第 3 章 Laplace 方程式、 Poisson 方程式 137
3.7 練習問題
(3)
fxx = cos2θgrr−2 cosθsinθ
r gθr+sin2θ
r gr+ sin2θ r2 gθθ, fyy = sin2θgrr+2 cosθsinθ
r grθ+ cos2θ
r gr+ cos2θ r2 gθθ. ゆえに
fxx+fyy =grr+1
rgr+ 1 r2gθθ.
問題 2. f: [0,∞)→Rが C2 級の関数である時、u(x) :=f(r),r :=kxk(x∈Rn)とおくと、
4u(x, y) =f′′(r) + n−1
r f′(r) (x∈Rn\ {0})
が成り立つことを示せ。(n = 2 の場合は前問からすぐ分かるが、n > 2 の場合にもすぐ分か るのは有益。
問題 3. (簡単な調和関数の例)
(1) u を、平面から原点を除いた領域 Ω = R2 \ {O} で定義された調和関数とする。u が r=p
x2 +y2 のみの関数である、すなわち1変数実数値関数f: (0,∞)→Rが存在して、
u(x, y) =f(p
x2+y2) ((x, y)∈Ω) が成り立つとする。このとき u を求めよ。
(2) R2 で定義された調和関数u が、n 次同次である、すなわち
u(λx, λy) = λnu(x, y) (λ >0, (x, y)∈R2\ {O}) が成り立つとする。このとき u を求めよ。
解答 (円板や円環で Laplace 方程式の Dirichlet 問題を解いたときに現れる関数(logr や調 和多項式) に慣れてもらおう、という主旨の問題である。)
(1) u(x, y) = f(r) (r=p
x2+y2)であるが、4u= 0 より ∂2
∂r2 + 1 r
∂
∂r + 1 r2
∂2
∂θ2
f(r) = 0.
ゆえに
f′′(r) + 1
rf′(r) = 0.
f′ =g とおくと g′ +g/r= 0. 移項して g′
g =−1 r.
これは変数分離形であるから簡単に解けて g(r) = C
r.
となる (C は任意定数)。ゆえに f(r) = Clogr+C′ (C′ は任意定数). これから u(x, y) = Clogp
x2+y2+C′. (2) 同次性の仮定から
u(rcosθ, rsinθ) = rnu(cosθ,sinθ).
ゆえに F(θ) = u(cosθ,sinθ)とおくと、
u(rcosθ, rsinθ) = rnF(θ).
4u= 0 であるから
∂2
∂r2 + 1 r
∂
∂r + 1 r2
∂2
∂θ2
(rnF(θ)) = 0.
ゆえに
n(n−1)rn−2F +nrn−2F +rn−2F′′= 0.
整理して
n2F +F′′ = 0.
これは
F(θ) =Acosnθ+Bsinnθ (A, B は任意定数)
と解ける (F は微分方程式以外に、周期 2π の周期関数でなければいけないが、それも 自動的に満たされる)。これから
u(x, y) =rn(Acosnθ+Bsinnθ).
問題 4. (円板におけるラプラス方程式のディリクレ問題) Ω ={(x, y)∈R2;x2+y2 <1}に おける Dirichlet 問題
4u(x, y) = 0 (in Ω)
u(x, y) = y3 ((x, y)∈∂Ω) を解け。
解答 U(r, θ) =u(rcosθ, rsinθ) とすると、境界条件は U(1, θ) = sin3θ (θ ∈[0,2π))
である。sin3θ を Fourier級数展開すると30 sin3θ = 1
4(3 sinθ−sin 3θ).
ゆえに、解の公式から
U(r, θ) = 1
4(3rsinθ−r3sin 3θ).
ここまでで解答として構わないが、x, y で表しておこう。i を虚数単位として、
r3sin 3θ = Im (x+iy)3 = Im [(x3−3xy2) +i(3x2y−y3)] = 3x2y−y3 から
u(x, y) = 1 4
3y−(3x2y−y3)
= 1
4(3y−3x2y+y3).
問題 5. (立方体領域におけるLaplace方程式の Dirichlet 問題) 立方体領域におけるLaplace 方程式の Dirichlet 問題
4u(x, y) = 0 ((x, y, z)∈(0,1)×(0,1)×(0,1)) (3.7.1)
u(x, y,0) =f(x, y) ((x, y)∈[0,1]×[0,1]) (3.7.2)
u(x, y, z) = 0 (z = 1 or x= 0, 1 or y= 0, 1) (3.7.3)
を Fourier の方法を用いて解け。
解答 まず (非同次の境界条件 (3.7.2)は置いておいて) u(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z) の形の関 数で (3.7.1), (3.7.3) を満たすものを求める。
X′′Y Z +XY′′Z+XY Z′′ = 0, (3.7.4)
X(0) =X(1) = 0, Y(0) =Y(1) = 0, Z(1) = 0.
(3.7.5)
(3.7.4) を XY Z で割って、
X′′
X +Y′′
Y +Z′′
Z = 0.
移項して
X′′
X =−Y′′
Y − Z′′
Z . この式の値は定数であることが分かるので、それを λ とおく:
X′′
X =−Y′′
Y − Z′′
Z =λ.
30具体的には3 倍角の公式sin 3θ= 3 sinθ−4 sin3θから求めるのが簡単である。あるいはsinθ= eiθ−2ie−iθ か ら、sin3θ =
eiθ−e−iθ 2i
3
= 1
8i3 e3iθ−3e2iθe−iθ+ 3eiθe−2iθ−e−3iθ
=−1 4
e3iθ−e−3iθ
2i −3eiθ−e−iθ 2i
=
3
4sinθ−14sin 3θ. Fourier級数展開する(= Fourier係数を求める)ために、積分を計算しないでも済む場合があ ることに注意しよう。期末試験では、計算の手間を省かせてあげるために、こういう問題を出すことが多い。理 解するよう努力してもらいたい。
これから
Y′′
Y =−
λ+ Z′′
Z
. この式の値も定数であることが分かるので、µ とおくと、
X′′ =λX, Y′′ =µY, Z′′ =−(λ+µ)Z.
まず X,Y について考えて、m ∈N, n ∈Nとして
λ=−(mπ)2, µ=−(nπ)2, X(x) = sinmπx, Y(y) = sinnπy.
最後に Z であるが、条件は
Z′′ = (m2+n2)Z, Z(1) = 0.
まず微分方程式の一般解は、簡単のため k=π√
m2+n2 とおいて Z(z) =Aekz+Be−kz (A, B は任意定数).
Z(1) = 0から
Aek+Be−k = 0.
ゆえに B =−Ae2k となるから、
Z(z) =Aekz+ (−Ae2k)e−kz =A(ekz−ek(2−z)).
そこで、
u(x, y, z) = X∞ m,n=1
Amn(eπ√m2+n2z −eπ√m2+n2(2−z)) sinmπxsinnπy とおいて、(3.7.2) が成り立つようにするには、
f(x, y) = X∞ m,n=1
Amn(1−e2π√m2+n2) sinmπxsinnπy.
ゆえに
Amn = fmn
1−e2√m2+n2π, fmn= 4 Z 1
0
Z 1
0
f(x, y) sinmπxsinnπy dxdy.
あるいは(この方が最後の式がコンパクトになる)、
Z′′ =k2Z, Z(1) = 0 の解として
Z(z) = sinhk(1−z) を取ることもできる。この場合は、
u(x, y, z) = X∞ m,n=1
Bmnsinh(π√
m2+n2(1−z)) sinmπxsinnπy
と表すことになる。
f(x, y) = X∞ m,n=1
Bmnsinh(π√
m2+n2) sinmπxsinnπy から
Bmn = fmn
sinh(π√
m2+n2). ゆえに
u(x, y, z) = X∞ m,n=1
fmnsinh(π√
m2+n2(1−z)) sinh(π√
m2+n2) sinmπxsinnπy.
(この問題は立方体の 1つの面でだけ非同次境界条件、残りの 5 つの面で同次境界条件を課し たが、少し考えると、同様にして 6つの面で非同次境界条件を課した一般の Dirichlet 問題を 解くことができる。)
付 録 A 歴史的なことなど
A.1 数学についての言葉
von Neumann 全集の最初の論文 “The Mathematician” から (授業で翻訳を紹介した ことがあるけれど、著作権の問題でここでは原文を引用する)
— that mathematical ideas originate in empirics, although the genealogy is sometimes long and obscure. But, once they are so conceived, the subject begins to live a peculiar life of its own and is better compared to a creative one, governed by almost entirely aesthetical motivations, than to anything else arid, in particular, to an empirical science. There is, however, a further point which, I believe, needs stressing. As a mathematical discipline travels far from its empirical source, or still more, if it is a second and third generation only indirectly inspired by ideas coming from “reality,” it is beset with very grave dangers. It becomes more and more purely aestheticizing, more and more purely l’art pour l’art. This need not be bad, if the field is surrounded by correlated subjects, which still have closer empirical connections, or if the discipline is under the influence of men with an exceptionally well-developed taste.
But there is a grave danger that the subject will develop along the line of least resistance, that the stream, so far from its source, will separate into a multitude of insignificant branches, and that the discipline will become a disorganized mass of details and complexities. In other words, at a great distance from its empirical source, or after much. “abstract” inbreeding, a mathematical subject is in danger of degeneration.
John Louis von Neumann (1903–1957) の業績: 量子力学の数学的基礎づけ、最初のコン ピューター ENIAC, プログラム内蔵式コンピューターEDSAC の開発、数値解析の父、ゲー ムの理論の創始者、原爆の爆縮レンズの発明…