断熱圧縮過程 4 → 1—— 断熱膨張ゆえに, やはり, 放熱はゼロである:

Q4→1 = 0 (7.33)

†690[重要!!]さらにいうと,κ−1>0, 1−T_L/T_H >0,m >0,R >0 の全てが根拠として必要で ある. とにかく,細部の細部まで確認を怠ってはならない. 相当数の者が,これらの記載なしに, 試験において失点している. 正負の判定は,一切の感情や感覚を捨てて,機械的に行うべきもの である.

[同時に・・・]直感的あるいは感覚的理解も重要といえる. なぜなら,機械的に判断した正負の検

算になるからである. 膨張時には仕事をすること,すなわち,仕事が正であることに違和感を感 じないか. 丁寧に確かめよ.

†691[重要]この計算で安易に満足せず,内部エネルギーが減少し,そして,温度も低下したというと ころまでを,その理由にまで踏み込んで理解せよ.

†692符号も含めて,入熱とする仕事とみなしてもよい. 符号が相殺される.

†693したがって,QL>0,W3→4<0,Q3→4<0 などがわかる.

問題

53.

断熱圧縮過程

4→1

において

,

内部エネルギー変化とされる仕事を求 めよ

.

それらの正負を数式だけを根拠に判定せよ

.

[

略解

]

放熱がゼロであることに注意して

,

有限量で第一法則を立てる

:

∆_4→1U(=U₁−U₄) = −W_4→1 (7.34)

“する”仕事W_4→1

の積分計算を行うと, 次式をうる:

W4→1 = mRT_L κ−1

(

1− T_H T_L

)

<0 (7.35)

する仕事は負値であるから

^†694,

便宜上, 改めて

“される”仕事を^W_4→1 ≡ −W_4→1

とおくと

W^4→1 = mRT_L κ−1

(T_H T_L −1

)

>0 (7.36)

となり, 正の

“される”仕事をなすこと(すなわち,

仕事を

“される”こと)

がわか

る

.

さらに

,

第一法則より

,

^W_4→1 =∆_4→1 =U₁−U₄ >0 =⇒ U₄ < U₁ (7.37)

したがって, される仕事が正で, 内部エネルギーは

“増加”し^†695,

される仕事と 内部エネルギーの増加量は等しい

.

問題

54. p–V

線図を利用して得られた以上の情報から

, Carnot

サイクルの熱効率

η

を求めよ.

T–S

線図から求めた熱効率

(7.15)

との一致を示せ.

[解]

求めた入熱

Q_L

と放熱

Q_H

を, 任意のサイクルに対して成立する

(7.7)

に代入 する

^†696.

放熱を正値

(Q_L>0)

と定義した点に注意すると

η = 1− Q_L

Q_H = 1− mRT_Lln(V₃/V₄)

mRT_Hln(V₂/V₁) = 1− T_Lln(V₃/V₄) T_Hln(V₂/V₁)

| {z }

ここの処理に尽きる

(7.38)

†694根拠を数式だけから述べよ(題意).

†695仕事をされて気体が圧縮されるのだから,気体は高温になり,内部エネルギーが増加するという イメージが対応する.

†696本当に任意であったか. 余計な仮定を持ち込んではいなかったか. これらを1つ1つ注意深く 確かめよ.

いかにも題意を満たしそうな予感がする

.

残された課題は

,

容積比が

^†697 V₃

V4

= V₂ V1

(7.39)

を満たすか否かを確かめることに尽きる

.

基本に立ち戻って

^†698,

過程

2→3

および過程

4→1

が断熱過程であることを思い 返す

.

両断熱過程においては

,

理想気体の

Poisson

の状態方程式

(5.26)

が成立した

:

T V^κ−1 = const. (5.26)

これを

,

実際に両過程に適用する

:

T₂V₂^κ−1 =T₃V₃^κ−1 (

断熱膨張

2→3) (7.40) T₄V₄^κ−1 =T₁V₁^κ−1 (断熱圧縮4→1) (7.41)

温度の添え字を

, T1 =T2 =TH

および

T3 =T4 =TL

とおき直す

:

T_HV₂^κ−1 =T_LV₃^κ−1 (7.42) T_LV₄^κ−1 =T_HV₁^κ−1 (7.43)

両式をうまく割り算する

:

(V₂ V₁

)κ−1

= (V₃

V₄ )κ−1

=⇒ V₂ V₁ = V₃

V₄ (7.44)

これを

(7.38)

に代入すれば

,

題意をうる

: η= 1− T_Lln(V₃/V₄)

T_Hln(V₂/V₁) = 1− T_Lln(V₂/V₁)

T_Hln(V₂/V₁) = 1− T_L

T_H (7.15)

†697とくに内燃機関工学の分野においては,圧縮比あるいは膨張比ということがある.

†698[指針]このようなときには,各過程に対する状態方程式をまず書き下し,それを基に検討すると いう戦法が有効であったことを思い返そう.

問題

55. “

サイクル全体

”

における内部エネルギーの

“

変化

”

がゼロであること

^†699†700,

すなわち

,

計算によって次式を示せ

^†701:

∆_{1→2→3→4→1}U =∆_1→2U+∆_2→3U +∆_3→4U +∆_4→1U|{z}= 0

題意

(7.45)

問題

56.

サイクル全体における正味の入熱

Q_{1→2→3→4→1} =Q_1→2+Q_2→3+Q_3→4+Q_4→1 (7.46)

および, 正味のする仕事

W1→2→3→4→1 =W1→2+W2→3+W3→4+W4→1 (7.47)

を計算せよ

.

さらに

,

正味の入熱が

, T–S

線図を利用して幾何学的に求めた値

Q_{1→2→3→4→1} = (S_B−S_A)(T_H −T_L) (7.16)

と等しくなることをも確認せよ

^†702.

ドキュメント内 (A2) , 0, (ページ 136-139)