おまけ : デルタ関数と基本解

以下のやりとりは半分は架空、半分は実話(実際にあった話を脚色した、ということ)。 甲 「超関数論と言っても、ちょっと聞いたことがあるくらいで、よく知らないのですが。」

乙 「関数を拡張した概念で、微積分が自由にできるように考えられたもの、とかいうけれど、んー、

短くうまく説明できる自信がないですね…Dirac のデルタ関数は知っているのかな？」

甲 「ええと、原点だけでピョコッと尖っているグラフを見た覚えが…それで δ(0) = +∞, δ(x) = 0 (x6= 0)

というような性質を持つとか聞いた覚えがあります。」

乙 「まあそうだけど、その式だけではデルタ関数を捉えきれてないね。できれば Z _∞

−∞f(x)δ(x)dx=f(0) (f は任意の連続関数) と言って欲しいな。じゃなかったら、せめて δ(0) = +∞ ^に換えて

Z _∞

−∞δ(x)dx= 1

を覚えてもらいたい。積分すると 2^とか 3 ^{ではなく、ぴたり}1となる程度の無限大だというこ とだね。」

甲 「はあ。で、これが超関数とどういう関係があるんでしょう？」

乙 「ああ、デルタ関数は普通の関数じゃないんだよ。」 甲 「無限大なんて値を取るからですか？」

乙 「うーん、どちらかと言うとハズレ。Lebesgue 積分論などで、無限大という値を取る関数を認 めたりするけど、デルタ関数はそういうような関数の仲間にもなれない。」

甲 「どこがまずいんでしょ。」

乙 「積分の勉強をしたとき『一点の測度は0 だから、一点での関数の値を変えても、積分の値には 影響がない』とか聞いたことありませんか？」(そういえば自分が教えたときに、ちゃんとそう 説明したっけ？ )

甲 「そう言えばそんな気もします」(覚えはないがこう言っておこう。)

乙 「そうでしょ。すると、デルタ関数はx= 0 ^{をのぞいて、値は} 0なのだから、その積分は定数 関数 0 ^{の積分つまり} 0と変わらないはずなわけ。

Z _∞

−∞D(x)dx= Z _∞

−∞0dx= 0 (D は原点以外では 0であるような任意の関数) この式の Dにデルタ関数 δ を代入すると矛盾するでしょ。」

甲 「じゃデルタ関数は存在しない。」

乙 「そう。積分論が展開できるようなまともな関数にはならない。だから超関数。(^{強引な説明だ} が、まあ、いいだろう。)」

甲 「そんなものがどうして役に立つのでしょう？」

乙 「ええと、そうねえ…数学的な説明としてはデルタ関数は

た た み こ み

畳み込みの単位元であるという性質が ある。」

甲 「畳み込みって何でしたっけ？」

乙 「Fourier 解析で習ったはずだから知ってるはずだけど。関数f,g に対して、

h(x) = Z _∞

−∞f(x−y)g(y)dy

で定義される h をf とg の畳み込みと言って、f∗g と書く、というやつ。畳み込みでなくて 合成積と習ったかも知れない。この式の g のところにデルタ関数を強引に代入してみると？」

甲 「???」

乙 「デルタ関数の特徴づけ(^{積分の変数を} y ^{に書き換えておく}) Z _∞

−∞f(y)δ(y)dy=f(0) (f ^{は任意の連続関数}) のf(y) ^{の代わりに}f(x−y) ^{になっているので、}

f∗δ(x) = “関数 f(x−y) のy= 0 での値” =f(x).

だから f∗δ =f.」

甲 「はあ。まだご利益がわかりません。」

乙 「例えば− 4 ^の基本解 E ^{というのは、}− 4E =δ を満たすということをノートの本文に書い ておいたけど、それから

u(x) = Z _∞

−∞E(x−y)f(y)dy (これは E と f の畳み込みE∗f に他ならない) で定義される u が− 4u=f を満たすことが次のように理解できるようになる。

− 4u=− 4(E∗f) = (− 4E)∗f =δ∗f =f.

ここで ∂

∂xj

(f ∗g) = ∂f

∂xj ∗g という公式も使わせてもらったけど。」

甲 「何か強力そうなのは分りました。後で考えてみます。」

乙 「デルタ関数は元々は物理学者が考えたくらいで、物理的な説明というのも難しくはないけど、

やってみようか？」

甲 「物理はあまり…」

乙 「あまり気嫌いしないで。例えば電磁気学的にデルタ関数は点電荷として解釈できる。」

甲 「は？ それはずいぶん簡潔な説明ですね。(それじゃわからないよ。)」

乙 「力学でも『質点』とか考えるけど、体積を持たない点が正の質量とか電荷を持つのって、よく 考えてみると凄い理想化だと思わない？ 密度(電荷量/体積) は無限大になるでしょ？」

甲 「ああ、そういうことですか。本当はとても小さな体積に電荷が分布しているけれど、体積を0 にした極限を考える(理想化) ということですね。」

乙 「そうそう。つまり Z _∞

−∞δ(x)dx= 1 は電荷の量は 1. それで

δ(x) = 0 (x6= 0)

は電荷が原点一点だけに集中している、ということ。そうか、単に点電荷と言うよりも、

デルタ関数は、電荷量 1 の点電荷 (単位点電荷) の電荷密度の数学的表現 と言った方が正確だな。」

甲 「まあデルタ関数の式のイメージはつきました。」

乙 「静電場の説明をしてあるところで、電荷密度ρ で電荷が分布しているとき、それが作る電場の 静電ポテンシャル (^静電位) ϕ^は

− 4ϕ=ρ

を満たすというのを説明したけど¹⁸、これを− 4 ^{の基本解の条件}

− 4E =δ と見比べると、(δ は単位点電荷の電荷密度なのだから)

基本解 E は単位点電荷の作る電場の静電ポテンシャルである

ということになります。基本解の『基本』のニュアンスが伝わるでしょう。」 甲 「ははあ。」

乙 「単位点電荷の影響『基本解』が分れば、任意の電荷の影響は数学的にすべて分る、とまとめら れるかな。」

18ノートには誘電率ε₀ という比例定数が書いてあるけど、単位を適当に取り替えてε₀= 1にしたと考えてく ださい。