§ 5.3 等温線と断熱線の比較

p–V

線図において

^†558,

等温過程を表す曲線を等温線

,

断熱過程を表す曲線を 断熱線とそれぞれよぶ

.

等温線の傾きよりも断熱線の傾きの方が急となる

.

§ 5.3.1

等温線の傾き

理想気体の状態方程式は

,

等温過程においては

, Boyle

の法則に他ならない

.

次 式が等温線という

“

曲線

”

を記述する

^†559:

p(V) = C

V =CV⁻¹ (5.39)

ここに

, C

は任意定数であって

^†560,

任意の状態の状態量を用いて

, C =pV =p₁V₁ |{z}=

過程1→2

p₂V₂ =· · · (5.40)

†557[考え方]いつ,何が測定できるかはわからないから,その時のために備えておくべきである. そ の意味で,多様な表式に変形しているのである.

†558[注意]例年,V–p線図を描いてしまう者が一定数いる. もちろん,グラフの軸に何をとるかは個 人の勝手であって,たとえば縦軸にpではなくV を選んだグラフは,決して非難されるもので はない. しかしながら, V–p線図を描いてしまうと, 仕事の幾何学的計算という p–V 線図の 最大の効用において,何ら威力を発揮しないこと,うまくゆかないことに気づくはずである. 何 らかの意図や利点に即してV–p線図を描いているのならば理解できるが,もしもそうでないな らば(単なるうろ覚えや深い考えがないのならば),「縦軸にpを,横軸にV をとる」と覚えて しまう方がダメージは少ない. むろん,なぜ縦軸にpをとるのか,なぜ横軸に V をとるのかの 意義と利点を理解した上で覚えるべきである. その意味で,深い考えもなく,受動的に縦軸にp を,横軸にV をとっているだけの者がいるならば,それはV–p線図を描いている者と同レベル であって,p–V 線図の意義を見直すべきである.

†559[重要(誤記あり)] “直線”ではなく“曲線”である. なぜならば,関数形が反比例だからである. 実 際に描いてみよ.

†560C の任意性ゆえに,p–V 線図を無数の等温線で埋め尽くすことができる(微分方程式の解と曲 線群の議論と対応づけられる).

などと書くことが可能である

^†561†562.

いっぽう

,

傾きは

,

以下のように計算される

: dp

dV = d

dV CV⁻¹ =−| {z }CV⁻² =

C=pV を代入

−p

V (5.41)

このように

,

任意定数を消去し

,

傾きを状態量だけで表現することが重要である

^†563.

§ 5.3.2

断熱線の傾き

計算の処方箋は何ら変わらない

.

理想気体の断熱過程の状態方程式は

, p(V) = D

V^κ =DV^−κ (5.42)

であったが

,

断熱過程の任意定数

D

は等温過程の任意定数

C

とは異なり

^†564, D=pV^κ =p₁V₁^κ =p₂V₂^κ =· · · (5.43)

とかけるがゆえに

,

断熱線の傾きは次のように導かれる

:

dp

dV =−DκV^−κ−1 =−pV^κκV^−κ−1 =−κp

V (5.44)

等温線と同じく

,

断熱線も直線ではなくて曲線である

(

理由を考えよ

).

注意すべきは

,

圧力

p

も容積

V

も

,

もちろん正値であるが

,

傾き

dp/dV

は等 温と断熱の両過程において負値をとることにある

.

†561Boyle–Charlesの法則より,pV /T が一定であるが,T も一定である. ゆえに,T も任意定数C

の中に吸収される. これは, Boyleの法則がBoyle–Charlesの法則の一部であることと等価であ る.

†562[考え方]もちろん, これ以外の形を用いてもよい. 理想気体の状態方程式の表式は無数にある

から(状態量が無数にあるから)である. 自身が一番便利と考える形を用いれば, あるいは, 変

形すればよいだけのことである. いまの場合, pの V 導関数(変化率)に興味があるのだから (p–V 線図を考えるのだから),気体定数や温度を含まない形を望むのが自然であろう.

†563等温線と断熱線の比較において,任意定数を含めてはならない. 理由はすぐ先にわかる.

†564[注意(誤答多数)]等温と断熱は異なる過程である. ゆえに, 同じ任意定数を用いては元も子も

ない. しかしながら,例年,pV =Cと pV^κ=C のように同じ記号を使う者が一定数見受けら れる. C と D を区別せねばならない. 当たり前のこととはいえ,初学者が陥りやすい罠である であるので, 軽視すべきではない. もし,ここで注意喚起されなければ,この誤答を自身が回避 できていたか,などを検討することをすすめる. これは,「任意定数」の意味をはき違えた者の 誤答であるが,この誤答に限らず,諸君は,そもそも「任意定数とは何か」を正確に理解できて いるだろうか. 深く考えたことすらなかったのではないか.

§ 5.3.3

断熱線の傾きの方が急

——

断熱過程とエネルギーの有効利用

(5.41)(5.44)

の差異は比熱比

κ

の有無だけである

.

その簡潔さゆえに

,

これ だけを根拠に

,

安直に傾きを比較したくなるのは自然な感情といえるが

,

もちろん ナンセンスである

.

なぜならば

,

右辺の

p

も

V

も変数であって

,

縦横無尽にその 値を変えるからである

.

そこで,

p–V

線図内の

1

点, すなわち定数として, ある熱平衡状態

0

の状態量

p₀

と

V₀

を考えてみる. これらを

(5.41)(5.44)

に代入し, その絶対値をとると

^†565,

p₀ V₀

|{z}

等温

< κp₀ V₀

|{z}

断熱

(5.45)

なる大小関係がわかる

.

なぜか

. (4.25)

すなわち比熱比

κ > 1

を用いたのであ る

^†566.

したがって

,

等温線よりも断熱線の傾きの方が急と結論づけられる

^†567.

問題

43.

熱平衡状態

1 (

圧力

p₁,

容積

V₁)

にある理想気体を

,

熱平衡状態

2 (

容積

V2)

まで

,

準静的に膨張させる方策として

,

等温膨張と断熱膨張の

2

通りを考える

.

つぎの諸量を, 断熱と等温の

2

通りに対してそれぞれ計算し, 断熱と等温での大小 を比較せよ:

(i)

状態

2

の圧力

p₂, (ii)

気体がする仕事

W_1→2, (iii)

内部エネルギーの変化

U₂−U₁, (iv)

気体への入熱

Q_1→2.

[

ヒントと出題意図

]p–V

線図に等温線と断熱線を描き

,

両過程での仕事と熱の大き さを正負も含めて比較する

.

第一法則に基づいて

,

理想気体の状態方程式

(

理想気 体の断熱過程の状態方程式も含む

)

の助けを借りながら

, 1

つ

1

つを丁寧に調べる

. [略解] (i)

等温の方が高圧

^†568. (ii)

等温の方が大きい

^{†569†570†571}. (iii)

等温はゼロ.

†565絶対値をとったのは,単に負号を考慮するのが面倒だからであって,もちろん負号付きのまま比 較してもよい. 関数形を見れば,等温線も断熱線も傾きが負であることは容易にわかるだろう.

†566[復習]κ >1に対する意識がまだ浅いかもしれないが,根拠をすぐさま説明できるようにすべき である. 事細かに覚えておかずとも,定義κ=cP/cV とcP =cV +R だけから,速やかに再現 される(比熱も気体定数も正だからである).

†567この事実を,次節以降, Carnotサイクル(§7)や理論最大熱効率を学ぶ上で,すぐさま活用する.

†568p–V 線図に, 等温線と断熱線を描き, 傾きに着目する. 比熱比の性質κ >1を思い返す.

†569仕事を与える領域の大きさを眺める. 膨張ゆえに,仕事を“する”.

†570[重要]同じ容積を膨張させたいときに, 等温よりも断熱的に膨張させる方が仕事が少なくて済 むことは,エネルギーの損失を減らす(エネルギーを有効に使う)という意味において, 応用上 極めて重要な性質である. 実際に, Carnotサイクル(§7)において,早速この性質が多用される.

†571[例]音は空気中を断熱的に伝わる. 大昔, Newtonは等温を仮定して理論式を導き, 音速は 300

断熱は減少

(U₁ > U₂)

する

^†572. (iv)

断熱はゼロ

.

等温は

,

する仕事と同じだけの熱 を外界から受け取る

^†573.

§ 5.3.4

注意

理想気体の熱容量の定義式

d^′Q=CdT (5.46)

において

,

等温過程の定義式

dT = 0

を代入すると

,

右辺がゼロとなるがゆえに

,

d^′Q= 0 (5.47)

が得られる

.

すなわち

,

「等温過程ならば断熱過程」であるかのような奇妙な結果 が得られる

.

これは誤りである

.

しかし

,

その理由に踏み込むことは困難であるので

,

本資 料では

,

これが誤りであるという事実のみを述べるに留める

.

m/s程度と予測したが, 実測値との明らかな不一致が彼を悩ませた. Laplaceは断熱を仮定し, 温度変化をも考慮することで, これを改善し, 音速の実測値340 m/sと理論値の一致に成功し た. 実に100年程度を要した.

†572[等温]幾度となく現れた, 理想気体の等温過程の第一法則dU =CVdT を思い返す(なぜこの 式を第一法則とよべるのかも復習せよ). [断熱]第一法則を立てる.

†573[重要]大抵何かが消えることに気づいただろう. 理想気体の断熱過程ならば入熱がゼロで,等温 過程ならば内部エネルギー変化がゼロである. すると,仕事と内部エネルギー変化が(断熱),仕

事と熱が(等温),それぞれ一対一となる.

ドキュメント内 (A2) , 0, (ページ 107-111)