§ 6.4 理想気体のエントロピー変化

話を理想気体に戻そう

^†603.

エントロピー変化は

, 3

通りの式で与えることがで きる

.

圧力

,

容積

,

温度のどれが求めやすいか

,

測定しやすいかは

,

場合による

^†604.

そこで

,

来るべきときに備えて

,

全ての表式を整備しておくことが重要である

.

以下では

,

強度変数としての比エントロピー

s=S/m

および比容積

v =V /m

で表現するが

,

エントロピーおよび容積で表現してもよい

^†605.

†599この2例も, もちろん,理想気体に限定されない.

†600[注意]問題文に等温と書かれてもいないのに,積分の中身を簡単にしたいという本能からか, 温 度を勝手に積分記号の外に出したがる者が多いので,注意を要する. なお,この本能はもっとも であるがゆえに,決して馬鹿にできない.

†601[用語]正確には「断熱過程」だけでは不十分で,「可逆断熱過程」というべきである(追って詳 述).

†602[用語]断熱過程を,等エントロピー過程(isentropic process)ということがある(追って定義).

†603エントロピーは理想気体に限定されない. しかし,理想気体の場合は計算が簡単なので,まずは, その式変形に十分に馴染むことに主眼をおく.

†604これまで学んだ定圧過程, 定容過程,等温過程(さらに断熱過程)が体現している.

†605実は,容積か比容積かは問題とはならない. 全て無次元の分数で現れるからである. よく眺めよ.

§ 6.4.1 (T, v)

表現

改めて

,

比エントロピーの定義式

(6.14)

から出発し

,

第一法則にしたがい

, (

単 位質量あたりの

)

理想気体の状態方程式

(3.11)

に頼りながら変形を進めよう

^†606:

ds|{z}≡

定義

d^′q T |{z}=

第一法則

du

T +pdv T |{z}=

理想気体

=c_V dT

T +Rdv

v (6.17)

したがって

,

ds=c_V dT

T +Rdv

v (6.18)

であり

,

これを熱平衡状態

1

から

2

まで定積分すれば

^†607

∆s=s₂−s₁ =c_V ln (T₂

T₁ )

+Rln (v₂

v₁ )

(6.19)

ここに

, ∆s=s₂−s₁

である

^†608.

むろん

,

微小量と有限量のどちらで表現してもよい

.

実際に役立つのは有限量 ではあるが, たとえば

(6.18)

から, さらに何らかの式変形を実行する際に出発点と なるのは, 微小量の式である. したがって, 双方が重要なのはいうまでもない.

§ 6.4.2 (p, v)

表現

^†609

(6.18)(6.19)

から

T

を消去して,

p

を導入することを考える. 理想気体の状態

方程式

(3.11)

より,

T = pv

R (6.20)

である

.

この微分をとると

(

微小変化を考えると

),

積の微分公式より

, dT = d(pv)

R = pdv+vdp

R (6.21)

†606単位質量当たりの表式をまとめておく—— ds≡d^′q/T, du= d^′q−pdv, du=cVdT,pv=RT.

†607[解析学I]積分は微分の逆演算として定義されるものではない. 微分と積分は,それぞれ全く独 立な演算として定義される. 微分と積分が互いに逆の演算であることは,結果である. これを, 微分積分学の基本定理(fundamental theorem of calculus)という.

†608慣れないうちは,面倒でも,s2−s1と書き下すことをすすめる. 案外,∆s=s1−s2 と添え字1 と2を書き間違える者が多いからである.

†609初見では,計算過程をやや煩雑に感じるかもしれないが,方針と方法論は極めて明快である.

である

^†610. (6.20)(6.21)

を

(6.18)

に代入しよう

: ds=cV

pdv+vdp R

R

pv +Rdv v

=c_V (dp

p +dv v

)

+Rdv v

=c_V (dp

p )

+ (c_V +R)

| {z }

cP (Mayer)

(dv v

)

=cV

(dp p

) +cP

(dv v

)

(6.22)

やや煩雑に感じるかもしれないが, 3 行目から

4

行目において, 比熱差の式

(Mayer

の式

)

を使うだけである

^†611.

ゆえに

,

次式が導かれた

:

ds=c_Vdp

p +c_Pdv

v (6.23)

そして, 定積分すれば, 次式も直ちにうる:

∆s=cV ln (p2

p₁ )

+cPln (v2

v₁ )

(6.24)

§ 6.4.3 (T, p)

表現 問題

44.

次式を導け.

ds =c_PdT

T −Rdp

p (6.25)

∆s=c_Pln (T₂

T1

)

+Rln (p₂

p1

)

(6.26) [

ヒント

]

処方箋は同様である

.

理想気体の状態方程式に忠実に従い

, (6.23)

から

v

を消去して

,T

を導入せよ

.

問題

45.

理想気体の単位質量あたり

“

ではない

”

エントロピー変化に対して成立す

†610[別解]積の微分公式に頼らず,全微分から理解してもよい. すなわち,T =T(p, v)とみなして,

全微分dT(p, v)を書きだし, (6.21)との一致を確かめよ.

†611使わないという選択肢もあるだろう. しかし,この変形には物理的に大きな意味がある. cV と R の2つもの情報を調べることと,cP たった1つを調べることのどちらが賢いだろうか. 容易 いだろうか. 後者に決まっている. その目的が工学応用にあるならば,なおのこと,表式は簡潔 で少ない変数で話を閉じる方が良いに決まっている.

る次式を導け

.

同時に

,

両辺の次元が

[J/K]

であることを確かめよ

. dS =CV

dT

T +mRdV

V (6.27)

dS =CV

dp p +CP

dV

V (6.28)

dS =C_PdT

T −mRdp

p (6.29)

ドキュメント内 (A2) , 0, (ページ 117-120)