Ｏ
□
第
2章
微 分形 式 と外微 分 63であるので、(ιグ.,2̲」た
=0と
なる。したがつて、各(jl■2,・ …,れ ),L,2,ヽな=1,2,γれに対 して αtl,2二ん
=0と
な る。(五){ω.1●
ω
12●・ …⑧
ω
oた}づ112■…
￨た=1,2,…mが 畠 y*を 生成することを示す。
任意のω∈畠
y・に対して、ω
(e,1,Ct2'・…
'Ctん)=b.1ゎ
づ た∈ Rと お
く。 この とき、任 意 の
A・
一次微分形式の ときと同様 に、曲面
S上
の各点Pに
ωp∈ も■ (s)を ひ とつずつ対応 させ たもの を考 える。64 第
2章
微 分 形 式 と外 微 分焉 語 ξ [を 』 irttiェ lsit41鳥 負
1具蜜 √ 夕 勇 鶴 「ま た こ 菖 璽
に た次テ ン ソル場 とよぶ。
(1/:・1,r2)を
Pを
含 むSの
座標 近傍 とす る。 この とき(d■1)P,(απ2)p∈写 0は (:≒ う ρ ,(金 )p∈ ・ 0に 対 す る 期瓢な の で 、 縦
2.2.3よ
り
{(dr,1)P。 (dχゎ
)p● '…。
(d"oた)p}こ 112r¨れ た
=1,2は畠写
(S)の基底
である。 したが つて、
7上
の各点Pに
対応す る 場(S)上
の た次共変 テ ン ソル ωpは
とお く。 ただ し、 ア
11,24は
ソLの
関数 で あ る。 この とき、S上
の た次共変 テ ンソル場 ωがp。 でC∞ 級 で あ る とは次 をみ たす こ とをい う。
ソ 上の関数 .チ1lヵ なが
pOで
θ∞級 関数 で あ る。任意 の点
P∈ Sで
ωが θ∞ 級 で ある とき、S上
の た次 共変 テ ンソル場 ω は こ」∞ 級である とい う。定 義 2.2.5で は、
S上
の た次 共 変 テ ンソル場 ωがPOで
0∞ 級 で あ るかどうか は座標 近傍 の と り方 に依 存す る。しか し、補題 2.1.9や 命題
2.1.10
と同様 に計 算す れ ば、ωがPOで
θ∞級 で あ るか ど うか は座標 近傍 の と り 方 に依存 しない こ とがわ か る。ω p= Σ 」
11ち… Ⅲ
(2)(d・,1)p∞・ を
(α 2)p∞・…い ・ づ
(αた
)p(ノ11ゎ…
ttはy上 の関数
)11,12, ,2A=1,2
と表す こ とが で きる。 これ を用 いてた次 共 変 テ ンソル場 の微 分 可能性 を 定 義す る。
定義
2.2.5Sを
曲面 とし、ω をS上
の た次 共変 テ ンソル場 とす る。S上
の点P。 に対 して、
(y;・
1,・2)を P。 を含 むSの
座標 近傍 とす る。S上
の た次 共変 テ ンソル場 ω を
yに
制 限 した もの を ω′として、″ =tl.≧
=り
れ脚れ 脚仇 ｀ 針 →
pざ第
2章
微 分形 式 と外微 分2。
3 リー マ ン計 量
本節 で は、曲面
Sに
リーマ ン計 量 を定 義す る。概 念 を与 え るもの とな る。
これ は
S上
の 長 さ"の定義 2.3.lSを 曲面とする。 S上 のθ∞級 2次 共変テンソル場ω ={ω ρ
}ρ∈
s が リー マ ン計量 で あ る とは、各 点PcSで
ωPが
次 をみ たす こ とをい う。(i)(対 称性)任意 の υl,υ
2∈ TP(S)に
対 して ωP(υll υ2)=ω
P(υ 2,υl)(五
)(正
定値)任 意の0で
ない υ∈5(S)に
対 して ωP(υ,υ)>0
υを
S上
の リーマ ン計量 とす る。この とき、Sの
座標近傍(1′;Tl J2)L
で ωを局所座標 を用いて表す ことを考 える。命題2.2.3よ り、y上
の関数∴グを用 いて ω
=
Σ ■ブdrt O dZグ と表す ことがで きる。 この とき、定義t,′=1,2
23.1(1)の 対称性 を利用 す る と、
A2=ω (岳 ,発
)=ω (光 ,舟 )
=.ん1
とな り、次 の命題 が示 され た。
命題
2.3,2Sを
曲面 と し、(ム・ 1:π2)をSの
座標 近傍 とす る。 この とき、レ′上の リー マ ン計量 ω は ア 11の関数
̀l,b,cを
用 いて次 の 式で表 され る。ω=αご■
lx″
■｀1+♭
αχ2● (f■2+ε
(α■1●
∂χ2+ど
■2● (fTl) リーマ ン計 量 の具体例 を次 に挙 げる。例 2.3。
3R3内
の曲面Sを
考 え、Pを S上
の点 とす る。(包,υ)∈ Ъ (S)×TP6)に
対 してR3に
お ける ιけ)と
ι(υ)の 内積 ιc)・ ι(υ)を 対 応 させ る写像をク P:Ъ
(,S)×場 (S)→ Rと する。
(ιについては定義
1.4.12を参照さ れたい。
)このとき、 g={gp}p∈ sは リーマン計量である。このリーマン 計量 gを R3か らの誘導計量とよぶ。
証明
次の
4つ
の ことを示せ ば よい。65
第
2章
微 分形 式 と外微 分(1)gpは
多重線型写像 であること鶴1・ 包2ヽ υlυ
2∈ TP(S),α
l,α2∈ Rと
す ると、ιは線型写像 なのでgP(αlし
1+α
2包2,υ)=α
lgP(し1,υ)+α
2gp(し2,υ)yp(し,(ιlυ
l+α
2υ2)=α
lgp(し,υl)十
ここ2ダp(し,υ2)は容 易 に確 かめ られ る。 したが つて、
gPは
多重線 型写像 で あ る。(ii)gP(し
,υ)=gp(υ
:し)であ る こ とgP(包,υ)=ι(a)・ ι(υ
)=ι
(υ)・ ι(し)=%(υ
,し)は成 り立つ。(i五
)oで ない任意のυ∈場
(S)に対して
%(υ,υ)>0で あること
υ∈Ъ (S)が 0で ないとする。このとき、写像ιは命題
1.4.13(li)より 単射であるので′
(υ)キ0で ある。したがつて、
gP(υ.υ)=ι
(υ).ι(υ)>
oと な る。
(iV)gが
σ∞ 級 で あ る こ とこの こ とは、次 の補 題 2.3.4か らわ か る。
(1)〜 (市)よ り、
R3か
らの誘 導計量 θは リーマ ン計 量 とな る。□
補題
2.3.4Sを R3内
での曲面 とす る。(ソ;マι.″)をSの
座標 近傍 と して、Sの R3内
での座標 を(χ(lι、マ'),ゝ′(‖.11).Z(71、
7'))(X・
li Zは 1′′11の (lχ級 関数 )と す る。 この とき、
S上
にお けるR3か
らの誘 導計 量 ″は局 所 座 標 を用 いて次 の よ うに表 わ され る。g= ((併 )2+ (併 )2+ (1等
争)2)αu●
α包+((#)2+(併 )2+(r)2)ぁ .瀞
+(1鮒 11メ 争 +併 併 +係 r)ぃ γ
6い十 瀞ヽ 山
)証明
Pを
ソ 11の点 とする。命題2.3.2よ
り、Pで
のR3か
らの誘導計量 クp
は
7上
の関数 ノi、 ん。ノbを 用いて次 の ように表 され る。(ただ し、ノ1,ノち,ノtの微分可能性 は不明である。)
″ p=ノ
l(p)(ぬ)p区
(どa)2+ん
(p)(ごυ )PC(ご
t')p+ノi3(2)((ご21)P● (α
υ )P十
(d2ノ)PX(ごυ
)2)66
第
2章
微分形式 と外微分 67 でこと
する
計算
を
ヽ
︱ ｐノ
ヽ ｌ ｌ ノ
∂ 一 れ
／ ｆ ｌ ｐ ヽ ヽ
ｌ ｌ ノ
∂ 一ぬ
／
′
︲ ヽ ヽ
／ １ １
＼ θｐ
とき の こ
計算
を
ヽ
︱
′ ノ Ｐ ヽ
ｌ Ｊ ノ
∂
∂υ一
／ １ １ ｐ ヽ ヽ
１
︐ ノ
∂ 一 仇
／ ｆ ｌ
＼
／ １ １
＼ ｇＰ
と
ヽ
︱ Ｐノ ヽ
ｌ ｌ ノ