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一 一
一 一 一 一 一 一
となるので、再 =ω ら一
dρとなる。 □
1次
微 分形 式 ωらは双対 な正規 直交標構 の と り方に依 存 す るが、 その差 は局所的 な関数 ρの全微 分 ごρで あることが命題 4.3.9で 示されてい る。命 題 4.3.9の 両辺 を外微 分 す る と、系 2.5,5よ りご(dρ)=0な
ので次 の系 が得 られ る。
系 4。3。
10ω
〕,司 を命題 4.3.9で 定め られた1次
微 分形 式 とす る と、αω3=
″ ω
3となる。
Sを 向きづけられた曲面とする。 {鴫
}α∈ スを Sの 座標近傍系とし、硫∩
鈴 キ
oとする。税、
Lの双対な正規直交標構θ た
,θλに関する第 1構 造式を
みたす 硫 上の 1次 微分形式を
(ω3)aとすると、系
4.3.10より、ど
(ω3)。は
双対な正規直交標構θ た
,θスのとり方に依らない硫
11の2次 微分形式とな る。また、系
4.3.10は硫∩吻 上で∂
(ω〕
)。=ご
(ω 3)βであることも示して いる。したがつて、各α∈スでη =α
(ω3)αとすると、ηは S全 体で定ま る 2次 微分形式となる。このとき、 Sの volume formを
volとし、
η
=κ
volをみたす
SLの
関数 κ をSの
ガウス曲率 とい う。例
4,3。11単 位球面 S2={(ム リ ,Z)∈ R31.2+ν 2+22=1}の ガウス曲
率 κ は恒等 的 に 1と な る。
第
4章
ス トー クスの定理 の応用 158とな り、ω は 一意 に定 ま る こ とか ら ω
=―
sin υαυ とな る。 した が って 、 どω=α
(一 Sin tりごし)=α
(―Sin υ)∧ α包―Sin υ∧ご(dし)=― COS(ガ
t'∧ (la=cos t燿 じ∧ごυ=vol
とな るので、 ガ ウス曲率 の定 義 よ り κ
=1と
な る。4.4 ベ ク トル場 の零点 における指数
本節 で はベ ク トル場 の零 点 にお ける指数 を定 義 し、指数 に関 す る定理 4.4.4を 述べ る こ とを 目標 とす る。 これ を用 い る と、例 えばその系 と して、
単位球面 にお けるポ ア ンカ レ・ホ ップの指数定理 が得 られ る。 まず は、ベ ク トル場 の零 点 を定 義す る。
定義
4。4.lSを 曲面とし、χ ={χ
P}pcsをS上 のσ∞級のベクトル場と
す る。 この と き、
P∈ Sが Xの
零 点 で あ る とは次 をみ た す こ とを い う。/Yp=0
また、
PcSが Xの
孤 立 した 零 点 で あ る とは、Pが
χ の 零 点 で あ り、 かつ次をみたすことをいう。
ヽ
︱
＞
︱ プ
を ハ ヮ よ 構 お
薩 一 ２ ３ ． ︲ ３
置 螺
の ら ３． 直 を し
□
第
4章
ス トー クスの定理 の応用159
Pを 含む Sの 開集合びが存在して、任意の点
9∈υ― {P}に
対 して χ9キ
0と
な る。定義 4。 4。
2Sを
曲面 と し、7を S内
の領 域 とす る。S上
の θ°°級 のベ ク トル場 χ はy内
に零 点 をもたな い とす る。 この とき、χ
:=歯 XP
で定 まる
y上
の ベ ク トル場 χ′={χ
お}P∈yを yに
お け るXの
正規 化 さ れたベ ク トル場 とい う。Sを
向 きづ け られ た曲面 、χ をS上
の σ∞ 級 の ベ ク トル場 と し、 またP∈ Sを
χ の孤 立 した零 点 とす る。Pを
含 むSの
座標 近傍 を(ιr,φ)と す る。 ただ し、 φ(0,0)=Pと
し、 び はP以
外 のXの
零 点 を もた な い とする。さらに、び上の正規直交標構
el,c2をとり、υ― {P}に おける Xの
正規化 され たベ ク トル場X′ を
X′ =′ (1)el+t(2)c2
とおく。ただし、ι
(1)、ι
(2)はυ̲{P}上 のσ∞級関数である。
cl、e2は び
Lの 正規直交標構であり、各点
q∈υ― {p}で
lχ:￨=1で あるので、
′(1)(9)=COS ρ ￨(2)(9)=Sin ρ .lη
となる実数ρをυ― {p}上 の各点 9で 選ぶことができる。ただし、ρの選
び方 は一意的 で ない (2π の整数倍 の差の分 だけあい まい さがあ る)。 ただ し、ι(1)、 ι
(2)は
び̲{P}上
の σ∞ 級関数 で あ るので、υ ―{p}Lの
任意 の点
Tに
ついてTの
十分小 さい近傍 ♂ を とれ ば、υ′上で は (4.17)を みたす ρを σ∞ 級関数 として とることがで きる。(図 4.10を 参 照 され たい。)こ の際、関数 ρの と り方 と して も2π の整数倍 の差 だ け選択 の余地 が あ る。しか し、♂ 上 の関数 ρ(1),ρ
(2)が
ρ(1)=ρ (2)+2た π (ただ し、たは整数)
で あ る と して も、 この両辺 を外微 分 す る とdρ(1)=αρ(2)と な るか ら、外 微 分 αρは υ′11の関数 ρの と り方 に依 らず定 まって お り、αρは び ― {p}
で定義 され る
1次
微 分形 式 とな る。 ここで、(υ,φ)の 局所座標 を(?ノ ,で')と し、正の実数7を
用 いて び 内の領域Dを
次 の よ うに とる。D={φ
(し ,υ)lυ 2+υ 2<r2}
第
4章
ス トー クスの定理 の応用 この とき、券
ID
ρ160
.1助
を χ の
Pに
お ける指 数 といい、indP(X)と
い う記 号 で表 す。 な お、ベ ク トル場 の零 点 における指数 の定義式(4.18)は、座標近傍 び、正規直交 標構el,c2ヽ お よび正 の実数rに
依存す る形で定 め られてい るが、実 は、υ,Cl,C217｀ に依 らず に定 まる値であることが知 られてい る。
ベ ク トル場 χ の零点
Pに
おける指数が どの ような量 を表すか を説明 し よう。Sを
向 きづけ られた曲面、χ をS上
のベ ク トル場 とし、 またp∈ S
を χ の孤 立 した零点 とす る。
Pを
含むSの
座標近傍 を(υ,φ)とす る。た だ し、φ(0,0)=Pと
し、υ はP以
外のXの
零点 をもたない とす る。χ′ を υ―{p}に
おけるXの
正規化 されたベ ク トル場 とし、D={φ
(υ ,υ)l u2+υ2<7｀ 2}とす る。 υ
Lの
正 規 直 交標構 el、c2に
おいて、clは
座標 υの方 向 と して 考 えてみ よ う。 この とき、ρは ∂D上
の各点 で χ′とelの
なす角 を表 して い る (図 4.10を 参 照 されたい)。 動点r∈ ∂Dが
∂D上
を図4.10で反時計まわ りに1周す る とき、χ′
方向 を表 す角 ρも変化 して い くが、αρはその 変化 の微 分 を表 してい る。ゆえに、あ
D
αρはその変位 の総量 とな るが、動 点Tが
∂Dを
一周 す る とき、始 点 と終 点で χ′の向 きは同 じで あ るか ら、変位 の総 量で あ る ぁっごρは2π の整 数倍 とな る。 つ ま り、 券.IЬD dρ は隊￨ 4.10で動 点
Tが
∂Dを
反時計 回 りに一周す る とき、その間 にX′ が反時計回 りに何 回転 す るか を表 して い る。
図4,11は、 それ ぞれ零 点 にお ける指数 が
1,‑112と
な るベ ク トル場X
の具体例 を示 して い る。
本論 文 の ま とめ と して、 ベ ク トル場 の指数 とガ ウス曲率 の積 分値 に関 す る定理 を述 べ る。 その準備 と して、次 の補 題 を示 して お く。
補題 4。
4.3Sを
向 きづ け られ た曲面 とし、yを Sの
領域 とす る。cl,c2とCl、 e2を この順 で
Sの
向 き と適合す る ソ 上の正規 直 交標構 とす る。cll e2 の双対 な正規 直 交標構 を θl、 θ2と し、cl,c2の双対 な正規 直交標構 を θl、θ2とす る。
P∈
ソ の十分小 さい近傍 を ア と し、ソ′上の関数 ρを用いて、Cl=COS
ρel+Sin
ρc2
とお く。 この とき、＼
︱
︐ ノ θ
θ
／
′
︲ ヽ
＼ ヽ
︑
︲
′
／ ρ ρ
・ｍ Ｏｓ
Ｓ Ｃ
ρ リ
Ｓ
・Ｉ Ｏ Ｓ Ｃ 一
／ ノ ー ヽ
＼ ヽ
︱
︐ ノ
一伊
′一
／ １ １ ヽ
第
4章
ス トー クスの定理 の応 用161
C2A χ
̀ ρ
ａ
・
・
Ｃ
ρ 一
2●
″
rノ
υ