章非リーマン等質空間の不連

(1)

非リーマン等質空間の不連続群論

第

^½

章非リーマン等質空間の不連

続群論

(2)

まずキーワードを直感的に述べてみることにする．「同じ形」の「タイル」

で「敷き詰め」られた空間を思い浮かべてみよう．そこでは，

「敷き詰め方」を表す代数構造が不連続群，

個個の「タイル」がクリフォード・クライン形，

空間における「同じ形」という概念を規定するのが幾何構造

にあたる．従来のリーマン幾何での枠組みを超えた世界で，空間の局所的な幾何構造と大域的な構造不連続群が織りなす新しい物語の序章を書き留めたい．

この論説で扱うクリフォード・クライン形とは，等質空間を離散群で割って得られる多様体である．をで割った次元トーラスや，ポアンカレ平面をフックス群で割ったリーマン面はその典型例である．

がリーマン多様体であり，その等長変換群の等質空間となっている場合

上の二例はそうなっているのクリフォード・クライン形は，昔から多くの分野にまたがって研究されており，離散群そのものを研究の対象とする場合のみならず，数論や複素関数論や数理物理などが活躍する舞台ともなっている．

もっと一般の場合として，上にリーマン計量以外の幾何構造が定義され，

がその自己同型群の等質空間であるという状況を考えよう．この場合のクリフォード・クライン形については，一般論としての研究が始まったのは，わずか年あまり前のことである．現在，いくつかの基本的な問題が解明されたことによって，次の未知なる世界が垣間見えてきたように思う．その先にはさらに，擬リーマン幾何における局所から大域への理論のつのモデルとしての役割が期待できるかも知れない．また，高次元でのタイヒミュラー空間論やユニタリ表現論や保型形式の整数論を巻き込むものかも知れない．このような事情が，『世紀への挑戦』のテーマとして，「非リーマン等質空間の不連続群」を選んだつの理由である．

そもそも，の幾何構造としてリーマン計量以外のものを考えると，離散群で割った空間の商位相はハウスドルフになるとは限らず，これが大きなハードルとなる．従って，たとえに離散部分群が豊富に存在したとしても，の不連続群（定義は乏しいということがありうる．大まかにいえば，非リーマン等質空間の不連続群，あるいはそのクリフォード・クライン形の研究は，

(3)

離散群そのものの研究＋離散群の作用の研究のつから成り立っているといえる．

たとえば，「コンパクトなクリフォード・クライン形をもつ非リーマン等質空間を決定せよ」という問題においては，後者の「離散群の作用」が重要になる．年代に入ってから，異なる分野の専門家たちが，さまざまな観点と手法から，この問題に参入し始めたが，これまでに用いられた研究手法は，

リー群論や離散群論だけでなく，特性類，シンプレクティック幾何，エルゴード理論，ユニタリ表現論…など既に多岐にわたっており，この新しい研究領域のふところの深さを示唆しているように思われる．

Ü

はじめに

集合が，級多様体と群の構造をかねそなえており，さらに群演算

が級写像になっているとき，をリー群という．

年という節目の年に，ヒルベルトは世紀の数学の進歩に役立つと考えた個の問題を提起した．そのつとして，リーの変換群論の基礎づけを問題にしたのが「ヒルベルトの第問題」である．それは，

変換群論における微分可能性の仮定が本質的なのか，あるいは議論の技術的な要請のために付け加えているだけで本来は不必要なものなのかを問うものであった．年フォン・ノイマンによって，この問題はより精密な形で定式化され，さらに，グリーソン，モンゴメリ，ジッピン，山辺英彦らによって年ごろに肯定的に解決された．一言でいうと，リー群を定義するにあたってを実解析的に置き換えても実質的には同じ概念が得られるというのがその主定理である．

アーベル群，円，一般線型群などは，リー群の例である．リー群論やその表現論は，世紀全体にわたって微分幾何，関数解析，トポロジー，数論，微分方程式，代数幾何などの分野とさまざまな相互作用をひき起こしながら発展してきた．そこには，

コンパクト群非コンパクト群

(4)

有限次元表現無限次元表現リーマン多様体擬リーマン多様体

という大きな流れがあった．それらは単なる一般化ではなく，新たな困難を克服するにあたって手法の質的な変革ときには，代数的なアプローチが解析的なものにかえる，あるいはその逆に，というほどのをもたらすものでもあった．

この論説は，つのリー群の組から生ずる幾何をテーマとする．

より正確にはとは共にの閉部分群であり，は離散群である．固定部分群がコンパクトとは限らないという一般的な状況で生ずる新しい現象や未解決問題に力点をおいてクリフォード・クライン形にまつわる最前線の話題を解説しよう．

クリフォード・クライン形を考える手始めに，以下は，がコンパクトになる古典的な例であるが向きづけ可能な閉曲面を考えてみよう．よく知られている閉曲面の分類定理によれば，は，球面，トーラス，種数の閉曲面のうちのどれか一つに同相である．この種類の中では，直積の形でリー群の構造を入れることができる．一方，やにはリー群の構造を入れることができない．しかしながらやにも対称性がある．まず，に関して言えば，特殊直交群は回転群としてに作用し，この作用は推移的である．従って，つのリー群の組を用いれば，は等質空間として表示することができる．次に

に関して言えば，はつのリー群の組によって等質空間として表すことはできないが，つのリー群の組を用いればクリフォード・クライン形定義を参照として表すことができる．具体的には，

，例を参照とすればよい．このように，つのリー群の組を用いれば，両側剰余類として表示することのできる多様体の例は大きく拡がるもちろん，群多様体はの場合に相当し，等質空間はの場合に相当する．さらに，閉曲面をつのリー群を用いて

と表示することによって離散群によって統制される位相構造と，複素構造，リーマン構造などポアンカレ上半平面から誘導さ

(5)

れる上の幾何構造を分離して理解することができる．この例でも分かるように，クリフォード・クライン形の研究は，連結な群の組によって統制される局所的な幾何構造と，離散群により統制される大域的な位相構造の両方が自然な形で関与する．

最初に，いくつかの基本的な用語を準備しておこう．まず，離散群が連続に位相空間に作用しているという設定を考える．の部分集合に対して，の部分集合を

と定義する．

■ 定義のへの作用は，その作用の性質によって次のような名称が付けられている．

の任意のコンパクト集合に対してが有限となるとき，真性不連続な作用あるいは固有不連続な作用であるという．

任意のに対してにおける固定部分群

となるとき，

自由な作用または固定点を持たない作用であるという．

さて，群が集合に作用しているとき，つまり，

となるが存在する

という同値関係によって定まるの同値類のなす集合をと書く．

はにおける軌道全体のなす集合とみなすこともできるので，の軌道空間と呼ばれる．さらに，が位相空間ならば，には，の位相から誘導した位相商位相を入れることができる．

次のよく知られた補題を見れば，定義の意義は自ずと明らかになろう．

■ 補題離散群が級，リーマン，複素，多様体に連続に滑らかに，等長的に，双正則に，作用しているとする．の作用が真性不連続かつ自由ならば，はハウスドルフ位相空間になり，しかも

(6)

が局所同相微分同相，等長，双正則，になるような多様体の構造をいれることができるさらにこのような多様体の構造はただ一通りである．

をリー群としをその閉部分群とする．すると右剰余類の空間は商位相でハウスドルフであり，多様体の構造は

が級写像になるようにただ一つ定まる．は，等質空間，あるいは等質多様体とよばれる．

次にをの離散部分群とする．は，等質空間に左から滑らかに作用するので，特にの部分群も等質空間に滑らかに作用する．

軌道空間は，両側剰余類の空間と自然に同一視できる．

ここでは

なるが存在するという同値関係で定義されるの同値類の集合のことである．

■ 定義がに真性不連続かつ自由に作用するとき，をの不連続群という．がの不連続群ならば，補題により，両側剰余類の空間は，が局所微分同相になるような級多様体の構造を持つ．このようにして得られた多様体はのクリフォード・クライン形と呼ばれる．

クリフォード・クライン形の例をいくつか挙げよう．

■ 例

とする．このとき，クリフォード・クライン形は次元トーラスに微分同相なコンパクト多様体になる．

行列の上三角実行列

で，対角成分

であ

(7)

るような行列全体のなすリー群をとする．は単連結な冪零リー群である．の部分群として

すべてのとに対して

と定義されるものを考えよう．するとはの離散部分群であり，

なので明らかにへの作用は真性不連続かつ自由である．得られたクリフォード・クライン形はコンパクト多様体である．

とする．このとき，クリフォード・クライン形は非コンパクト多様体となる．のとき，次元多様体

は，下図のように内の三つ葉結び目の補集合と同相になるこのことの説明は，例えばミルナーの著書ページにあるクィレンの証明を参照されたい．

¿

三つ葉結び目

とすると，等質空間は，上半平面

と双正則同型である．さらにをねじれ元がなく，の中で余コンパクトな離散部分群とすると，クリフォード・クライン形は，種数の閉リーマン面になる例参照．

，をの任意の非コンパクトな閉部分群とする．このとき，の不連続群は有限群に限るこれは，^!節や例で後述するカラビ・マルクス現象の例である．

部分群がコンパクトならば，の離散部分群のへの作用は自

(8)

動的に真性不連続になる．しかし，が非コンパクトならば，離散部分群の作用は真性不連続になるとは限らない．実際，両側剰余類の商位相はハウスドルフにならないことがある．一般に，リー群とその閉部分群が与えられたとき，等質空間には無限位数の不連続群が存在することもあれば，存在しないこともある．すなわち，等質空間のクリフォード・クライン形がどれ位豊富に存在するかは，リー群の組によって著しく異なるのである．現在，等質空間のクリフォード・クライン形に関して，まだ解かれていない基本的な問題がたくさんある例えば，最近の概説論文^"の最後の章に挙げられた個の未解決問題を参照．

この論説では，等質空間に対する不連続群に関する未解決問題のうち，最も重要だと考えられる問題をつ取り上げることにしよう．

■ 未解決問題真性不連続性の判定条件離散部分群が等質空間に真性不連続に作用するかどうかを判定する効果的な方法を見つけよ．

■ 未解決問題コンパクトなクリフォード・クライン形の存在問題コンパクトなクリフォード・クライン形が存在するのはいつか^# そのような等質空間をすべて決定せよ．

■ 未解決問題体積有限のクリフォード・クライン形の存在問題体積有限のクリフォード・クライン形が存在するのはいつか^# そのような等質空間をすべて決定せよ．

■ 未解決問題不連続群の変形モジュライ等質空間の不連続群の変形を記述せよ．

この論説で我々が対象としているのは，が非コンパクトであるときの等質空間に対する問題^$〜^%である一方，がコンパクトであるときには問題^$〜^%は非常に古くから良く研究されている．第節を終えるにあたって，がコンパクトのときの古典的結果を手短かに復習することに

(9)

非リーマン等質空間の不連続群論する．

最初に，がコンパクトのときは，問題 ^$の解は簡単である．

問題の答がコンパクトの場合がコンパクトならば，のいかなる離散群もに真性不連続に作用する．

この主張自身の証明はほぼ明らかである．がコンパクトであるときとそうでないときとの違いは簡単であるが，^!で後述する一般的な枠組みとを用いると，一層明瞭になるであろう．

次に，を簡約リー群定義は参照とし，をの極大コンパクト部分群とする．はその典型的な例である．このとき，等質空間には，不変なリーマン計量が存在する．リーマン多様体はリーマン対称空間と呼ばれる．この設定のもとで，上記の問題^&と^%を考えてみよう．

問題の答がコンパクトの場合 ^!年代初頭，算術的部分群の理論

!を基盤として，ボレル^"は，任意のリーマン対称空間に対し，そのコンパクトなクリフォード・クライン形が常に存在することを証明した．さらに，が非コンパクト半単純リー群ならば，体積有限でありしかも非コンパクトなクリフォード・クライン形も常に存在するということも知られている．

問題の答がコンパクトの場合セルバーグ・ヴェイユの局所剛性定理^! によれば，既約なリーマン対称空間のコンパクトクリフォード・クライン形は，がポアンカレ上半平面である場合を除いて局所剛性定義参照であるなお，局所剛性定理は，後にモストウ，マルグリス，ジンマー等によって，さらに強い形の剛性定理へと拡張された．換言すればがコンパクトかつが既約な対称空間の場合には，コンパクトクリフォード・クライン形の非自明な変形は，が次元のとき，すなわち

のときのみ可能である．この場合，クリフォード・クライン形の変形は，可微分多様体の複素構造の変形に対応する．複素構造の同値類の全体はリーマン面のモジュライと呼ばれ，

数学の中で伝統的に重要な話題の一つであるというだけでなく，弦理論や共形場理論など数理物理においても近年頻繁に現れている．

(10)

がコンパクトでないときは，つのリー群の組が特別な場合に対してでさえも，これらの問題を解くのは難しいことが多い．一般の等質空間に対してこのような問題意識が提起されたのは比較的最近のことである．年代に入って，数学の様々な分野の手法を用いて，いくつかの特別な場合にこれらの問題が解かれた．クリフォード・クライン形の存在問題を解くために用いられたさまざまな分野の手法が互いにどのようにかかわりあっているか，今の所，はっきりとはわからない．その理解は将来の課題である．この論説では第節でウォーミングアップをしたあと，第節，節，節で順に問題^$，^&，^%の定式化やその背景および，

現在どのような手法でどこまでわかっているかを具体例とともに説明しよう．

Ü

クリフォード・クライン形における幾何構造

等質空間上に不変な幾何構造例えば，複素構造，擬リーマン構造，共形構造，シンプレクティック構造などがあれば同じ幾何構造が被覆写像

を通して，クリフォード・クライン形にもそのまま受け継がれる．

良く知られているように，等質空間上の不変な幾何構造は次の基本原理によって与えることができる：まず，における接空間

上の不変なテンソルをとり，それをの作用で移動する．の作用で移動したときに，移動の仕方によらずに定義できるために，出発点のテンソルの不変性を使うのである．こうして得られた上の幾何構造は自動的に不変となる．ここで，とは，それぞれとのリー環である．

が実簡約線型リー群，つまり，の連結成分は高々有限個であり，

，すなわちがすべてのに対して成り立つような

の閉部分群として実現される場合を考えよう．以下の古典群

などは簡約線型リー群の典型例である．

■ 例

(11)

擬リーマン構造まず対称双線型形式

!'()* !

を考える

+

対称行列

交代行列

とおくと，双線型形式は⁺ 上で正定値であり，上で負定値である．さらに，⁺ とはに関して直交しているので，

の符号は

, + ,

-

となる．次にはを満たすの部分空間であるから，をに制限した双線型写像も非退化である．の符号は

", "となる．ここで，

", +

とおいた．

を満たすとき，等質空間を簡約型と呼ぶ．かつ

ならば，対称双線型形式をやに制限したときいずれも非退化であるので，商空間上に非退化双線型形式 ^.が誘導される．

このとき

.

は不変となる．そこで，をにおける接空間と同一視し，^. をで左移動すると，に擬リーマン計量定義は^!参照をいれることができる．実際，^. は不変なので，^.の移動は矛盾なく定まるからである．特に，この擬リーマン計量は不変となる．この擬リーマン計量の符号は

"", , "-"

である

(12)

シンプレクティック構造の元^#をつ選び随伴軌道

$,# #

を考えよう．

#

とおくと^$,# は等質空間と微分同相になる．さて，反対称双線型形式

$ !'()* !#

は，の代表元のとり方によらず定義され，さらに，不変である．^$ を

移動することによって，上に不変なシンプレクティック構造を定めることができる一般に，のへの軌道，すなわち，余随伴軌道にはシンプレクティック構造が存在する．が簡約の場合は，非退化なを用いてとが同一視できるので，任意の随伴軌道にシンプレクティック構造が定義できるのである．

複素構造の設定のもと，さらに，

),# # #

が対角化可能で，固有値が全て純虚数であると仮定する．このとき対応する随伴軌道^$,# は，楕円軌道と呼ばれる．楕円軌道には，

不変な複素構造が存在することが知られている ⁾^! 説明のヒントこの仮定の下では，複素リー群の一般化された旗多様体の開部分集合として実現できる．ここで，もも，複素リー群であることを仮定していないのに，等質空間には複素構造が入ることに注意する．

上の例では，等質空間上のつの幾何構造擬リーマン，シンプレクテック，複素を取り上げた．例えば，

は，との例になっている．また，

は，，，すべての例になっている．

(13)

逆に，幾何構造を持った多様体から出発して，があるつ組

を用いてクリフォード・クライン形として表すことができるだろうか^# できるならば，どのような状況において表されるかを議論しよう．初等的な考察をまず述べ，その後に典型例を挙げることにする．

を可微分多様体とし，^%を上の幾何構造とする．をの普遍被覆多様体とする．被覆写像を

と書く．すると，局所微分同相写像を通して，上にも同じ幾何構造^%を引き戻すことができる．

のすべての微分同相写像全体のなす群^/0と書かれるは，非常に大きな群である．その部分群として，幾何構造の自己同型群を

$1

%

/0

は^% を保つ

とおく．

■ 例 ^% が擬リーマン構造のときは，は等長変換群と呼ばれる．

% が複素構造のとき，は双正則変換群と呼ばれる．

幾何構造の自己同型群は，しばしば有限次元のリー群になる．²カルタンによって年に証明された定理「の有界領域の双正則変換群はリー群になる」がこのようなタイプの最初の結果である．引き続いて，

年にマイヤーズとスティーンロッドは，リーマン多様体の等長変換群がリー群になることを証明した．より一般に，擬リーマン多様体の等長変換群はつねにリー群になることが知られている．

どのような幾何構造^% に対して群^$1^%がリー群になるのかという一般的な問題については小林昭七の著書を参照されたい．

普遍被覆多様体の点を一つ選び，^.とおく．の部分群とを

(14)

固定部分群

. 基本群

で定義する．がの部分群をなすことをみるには，次のように考えればよい．

基本群 ^. は，被覆変換，つまり，^Æなる微分同相として，に作用する．被覆変換は，被覆写像を通じて上に引き戻した幾何構造^%を明らかに保つ．さらに，のへの作用は効果的である．よっては自己同型群の部分群とみなせるただし点のとり方には依存している

被覆変換の一般的な性質としてのへの作用は真性不連続かつ自由であり，軌道空間は，自然にに微分同相となることに注意する．よって，次の命題を得る．

■ 命題を幾何構造^% を持った多様体とする．自己同型群

$1

%がリー群となり，さらにに推移的に作用すると仮定する．すると，は，以下の可換図式により，クリフォード・クライン形と自然に微分同相となる．

.．

命題の例として，古典的結果をつ列挙しよう．

■ 例をリーマン面とし，^%を上の複素構造とする．クライン・

ポアンカレ・ケーべの一意化定理これはリーマンの写像定理の一般化であるにより，普遍被覆多様体は，またはまたはのどれか一つに双正則同値である．双正則変換群^$1^%は，それぞれ

$1 %

$1%&''

半直積

$1%

で与えられる．これらの作用は，一次分数変換

(15)

-(

)-"

で与えられる⁽⁾^" は，のときすべて実数³ のとき ⁾

" と考えれば良い．普遍被覆がいずれの場合にも，

それぞれの双正則変換群は，に推移的に作用し，固定部分群はそれぞれ，と同型な群になる．よって，命題により，任意のリーマン面はを上記のリー群の組の一つを用い，クリフォード・

クライン形と双正則な多様体として自然に表すことができる．なお，が種数のコンパクトリーマン面のとき

となるここでは双正則同値を表す

(16)

¼

Æ

¼

Æ

¼

¾

½

を可微分多様体とする．命題の番目の例として，符号の擬リーマン球空間形を考えよう．はじめに，いくつかの用語を定義しよう．各接空間に非退化な対称双線型形式で，上の任意の滑らかなベクトル場，^! に対して

!がの滑らかな関数になっているとき，を擬リーマン多様体と呼ぶ．対称双線型形式の符号は，

局所的に定数である．は，のときリーマン多様体，のときローレンツ多様体という．どの測地線もその時間パラメータが全体で定義できるとき，その擬リーマン多様体を完備であるという．

(17)

擬リーマン多様体の断面曲率は，非退化な

内の次元平面 ^*に対して，

*

+!#!#

!!

# #

!#

という式で定義される．ここで，^!^#は^*の基底であり，⁺はの曲率テンソルである．定義式の右辺は，^*の基底^!^#のとり方によらない．

, が^*における原点の小さい近傍のとき，断面曲率

*はにおける次元の部分多様体^45,のガウス曲率になっている．この意味で，

断面曲率

*は古典的なガウス曲率の概念の拡張になっているといえる．

■ 例を符号の完備な擬リーマン多様体とする．断面曲率が正の定数のとき，を符号の球空間形と呼ぶ．適当に計量を正の定数倍すれば，断面曲率を^- と正規化できる．また，計量を倍すると，

は断面曲率が負の定数となる符号の擬リーマン多様体になることに注意する．符号の球空間形の典型例は次のように与えられる．

上の次形式^-を

-

--

と定義する．超曲面上の符号^- の標準的な擬リーマン計量

".

"

--"

"

を超曲面

-

に制限して，に擬リーマン構造を入れる．このとき，擬リーマン多様体の符号はとなる．さらに，の断面曲率は正の定数^- をとる．逆に，のとき，任意の符号の球空間形の普遍被覆はに等長同型であることが知られているなお，のときは，

は単連結ではない．次元の場合のすなわち^-を図示しておこう：

(18)

不定値直交群 ^- は

-- -

-

によって定義される簡約線型リー群である． ^- は，擬リーマン多様体に等長変換として自然に作用する．逆に，上の任意の擬リーマン等長変換は ^- の変換として与えられる． ^- の

への作用は推移的であり，上の点における固定部分群はに同型である．従って，命題より，符号の任意の球空間形⁶はクリフォード・クライン形

-

と等長同型な多様体として表示できる．ここで，は基本群と同型な

- の離散部分群であることが分った．

注意の場合は次元球面に標準的なリーマン計量を与えたものにほかならない．符号のすべての球空間形を求める分類問題は，クラインの年の論文で提起され，キリングによってクリフォード・クライン空間形問題と命名された．この問題は「 ^-

に自由に作用する ^- のすべての有限部分群を分類せよ」という問題と同値である．これはさらに，「単位元以外は^- を固有値として持たないような ^- の有限部分群をすべて分類せよ」という有限群の問題に帰着できる．この問題は，ホップの年の論文やウォルフの年

(19)

の著書^!などで詳しく扱われている．

の場合擬リーマン計量を倍すると，は双曲多様体と呼ばれる負の定曲率のリーマン多様体になる．ときにロバチェフスキー幾何とも呼ばれる双曲幾何は，世紀のボヤイガウス，ロバチェフスキー等による非ユークリッド幾何のモデルに端を発し，世紀後半の次元多様体のトポロジーや幾何に関するサーストンの仕事や双曲群の理論などの最近の論文に至るまで長い研究の歴史と膨大な文献がある．

の場合相対性理論にもとづいた宇宙論の物理では，時空の連続体として，次元のローレンツ多様体が採用される．符号の球空間形は相対論的球空間形，あるいはド・ジッター空間とよばれる宇宙論的な視点からはホーキング・エリスの著書 ^!を参照．カラビとマルクスは，

!年の論文で，「任意の相対論的球空間形は非コンパクトであり，その基本群は有限になる」という驚くべき現象を発見した．彼らの結果は次の形に再定式化できる．

「 ^- の任意の不連続群は有限群である」

与えられた等質空間の任意の不連続群が有限群になるという性質はカラビ・

マルクス現象と呼ばれているカラビ・マルクス現象については第節で論じる例定理を参照．

の場合符号の球空間形は反ド・ジッター空間と呼ばれる．

第節で述べるように，が偶数のとき，そしてそのときに限り，コンパクトな反ド・ジッター空間が存在する下記の^!においての欄を参照．

擬リーマン多様体の符号がどのようなときにコンパクトな球空間形が存在するかを完全に決定する問題は未解決である．次は，第節で後述する予想を ^- に適用したときの特別な場合である．

■ 予想が以下のリストに入っているとき，そしてそのときに限り，コンパクトな符号の球空間形が存在するであろう

が下の表にあるときにコンパクトな球空間形が存在すること十分条件はボレル・クルカルニ・小林によって証明されているそのアイディアは第節で後述する．より一般の場合は^"の一覧表参照．逆に，コンパク

(20)

トな球空間形が存在するような擬リーマン多様体の符号⁷は下の表に出てくるものに限られると言う予想必要条件はまだ証明されていない．さらに一般的な場合については例で触れることにする．

"

命題の番目の例として，アファイン平坦な多様体を考える．すなわち，幾何構造^% としてはアファイン接続を扱うのである．

■ 例を曲率テンソルと捩率テンソルが恒等的にであるような完備なアファイン接続を持つ次元多様体とする．このときは，完備でアファイン平坦な多様体と呼ばれる．年のアウスランダーとマルクスによる定理により，その普遍被覆多様体は標準アファイン空間に同型である．一方，アファイン変換群

$1

%&'' 半直積

はに推移的に作用する．よって，命題より，任意の完備でアファイン平坦な多様体はクリフォード・クライン形 ^&'^' として表示できる．ここでは基本群と同型な ^&'' の離散部分群である．次はその基本群に関する未解決問題である．

■ 予想アウスランダー予想を完備でアファイン平坦な多様体とする．

がコンパクトならば，基本群はほぼ可解群である．

ここで，ほぼ可換群というのは，有限指数の可解部分群を含んでいるという意味である無限群を扱っているので，有限指数程度の差は気にしない．

この予想は，等質空間の不連続群の文脈では次のように再定式化できる．

■ 予想アウスランダー予想の群論的定式化クリフォード・クライン形

&'' がコンパクトならば，はほぼ可解群である．

ミルナーはにおいてはコンパクトと言う仮定を落として同じ結論を予想したが，その数年後にマルグリスは次元の場合にミルナーの予

(21)

想の反例を与えた．一方，この離散群に関する予想と類似の命題を連結な群に対して考えると，コンパクト性の仮定なしに成立する．つまりが

&'' の連結な部分群でに真性^{( (}に作用しているならば，

は可解群のコンパクト群による拡大である参照．第節では，もっと一般の設定の中でこの例を振り返ることにしよう例参照．

なお，アウスランダー予想はアファイン接続がリーマン構造のレビ・チビタ接続のときは成立するビーベルバッハ年．また，ローレンツ構造に対しても成立する年のゴールドマン・神島や年のトマノフ

"も参照．リーマンあるいはローレンツ多様体と仮定した場合には，等質空間が元来のではなく

またはのときの不連続群に関する問題に帰着

される．多様体としては

はすべてと微分同相であるががどの変換群の部分群になっているかという点で問題の難しさが異なる．）接続がレビ・チビタ接続とは限らない一般の場合には，アウスランダー予想は^! に対しては未解決である^!については，年のアーベルス・マルグリス・ゾイファーが解決したことをアナウンスした．

これまで，が与えられた幾何構造の自己同型群であるときの命題の例をいくつか説明してきた．より一般には構造という概念例えば，サーストンの著書を参照から説明することもできる．その文脈ではクリフォード・クライン形が以下のように自然に現れる．リー群が滑らかに多様体に作用しているとする．に値を持つようなのアトラス

,

/

によっての多様体としての構造が与えられており，さらに変換関数^/^Æ^/

/

,

/

,

がのへの作用の形で与えられているとき，多様体には構造が定められているという．このとき，普遍被覆多様体にも自然に構造が定義される．さらに，

アトラス^, /

を拡張して，普遍被覆多様体からへの写像が一意的に定義できる

,8

写像^,8を展開写像と呼ぶ．そしてホロノミー写像と呼ばれる群準同型 ^.

(22)

が存在し，ホロノミー写像を通して展開写像^,8は ^. 同変になる．

展開写像^,8が全射であるとき，を完備な多様体という．

多様体がクリフォード・クライン形として表示されるための内在的な条件を多様体の言葉で以下のように述べることができる．

■ 命題等質空間が単連結であるとする．とおく．

が完備な多様体ならば，展開写像によってとクリフォード・クライン形との間に自然な微分同相が誘導される．ここで，は，ホロノミー写像による基本群 ^. の像である．

Ü

真性不連続な作用の判定条件

この節では次の問題について議論する．

■ 問題 ^Ü 参照離散部分群が等質空間に真性不連続に作用するかどうかを判定する効果的な方法を見つけよ．

位相空間における真性不連続な作用の定義そのものは少なくとも外見は簡単である．しかし，一般にリー群の離散部分群が与えられたとき，等質空間へのの作用が真性不連続かどうかを実際に判定することは容易ではない．問題^$における判定条件は，たとえば，次のような問題に答えられるほど具体的な判定条件であることが望ましい．

■ 問題等質空間を与えたとき，基本群が無限位数となるクリフォード・クライン形は存在するか．

■ 問題等質空間を与えたとき，非可換自由群はその不連続群になりうるか．

ここでは，問題とについて，現在どの程度まで解き明かされているかを示す例をいくつか挙げよう．以下では，最も一般的な形で定理を記述するかわりに，典型的な例を挙げることにする．

■ 例次元以上の相対論的球空間形

に対しては問題の答は⁹であることが知られている ^!年カラ

(23)

ビ・マルクス．

擬リーマン対称空間に対しては問題の答は⁹であり， ^- に対しては^:であることが知られているより一般の結果は定理で述べる．

可解な等質空間すなわち，が可解リー群でありは連結かつ閉であるような真部分群であるときは，問題の答はつねに^:であることが知られている年の小林の論文^!によって証明された．年のリップスマンの論文もこの問題を論じている．

■ 例アファイン平坦な多様体に対しては問題の答は^:であることが知られている年マルグリス．この例はアウスランダー予想においてがコンパクトであるという仮定を落としたときにミルナーが ""年に提起した問題の反例にもなっている．

擬リーマン等質空間に対しては問題の答は⁹であることが知られている ^!年ブノワ．

一般の簡約リー群の組に対して，問題は小林の年の論文において実ランク条件による必要十分条件が証明されて解決し定理，また，問題はブノワの ^!年の論文によって解決した．

これらの結果は簡約リー群に対する問題 ^$ の答の副産物として得られる

"で説明する．

なお，アファイン変換群^&'^' のような一般の簡約でないリー群に対しては，問題^$は，依然として未解決である．

簡単な例をいくつか取り上げ，問題^$の微妙な部分を明らかにしよう．

■ 例以下の，のように，離散部分群の多様体への通りの作用を考える

-．

．

このとき，の作用は真性不連続かつ自由である．得られる商空間は，円に微分同相である．

(24)

一方では，商空間はハウスドルク空間でない．実際，商空間

は，一点が連結に^;なるような位相を入れた空間と同相であることがわかる．また，原点における固定部分群はに等しく，

しかもがでない限りを通る軌道は閉集合でない．次の補題で述べるように，これらはいずれもの作用が真性不連続ではないことを意味している．

例の作用が真性不連続でない理由をもう少し丁寧に見てみよう．

次の補題の証明は，位相空間論の簡単な演習問題程度である．

■ 補題固有不連続性のための必要条件離散群が局所コンパクトハウスドルク空間に真性不連続に作用しているとする．このとき次の，

が成り立つ．

任意のに対して，における固定部分群は有限群となる．

任意のに対して，を通る軌道はの閉部分集合となる．

残念な事に，補題は真性不連続性の十分条件ではない．以下に述べる次元の例は補題だけでは到達できない問題^$の本質的な難しさを示唆している．

■ 例離散群の多様体

への作用を

．

によって定義する．このとき任意の点で固定部分群はであり，任意の

軌道はで閉集合である左下図参照．従って補題で述べたつの必要条件は満たされている．しかし，この作用は真性不連続でない．そのことを確かめてみよう．を単位円周とする．このときは任意のに対して内部の面積が一定の楕円になる．以下の図から

任意のに対して

がわかる右下図参照．したがって，がコンパクトであるにもかかわらず

無限群となり，作用が真性不連続でないことが示された．

(25)

任意の軌道は閉集合になっている

上記の作用によって得られる商空間はハウスドルフでない．実際，商空間は，以下の図に連結な非ハウスドルフ位相を与えた空間を底空間とする束と同相である．

この例を群論的な立場から説明すると次のようになる．

(

とおく．このときは

に推移的に作用する．は点

における等方部分群に一致するので，次の同相写像が得られる．

．

(26)

ここで，左移動によるのへの作用は，におけるのへの作用と同等であり，それゆえ，のへ作用は真性不連続でない．

例で述べたように，，を非コンパクトな閉部分群としたとき，等質空間に，無限位数の不連続群は存在しない．上記の例は，この特別なしかし，もっとも核心に触れた例になっている．

さて，特定の等質空間に対する不連続群の旧来のアプローチは，

等質空間そのものを研究対象とし，個別の等質空間が持つ特有の性質を使うものであったこのために，がランクの対称空間の特殊な例であっても，例えば年のクルカルニの論文のように離散群の作用が真性不連続かどうかを確かめるのに膨大な計算が必要になっていた．

年代後半になるまで，高いランクの擬リーマン対称空間の不連続群の研究が行われていなかった背景には， ^!年代初頭のカラビ・マルクスの悲観的な印象を与える例の影響が残っていたと同時に，等質空間そのものの上で解析を行うという従来の手法では計算量が限界にきていたという事情もあったのかも知れない．年に一般の擬リーマン対称空間に対して問題^$を解決するにあたって，筆者は等質空間を直接扱うのを避けて群の中でとを対等に扱うという方針をとった．そして，真性不連続性が有限次元表現の行列要素として表される上の関数の漸近挙動によって記述しようアイデアでの表現論を用いた．こうすることによって，通常の意味での真性不連続性の幾何学的直観は通用しなくなる反面，群

上の関数空間や表現論とのかかわりが生まれたこのアイデアはカラビ・マルクス現象の解決だけでなく，最近の，簡約リー群の等質空間に対する不連続群の研究例えば，問題 ^$の解決，において基本的な手法となっている．

さて，真性不連続性の判定条件を考えるにあたって，記号や設定を最大限一般的な枠組みにして系統的に説明しよう．この枠組みは，最近，不連続面の研究が進展している簡約リー群の場合以外に対しても役に立つかもしれない．以下の定義に述べるこの枠組み固定部分群に対応すると離散部分群に対応するのいずれの群構造までも忘れてしまうことにあるこれによって，例えば定理^"で述べるような函手的な対応が可能になる．

(27)

■ 定義を局所コンパクト群とし，，をその部分集合とする．

のコンパクト集合で，かつを満たすものが存在するとき，と書くことにする．このとき，はの部分集合の間の同値関係を定める．

の任意のコンパクト部分集合に対してが相対コンパクトであるとき，組は内で真性^{( (} であるといい，と書くことにする．

の部分集合に対して，

はの部分集合で，をみたす．と定義し，を不連続双対と呼ぶ．

群が可換ならば，やの関係式は著しく簡単になる

■ 例とを可換群の部分空間とする．

のとき，そしてそのときに限り，内でである．

また，定義に戻って考えれば，次の例は明らかであろう．

■ 例がコンパクトならば，の任意の部分集合に対してが成り立つ．

なお，という記号は微分幾何において部分多様体が横断的に交わるという意味で用いられることが多いが，ここでは全く違う意味でこの記号が使われている事に注意しよう．

を何のために定義したのかを明らかにするために次の命題を述べよう．

■ 命題はの部分集合とする．

とすると，とは同値である．

双対原理とは同値である．

をの離散部分群，を閉部分群とすると，内でであることと，がに真性不連続に作用することは同値である．

(28)

我々の本来の目標は離散群の作用が固有不連続であるかどうかを具体的に判定することであった．このためには，より，を理解すればよいことがわかる．この目的のためには，より，の差は考慮しなくてもよいので思考の節約になる．

簡単な注意だが，例^!と命題^!から分かるように，がコンパクト部分群ならばの任意の離散部分群はに真性不連続に作用する．

従って，固有不連続性が問われるのは，がコンパクトでない場合特有の問題であることがわかる．

いまや，問題^$はより一般的な形で再定式化される．

■ 問題，をの部分集合とする．においてであるための判定条件を求めよ．

逆に，部分集合は，内でとなるような部分集合たちによって完全に特徴づけられるのだろうか．より正確に述べると次のようになる．

■ 問題をリー群とする．の部分集合は，同値関係の分を除いて，不連続双対によって決定されるか？

が簡約線型リー群の場合には，問題^!は ^!年の論文で肯定的に解決された．実際，部分集合は同値関係〜の部分を除いて不連続双対から復元できるのである．が簡約リー群でない場合には，

問題^!の解答は知られていない．

問題 ^$は三つ組の簡約リー群に対しては年に小林によって解決され ^!年の論文でブノワと小林によって簡約リー群，

は任意の部分集合に一般化された．この結果をに限定して簡潔に紹介する事にしよう．

正方行列に対して，行列は正定値対称行列である．その固有値を大きい方から順に並べて⁰ ⁰ と書く．このとき，

1 <=0 <=0 ．

(29)

と定義する．すると，に関する問題 ^$の解答は次のようになる．

■ 定理，をの部分集合とする．

においてであることは，において¹¹ であることと同値である．

においてであることは，において¹¹であることと同値である．

可換群に対してはやの関係式の意味は簡単である例^!参照．従って，定理^"が判定条件としてて役立つのである．

が一般の簡約リー群の場合には，の極大化部分空間をとる参照．このとき，カルタン分解⁵を用いてカルタン射影

1

を定義することができる．カルタン射影¹ を用いれば，のかわりに任意の簡約線型リー群に対して定理^"と同様の結果が成り立つ．の次元はの実ランクと呼ばれ， ^()>?と書かれる．例えば，

()>? ()>? >

が成り立つ．

注意 ^" 定理 ^"のにおけるとにおけるは自明である．

におけるは行列を摂動させたときの固有値の一様な誤差評価に関連している．これに関しては，古くからさまざまな結果が知られているが，その原型となるのはワイルによる次の不等式である ^&，をエルミート行列としその固有値をそれぞれ，² ² と³ ³ とする．このとき，

)52

3

&

「不連続双対がもとの部分集合を復元する」という問題^!の肯定的な解決を用いることによってにおけるが証明できる．

カルタン射影の像¹が小さいほど，に多くの不連続群が存在

(30)

するというのが定理^"の大まかな意味である．¹が最も小さくなるのは，¹がコンパクト，つまりがコンパクトなときである．このとき，

すでに見てきたようにの任意の離散部分群はに対する不連続群になる．一方，逆に¹が最も大きくなるのは¹¹のときである．

このとき，に対する無限位数の不連続群は存在しないカラビ・マルクス現象．リー群の組が簡約^(,*18の場合にこれは必要条件にもなる．すなわち，次の定理が成り立つ．

■ 定理擬リーマン等質空間におけるカラビ・マルクス現象の必要十分条件，を線型簡約リー群の組とする．このとき，擬リーマン等質空間に無限位数の不連続群が存在する事と¹¹は同値である．さらにこの条件は， ^()>? ^()>? とも同値である．

リー群論の手法によって証明された結果に幾何的な別証明を与えるというのは面白い試みだろう．リー群論の強力な手法によって発見された新しい現象や豊富な実例が，擬リーマン幾何の未知の定理の発見や予測につながるということも考えられる．定理の典型的な例を摂動することによって，次のような予想を提起する．

■ 予想とし，を符号のコンパクト擬リーマン多様体とする．断面曲率の下限が正であるとする．このとき，以下を予想する．

は常に決してコンパクトにならない．

- ならば，基本群は常に有限群である．

この予想は例^!により断面曲率が一定ならば成り立つ．なぜならば

()>? - ()>?

は^>^- ^> と同値であり，それはつまり，であるからである．符号の擬リーマン等質空間 ^- の任意のクリフォード・クライン形もまた，予想の結論を満たす．この場合は，断面曲率は正であるが定数ではない．

章 非リーマン等質空間の不連

第

章 非リーマン等質空間の不連

続群論

はじめに

クリフォード・クライン形における幾何構造

真性不連続な作用の判定条件

章非リーマン等質空間の不連

章非リーマン等質空間の不連