曲面上の微分形式について ： ストークスの定理の応用まで

平成

28年

度

学 位 論 文

曲面上の微分形式 について

―ス トー クスの定理の応用 まで一

兵 庫 教 育 大 学 大 学 院 教 育 内 容 ・方 法 開 発 専 攻 Ⅳ

l 1 5 1 5 1 F

学 校 教 育 研 究 科 認 識 形 成 系 教 育 コ ー ス 朝

長

耕

平

第

1章

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 第

2章

2.1 2.2 2.3 第

3章

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 第

4章

4.1 4.2 4.3 曲面 とは 接 ベ ク トル ベ ク トル場 微 分形 式 と外微 分 一次微 分形 式 テ ンソル場 。. リー マ ン計 量

2.4

高次微 分形 式 …

2.5

外微 分 .

2.6

曲線 liの微 分形 式 と曲面 上の微 分形 式 ス トー クスの定理 曲線 上 での積 分 曲面 上で の積 分

volllme form

… … … 。 一 一 … … ・ 境 界 つ き曲面 上での積 分

._…

… … … … ス トー クスの定理 ス トー クスの定理 の応用 プ ラニ メー ター

4.1.1

リニ ア ・

4.1.2

ポー ラー

プラニメーター

・プラニメーター 擬柱 の体積 ガ ウス曲率

..

4.31

接続 形 式 曲面 と接ベ ク 準備

._.

平面 曲線 とは トル

10

10 12 22 37 50

54

54 61 65 67 76 81

87

87 97 109 121 131

135

135 135 141 146 149 . . . . . 152

4.3.2

ガ ウス曲率

4.4

ベ ク トル場 の零点 における指数 参考 文献 ・・・・・・・・・・

・・・ 158

170

154

曲面 とは

曲面 とは、素朴 な 日常表現 でい えば滑 らか に曲が った面 の こ とで あ り、 例 えば円柱 の側 面 や球面 は曲面 で あ る。 しか し曲面 を きちん と定 義す る には どうすれ ば よいだ ろ うか。高校 で は、平面 内の曲線 の表示 と して、関 数の グ ラフ、陰 関数 表示 の ほか、媒介変数表示 を学 習す る。(実際 には こ れ らの表示 が どれ も局所 的 にはほぼ同等 で あ る こ とを

1章

で確 認す る。) 本稿 で は、 この うち媒 介変数表示 の 方法 を適用 して

3次

元 空間 内の曲面 とい う概 念 を定 義 して い く。 しか し曲線 と違 い、 曲面 に おいて は、例 え ば球面 の よ うに、1つの媒介変数表示 で曲面 の全体 を表せ ない こ とが一般 的で あ る。 そ こで、媒 介変数 表示 を曲面 の局所 的表示 に用 い、 その小域 の和集合 と して 曲面 を定 義す る。 こ う した定 義 に よ り、 円柱 や球面 な ど の特 別 な曲面 で はな く一般 的 な曲面 を、解析 学 的 手法 を用 いて考察 す る こ とがで きる よ うにな る。

研 究の 目的

本研 究 の 目的 は、 曲面 上 にお けるス トー クスの定理 を示 し、 その い く つか の応用 を述 べ る こ とで あ る。 ス トー クスの定理 とは、境 界 の あ る曲 面上 での積 分 とそ の境界 とな る曲線 上で の積 分 の関係 を述 べ る定理 で あ り、 式で記 述 す る と とな る。 た だ し、ω は向 きづ け られ た曲面

S上

の

1次

微 分 形 式で あ り、

D⊂ Sは

境 界 つ き曲面 で あ る。 この定理 は、電磁 気学 な ど物 理 の分野 と も関係 深 い こ とが知 られてい る。

次にス トークスの定理の応用であるが、まずは実用的な応用例を紹介

する。その

1つ

目は、プラニメーターとよばれる面積測定器の原理であ

ω Ｄ √ ノ ∂ 〓 ω ″

√

ん

4 る。 プラニ メー ター とは、地 図 な ど平面 上 の図形 の輪 郭 をな ぞ るこ とに よ りその面 積 を計 測 す る装 置 の こ とで あ る(図

1を

参 照)。 本 論 文 で紹 介 す るプ ラニ メー ター は旧型 の機械 式 タイ プで、電 気 的電子 的に動作 す る 部 分 は一切 な く、純粋 に機 械 的 な機構 の みで動 作 す る。どう して境 界 を なぞ るだ けで プ ラニ メー ター は面 積 を計 測 で きるのだ ろ うか。 閉領 域

D

がrν 平面 内 にあ る とす れ ば、

Dの

面積 は ∫ん d"ανとな る。 この重積 分 に対 して ス トー クスの定 理 を用 い る と、

Dの

面 積 はそ の境界 上 の積 分 で 表 す こ とがで きる。器 具 の先端部 分 にあ る目印 が ∂

Dに

沿 って

Dの

まわ りを

1周

す る際、 プラニ メー ター は、 この

Dの

境界上 の積 分 を うま く抽 出す る よ うな機 構 とな って い るので あ る。 図

1:プ

ラニ メー ター 実用 的 な応用例 の

2つ

目は、擬 柱 とよばれ る立体 の体 積 を求 め る公 式 を示す こ とで あ る。距離 〃 だ け離 れた平行 な

2平

面 α,β上 に、それ ぞれ 領域

DO,Dlが

あ り、

DO,Dlの

境界 を

0≦

ι≦

1で 1周

す る動 点 をそれ ぞ れPO(ι),Pl(ι)と す る。 この とき、線分 の族{pO(ι )Pl(ι

)10≦

ι≦

1}お

よ び れ 、

Dlで

囲 まれ る立体 を擬柱 とい う (図

2を

参照)。 DO、

Dlの

面 積 を

E(0),E(1)と

す る。 また、α,β と平行で それ らのち ようど中間 の位 置 の平 面 と擬本主との共通 部分

D:の

面積 を

E(:)と

す る。 この とき、擬本主の体 積l′ は次 の式で表 され るので あ る。 十 １ 一 ２ ／ ｆ ｌ ヽ Ｅ ４ ＋ ０ Ｅ ／ １ １ ヽ 〃 一 ６ 〓 ソ

即う

角柱、 円柱 な どの柱体 は擬 柱 の特 別 な場 合で あ り、 兵庫 県神 戸市に ある ポー トタ ワー はデザ イ ン性 を備 えた擬柱 として有名 で あ る。 ところでJi述の よ うな応 用例 もある ものの、 ス トー クス の定理 とは本 来、微 分位 相 幾何 学 の分野 にお いて も重要 な意 味 を もつ もの であ り、 つ ま り、数 学 のな か での有 用性 も また顕 著 であ る。数 学 内での ス トー クス

の定理 か らの発展 と して、本論 文 で は、 ベ ク トル場 の零 点 に お け る指数 の総 和 とガ ウス曲率 の積 分値 との関係 を解 説 す る。 ガ ウス曲率 κ とは、 曲面

Sに

よって定 まる曲面 上の関数 で、 曲面 の 「曲 り具 合 」 を示 す もの で あ る。 κ の積 分値 は

Sに

よって定 まる値 とな るので、 ベ ク トル場 の零 点 にお ける指 数 の総 和 はベ ク トル場 に依 らず一定 とい うこ とにな る。例 えば

Sを

球 面 とす れ ば、実 は κ の積 分値 は4π とな り、球 面 上 の ベ ク ト ル場 の零 点 に お ける指数 の総 和 は2と な る。 この こ とか ら、球 面 上 の ベ ク トル場 は零 点 を必 ず もつ こ とがわか る。

本論文の特徴

本論 文で は、

R3内

の曲面 を考察対象 として い るので、 曲面 に関 す るあ らゆ る こ とを

R3の

座標 を用 いて記述す る こ とも可能 で あ り、す なわ ち、 局所 的 にはす べ て局 所座標 を用 い て記 述す る こ とも可能 で あ る。 しか し ここで は、 な るべ く局所座標 に依 存 しない概 念 を、局 所 座標 を用 い ない 方法で記述す る こ とを心掛 けた。 その よ うな概 念 として は、接ベ ク トル、 余接 ベ ク トル、 リーマ ン計量等 が あげ られ るが、特 に、本稿 で は微 分形 式 とい う概念 を積極 的 に導入 して議論 を展開す る。微 分形 式 は、高等学校 の

数学においても表面的ながら用いられている概念である。積分 ″ ∫

(″)α_"

に現れる∫し

)drは

ヽ直線区間 降

,司

上に定義された

1次

微分形式を標準座

標を用いて表 したものと考えられる。そのように考えるとき、高校で学

6 習す る置換 積 分公 式 は、積 分 を、 直線 区間 にお け る局所 座標 を変 えて記 述 し直す こ とに相 当す る。 この よ うに微 分形 式 は、幾何 的 な対 象 (線 分・ 曲線 。曲面等

)に

対 して、その上で積 分 を実行す るための 「対象」にな る もの と考 え られ るが、曲面 において は線分や 曲線 とは違 い、「重積 分」 を 考 える こ とにな るので、

2次

の微 分形 式が登場 す る。 この よ うな微 分形 式 を用 い る議論 は、 多 くの場 合、 高次 元 の多様 体 にお け る議 論 で導 入 さ れ るが、今 回、 あ えて

3次

元 内の 曲面 とい う低 次 元 において も、微 分形 式 を積極 的 に用 いて考 察 した。 そ の理 由 は、 む しろ低 次 元 の 曲面 におい て イ メー ジ を伴 って微 分形 式 を議 論 す る こ とが、 高次 元 の多様 体 や そ こ で の微 分形 式 を理解 す るための一助 とな り、啓 蒙 的 と考 え られ るか らで あ る。 多様 体 とは曲面 を一般 化 した もので あ り、数 学 的 な理 論 と して は 容 易 に一般 の η次 元 を扱 うこ とが で きるが、 その議 論 を幾何 的 に想像 す る こ とは易 し くない。 この こ とは、初 学者 が多様体 を学 習 す る上 で の障 壁 とな って い る と考 えたので あ る。 ただ し、 ス トー クスの定理 を上述 の プ ラニ メー ターや擬 柱 の体 積 公 式 に用 い るだ けで あれ ば、微 分形 式 まで をもちだ した議 論 は大 がか りす ぎるで あ ろ う。 そ こで、今 回 は微 分位 相 幾何 学 の重 要 な結 果 の ひ とつで あ るポア ンカ レホ ップの指 数 定理 まで を 紹介 した。 実 際、微 分 形 式 を用 い た曲面 の考 察 を行 うこ とに よって、 ガ ウス・ ボ ンネの定理 で表 され る よ うに、 曲面 上の解 析 学 か ら得 られ る結 果 と曲面 の位相 的 な性 質 の間 にあ る関係 を見つ ける こ とがで きる と言え るだ ろ う。 つ ま りこれ らは、 ベ ク トル場 や 高次微 分 形 式 とい った概 念 を 曲面上 で展 開す る こ とに よって得 られ た恩恵 とい える。

本論文の本

曲 面 と接 ベ ク トル に つ い て 第 1章 では、空間内の曲面の定義 し、曲面の接ベク トル空間を定義する。 空間内の曲面 を定義す る前 に、 まず は平面 内の曲線 を定義す る。空間 内の曲面の定義 は平面 内の曲線 の定義の 自然 な拡張 とな ってお り、 どち らも媒介変数表示 を用 いて定め られる。 次 に、曲面

S11の

点

Pに

おける接ベ ク トル平面 を定義す る。 まずは、

S

llの_{関数 ∫の微分可能性 を局所座標 を用いて定義する。次 に、}

S上

の点

P

における関数.メ ・ の “微分"に相 当す る概念 として方向微 分 を定義する。 こ

ま             ｐ ｌ     ＞ 揚 ′ ︲ ヽ ＼         ｐ ，         ヽ 、 ︲ ︲ ′ ′

規

喘

微   る 。

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_け

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勿

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コ 妨 と表す 。 つの接 ／ ＼ ６ に 間   ■ 点

睦

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上

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の

各

ク び Ｓ ょ べ   よ   ヽ と る と び 場 れ 間 ょ ル さ 空 と ト 成 ル ル ク 生 ト ト ベ で   ク ク の 微 分 形 式 と 外 微 分 に つ い て 第

2章

では、

1次

微分形式 を定義 し、テ ンソル積や外積 とよばれ る

1次

微分形式の間の演算 を定義す る。

TP(s)か

ら

Rへ

_{の線 型写像 を し}

(S)上

の

1次

形 式 とよぶ。■

(S)上

の1 次 形 式全体 写

(S)は

ベ ク トル空間 とな り、写 (S)を

Sの Pに

お ける余接 ベ ク トル空間 とよぶ。 さらに、

S上

の各点 に1つの余接 ベ ク トル を対応 さ せ る写像 を

S上

の

1次

微 分形 式 とよぶ。 次 に、

1次

微 分形 式の間 の演算 を

2つ

定義す る。1つはテ ンソル積 とよ ばれ る演算 で あ り、 これ を用 いて

S上

の リーマ ン計量 プを定 義す る。 リー マ ン計 量 が与 えれ らた曲面

Sで

は、

Sの

各点 での接 ベ ク トル の大 きさを 決 め るこ とがで きる。 なお、

Sは

R3に

埋 め込 まれてい る こ とか ら、

R3の

内積 を利用 して誘 導 計 量 とよばれ る リー マ ン計 量 を

Sに

与 え る こ とがで きる。 も う

1つ

は外積 とよばれ る演算 で あ り、 これ を用 いて

S上

の 高次 微 分形 式 を定 義す る。 さ らに、た次微 分形 式か ら ん

+1次

微 分形 式へ の写 像 と して外微 分 αを定 義す る。 ス トー ク ス の 定 理 に つ い て 第

3章

で は、 ス トー クスの定理 とよばれ る曲面

S上

での積 分 に関す る 定理 を証明す る。 まずは、空間内の曲線 θの向きを θの局所座標 を用 いて定 め、θ上で の積分 を局所座標 を用 いて局所的 に定義す る。 しか し、例 えば閉曲線 の ように、θ全体 を 1つ の座標近傍で覆 うことはで きない場合、θ全体での

8 積 分 を行 うこ とがで きない。 そ こで、

0を

端 点 のみ を共有 す る よ うな小 区間 に分割 し、小 区間での積 分の和 として曲線 θ上 での積 分 を定 義す る。 次 に、 曲面

SLで

の7ri分_{を定 義す る。 曲線 の場 合 と同様 に、局所 的 な} 積 分 の和 と して

S上

で の積 分 を定 義す る。 曲面 上 の局 所 的 な領 域 と して 長 方形領 域 を用 い るが、 これ は曲線 上 の小 区間 に相 当す る。 曲線 の場 合 と異 な る ところ は、辺 だ けを共有 す る長方形領 域 で

Sを

覆 うこ とがで き るか ど うか は明 らかで はない こ とで あ る。 したが って、 互 い に重 な り合 う長 方形領 域 と

1の

分割 とよばれ る曲面 上 の関数 を用 いて

S上

で の積 分 を定 義す る。境 界 の あ る曲面 で積 分す る場合 、境 界 を含 む長 方形領 域 の と り方 に工夫 し、領 域 との共通 部 分が 半長 方形領 域 とな る よ うに とる こ とに よって 、境 界 の あ る曲面 上 で の積 分 を定 義す る。 境 界 の 向 きを曲面 の 向 きに よ って定 め る と、境 界 上での積 分 を定 義す る こ とが で きる。境 界 つ き曲面 上で の積 分 とその境 界 での積 分 の関係 を述 べ るス トー クスの 定理 は次 の 式で表 され る。 これ は、αω とい う特別 な形 を した

S上

の

2次

微分形 式 を境界 つ き曲面

D

Lで

積 分 す る場 合 、 その積 分値 は ω を境 界 ∂

D上

で積 分 した値 に一致 す る こ とを表 して い る。 面積 分 を線 積分 に置 き換 える こ とがで きる とい う 意 味 で、 この定理 は重 要で あ る。 ス トー ク ス の 定 理 の 応 用 に つ い て 第

4章

で は、 ス トー クスの定理 の応用例 を紹介す る。 前半で は、現 実 の場面 で活用 されて い る機 器 と公 式 を紹 介 す る。 プラ ニ メー ター とは面 積 を測定 す るた めの機 器 の こ とで あ り、機械 式 タイ プ の プラニ メー ターの原 理 をス トー クスの定理 を用 いて 明 らか にす る。 ま た、研 究 の 目的 で述 べ た擬柱 とよばれ る立体 につ いて、擬柱 の体 積 を容 易 に求め る こ とが で きる公 式の成 り立 ち を、 ス トー クスの定理 を用 いて 考察 す る。 後 半で は、 ス トー クスの定理 の数学 内で の活用 と して、 ベ ク トル場 の 零 点 にお ける指数 の総和 とガ ウス曲率 の積 分値 の間 に成 り立つ関係 を述 べ る。volunle formと よばれ る曲面

Sに

備 わ る

2次

微分形 式 とガ ウス曲率 κ と却 ぎれ る 引 こ備 わ 綱 数 を ‥ 籠 分 した値 か

dは S賄

晰 ω Ｄ √ ノ ∂ 〓 ω ご

√

ん

である。一方、

S上

の θ∞級 のベ ク トル場 χ と

Xの

零点

Pバ

1≦ _づ≦?η₎ に対 して

Xの

P,に

おける指数indP′_(χ)と よばれ る整数値 が定義 され る。 1lldp.(χ_{)は ベ ク トル場 χ と零点}P」 に依存す る値であるが、実 は、

S上

の 零点のま歌 の総和 魯

hdptlX)は

券

_,4κ

Vdと

一致 し、_魯

hda(χ

)は

S固

有の値 とな る。 この ことか ら、

Sを

三角形領域 に分割 し、その分割 に 基づ くベ ク トル場 を

Sに

与 えることによって、ガ ウス・ボ ンネの定理 と よばれ る曲面 上の曲率の積 分値 と曲面 の形状の性質 を関係 づ ける定理 を 示す ことがで きる。

10

第

1章

曲面 と接 ベ ク トル

本章 で は、次 の

2つ

の こ とに重 きを置いて い る。

1つ

目は、平面 内での 曲線 を媒 介 変数 表 示 を用 いて定 義 し、 その 自然 な拡 張と して 曲面 を定 義 す る こ とで あ る。

2つ

目は、曲面 に接 す るベ ク トル を曲面 内の座標 を用 い て方 向微 分 と して定 義す る こ とで あ る。 1。

1

準備

本論 文で は、微 分 を用 いて曲面 を考察 しその性 質 と応 用 を調べ る こ と を 目的 とす る。「曲面 」や「曲面 上での微分」について論 じる前 に、それ に必要 な基礎 的諸概 念 を予 め ま とめて お く。 以下 、

Rは

実数 の集 合 を表 す。ηを

1以

上 の 自然数 として、η個 の実数 を並べ た組 (πl,■2,・ …,"n)の 全体 か らな る集 合 をRπ で表す。Rれ は η次元 ユー ク リッ ド空 間 とよばれ る。

p=(ρ

l、ν2・ …・ヽβれ)∈ R″ お よび正 の実数 r・ に対 し、 Ｉ ｒ ｒ り ヽ ｔ 〓 ｐ β ,・2)∈ Rη

を

い

研→

とお く。 定義 1。

1.lυ

⊂R″ お よび

PCRれ

に対 して

Pが

υの内点で あ る とは、正 の実数

7が

存在 して

Bレ

ir)⊂ υ とな る ときの こ とをい う。 また、

Pが

び の内点の とき、υ を

Pの

近傍 とい う。 定義 1。

1,2び

⊂Rη とす る。びの任意 の元 “ が びの内点 の とき、υ をR・ の開集合 とい う。 また、び の補 集合 υ

Cが

開集合 の とき、 υ をRη の閉集 合 とい つ。 Rれ 自身 はRη の開集合 であ り、0も Rれ の開集合で あ る。つ ま り、

R2と

のはRれ の開 集合 で あ りかつ閉集 合 とな る。

と て る ぃ あ っ で に

卿鋤

ハ

_︲

刊

“

帥

ｒ

 

 

一

_．

役

伊

け     も あ を

φ

 

関

数

_い

φ

_︲

_，

と

き

_、

φ

ヽ ｒ   る き θ あ と は で す φ 数 表 像 関 と 写 級 定義

1,1.3υ

をRれ の開集 合 と して、

P∈

υ とす る。 υ 上の実数値 関数

∫が点

Pで

θ

T級

関数であるとは、次をみたすことをいう。

点Pに おいて関数∫の

1階

から

r階

(γ

∈ヽ までのすべての

偏微 分係 数 が存 在 し、 しか も,ノ 自身 も含 めて それ らがす べ て 点

Pで

連続 で あ る。

関数 ノが点

Pに

おいて任意の自然数

7‐

について θr級 関数であるとき、

ノを点

Pで

の θ∞級関数 という。また、開集合 び ⊂び上の任意の点

Pで

関数 ∫がσ

r級

関数

(7・

∈

Nま

たは

7｀

=∞

)の

とき、∫をび 上でのσ

r級

_関

数 という。特に、関数 ノが定義域 υ上で α 級関数であるとき、∫はθ

r

級関数であると略していうことがある。

定義 1.1.4 つ い て 、 υ、

yを

それぞれRη、R初 の開集合 とす る。写像 φ:υ →

yに

き、 6・ 本論 文で は空 間 内 の曲面 に関 す る微 分幾何 学 につ いて考察 す る こ とを 中心 に進 め る。従 って、微 分積 分学 の結果 につ いて これ を利 用 す る立場 を とる こ とと し、逆 関数 の定理 (定理 1.1.5)と 合成 関数 の微 分 法 の定理 (定理

1.16)は

成 立す るこ とを認 めて議論 を進め るこ とにす る。 どち らの 定理 も一般 次 元で成 り立つ もので あ るが、本論 文 で扱 う対 象 が曲線 また は曲面 のため ここで は

1次

元、

2次

元 お よび

3次

元 で記 載 す る。逆関数 の 定理 の証明 は[11(p・107、 定理10.1)を 、合成関数 の微 分法 の定理 の証 明 は Fl(p・131、 定理

6.6)を

、 それ ぞれ参 照 され たい。 定理 1。1。

5(逆

関数の定理

)1次

元、

2次

元お よび

3次

元での逆関数の定 理 は、それぞれ以下の とお りである。 (1)θ∞級関数

J.:R→ Rを

考 える。ν∈

Rに

対 して

ならば、βの近傍 びと∫

(p)の

近傍

1/が

存在してノ

:び

→

7は

全単

射であり∫

1は 1/上

で

0∞

級写像 となる。

#。

)キ 0

第

1章

曲面 と接 ベ ク トル

12

(il)0∞ 級写像 ∫

:R2→

R2を

考 え、∫

(r,7)=(.A(T,ν

):.ん(.r、7))と す る。P=(1,1,I,2)∈

R2に

対 して

券

OL"

緋価

,』

ならば、

Pの

近傍 υと∫

(P)の

近傍

yが

存在して∫

:υ

→

1/は

全単

射であり∫

1は

y上

でθ∞級写像 となる

1。 (五i)0∞ 級 写 像 ∫ :R3→ R3を 考 え 、 ∫(",ν,Z)=(■ (χ ,り,Z),ん(■ ,υ,Z),ん(・ ,ν,2))

とする。p=(Pl,p2,P3)∈ R3に 対 して

単

鱗

,ル

祠

単 ぃ

,ル

厠

掌 続 ψ嗣

_∂z

単ι

lッ

ト

月拳ぃ

,ル

冽 拳価ψ

嗣

∂′・ ∂■ ∂′ ∂ ∂z キ 0 ∂:I ∂ν ∂z

ならば、

Pの

近傍 υと∫

(P)の

近傍

yが

存在 して ∫

:び

→

7は

全単

射であ り∫

1は

yLで

θ∞級写像 となる。

定理

1.1。

6(合

成関数の微分法の定理

)」,υ

がそれぞれ

R、

R3の 開集合で、

写像 ∫

:f→

R3、

関数

g:υ

→

Rが

∫

(I)⊂

υを満たすとする。∫が

ι∈fで 微分可能であ り、θが

2=∫

(ι

)=(κ

l(ι),・2(ι),■3(ι))で

微分可能

であるとすれば、合成関数 gO∫ はιで微分可能であり、次が成 り立つ。

皐ι

l,12J3掌

い

,ル

祠 拳ぃ

,ル

祠

ほ■

0,QO,陶

0_υ

ダ

_争

_+券

_争十

発争

ど′

∂πl 1。

2

平面 曲線 とは

曲面 について述べ る前 に平面曲線 について考 えることにす る2。 次節 では、平面 曲線 の 自然 な拡張 として曲面 を定義づ ける。 まず は、平面

Lの

曲線 を式で表示す る方法 を

3つ

挙 げる。 これ らは高 校 での数学で も扱われている。

1本_{論文で は、 正方行列}

_Aの

_{行列式 を AIまたはdetAと 表記す る。} 2た_{だ し、本論 文では 自己交差す る曲線 は考 えない。}

1つ

め は、∫(r)を 変数

rの

ある区間で定義 された一価 関数 とし、曲線 を関数

ν

=ノ(・) (1.1) の グ ラフ と して与 え る方法で あ る。(1.1)を 曲線 の

(r座

標 につ いての)陽 関数表 示 とい う。

2つ

め は、

Fを

r,り の関数 と した とき、 F(・,ν

)=0

(1.2)

をみたす点

(■ ,ソ)の

全体の集合として曲線を与える方法である。

(1.2)を

曲線の陰関数表示という。例えば、■

2+ν

2_1=0は

単位円を表 している。

3つ

めは、実数直線上の区間rか らR2へ の写像 φの像

Imφ

として曲線

を与える方法である。φ

(ι

)=(∫

(ι),g(ι))の

とき、

1・

=∫

(1), y=g(ι

), tCI

(1.3) を曲線 の媒 介変 数 表 示 とい う。 この とき、ιを媒 介変数 とい う。例 えば、 .I=COS t,ソ =Sill tは 単位 円 を表 してい る。 この後 に曲線 とい う概 念 を定 義 づ けるが、 どの表示 を曲線 の定 義 と し て用 い るべ きで あろ うか。そ こで、 この

3つ

の表示 について それ ぞれの関 係 を調べてみ る。 曲線 が陽関数表示

y=ノ

・(2)で 与 え られている とす る。 この とき、F(・.、 グ

)=ν

―∫(・)とお くことによ り、曲線 を陰関数表示 で表 す ことがで きる。 また、

r=t,ν

=∫

(ι)とお くことによ り、曲線 を媒介 変数表示 で表す ことがで きる。 つ ま り、陽関数表示 は陰関数表示や媒介 変数表示 の特別 な場合 とみなす ことがで きる。 で は、陰関数表示 された 曲線 を陽関数表示 や媒介変数表示 で表す ことがで きるだろ うか。実 はあ る性質 を持つ曲線 に対 してそれは可能であ り、 この ことを次の命題 1.2.1 で示す。 命題 1.2。

lσ

∞級関数

F:ぱ

→

Rに

よ り集合 σがF(■,ν

)=0と

陰関数 表示で表 されている とす る。θ 上1の点

Pが

をみたすとき、

(#0・

券

0)キ

0 ０ キ ヽ １ ， ノ ０

カ

丁

０

釘

丁

／ １ １ ＼

φ

(0)

=2#0=

第

1章

曲面 と接ベク トル

14

となるような

Rか

らR2へ のθ

∞級写像 φ

(φ(ι)=(.′(ι),9(ι)))を

用いて、

点Pに 十分近い θ上の点

(T,7)を

χ=∫

(ι

),

ν

=g(t)

と媒介変数表示で表すことができる。さらに

このとき、二生 キ。でぁる。

調 仮

定

か

ら

(t争

0,tテ

0)キ

0よ

り

、

名

子

0と

場

テ

0の

う

ち

ど

ち

ら

か

一

方

は

0で

な

い

。

①

_lテ

oキ

0の

と

き

、

θ

∞

級

写

像

G:R2→

R2を

G(・,υ

)=(・

,F(■,ν )) とす る と {(t,0)∈ R21a―

C<ι

<α

十

(}⊂

y

f∈ (-6・ 6)に対 して、 φ(ι

)=C 1(a tt t,0) (1・

4) とす る。 この とき、

G(2)=C(a,b)=(α

,F(a,b))=(α

,0)で あるか ら、 φ

(0)=G 1(α

,0)=p

である。 また、φ(′

)=(′

(′),9(チ))とす る と、 ノ.(1)=φ(1)の第

1成

分

=Gl(α

+t,0)の

第

1成

分 =θ +ι

(1.5)

とな るか ら、

#0=(幾

評

0,4争

0)=←

,1争

0)キ

0

を得 る。 さ らに、 F(φ

_{(t))=F(G 1(α}

tt t,0))

=G(G 1(a ttι

.0))の 第

2成

分

=0

で あ るの で、φ(ι)で表 され る点 は全 て θ 上 の点 で あ る。

最後に、写像Gに よってび∩

0と

y∩

{(・,ν)∈

R21y=0}は

1対

1対

応 してい るので、点

Pに

十分近い θ上の点 (r,ν)を

r=∫

(ι), ν

=g(t)

と媒介変数表示で表す ことがで きる。

o3子

oキ

0の

と

き

、

σ

∞

級

写

像∬

:R2→

R2を

″(・ 、り

)=(F(■

,ダ),y) とす る と

1°

三°

￨=#0キ

0 で あるか ら、定理 1.1.5ol)よ り、″ :υ →

yが

全単射 かつ ″ 1 が θ∞級写像 となる ような

Pの

近傍 υ と ″ (p)の 近傍

yが

ぁる。

P=(a,b)∈

R2の

とき、正の実数(を次が成 り立つ ように とる。 {(0、

ι

)∈

R21b_`<ι

<b+〔

}⊂

レ

′

ι∈(一F.6)に 対 して、

とする。

φ

(ι

)=″

1(0,b+ι )

第

1章

曲面 と接ベク トル

16

このとき、

(i)と

同様にして φ

(ι

)=(バ

ι

)、b+ι)と

表すことができ、

φ

(0)=″

1(0,わ

)=P

#0=(1争

0,議

評

0)=(1争

0,う

キ

0

を得 る。 さらに、 F(φ

_{(1))=F(I 1(0,b tt}

ι))

=″

(I 1(0,b+ι

))の第

1成

分

=0

であるので、φ(ι)で 表 され る点 は全て σ上の点である。

最後に、写像∬ によってυ∩

Cと

y∩

{(γ

、

υ

)∈

R21r=0}は

1対

1対

応 してい るので、点

Pに

十分近い

C上

の点(r.ν)を ・

=∫

(ι), ν=g(ι) と媒介変数表示で表す ことがで きる。 と表 す こ とがで きる。 したが って、こ′∩

Cの

点(■・,ν)は ■=α

+1,ν =g(1)

ν) 系 表       を は   証 □   数           た 関             ま 陰           標 と           座 一 一               は

と表 す こ とがで き、 び ∩θ は ″につ いての陽関数 表示 ν

=g(″

―α)で表 す こ とがで きる。 (五)の とき、υ∩θ は りについての陽関数表 示″

=∫

(ν 一b)で表 す こ と □ がで きる。 で は、媒 介 変数 表示 で表 され る曲線 は陰関数 表示 や陽 関数表 示 で表 すこ とがで きるだ ろ うか。 それ は次 の命題 1.2.3が 示 して い る。 命 題

1.2.3集

合 θ が θ∞ 級関数 φ

:R→

Nに

よ り (・

,y)=φ

(ι

)=(∫

(t),g(t)) と媒 介変数 表示 で表 され て お り、 き、

0の

近傍 υ ⊂R、

Pの

近傍

7

存在 して次 をみ たす。 {(・,ν)∈

R21に

,ν

)=φ

(ι)ι

φ

O=p、

_4争

0キ

0と

す

る

。こ

の

と

⊂R2、 及 び σ∞ 級関数

F:R2→

Rが

∈υ

_}={(α

.,ν )∈ y′IF(r,ν

)=0}

さ

ら

にのと

き

、

_(#0・

_券

0)キ

0で

あ

る

。

証

_{明弓争0=(#0,+0)キ}

0よ

り

、

#o,#0の

少

なく

と

も どち らか 一方 は

0で

ない。

(1)#ω

)キ

0の

と

き

、

σ∞級関数 チ

・

(ι)に

ついて、定理

1.1.5(1)よ

り

0の

近傍 υ⊂

Rと

バ

0)

の近傍 ソ⊂

Rが

存在 して、次の条件をみたす。

∫

:υ

→

yは

全単射であり、ノ

1は

θ∝級関数

y′ _={(・r,ッ_)∈

R21T∈

yか つν∈

R}と

おき、

(・',7)∈ y′

について

聰勁

=ッ

ー

ズ

∫

‐

0)と

す

る

。

こ

こ

で

、

_1テ

キ

0と

な

る

こ

と

に

注

意す る。 まず、(ム ダ

)が

ι ノ・(ι)よ り(∬,y)∈ となる。

∈υについて

(■ ,プ

)=φ

(ι)と

表されるとき、■

=

y′

である。また、

F(■

、

y)=ク

(ι)―

ク

(ノ 1(バ

_ι

)))=0

第

1章

曲面 と接 ベ ク トル

18

逆 に、F(′・、_プ

)=0を

みたす(■ ,ν)∈ 1/′ について、1/′ の定 義 よ り■∈

yで

_{あるのでι=∫}

1(・ )と

おくとι∈υである。また、

F(■,ν

)=0

よりν

=g(∫

1(・))=g(ι)で

ある。したがつて、

F(“

,y)=0を

みた

す

(・ ,ッ)∈

ア はι∈υを用いて

(π ,ν

)=φ

(ι)と

表すことができる。

鰤

)#①

)キ

0の

と

き

、

θ∞級関数.ノ(1)について、定理1.1.5(1)よ り

0の

近傍 υ ⊂

Rと

″(0) の近傍

y⊂

Rが

存在 して、次 の条件 をみたす。 ノ:υ →

yは

全単射であ り、g 1は θ∞級関数

レ

ア

′

={(r,ダ

)∈

R21r∈

Rか つν∈

1/}と

おき、

(・ ,ν)∈ y′

について

Fけ

,0=r∫

_0‐

_0)と

する

。ここ

で

、

_1争

キ

0と

なること

に

注

意する。

まず、

(■

、

y)が t∈

υについて

(■ ,ソ

)=φ

(ι)と

表されるとき、

y=″

(′ )

より

(″ ,ソ)∈ y′

でぁる。また、F(",y)=∫

(ι)一

チ

・

(,1(ク

(1)))=0と

なる。

逆に、

F(7.y)=0を

みたす

(■ ,ν)∈

ア について、

y′

の定義よリソ∈

1/ア

であるので オ

=g 1(ν)と

おくとι∈υである。また、

F(■,ν

)=0

より■=∫

(gl(ν

))=ノ

(ι)で

ある。したがつて、

F(■,ν

)=0を

みた

す

(ム

ッ

)∈

ア はι∈びを用いて

(r,ν

)=φ

(ι)と

表すことができる。

□ 命題 12.1、 系 1.2.2、 命題 1.2.3よ り、集合 θ ⊂

R2と

点

P∈

σ に対 し て次 の

3つ

は同値 で あ る こ とがわ か る。 ●

_Pに

十 分近 い部 分で θ を陽関数表示 で表 す こ と キ 0 をみたす θ∞級関数

F:ぱ

→

Rに

よ り、

Pに

十分近 い部分で θ を F(・,ν

)=0

(#0ヽ

＼ ︱ ， ノ ｐ

エ

鈎

と陰関数 表示 で表 す こ と

●

φ

O=P、

#0キ

0

をみたす θ°

C級

写像 φ

:R→

R2に

よ り、

Pに

十分近 い部分で θ を (・ .ν

)=φ

(t) と媒介変数表示で表す こと ここまで平面 内の曲線 について述 べて きたが、空間 内の曲線 について も 同様 の ことが示 され る。 そ こで ここで は、媒介変数表示 を用 いて次 の よ うに平面内、空間内の曲線 を定義する。 定義 1。2.4η

=2ま

たは 3と す る 3。 _{0を 含む開区間 び ⊂R、 σ∞級写像} φ:び → Rη が (1)φ :υ → Inlφ は全単射で、逆写像 も連続

ω任

意

の

ι

∈

υ

で

_#キ

0

をみたす とき、組(υ:φ ,IInφ)を 平面 内の曲線 片 とい う。 また単 にIInφ だ けを曲線 片 とい うこ とが あ る。 定義 1。

2.5"=2ま

た は3とす る。

0⊂

Rη とす る。任 意 の

P∈

σ に対 し て、

7∩

θ が 曲線 片 とな る よ うな

Pの

近傍

y⊂

Rη が あ る とき、θ を曲 線 とい う。 この とき、θ∞ 級写像 φ:υ →

y∩

σ が全 単射 とな る開 区間 υ ⊂

Rが

ある。 この組 (y∩ 0,φ )を θの座標 近傍 とい う。

y∩

0内

の任意 の点

_Pに

対 して φ l(P)=ι と表 され る とき、ιを(y∩σ,φ)に 関 す る

Pの

局所座標 とい う。座標 近傍(y∩θ,φ)の こ とを(7∩

Ct)と

書 くこ とが あ る。 また、

Cの

座標近傍 の族 {(礁 ∩σ,φα)}α∈

4が

あって

C=`、

_L(ア

、∩の とな る とき、 {(11∩ θ、φα)}α∈

Aを

θ の座標 近傍 系 とい う。 この 後 に、 曲線 上 で 定 義 され た関 数 な どを考 え る際 に は座 標近 傍 を用 い て 考 え る こ とに な る。 そ こで、局所 座標 間 の座 標 変 換を表 す 関 数 が σ ∞ 級 関 数 で あ る こ とを保 証 して お く。 34以 上の ′,に対する

R"内

の曲線も同様に定義できるが、本論文で扱う曲線は11に 空間内のものであるため ″≦3と している。

20 第

1章

曲 面 と接 ベ ク トル 命 題

1.2.6曲

線

Cの

2つ

の座 標 近 傍

φl:鴫 →

1/1∩

σ

_(銑

⊂

R、

4⊂

R2、

_φ

_lは

θ∞級写像

)

φ

2:眺

→ ち ∩

0(1/2⊂

Rヽ 1/2⊂ R2、

_φ

_2は

σ∞級写像

)

が、И ∩ち キ0で あるとき、φ21(И ∩

1/2)に

おいて、φ

tt1 0

φ

2は

ο∞級

関数である。

証明

鮮 内の曲線について示すが、R3内 の曲線についても同様である。

φ

2(′0)∈

И となる

10∈

助 を考える。このとき、任意の

10∈

_φ

21(yl∩

b)

においてφ

「

10φ

2が

σ∞級関数であることを示す。

φ

2(′

0)=(0,わ

)、

φ

「

1(θ .わ)=l′oと

する。φ

l(71)=(ノ1(11)、 91(lム))と

表す

とき、 R2

(告

け

め

ヽ

キ←

ぬ

うキ

0

で

あ

る

の

で

、

_増

_午

い

のと

_考

_争儘

めのう

ちど

ちら

卜方は

0で

な

い

。

0作 佃

0)キ

0の

と

き

、

逆

関

数の

定

理■

■

50

とチ

i(71o)=α

の近傍 ィ ⊂

Rが

存在して

ノ

1:ι

I→

イは全単射であり、

「

.≠ 1は

をみたす。

こ こ で 、

ィ上で

(1∝

級関数

よ り、包0の近傍 びi⊂

R

イ×

R={(・

・

ν

)∈

R21.∈

て、υ∈

Ft}

に対 して、

幌

=φ

21(yl∩

y2∩ (イ

×

R))

とおくと、喝 はι

Oの

近傍となる。

ι∈場 についてし

=φ

_「

10φ

2(ι)と

すると、

φl(a)=φ

2(ι)

である。φ

2(ι

)=(ノ

b(t),g2(ι ))と

して両辺のι成分を比較すると

∫

1(鶴

)=ん

(オ) で あ る。

φ

l(21)∈ l角

∩ち∩

(イ

×

R)で

あり、特にφ

l(υ)∈

可 ×

Rで

ある。

したがって、∫

1(a)∈ lイ

であるのでθ∞級関数ノ

「

・

1を

用いてυを次

のように表すことができる。

包=∫

「

10ん

(ι )

よって、ι∈場 について

φ

『

l°

φ

2(ι

)=∫

_「

10ん

(1)

となり、φ

『

loφ2は

喘

Lで

σ∞級関数であり、すなわち

1。

∈φ

21(レ1∩

ち

)に

おいてθ∝級関数である。

04卜

(哺 キ

0の

とき、逆関数の定理 ■■

50よ

り、助 の近傍 昭 ⊂

R

と釣(uo)=bの 近傍ィ ⊂

Rが

存在して

ん

:υ

_(→

_{イは全単射であり、}

9「1は

イ上でσ

∞級関数

をみたす。

こ こ で 、

R×

_イ

={(・

,ν)∈

R21″

∈

R、

ν∈イ

} に対 して、

4=φ

21(1/1∩

ち∩

(R×

イ

))

とおくと、鴫 はι

Oの

近傍となる。

1∈

_{場 について}

11=φ

ll o

φ

2(ι)と

すると、

φ

l(υ

)=φ

2(ι)

第

1章

曲面 と接 ベ ク トル

である。φ2(1)=(ん

(t),g2(ι))と

して両辺のν成分を比較すると

gl(し_)=g2(ι)

である。

φ

l(υ)∈

И ∩ち ∩

((R×

4)で

あり、特にφ

l(υ)∈

R× イ である。

したがって、

gl(し_)∈

_{イ であるのでθ}

∞級関数

g「1を

用いてしを次

のように表すことができる。

22

υ

=g「

10g2(ι)

よって、ι∈

%に

ついて

φ

_「

1°

φ

2(t)=g「10g2(ι)

となり、φ

「

loφ2は

%上

でθ∞級関数であり、すなわち

1。

∈

b)に

おい て σ∝ 級 関数 で あ る。

1.3

曲面 とは

平面 曲線 に続 き、空間 内の曲面 を考 えるこ とにす る4。 本節 の 目標 は曲 面 を定 義づ ける こ とで あ る。 平面 曲線 を定 義づ け した方 法 に準 じて、 曲 面 を定 め る方 法 を考 えてい く。

それでは、曲面を式で表示する方法を3つ 挙げる。平面や球面などの

簡単な例について、これ らの式表示は高校での数学においても扱われる

ことがある。

1つ

_めは、∫

(■ ,ν)を

ある平面内の領域で定義された変数 ■

,ν

の一価関

数 とし、曲面を関数

8=∫

(・ ,ソ) (1.6) の グ ラフ と して与 える方法 で あ る。 (1.6)を 曲面 の(χ ,ダ座標 につ いて の) 陽関数 表 示 とい う。例 えば、

z=71-■

2_ν

2は

単位 球面 の上 半球面 を 表 してい る。 φ21(11∩ □ 4曲_{線 と同様 に、本論文で は曲面 とい えば 自己交差 しないもの とす る。}

2つ

め は、

Fを

3,y,Zの

関数 とした とき、 F(■,り

,Z)=0

をみたす点 し

,ν

、

3)の

全体の集合 として曲面を与える方法である。

(1.7)

を曲面の陰関数表示 という。例えば、π

2+ν

2+Z2_1=0は

単位球面を

表している。

3つ

めは、平面領域

Dか

らば への写像 φの像

Imφ

として曲面を与え

る方法である。φ

(し ,υ

)=(∫

(υ ,υ),θ(し ,υ),ん(し ,υ))の

とき、

・ =∫

(υ ,υ

),

ν

=g(し

,υ

), Z=ん

(し ,υ

)(し

、

2')∈

D (1・

8)

を曲面の媒介変数表示という。このとき、し

,υ

を媒介変数 という。例えば、

■=COS u COSt,,ν =Sin tι Cos υ_,g=dll υ は 単 位 球 面 を 表 し て い る 。

この

3つ

の曲面 の表示 につ いて それ ぞれの関係 を調べ てみ る。 平 面 曲 線 の とき と同様 に、陽 関数 表示 は陰関数 表示 や媒 介 変数 表示 の特 別 な場 合 とみ なす こ とが で きる。 で は、 陰関数 表示 された 曲面 を陽 関数 表示 や 媒 介変数表 示 で表す こ とがで きるだろ うか。 それ は次の命題 1.3.1が 示 し て い る。 命題 1.3。

lθ

∞ 級関数

F:R3→

Rに

よ り集合

Sが

F(■

,y,2)=0と

陰関 数表示 で表 されて い る とす る。

S上

の点

Pが

(器

0,労 0,労

0)キ

0

をみたす とき、

R2か

ら

R3へ

のC∞級写像 φ(φ(11,1,)=(′(11、 1')19(lι、7'),力 (71・ l'))) が存在 して次 をみ たす。

①

φ

O=2#0と

_器

0が

一

次

独

立

(li)点

Pに

十分近い部分で、

S上

の点(■ ,ν.Z)を ・

=∫

(lι ,tソ)・ ν=g(し,tり

), Z=ん

(υ ,2') と媒介変数表示で表す ことがで きる。

証

明仮

定

か

ら

(1子

0,tテ 0,1子

0)キ

0よ

り

、

1争

0と

ら

テ

0

と

_も

_子

oの

う

ち

ど

れ

か

一

つ

は

0で

な

い

。

(1.η

24 第

1章

曲面 と接 ベ ク トル

01子

oキ

0の

とき

、σ

∞級写像

G:R3→

R3を

G(r,ν

,2)=(π

,ν,F(π,ν,2))

が

あ

に

♂

が

わ

”

齢

ゎ

蝸

_細

﹃

_細

訓

 

_ｍ

縁

_陀

伐

 

︲

_・

５

な

膠

１ ． と   ∈

輪

_絋

ピ

_獅

ｗ

 

ヽ

_囃

定

理

嗣

ヽ_り   ∞   ／ ｋ

︼

鰤

_謳

脳

_］

紗

_“

け

。

ｂ

働

た

る

_。

ぁ

=器

0キ

0 とす る。 この とき、

C(p)

か ら、 よ り、

G:υ

→ ソ が全 単射 うな

_Pの

近傍 υ と

G(P)の

き、正 の実数 (を次 が成 り

{ぃ

の

cR31軟

けの

2+ω

_の

2<(}

(し

、

υ

)∈ {(a,υ)∈

R21 va2+υ

2<c}に

_対して、

φ(′a,υ

)=G 1(a十

包,b tt υ,0)

=G(α

,b,C)=(α ,,b,F(a,b,C))=

φ

(0)=Gl(α :b,0)=p

である。

また、φ

(tr,υ

)=(∫ 儘

,υ),gり,υ),た

し

,υ))と

すると、

.チ .(色

、

υ

_)=φ

(lι,υ)の

第

1成

分

=Gl(a tt a,b+υ

,0)の

第 1成 分

=β 十 マイ g(色,υ

)=φ

(t,υ)の 第

2成

分

=G 1(α

十し,b tt υ,0)の 第

2成

分 =わ 十υ ⊂ ソ (1.9) (α,b,0)で ある (1・10) (1・ 11)

とな るか ら、

併

0=(鵠

拌

0,鶴

拌

0,券

0)=←

,Q券

0)

#0=(鵠

絆

0,鶴

評

0,併

0)=(Ql,併

0)

より

、

_1争

0と

器

Ol・

―

次

独

立

で

あ

る

こ

と

を

得る

。

さ らに、 F(φ_(し,′υ

))=F(G;1(α

+し

,b tt υ,0))

=G(Gl(α

十し

,b+υ

,0))の 第

3成

分

=0

で あ るの で、φ(?1、 1,)で表 され る点 は全 て

S上

の点で あ る。

最後に、写像Gに よってび∩

Sと

1/∩ _{(■,ν,3)∈

R31z=0}は

1 対

1対

応 してい るので、点

Pに

十分近い

S上

の点(■,y,3)を γ

=∫

(し ,υ): ν

=θ

(包 ,υ

), Z=ん

(し、2') と媒介変数表示で表す ことがで きる。

①

_3争

oキ

0の

と

き

、

①の

場

合

と

同

様

に

示

す

こ

と

が

で

き

る

。

mtテ

oキ

0の

と

き

、

①の

場

合

と

同

様

に

示

す

こ

と

が

で

き

る

。

□ 系 1。

3,2集

合

Sが

σ∞ 級 関 数

F:R3→

Rに

よ り F(r,ソ

,2)=0と

陰 関 数 表 示 で 表 され て お り、

S上

の 点

Pは

(#0,券

し

,等

0)キ

0

をみたす とす る。 この とき、

Pの

近傍 υが あ つて、υ∩

Sは

陽関数表示 で 表す ことがで きる。

第

1章

曲面 と接 ベ ク トル

26

証 明 命題 1.3.1の 証 明 を適用 し、(i)の場合 だ けを示 す。 (i)のとき、(1・

9)の

φ(色 ,υ)は (1・10)、 (1・11)に よって φ(し ,υ

)=(a+υ

:b tt υ,ん(し ,υ)) と表 す こ とがで きる。 したが って、 び ∩

Sの

点(■ ,ν,Z)は

r=α

+し ,ν

=b+υ

,z=ん

(し ,υ) と表す ことがで き、υ∩

Sは

■,ダ についての陽関数表示

==′

ι(.・―α,ッ ーb) で表 す こ とがで きる。 (五)の とき、 こノ∩

Sは

り、

zに

つ いて の陽関数表示 χ

=∫

(ッ ー b・ Z― c)の 形 で表 す こ とがで きる。 (ih)の とき、 υ∩

Sは

_",zに

ついての陽関数表 示

y=g("一

α,Z― C)の 形 で表 す こ とがで きる。

□ で は、媒 介変数 表示 で表 され る曲面 は陰関数表示 や陽 関数 表示 で表 す こ とがで きるだ ろ うか。 まず は補題 1.3.3を示 す。 補題 1.3.3を 用 いて、次 の命題 を示 す。 命題 1。

3.4集

合

Sが

θ∞ 級 関数 φ

:R2→

R3に

よ り (・ ,ッ

,2)=φ

(し ,υ

)=(∫

(鶴 ,υ),g(し,υ),ん(υ,2デ)) で も る 行 を あ

薫

鱈

 

”

 

 

⋮

︱

＞

_キ

_。

一           α ｂ

曲

七

∬

動

 

︱

_︰

_︰

と         ︱ ︱ 、 ︱

嚇

Ｍ

¨

拗

蛛

﹁

″

ｍ

¨

¨

¨

一

。３   と     と で 。３     α       α ン ー                         ア 題       明 い 平 と 補       証 な つ こ □

と媒 介変数 表示 で表 され て お り、

φ

O=p、

併

0と

_#0が

一

次

独

立

関 級                           ０

砕  

   

   

   

ヽると



ハ性ド

ツ

﹄

川

あ

る

_。

卸

郭

み で 〓 〓 ０   の     の 第                   ＜       ０ □ 命題 1.3,1、 系 1.3.2、 命題 1.3.4よ り、集 合

S⊂ R3と

点

P∈

Sに

対 して 次 の

3つ

は同値 で あ る こ とがわ か る。 ●

pに

十 分近 い部分で、

Sを

陽 関数表示 で表 す こ と ●

(器

0,券 0,労

0)キ

0

をみ たす σ∝ 級関数

F:R3→

Rに

よって、

_Pに

十 分近 い部分 の

S

を 「 (・ .〃

,Z)=0

と陰関数 表示 で表 す こ と ●

α

O=p、

_#と

件が

次

独

立

をみたす θ∞級写像 φ

:鮮

→

R3に

よって、

Pに

十分近い部分の

S

を (・ ,ダ

:2)=φ

(υ ,υ

)(υ

,υ)∈ υ(び は(0,0)の近傍) と媒介変数表示で表す こと そ こで、平面曲線 と同様 に、媒 介変数表示 を用 いて次 の ように曲面 を 定義す る。

定義 1。

3.50∈

R2を

含む開集合 υ ⊂ば 、θ∞級写像 φ:υ →

R3が

(i)φ :υ → IIllφ は全単射で、逆写像 も連続 ① 任意の は

,0∈

υで_新 と_場争は一次独立 をみたす とき、組 (υ,φ,Imφ )を 空間内の曲面 片 とい う。 また単 に Imφ だ けを曲面 片 とい うこ とが あ る。 定義

1.3.6S⊂

R3と

す る。任 意 の

P∈

Sに

対 して、

y∩

Sが

曲面 片 とな る よ うな

Pの

近傍

y⊂ R3が

ぁる とき、

Sを

曲面 とい う。

S上

の点

Pに

対 して、

_Pの

近傍 1/⊂

R3と sの

共通部分 ア

=y∩

sを

S内

の

Pの

近傍 と ぃ う。

Sが

曲面 で あれ ば、

Sの

各 点

Pに

対 して υ ⊂

R2と

s内

の

Pの

近傍 l′〃⊂

Sが

あつて、σ∞級写像 φ:υ → ア は全単射 で ある。 この組(y′ 、φ)

をSの 座標近傍という。ア 内の任意の点

Pに

対してφ

l(P)=01,"2)と

表されるとき、

(■1,・2)を (y′,φ)に

関するPの 局所座標という。座標近

傍

(7′

、

φ

)の

ことを

(y′;"1,"2)と

書くことがある。また、Sの 座標近傍の

族

_(に

,φ

。

)}α

_・

∈

があつて

S=鳳

く となるとき、

{(14,φa)}α

∈

スをSの

座標近傍系という。

曲面 について も、局所座標間の座標 変換 を表す写像 が θ∞級写像であ ることを保証 して お く。 命題

1.3,7曲

面

Sの 2つ

の座標近傍 φl:υ

l→

И

(υ

l⊂ R2、 _{И ⊂}s、 φ_lは θ∞級写像) φ

2:眺

→

L (眺

⊂ば 、

L⊂

S、 φ_2は σ∞級写像) が、yl∩ ち キ

0で

あるとき、φ

2 1(4∩

b)に

おいて、φ「10φ

2は

C・ 級 写像である。

第

1章

曲面 と接 ベ ク トル 30

証明

任意の

t。

∈φ21(И ∩

1/2)に

おいて φ

「

10φ

2が θ

∞級写像である

ことを示す。また、

t。 =(■

。

_,ソo)と

おく。

φ2(tO)=(α

,b,C)、

φ

「

1(a,b,C)=Ooと

して、し。

=(7″

ι

O,7ιO)と

お く。

し

=(m,η

)∈

銑 に対 して φ

l(し

)=(∫1い

,2),ク1(ηl,η ),ん1(7η 71))と

表す

と

き

｀

器 い

のと

半い

めル触立

で あ るので、補題

1.33よ

り

嘩田享

翻ヽ

降田革

翻ヽ

嘩田草別

のうちいずれか一つは0で ない。

0嘩

田尊翻却…核乙

逆 関数 の定 理1.1.5(五_{)よ り、し。の近 傍 υi⊂ ぱ} と(fl(・o),91(し

o))=

(θ

′

,わ)の

近傍 ィ ⊂

R2ぉ

ょびυ

fか

ら

R2へ

のθ∞級写像 φ

l(m"η

′

₎₌

(.′1(m、

η

),91(777、

η

))が

存在して

下■ び

{→

イ は全単射であ り、石 1は イ 上で θ∞級写像 をみたす。

%=φ

21°

φ

l(υl)と

おくと、場は

toの

近傍となる。以下、φ

l 10φ2

が鴫 上でθ

∞級写像であることを示す。

任意の

(■ ,ソ)∈

%に

ついて

(m,2)=φ

l 10φ

2(■,υ)と

すると、

(η

し

,η)∈

υ

{で

あるので

(m,71)を

σ∞級写像φ

l lを

用いて

(7・l,η

)=φ

l 1071(m,η

′

) =焉FT 1(∫1(ηQ,2),gl(772,2)) と表 す こ とがで きる。 一方 この とき、φl(m、 η

)=φ

2(r,7)であ るので、φ2(7,7)の座標 を (,fr2(r、

ッ

)、 92(・ .、

ッ

),ん2(■,ν_))と

おいて両辺の第 1成 分第 2成 分を比較

すると、

.≠

・

1(77れ

・

、

)=.チ

ち

(r、

υ

)、 gl(7口,77)=g2(■

ヽ

y)

を得る。

したがって、任意の

(■ ,ν)∈

場 に対 して、

φ■

10φ

2(″

,y)=石

1(ノ b(・,ソ)・g2(■,ν))

とな り、φl 10φ 2は 喘 上で θ

∞級写像であり、すなわち ι。∈

φ21(li∩

l′

ち

)に

おいてθ∞級写像である。

0嘩

田尊剛却… …討

2-同嘩田草翻却… …対

2…

□

第

1章

曲面 と接ベ ク トル

32

命題 1.3.7か ら、φ_「lo φ

2は

φ2 1(1/1∩

b)上

の θ∞級写像 であることが ゎか った。 さらに、

2つ

の座標 の変換 を表す写像 φ「lo φ

2は

次 の重要 な 性質 を持 ってい る。 系

1.3.8曲

面

Sの 2つ

の座標近傍 φ

l:銑

→ ス

(銑

⊂R2、 1/1⊂ S、 _φlは C∞ 級写像) φ

2:め

→

L (眺

⊂R2、 1/2⊂ Sヽ φ_2は ο∞級写像) について И ∩ち キ

0と

す る。(χ ,υ)∈ φ

21(yl∩

y2)に 対 して φ

l 10φ

2(″,ν

)=(η

Q(″,ν),2(π,ソ)) とお くとき、任意のt。 ∈φ2 1(yl∩ y2)で 次が成 り立つ。 証明 (ηλ、/1)∈ φ

l l(4∩

b)に

対 して φ2 10 φl(η

t,2)=(・

(7し,2):ν(71t,η)) と表す ことがで き、命題1.3,7よ り関数 η2(■,ν),η(・ ,ν)、・ .(7n,71),ソ (7η,71) は σ∞ 級関数で ある。 ここで、φ

l lo

φ

2(tO)=鶴

oと

お く。 この とき、 φ

l 10φ

2と φ

21°

φ

lは

互いに逆写像 であるので合成関数の微分法の定 理1,1.6を 利用す る と、次 の

4つ

の式が得 られ る。

#し

0)=:量

生井生ユし

0)

=(券

_俳

+併

_#)ltOl

=併

い

の

_讐

ltOl+併

luolttltOl

券

CO)=」

量生等生ユし

0)

=(弁

_券十

_併号

₎₀

=舟

い

め

_券じ

め

十

_併い

の

_モ

_等

<tOl

券

ltOl―

量生勢生ユ

ltOl

=(舟

_讐十併券

₎₀

=鼎

1001ttltOl+併

し

め

券じ

め

%CO)=竺

些 生

等

生 ユ

ltOl

=(併

_券十

_併券

_)ω

=轟

師

め

_券

ltOl+併

し

め

券

ltOl この

4つ

の 式 を行 列 を用 い て ま とめ る と、 とな り、 両辺 の行 列 式 を考 える と 〓 ０   １ １ ０ 〓 ヽ ｌ ︲ ︲ ′ ／ １ ２ ０       ０   ■_１ ｔ     ｔ   ＜

主

”

生

鉤

０       ０ ｔ     ｔ

み

π

釣

冨

／ １ ︲ ︲ １ ＼ 〓 ヽ 、 ︲ ︲ ′ ／

﹄

﹄

塑

髭

可

﹄

﹄

伽

一

_伽

伽

一

鉤

／ １ ⋮ ︲ ヽ ＼ ＼ 、 ︲ ︲ ／ ０       ０ 鶴     υ

ぬ

一

伽

釣

一

Ｍ

０     ０ し     し

伽

一

伽

鉤

一

_伽

／ １ ︲ １ ＼ ０ キ

﹄

﹄

塑

銘

可

び

ヽ＼

_Ｈ

＝

ロ

ツ

 

獄

黎

悧

０

０

 

時

加

一

み

あ

一

″

 

Ｏφ

２

／ ノ ー ︲ ︲ ｌ ｌ ｌ 、 、     ・． とな るので、 であることがわか る。 (1.12)に現 れた行列 を、点t。 における写像 φl と表す。 □

記号で

_(Jφl 10

φ

2)t。

第

1章

曲面 と接 ベ ク トル

34

また、 ヤ コビ行列 (」φ

l 10φ

2)t。 の行列式 det(」_φ

l 10φ

2)t。

=

を、点 tOに おける写像 φ

. 10φ 2の

ヤ コビア ン とよび、記号で

器

0

と表 す。 ここまで一般論 を述べて きたので、曲面の例 として球面 を と りあげ、球 面 の座標 近傍 の と り方 につ いて具体例 を挙 げて説 明す る。

例

1,3.9S2={(.,り

,2)∈

R31″

2+ν

2+Z2=1}と

する。

S2上

の

2点

を

η

=(0,0,1),S=(0,0,-1)と

して、π

ソ平面をα

={(■

,ソ,Z)∈

R31z=0}

とお く。

υ

={(・

,ν,Z)∈ S21(",ν ,Z)キ

η

}

y={(・

_{,υ ,多)∈} S21(.,υ ,g)キ S} とす る。

Pl∈

び に対 し直線 η

plと

平面 α との交点 を 91∈

R3と

す る と き、

Plを

91に 対応 させ る写像 φlを立体射影 とい う。 また、P2∈

yに

_対 し直線

sp2と

平面 αとの交点 を92∈

R3と

す るとき、

P2を 92に

対応 させ る写像 φ2も 立体射影 とい う。

φ

l-1:R2→

υ と φ

21:R2→

1/を具体的 に求めてみ よう。平面 α上 の点

_9=(s,1,0)と

η

=(0,0,1)に

対 して、直線9π 上の任意の点P′ は実 ll―

kl働

団 と表す ことがで きる。P′ が び上の点 となるときの たの値 を た0と しよ う。 この とき た02s2+た 。2ι

2+(1-た

_o)2=1で

_{ぁ り} P′ キπ よ りた0キ

0な

ので、 た

0=52+ι

₂₊₁

とな る。 した が つて 、 (1.14)を (1.13)に 代 入 す る と

‥

J=(論

ヽ

_静

, (1・

10

s2+f2_1

1+52+ι

2 を得 る。 同様 にすれ ば、

の ■

%→

=(満

,論

,需

_)四

を得る。したがつて、φ

l 1も

φ

21も

σ∞級写像になるので、C,φ

l 1),(7φ

21)

はs2の 座標近傍 となる。

次に、座標変換を表す写像 φ

2°

φ

_「

1を

具体的に求めてみよう。

9=(i)

に対してφ

_「

1(9)=Pと

おくと、直線ps上 の任意の点γ

′

は実数

1を

用いて

日〔

:り

‐判

O)

と表せ る。ただ し、た。は(1・14)で示 した値で ある。T′

=φ

2(p)と なる とき の アの値 を1。 としよう。この とき10(1-たo)一

(1-lo)=0よ

り′0(2-た

0)=1

で あ る。 ここで

pキ

sよ

り(s,ι)キ (0,0)で あ るので、 (1.14)か ら た0キ 2 であるか ら、

お

=洗

第

1章

曲面 と接 ベ ク トル となる。したが つて φ

2(2)= (￨)

とお くとヽ 36 ＼ ｌ ︲ ｌ ノ ０ 〇   一 ／ ｆ ︲ １ ＼ 一 十 ヽ １ ︲ ｌ ノ ｓ ι た れ れ 一 ／ ｆ ︲ ヽ ＼ 〓 ヽ ︱ ︱ ノ じ   υ   ０ ／ ／ ︲ ︲ ︲ ヽ ヽ とな り、

となる。

系 1.3.10写 像 φl:υ → ば

,φ

2:y→

R2を 立体射影 とする。このと

き、任意の

P∈

φ

l(び

∩

1/)に

対して

det(」

φ

20

φ

l 1)p= 1と

なる。

証明

(1,16)よ

りφ20φ「

1(S.オ)=(d,そl)と

おくと、

に 力 ,ど =島 であ るので、

=光

(i)

=可

〒

I巧

「

(i)

=島

(i)

¨ 声引

=(寺

,寿

₎

#=,舌

半

争

=て

デ号

券

=て

_詳号

器

=て

寿寺

(116)

とな るので、 とな る。 det(Jφ₂₀

_φ

l 1)p

-4s212

_(s2_ι

2)2

= (s2+12)2

__ _′4

_s4_2s2チ

2

= (s2+ι

2)2 =-1 □ 1。

4

接ベ ク トル

本節 において、曲面 上の点 における・接ベ ク トル"と い うもの を考 えた い。単純 に、曲面 に接す る空間ベ ク トル を接ベ ク トル とみなす こともで きるが、 この場合 には曲面 の外側 にある空間

R3を

考慮 しなければな らず

Nの

座標 が必要 となる。本節では、曲面の局所座標 のみ を用いて接ベ ク トルに相 当す る概念 を構築 したい。 そのために、 まず は曲面 11で定 義 さ れた関数 に着 目 して、その “方向微分｀として “接ベク トルいを考 えてい く ことにす る。 定義 1。

4.lSを

空間内の曲面 とし、∫を

S上

の関数 とす る。J・

:S→

R

が

S上

の点

Pで

θ°°級関数であるとは、次 をみたす ことをい う。

Pを S上

の点 として、

(7φ

)を

Pを

含 む座標 近傍 とす る。 こ の とき、.チ ・_Oφ :φ

1(7)→

Rが

φ1(2)∈

R2で

θ∞級関数 と なる。 また、

S上

の関数.ノ ・_{が任意の点}

P∈

Sで

θ∞級関数の とき、.メ .を S liの θ∝級関数 とい う。 定義1.4.1の定め方では、関数 ノ・が

S上

の点で θ∞級関数であるか どう かは座標近傍 の と り方 に依存 して しまう。 しか し結果 か ら述べ ると、関 数 ∫が ゞ上の点で θ∝級関数であるかどうかは座標近傍の とり方に依存 しない。 これ を次 の命題で述べ る。