§ 2.9 計算問題とその解法

[

証明

] (i)

外界からの入熱はゼロである

. (ii)

サイクルゆえに

,

状態量である内部エ ネルギーの変化はゼロである

. (iii)

熱力学第一法則

(2.8)

から

,

仕事を考察すると

,

W = 0

あるいは

d^′W = 0 (2.41)

をうる

.

ここで

(i)

と

(ii)

を使った

. [

結論

]

仕事は一切取り出すことができない

^†336.

外界からの熱の供給なしに

,

仕事を得ることができて

,

系は永久に動き続け

,

われ

われが何も不自由しない

——

それは理想にすぎないことを

, (2.41)

が教えてくれた

.

問題

10.

温度が一定の過程

^†338

において

,

圧力

p

と容積

V

のあいだに

,

pV = const. (2.42)

が成立し

,

かつ

,

内部エネルギー

U

に対して

,

U = const. (2.43)

も成立する気体を考える

^†339.

熱平衡状態

1

において

,

圧力が

p₁,

容積が

V₁

であっ た気体を

,

圧力が

p₂

になるまで準静的に圧縮すると

,

気体は熱平衡状態

2

に至った

. 1)

熱平衡状態

2

における気体の容積を求めよ

.

問題文中の記号だけで表現せよ

. 2) p₁

と

p₂

の大小関係を不等式で表現せよ

.

根拠も述べよ

.

3)

式

(2.42)

右辺の定数を,

p₁

と

V₁

を用いて決定せよ.

4)

過程

1→2

において, 外界から気体に「された」仕事を求めよ.

5)

圧縮に伴い

,

外界と気体のあいだで熱の交換がなされた

.

熱は

,

外界から気体

,

気体から外界

,

どちらへ移ったか

.

その量も含めて答えよ

.

6) p₁ = 1 atm^†340, V₁ = 1ℓ^†341, p₂ = 3 atm

のとき

, 4)

と

5)

の数値を計算せよ

.

単 位は

J

で答えよ

.

なお

, 1 atm = 101325 Pa, 1ℓ = 10⁻³m³, ln 3 = 1.1

とする

^†342.

†338[用語]等温過程(isothermal process)とよぶ(§5).

†339[補足]このような気体を理想気体といい, (2.42)をBoyleの法則(§3で詳述), (2.43)をJouleの 法則とよぶ(熱力学IIで詳述). いま覚えなくともよい.

†340[補足] 1気圧のことを1 atm といい, 101325 Pa に等しい. 一般常識に属する数値ではあるが, 暗記しなくともよい. それよりも, この数値を知らずとも解答できることを確かめよ.

†341[基礎] 1ℓ= 1000 cm³ は一般常識といえるが,覚えなくても試験では困らない. 将来的に恥をか

くかもしれないが.

†342[重要]本資料では,記号lnはNapier数eを底とする自然対数,記号logは10を底とする常用 対数とする. 数学とは異なり,物理学においては, 記号 ln と log の定義と使い分けが, 書物や 科目によって異なることが多い. しかし,単に,底が何かをその都度確かめればよいだけである.

問題

11.

大気圧下

^†343 p₀ [Pa]

において

,

質量

m [kg]^†344,

比容積

v₁[m³/kg]

の水に

, Q1→2 [J]

の熱を加えて準静的に膨張させた

.

すると

,

水の全てが水蒸気

^†345

に変わっ た

^†346.

変化前

(水)

を熱平衡状態

1,

変化後

(水蒸気)

を熱平衡状態

2

とする

^†347. 1)

水の容積を

,

比容積と質量を用いて表現せよ

.

2)

本問に限らず

,

一般に

,

内部エネルギー

U

の微小変化が

,

dU = d^′Q−mpdv (2.44)

で与えられることを示せ

(m

は定数とする). 第一法則に忠実に考えればよい.

3)

本問では

,

内部エネルギーの増加量

∆U

が

,

次式で与えられることを示せ

.

∆U =Q_1→2−mp∆v (2.45)

4) ∆U

がわかれば

,

エンタルピーの増加量

∆H

を知ることもできる

.

実際に

,∆H

を与える次式を導け

^†348†349:

∆H =∆U+mp∆v (2.46)

5) Q_1→2 = 2257 kJ,m= 1 kg,p₀ = 0.1013 MPa,v₁ = 0.001 m³/kg,v₂ = 1.673 m³/kg

であるとき,

∆U

および

∆H

を計算せよ

^†350.

6)

状態

1

のエンタルピー

H₁

の値を計算せよ

.

エンタルピーの

“

増加量

”

ではなく

,

†343[重要]これを“定圧過程”と訳することが最重要である. 難しいのは, このような解釈だけであ

るといってよい(試験においては注釈を与える). 事実,大気圧にさらされているならば,それは 定圧に他ならない.

†344[重要] SI単位系では, gではなくkgを当たり前のように使うことに注意を要する. 念のため,本

問では単位を付すが,以後,省略するので自身で補完されたい.

†345[補足]この水を飽和水,蒸気を飽和蒸気とよぶことがある.

†346[発展]むろん,理想気体(§3)とは限らないことに注意せよ.

†347[指針]慣れるうちに, 諸君が,状態に番号を付ける作業を補完してほしい(今回は出題者側が与 えた). それによって,解答の方針を格段に定めやすくなる.

†348[重要]本問題においては成立するが,いつでも成立する式ではない(確かめよ).

†349(2.44)(2.45)とエンタルピーの定義式(2.34)の助けを借りよ. 定圧過程であることに注意せよ.

†350[意図]内部エネルギーとエンタルピーが, たしかに増加していることを確かめる意図の出題で ある. 単位換算の練習のため,あえて接頭辞をつけているので,注意せよ.

エンタルピー

“

自体

”

である点に注意せよ

^†351.

ただし

,U₁ = 30 kJ

として

^†352,

他 の量は

5)

の数値を利用せよ

.

7)

状態

2

における内部エネルギー

U₂

およびエンタルピー

H₂

の値を計算せよ

^†353.

基礎

8.

式

(2.45)

や

(2.46)

の右辺第

2

項には質量を含むのに

,

右辺第

1

項に質量を 含まない

^†354.

この表記にどのような利点があるか

.

どのような動機か

^†355.

†351[重要]“変化量”についての理解が疎かであったり, ∆がついているか程度の軽微な点と軽視し

ていると致命傷に陥る. 熱力学は細部への理解が極めて重要である. なお,エンタルピーの定義 H =U+pV を用いる.

†352これは, 計算問題のための仮想的な数値である.

†353[ヒント]内部エネルギーの“増加量”を利用する.

†354[応用]いうまでもなく,第1項と第2項の次元は正しい(確かめよ).

†355工学的観点から考えてみよ(出題範囲外).

ドキュメント内 (A2) , 0, (ページ 64-68)