場 (:十 %

∂

υ

l 

∂χ

_l 

∂■

2   

∂ν

l 

∂■2  ∂χ^l

=(券 ― 場 )(讐 劣― 劣警 ) となる。よつて、命題

^2.4.9を

用いると

げ

1∧

ごτ l+げ ち∧と 2       (2.5)

=(券 ″ け勢α ^Q)∧ ご け _(許 ^dけ 券ご 砲

)∧ α 砲

=(1¥￨一 :¥:)れ ^A山 2       90

=(1等 十 一 勢 )({:十 ^{f単 :一 {等 ;{等} 争 )漁

^1∧

と

²

= (1:;争

一勢

)ご

仇∧ α ν

²

= (1:;卜

ご ν

^l―

十

:;夕_,α

ν

²⁾ 

∧ α ν

^l―

十

 (1:;争 α ν

^l―+1)夕

lα

ν

²⁾ 

∧ α ν

²

=′

gl∧

ごυ

l+α ^g2∧

^dν2

とな り、 主張 は示 され た。

      

^□

次 の定理 は外微 分 の簡単 な性 質 を述べ た もので あ る。

定理 ^2.5。

3Sを

曲面 とす る。 この とき、

(i)S上

の関数 ムダについて α(ノ

・十ク

)=″

^・十αクとなる。

(ii)SLの ^1次

^{微分形式 η,77′ について ご(η +η′}

^)=′

^{η tt dη′となる。}

(iii)S上 の

2次

微分形式 ω,ω′について ご_(ω tt ω′

)=dω

^{+αω′となる。}

第

2章  

微 分形 式 と外微 分

証 明

 (i)命

題 2.1.12よ り容 易 に示 され る。

(h)定

^{義 2.5.1と}

^(i)よ

り容 易 に示 され る。

(iii)dい

十げ _)=∂ ω =α ω′ =0よ ^{り自明である。}

□ 次 の系 2.5.4は 、命題 2.5.2の 証 明 の (2.5)か ら (2.6)へ の変形 です でに 示 されて い る。

系 ^2.5。

4Sを

曲面 と し、 (y;"1,・ 2)を

Sの

座標 近傍 とす る。

S上

の

1次 微分形式ωを局所座標を用いてω=∫

^lα

rl+ん

^dπ

2(∫

1,ん

は y上 _の関数

)と

お く 。こ のと き 、 α 切 =(券 一 勢 )山

^1∧

れと な る 。

特 に、

1次

微 分形 式 ωが

7上

の σ∞級関数 ∫を用いて ω

=げ

^{と表 され}

る場合、次 の系 を得 る。

系

2.5.5(yl.1.・

2)を曲面

Sの

座標近傍 とす る。 この とき、^7̲ヒの任意 の 0∞ 級関数 ∫に対 して ご(4・

)=0と

^なる。

言正明

 

命題^2.1.12よ り、

 

ど

=併

^dχ

l+券

^{d・2で ある。}

 

^{したがって、}

 

^系

2■

はつ い て 特 に ムと し て併でありんとして発とすれば、くの ⁼

79

(轟 (劣 )洗 ^{(券 ))占}

^1∧

^{れ =0を 得 る 。}

2.1節の最後で触れた ように、 ほ とん どの υ ∈「

1(S)は イ の形で表せ ない ことが系^2.5.4よ りわかる。 なぜ な らば、υ

=∫

ld■

1+ん

^απ

2が

げ の 形で表せ るためには関数 」^1,ノちが

'≒

一勢

=0を

^{みたす ことが必要で}

あるが、一般 にこの条件 は満た されないか らである。

次の命題 で示す外積 と外微分の関係 は、 この命題 は積 の微分公式の拡 張 といえるものである。

命題 ^2.5。

6Sを

曲面 とす る と、ω∈「 た

(S),η ∈FJ(S)(た,ι

=0、

1,2)は 次 の式をみたす。

d(ω ∧

7)=(dω

)∧ ^7′十_(‑1)たω ∧_(d7ノ)

第

2章  

微 分形 式 と外微 分

       80

証 明 _{(1)〜 (市})に 場 合分 けを して考 える。

(i)ω

,η の うち少 な くとも一方が

2次

微 分形 式 の とき、α(ω ∧^7′_),(αω_)∧

η^,ω∧_(α^7′)は 全 て

3次

以上の微分形式 とな り0とな るので、α_(ω∧η

)=

(αω_)∧ ^7ノ +( 1)た^ω∧(α7)と な る。

(五)ω^{,η ∈}_「 1(S)の_{ときも、両辺 が}

3次

微分形 式 とな るので 自明であ る。

(lil)ω ∈

「

0(S),,7∈ Fl(S)の

とき、

77=glda+g2dr2と

お くとヽ

(dω)∧ η

+ω

_∧αη

=(券 れ ^+帰 ″ 砲

)∧ ・ 」 けの 向

+ω

 (1:子 争 ^‑1)夕

^r)ど

・

^1∧

ど χ

2

=(一 モ を な

^gl・

^tじ 争 の十 警ω 一 勢ω )れ ∧ 均

= (茎 t:12‑響 _)arl∧ ″

^T2

=:￨:駄 1;1+ω

g2απ₂₎

とな る。

(iV)ω ∈「

1(5),′

ノ∈

FO(S)の

とき、ω

=ノ

1″

Tl+f2″

_・r2と お くとヽ

(dω)∧ η―ω∧αη

=け

^'1∧

^ご Zl+げ _ち∧ご χ

_2)∧

η

^(ノiα

χ l+ん ^{α ι}

2)∧

α η

=(tyl一 _t¥:)り れ∧ ^dけ 鮎れ ^+ん め∧

_(1き

争 れ ^+発 ぬ セ

)

=(1¥lη ― _{¥:η 十 ん 」 弾 十 一 Aモ み サ )れ ∧ れ

= (」 ::11‑響

_)d・^{1∧ απ2}

=″(∫lηd・

1+ん

η^{dπ 2)}

=″_(ω ∧

'7)

とな る。

(1)〜 (市)よ り、 主張 は示 され た。 ^□

第

2章  

微 分形 式 と外微 分

2。

6  曲線上 の微分形式 と曲面上 の微 分形 式

次 の章 で は、 曲線 上 の積 分 や 曲面 上の積 分 、 そ して それ らの関係 を考 える こ とにな る。 したが って、本 節 で はその ための準備 と して、 曲面 上 の微 分 形 式 とそ の 曲面 内 にあ る曲線 上 の微 分形 式 の関係 につ いて ま とめ て お きたい。

Sを

曲面 とし、

0を S内

の曲線 とす る。

S上

の た次微 分形 式 は

Sの

各点

Pに ^TP(S)上

の 交代 た次形 式 を対応 させ た もので あ り、θ 上の た次微 分形

式はθの各点 Pに し

^(θ

)Lの 交代 々次形式を対応させたものである。 し たがって、S11と

^{(γ ̲Lの}

微分形式の関係を論 じるためには、接ベク トル 平面 L(S)と 接ベク トル直線 Ъ

^(θ)の

関係を考える必要がある。

一方、■ (S)は S上 の関数の方向微分全体でありし

^(θ)は

θ上の関数 の方向微分全体であるので、まずは S上 の関数 とθ上の関数の関係から 調べることにする。本節では残 り全体を通じて、曲面

^S、

S上 の曲線 θお よびθ

11の

点Pの 記号を用いる。またθから Sへ の包含写像をグ ^:θ → S と表す。

定義

^2.6。1ノ

・ を S上 の関数とする。このとき、合成写像 ノ ・o,:6̀→ Rを ノ

^.の

σへの制限といい、ノノで表すことにする。∫からダ∫への対応は S 上の関数に対 して θ上の関数を対応させてお り、j:σ → Sの 写像の向 きとは逆の対応 となっていることに注意されたい。

命題

^2.6。

2実 数θ

^.わ

と S上 の関数ノ

^,θ

に対して、写像ダ ^:{S上 の関数 _}→

{θ

 llの 関数 _}は 次の式をみたす。

r(α

∫ +bg)=α _だ∫十

^b'*ク

証明   任意の点 P∈ θに対 して、

('*(̀ι

∫十

bg))(P)=((α

∫

^+bθ)Oj)(2)

(α

′

^+わ

9)('(P))

(1∫(J(P))+bg('(p))

aダ_.バ

P)+♭ ダ

^g(P)

(aダ

∫ ^+bノ ク

)(p)

となり、主張は示された。        ^□

定義

^2.6。

3 υ _Pを Pに おけるσの接ベクトルとする。このとき、 S上 の関 数 ノに実数 υ

P(グ

リ

)を

対応させる写像を

^J*υ_Pと

表すことにする。

81

第

2章  

微 分形 式 と外微 分

命題 2.6.4 υ

Pを Pに

^{お ける}

Cの

接 ベ ク トル とす る。 写像^j*υ

pは S上

の 方 向微 分で あ る。

証明

 

写像 ^J*υρが、方向微分の定 義^1.4.3の (i)〜 (ili)を みたす ことを示 せ ば よい。

S内

の点

Pの

近傍 で定 義 された σ∞級関数 をそれぞれ ∫,9と

し、α_,bを実数 とす る。

(i)∫

,gが Pの

^{ある近傍y″ ⊂}

sで

一致す ると仮定す る。 この とき命題 2.6.2よ り

たυp(.ノ

)―

たυρ

(9)=υ

P(グ

*.ノ

)一

υ_{P(ダ 9)}

=υ

_P(ダ∫―ダ^g)

=υ

_P(グ(∫ ―g))

=υ

_{P(ダ 0)}

=υ _P(0)

=0

となる。

(五

)命

^題

^26.2よ

^り

たυρ^{(aノ +bθ}

)=υ

P(グ^(α∫十^bg))

=υ_P(αダ∫

+bダ

g)

=aOP(ダ∫

)十

^bυ_P(ダク⁾

=α^,*υ_P(,ノ

)十

ら

'*υ

p(9)

となる。

(1五

)任

^意の点

^P∈

^{σ に対 して、}

(ノ(∫g))(p)=(ノ・

g)('(2))

=ノ

('(P))″('(P))

=jtty・(p)ダθ(P)

=((ダ ∫)(ダg))(p) となるので、

'*υ

P(y.θ

)=υ

^p(ダ(∫g))

=υ

_P((ダ∫)(ダg))

='*∫_{(P)υ P(ダ}θ

)十

を^*g(P)υ_P(グ./)

=ノ

_{(P)'*υP(9)十},(2)'*υP(′⁾

となる。

82

第

2章  

微 分形 式 と外微 分

       83

したが って、(i)〜 (lii)よ り^j*υ

Pは S上

の方 向微 分 で あ る こ とが示 され た。

□

写像 :*は 次 の性 質 を もつ。

命題 2.6.5写 像を *:ち

(θ

)→ TP(S)は 線型写像である。

証明   ^θ

,bを

実数 とし、し

_P,υ

_Pを Pに おけるθ上の接ベク トルとする。こ のとき S上 の任意の関数 ∫に対 して、

'*(aし

ρ

 ^{tt bυP)(∫}

^)=(α しρ

 tt bυP)(ダ

∫

)

α し

_P(ダ

∫ )十

^bυP(ダ

∫

)

α

^j*up(∫_{)+bj*υP(∫)}

(a'*鶴p十

わ

'*υ p)(.ノ)

となるので、主張は示された。        ^□

,*は TP(θ )からし (S)へ の写像であ り、だとは逆に今度は写像 ,:σ →

S

と同 じ向 きの対応 とな っている。

Sや

θ上の接 ベ ク トル を局所座標 を用 いて表す と、^,*は次の ようになる。

命 題 ^2.6.6Pを 含 むθ ,Sの 座 標 近 傍を そ れ ぞ れ

(」 ;■)、 (ソ;υ,υ)と

し 、 P

のノ に 関 する 座 標を■

0と

する 。こ のと き 、 _(#)p∈ Ъ

^(の

に 対し て 、 た

_(づ

争

^)ρ

^{=1サ m(者} 論 ^{)p+#け 0)(務 )Pと} な る

^4。

証明   た _(ザ

「 )p=α (■ )p+ι (fl)pと ^{おく。ただし、α}

^,b∈

Rで あ

4曲 面 卜の接 ベ ク トルは

(会

)p・

(■

)Pな^どの

M分

を用 いて表 され るが、直線 や 曲線 上 の接 ベ ク トル は座標 の変数 が

1つ

しか な い た め に

(#)ρ

な どの常微 分 を用 いて 表 され る。

第

2章  

微 分形 式 と外微分

       84

る。 この とき、

α

^= (α

(豆

′

^})p―

卜 ^b(1;})P)(し

⁾

=た (#)pけ

⁾

ドキュメント内 曲面上の微分形式について ： ストークスの定理の応用まで (ページ 79-85)