23.6 複素計量空間
Cを体とする線型空間にも内積は定義できる。その場 合,内積は,
f :X×X →C (23.74)
という写像になり,その条件1)〜5)のうち, 3), 4)が 3’)f(u,v) =f(v,u)
4’)∀α∈C, f(αu,v) =αf(u,v)
と拡張される(上付きの横棒は複素共役を表す)。このよ うな内積を持つ,Cを体とする線型空間を「複素計量空 間」とか「複素内積空間」という。後に学ぶように, 量 子力学では,複素計量空間が大変重要な役割を果たす。
● 問641 複素計量空間X の内積f について,
∀u∈X, f(u,u)∈Rであることを示せ。
演習問題
演習問題12 式(23.70)について, 左辺どうしの内積
と,右辺どうしの内積を考えてみよう。すると,
⟨x2, x2⟩
=⟨π2 3 +
∞
∑
n=1
4(−1)n n2 cosnx, π2
3 +
∞
∑
n=1
4(−1)n
n2 cosnx⟩
(23.75) が成り立つ。
(1) 左辺は,以下のようになることを示せ：
⟨x2, x2⟩
= 1 π
∫ π
−π
x4dx=2
5π4 (23.76) (2) 右辺は,以下のようになることを示せ：
⟨π2 3 , π2
3
⟩ +
∞
∑
n=1
(4(−1)n n2
)2
(23.77) ヒント： 式(23.48),式(23.46)等。
(3) 以上より,次式が成り立つことを示せ：
1 14+ 1
24+ 1 34+ 1
44+· · ·= π4
90 (23.78)
演習問題13 熱力学と量子力学によると,どのような物 体も, その温度に応じた強さ・波長の光を発している。
この現象を熱放射という。太陽や白熱電球が光るのは熱
放射である。熱力学と量子力学によると, 理想的な物体 が発する熱放射は以下の式で表されることが理論的にわ かっている:
F(λ, T)dλ= 2πhc2 λ5
dλ
exp(λkhcBT)−1 (23.79) これを「プランクの法則」という。ここで, F(λ, T)dλ は,絶対温度T の物体の単位表面積から単位時間あたり に放射される, 波長がλとλ+dλの間にあるような光 のエネルギーである。h, c, kB はそれぞれ, プランク定 数・光の速さ・ボルツマン定数である。
上記のF(λ, T)を, 0から∞の波長範囲で積分する と, 絶対温度T の物体の単位表面積から単位時間あた りに放射される光のエネルギーB(T)が得られる。すな わち,
B(T) =
∫ ∞
0
F(λ, T)dλ=
∫ ∞
0
2πhc2 λ5
dλ exp(λkhcBT)−1
(23.80) である。この積分を実行してみよう(といっても, 不定 積分はできない)。まず,
s:= hc
λkBT (23.81)
とする。
(1)次式を示せ: B(T) = 2πkB4T4
h3c2
∫ ∞
0
s3ds
es(1−e−s) (23.82) (2) 0≤sであることに注意して, 次式を示せ:
B(T)
= 2πkB4T4 h3c2
∫ ∞
0
e−ss3(1 +e−s+e−2s+e−3s· · ·)ds (23.83) ヒント: 1/(1−x)のテーラー展開
演習問題14 上の問題の続き。
(1)nを1以上の任意の整数とする。次式を示せ:
∫ ∞
0
s3e−nsds= 6
n4 (23.84)
ヒント: 部分積分を繰り返す。
(2)上の式と式(23.83)より,次式を示せ: B(T) = 2πkB4T4
h3c2
∞
∑
n=1
6
n4 (23.85)
(3)次式を示せ(ヒント: 問12):
B(T) = 2π5k4B
15h3c2T4 (23.86)
(4)ここで, σ:= 2π5kB4
15h3c2 (23.87)
とする。このσを,ステファン・ボルツマン定数と呼ぶ。
これを使うと,
B(T) =σT4 (23.88)
と書ける。これをステファン・ボルツマンの法則とい う。h, c, kB の値を調べて, σの値を計算せよ。また, σ の値をネット等で調べて,君の計算結果と比較せよ。
(5) 君の体表面から, 熱放射によって, どのくらいの熱 量が単位時間あたりに発するか, 見積もれ。それはデス クトップパソコンの消費電力と比べて大きいか? 小さ いか?
注: 諸君は「スペクトル」という言葉を聞いたことがあるだ ろうか。例えば,有機化合物の同定に使われる,赤外線吸収ス ペクトルというものがある。化合物に電磁波（赤外線）を当 て,それぞれの波長（もしくは波数）の電磁波がどのくらい吸 収されるか,をあらわす。その背景には,どんな波形の電磁波 も,様々な波長（波数）の正弦波（三角関数）の波形をした電 磁波の重ね合わせと考えられるという事実が存在する。それ はもちろん,電磁波の線型性のおかげ（後述）なのだが,任意 の波形を三角関数で分解するという発想は,ここで見たフーリ エ級数展開そのものである。
ついでに指摘しておくと,諸君はバネについたおもりの運動 の解析をたくさんやってきたが,それは,例えば有機化合物の 中の電子に電磁波が当たったときに,電子がどのように振動し て電磁波を吸収するかを表現する数学的モデルの原点である。
-4 -2 2 4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
1st order
O
x
y
y=x
-4 -2 2 4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
2nd order
O
x
y
y=x
-4 -2 2 4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3rd order
O
x
y
y=x
-4 -2 2 4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
4th order
O
x
y
y=x
図23.1 関数y=xのフーリエ級数展開。式(23.67) の右辺で,波数1, 2, 3, 4のそれぞれまでで和を打ち きったもののグラフを上から並べた。−πからπ ま での範囲でよく合うことに注意(それ以外では合わ ない)。
23.6 複素計量空間 81
2 4 6 8 10 12 14
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
1st order
O
x
y
y=x2
2 4 6 8 10 12 14
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
2nd order
O
x
y
y=x2
2 4 6 8 10 12 14
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3rd order
O
x
y
y=x2
2 4 6 8 10 12 14
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
4th order
O
x
y
y=x2
図 23.2 関 数 y = x2 の フ ー リ エ 級 数 展 開 。式 (23.70)の右辺で, 波数 1, 2, 3, 4のそれぞれまで で和を打ちきったもののグラフを上から並べた。−π からπまでの範囲でよく合うことに注意(それ以外で は合わない)。
1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
1st order
O
x
y
1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3rd order
O
x
y
1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
5th order
O
x
y
1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
7th order
O
x
y
1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
9th order
O
x
y
1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
11th order
O
x
y
図23.3 式(23.73)のフーリエ級数展開。式(23.73) の右辺で,波数1, 3, 5, 7, 9, 11のそれぞれまでで和 を打ちきったもののグラフを上から並べた。−πから πまでの範囲でよく合うことに注意(それ以外では合 わない)。