電磁気学

11.2.2 静磁場

静磁場は軸性ベクトルなので2-^形式

ω_m := B₁dx²∧dx³+B₂dx³∧dx¹+B₃dx¹∧dx²

= 1

2ϵ^ijkB_idx^j ∧dx^k=B_i∗dxⁱ (11.40) で表される。ω_mの外微分は

dω_m = 1

2ϵ^ijk(∂_lB_i)dx^l∧dx^j ∧dx^k

= (divB)dx¹∧dx²∧dx³ (11.41) ωmに双対な1-^形式∗ωmを導入する。

∗ωm = 1

2ϵ^ijkBi∗(dx^j ∧dx^k)

= Bidxⁱ (11.42)

この外微分は

d∗ωm = (∂iBj)dxⁱ∧dx^j = 1

2ϵ^ijk(rotB)idx^j ∧dx^k

= (rotB)i∗dxⁱ (11.43)

これらを用いると静磁場を記述する方程式は次のように書ける。

dω_m = 0←→divB= 0 (11.44)

∗d∗ωm =ωj ←→rotB=µ0j (11.45) ここで、j= (j₁, j₂, j₃)は電流密度、µ₀は真空の透磁率、また、

ω_j =µ0jidxⁱ (11.46)

R^{3が単連結な時は、}(11.44)よりポアンカレの補題(10.1節参照）により ωmは(^{極性）ベクトル関数}Aを用いて次のように書ける。

ω_m=dA←→B= rotA (11.47)

以上の議論から、電場と磁場の間には次のような双対関係(duality re-lations)^{があることが分かる。}

ωe←→ ∗ωm (1−form) (11.48)

∗ω_e←→ω_m (2−form) (11.49)

11.2.3 マクスウェル方程式

電場と磁場が時間に依存する場合は両者は互いに影響しあう。そこで、

時間座標x⁴ :=ictを導入して、4次元空間(x¹, x², x³, x⁴)で考える。本節 では、ここで、ローマ文字i, j, k, lは1,2,3をとり、ギリシャ文字λ, µ, ν, σ は1,2,3,4をとるものとする。また、光速cは1とおく。

まず、電磁テンソルに対応する微分形式を考える。

ωem := −iωe∧dx⁴+ωm

= −iEidxⁱ∧dx⁴+1

2ϵ^ijkBidx^j∧dx^k (11.50) 4次元空間の場合は、

∗(dx¹∧dx⁴) =dx²∧dx³= 1

2ϵ^1jkdx^j∧dx^k

∗(dx²∧dx⁴) =−dx¹∧dx³ = 1

2ϵ^2jkdx^j ∧dx^k

(11.51) なので、一般に

∗(dxⁱ∧dx⁴) = 1

2ϵ^ijkdx^j∧dx^k (11.52) が成立することに注意すると、(11.50)は次のように電場と磁場の双対性 がはっきりと見える形に書くことができる。

ω_em = −iω_e∧dx⁴+ω_m

= −iE_idxⁱ∧dx⁴+1

2ϵ^ijkB_idx^j∧dx^k

= −iE_idxⁱ∧dx⁴+B_i∗(dxⁱ∧dx⁴) (11.53) 両辺のHodgeスター演算子をとると、ωが2-形式のときは∗ ∗ω =ωで あることに注意して、

∗ωem = −iEi∗(dxⁱ∧dx⁴) +Bidxⁱ∧dx⁴

= −i

2Eiϵ^ijkdx^j ∧dx^k+Bidxⁱ∧dx⁴ (11.54) が得られる。ここで、2行目の結果を得る際に(11.52)を用いた。

これらの外微分計算すると dω_em = −i

2ϵ^ijk [

rotE+∂B

∂t ]

k

dxⁱ∧dx^j ∧dx⁴

+(divB)dx¹∧dx²∧dx³ (11.55) d∗ωem = 1

2ϵ^ijk [

rotB−∂E

∂t ]

k

dxⁱ∧dx^j∧dx⁴

−i(divE)dx¹∧dx²∧dx³ (11.56)

が得られる。(c= 1^なのでϵ0µ0 = 1^{に注意せよ。}) 電荷密度ρと電流密度jから

ω_ρj :=− i

ϵ₀ρdx¹∧dx²∧dx³+1

2ϵ^ijkµ₀j_kdxⁱ∧dx^j∧dx⁴ (11.57) を定義する。この式の外微分を取ると

dω_ρj =µ₀ (

divj+∂ρ

∂t )

dx¹∧dx²∧dx³∧dx⁴ (11.58) が得られる。従って、連続の方程式は次のように書ける。

dω_ρj = 0←→divj+∂ρ

∂t = 0 (11.59)

以上の結果から、マクスウェル方程式は次のように書ける。

dωem= 0 ←→rotE+^∂B_∂t = 0, divB= 0 (11.60) d∗ω_em=ω_ρj ←→rotB− ^∂E_∂t =µ₀j, divE= ρ

ϵ0

(11.61)

(11.60)^{式は微分形式}ωemが閉形式であることを示している。時空が単

連結な時は、ωemは完全微分である⁴。従って、ある1^形式

A:=A_µdx^µ (µ= 1,2,3,4) (11.62) が存在して

ωem =dA (11.63)

が成立する。実際、(11.62)より

dA = (∂µAν)dx^µ∧dx^ν = 1

2Fµνdx^µ∧dx^ν (11.64)

F_µν: = ∂_µA_ν−∂_νA_µ (11.65)

となるので、これらを(11.50)^{と比較すると} Ei =iFi4, Bi = 1

2ϵ^ijkFjk (11.66)

であることが分かる。A_µの各成分は電磁ポテンシャル(A, ϕ)と

Aµ=





A_i (µ=i= 1,2,3)

iϕ (µ= 4) (11.67)

4単連結でない場合は、電磁ポテンシャルは1価でなくなる。このとき、アハラノフー ボームーキャッシャー効果(Aharanov-Bohm-Casher effect)が現れる。

なる関係で結ばれている。こうして、マクスウェル方程式の第1^の組(11.60) は

ddA= 0 (11.68)

と恒等式の形で書ける（dd= 0であることに注意せよ）。第2の組(11.61)は

d∗dA=ωρj (11.69)

と書けることがわかる。

ゲージ変換は、電磁ポテンシャルを任意のスカラー関数χ^を用いて

A−→A^′ =A+dχ (11.70)

と変換することに相当する。このとき、

A^′= (A_µ+∂_µχ)dx^µ (11.71) なので、電磁ポテンシャルの各成分は

Ai →Ai+∂iχ, ϕ→ϕ−∂tχ (11.72) と変換される。マクスウェル方程式がゲージ変換に対して不変性はddχ= 0 という恒等式の帰結である。

(11.68)^は4階の完全反対称テンソルϵ^{λµνσを用いて}

ϵ^λµνσ∂_λF_µν = 0 (11.73)

と書くこともできる。これはビアンキ恒等式(Bianchi identity)^と呼ばれ ているものである⁵。以上のように、マクスウェル方程式は、特定の座標 系という表示によらない一般的な形式で書くことができる。特定の座標系 による表示とは、そのような座標系から見ている観測者にとっての法則で あるといえる。物理法則が座標系によらない微分形式で書けることは、物 理法則が観測者の見方によらない普遍的なものであるという事実を反映し ている。