=N_−1,µ|µ−1,N⟩ (6.12) ここで(5.90)^より

N₋1,µ=N_1,µ^∗ ₋₁ (6.13) 右辺の値は(5.93)^でk=−1^とおき、(α, α) = 1/2^{を代入することで得ら} れる。すなわち、

|N_−1,µ|² =|N_1,µ−1|² = 1

4m(n+ 1) (6.14)

ここで、m, nはウエイトシリーズ(5.92)の下限と上限を与える非負の整 数である。N_−1,µ =:N_µ とおき、J₋= 2E₋を用いると

J₋|µ,N⟩= 2N_µ|µ−1,N⟩ (6.15) となる。

ウエイトのシリーズ(5.92)で最高ウエイトと最低ウエイトをそれぞれj,

−jに等しいと置く。ウエイトが1次元であることに注目すると、ベクトル は数に置き換えてもよいので(αを単位として考える）、µ+n=j, µ−m=

−j^{。これから}m=j+µ, n=j−µ^{。これらを}(6.14)^{に代入すると} J₋|µ,N⟩= 2Nµ|µ−1,N⟩

|N_µ|²= 1

4(j+µ)(j−µ+ 1) (µ=j, j−1,· · ·,−j) (6.16) 最高ウエイトの既約表現の次元Nは、ウエイトシリーズ(5.92)のベクト ルの数に一致するので

N =m+n+ 1 = 2j+ 1 (6.17)

で与えられる。m, n= 0,1,· · · ^なので j= 0,1

2,1,3

2,· · · (6.18)

である。

既約表現のディンキン・インデックスは(5.98)^から m= 2(α,j)

(α, α) = 2j (6.19)

で与えられる（ウエイトがα方向の1次元なので）。基本表現はm = 1 とおくことによって得られるので、j = 1/2の表現ρ_1/2が基本表現であ る。他の任意の既約表現は、基本表現の直積表現として与えられる。それ ゆえ、角運動量j^{の状態は、スピン}1/2^の状態の2j^{個の直積状態（スピ} ン1/2^を2j個合成した状態）として与えられることがわかる。

スピン1/2の直積表現の既約分解

スピン1/2^{を記述するパウリ行列} σ1 =

( 0 1 1 0

) , σ2 =

( 0 −i i 0

) , σ3 =

( 1 0 0 −1

)

(6.20) を導入する。カルタン部分代数をH3 =σ3/2ととった時、基底ベクトルは

1 2,2

⟩

=:α= (

1 0

)

, − 1 2,2

⟩

:=β= (

0 1

)

(6.21) で与えられる。

直積表現ρ⁽¹⁾_1/2⊗ρ⁽²⁾_1/2の表現空間の基底ベクトルのうち最高ウエイトj = 1 の固有ベクトルは|1,3⟩ = α⁽¹⁾α⁽²⁾である。ここで、α⁽¹⁾, α⁽²⁾はともに (6.21)のαで与えられる。このとき、(6.16)より

J₋|1,3⟩=√

2|0,3⟩ (6.22)

である。また、(5.103)^より

J₋(α⁽¹⁾α⁽²⁾) = (J₋α⁽¹⁾)α⁽²⁾+α⁽¹⁾(J₋α⁽²⁾)

= β⁽¹⁾α⁽²⁾+α⁽¹⁾β⁽²⁾ (6.23) が得られる（ここではj=µ= 1/2であることに注意）。これを(6.22)と 比較すると

|0,3⟩= 1

√2(α⁽¹⁾β⁽²⁾+α⁽²⁾β⁽¹⁾) (6.24)

であることが分かる。両辺に再びJ₋^{を作用させると} J₋|0,3⟩=√

2| −1,3⟩, J₋ 1

√2(α⁽¹⁾β⁽²⁾+α⁽²⁾β⁽¹⁾) =√

2β⁽¹⁾β⁽²⁾ となるので

| −1,3⟩=β⁽¹⁾β⁽²⁾ (6.25) が得られる。他方、(6.24)はそれと直交する固有ベクトルが存在し

|0,1⟩= 1

√2(α⁽¹⁾β⁽²⁾−α⁽²⁾β⁽¹⁾) (6.26) で与えられる。こうして、2つの既約表現の直積表現を既約表現の直和に 分解できた。これを次のように書こう。

2⊗2=3⊕1 (6.27)

クレプシュ−ゴルダン係数

一般に、最高ウエイトがj₁とj₂ の2つの既約表現の直積表現は、次の ような既約表現の直和に分解できる。

|µ₁,2j₁+1⟩|µ₂,2j₂+1⟩ =

j∑1+j2

J=|j1−j2|

⟨µ₁+µ₂;J|µ₁, j₁;µ₂, j₂⟩

×|µ1+µ2,2J+1⟩ (6.28) ここで係数⟨µ1+µ2;J|µ1, j1;µ2, j2⟩をクレブシュ−ゴルダン係数

(Clebsch-Gordan coefficient)という。このように、クレブシュ−ゴルダン係数は直

積表現を既約表現の直和に分解する際の係数として現れる。

クレブシュ−ゴルダン係数は対称直交行列である。すなわち、

⟨M;J|µ1, j1;µ2, j2⟩=⟨µ1, j1;µ2, j2|M, J⟩ (6.29)

j1∑+j2

J=|j1−j2|

∑J M=−J

⟨µ1, j1;µ2, j2|M, J⟩⟨M;J|µ^′₁, j1;µ^′₂, j2⟩=δ_µ1µ′ 1δ_µ2µ′

2

(6.30)

j1

∑

µ1=−j1

j2

∑

µ2=−j2

⟨M;J|µ₁, j₁;µ₂, j₂⟩⟨µ₁, j₁;µ₂, j₂|M^′, J^′⟩=δ_{M M}′δ_{J J}′

(6.31)

逆に、(6.28)^{の右辺のダミー変数}J^をJ^′と置き換えた上で両辺に⟨µ1, j1;µ2, j2|M, J⟩ を掛けてµ₁, µ₂について和をとり、(6.31)を用いると

|M =µ1+µ2,2J+1⟩ =

j1

∑

µ1=−j1

j2

∑

µ2=−j2

⟨µ1, j1;µ2, j2|M, J⟩

×|µ₁,2j₁+1⟩|µ₂,2j₂+1⟩ (6.32) これは既約表現を直積表現で展開したものである。

四元群

既約表現を最高ウエイトJ₃ =jとJ₃の値であるウエイトmでラベル づけしよう。

|j, m⟩ (m=j, j−1,· · ·,−j) (6.33) この状態を用いてカルタン部分代数J3と昇降演算子J_± ≡J1±iJ2の行 列要素を表すと

⟨j, m^′|J₃|j, m⟩=mδ_m,m′ (6.34)

⟨j, m^′|J+|j, m⟩=√

(j+m+ 1)(j−m)δ_m′,m+1 (6.35)

⟨j, m^′|J₋|j, m⟩=√

(j+m)(j−m+ 1)δm^′,m−1 (6.36) これはsu(2)^{代数のスピン}j表現に他ならない。特に、j= 1/2^の場合は

J₁= 1

2σ₁, J₂= 1

2σ₂, J₃= 1

2σ₃ (6.37)

である。

SU(2)^{群はノルム}1^の4^元数群(quaternion group of norm 1)

Q={±1,±σ_x,±σ_y,±σ_z} (6.38) に同型である。これを示すために、まず2行2列の任意の特殊ユニタリ行 列が

u=a₀+ia·σ= (

a₀+ia_z ia_x+a_y ia_x−a_y a₀−ia_z

)

, (6.39)

の形で書けることに注意する。ここで(a0, ax, ay, az)^{は実の単位四元ベク} トル(unit 4-vector)である。

a²₀+a²_x+a²_y+a²_z = 1. (6.40)

これは4^{次元空間の}3^{次元単位球面であり、}S³ と書かれる。これと等価 なSU(2)の表現は、スピンを単位3^{次元ベクトル}ˆn^{の周りの角度}θ (0≤ θ <4π)回転させる行列で与えられる。

u(ˆn, θ) = cosθ

2 +i(ˆn·σ) sinθ 2 = exp

( iθ

2ˆn·σ )

(6.41) u(ˆn, θ+ 2π) =−u(ˆn, θ) (6.42)

6.1.2 SU(3)

ドキュメント内 東京大学理学系研究科　上田研究室 (ページ 99-105)