弓 =QO(葛 :「

)p十 亀 0(τ _:F)p

(ただ し、αα^,ια,ca,ααは 硫 上の関数である。⁾ とお くと、αα(p)dα(P)一 ^bαい)Cα

(p)>0と

^なる。

定義 ^3。

3.5Sを

曲面 とし、υ を

Sの

開集合 とす る。 この とき、υ 上の¹ 次微分形式

θ _l={θ 『

}Pcこ

′ .θ _2={θ ′

}ρ

∈ こ ノ

が υの双対な正規 直交標構 であるとは、次 をみたす ことをい う。

υのある正規直交標構

el = {eT}ρ

∈ υ

,  C2=={Cg}p∈

υ

が存在して、任意の点 P∈ びでθ 『

^,θ

′は ^eT,Cgの 双対基底で

あ る。

定義 3.3.5で は、υ の正規 直 交標構el,c2を用 いて び の双対 な正規 直 交 標構 θl,θ2を定 義 した。 しか し本論文で は、びの正規 直 交標構 を考慮せ ず に直接 び の双 対 な正規 直 交標 構 を扱 いたい。 そ こで、θl,θ

2が

^{υ の双 対}

な正規 直交標 構 とな るための θl,θ2の条件 を次 の命題 で述 べ る。

命題

3.3.6Sを ^R3内

の曲面 と し び を

Sの

座標 近傍 とす る。

S上

の リー マ ン計量

gを R3か

らの誘導計 量 とす る。 この とき、υ 上の

1次

微 分形 式 θ_l,θ2に 対 して次 の(i),(五)は^{同値 であ る。}

第

3章  

ス トー クスの定理

      111

(i)θ^l・θ

2は

υ の双 対 な正規 直 交標構 で あ る。

(ii)θl● θl十 θ2● θ

2=θ

^{で あ る。}

証 明 (i)=⇒ (ii)を示 す。

p∈

υ とす る。θl,θ2は ^1/「 の双対 な正規 直交標構 で あ るので、あ る び の

正規直交標構 ^el,c2が 存在してθ

T,θ

ダは ^CT,Cgの 双対基底となる。このと

き、υ 上 の任 意 のベ ク トル場

χ

 == 

α

lel+a2e2

y=bl el+b2C2

(ただ し、 αl,α2,bl,b2は

S上

の 関 数 で あ る

)に

対 して 、

g(X,y)

=g(α lel+α 2e2,blCl+b2e2)

=α

19(el,ゎlel+わ

2e2)+α

29(e2,わlel+わ

^2e2)

=01わ

19(cl,Cl)+(α lb2+α2bl)g(Cl,e2)+α^{2わ2'(C2・ e2)}

= (11わ 1+α

2b2

とな る。

一方、θ 『

^,θ

′は ^eT,CSの 双対基底より命題

^2.1.3を

用いると、

(θl● θ

l十

θ2● θ

^2)(χ

,y)

= 

^θl(χ)θl(y)十 θ2(χ)θ2(y)

=(al 

^θl(el)+α^2θl(c2))(bl θl(el)十 ^b2θl(e2))

+(alθ

2(el)+α^2θ2(C2))(bl θ2(Cl)十 ^b2θ2(C2))

= 

^α

lbl+a2b2

とな る。 した が つて 、 θ

l●

θ

l+θ

2● θ

2=gと

^{な る。}

次 に、_(五

)==>(i)を

^{示 す。}

まずは、任意の点 Pcび ^において

『 キ0,  θ θ ′キ 0         (3.6)

とな る こ とを背理 法 を用 いて示す。 あ る点

P∈

^{υ において}

『θ

=o      (3.7)

と仮定 す る。 この とき線 型写像

θ ^g:TP(s)→ R

第

3章  

^{ス トー クスの定理} 112

は

2次

元 か ら

1次

元へ の線型 写像 なので、

θ

_,(υ

)=0,  ^υキ 0        (3.8)

となるυ∈Ъ ^(S)が 存在する。したがつて (3.7)(3.8)よ り

g(υ_,υ

)=θ 『

(υ)2+θ^,(υ)2

=。

(υ

)2+02

=0

とな る が 、 これ は リー マ ン計 量 の 定 義^2.3.1(五)に 矛 盾 す る。 よ って

任意の点 P∈ びにおいてθ 『 キ ⁰

で あ り、 同様 に

任意の点 Pcυ ^{においてθ ダキ 0}

で あ る。

い ま、υ 上 の正規 直 交標構 し^1,し2を と り、υ 上 のベ ク トル場 υl,υ2を υ

l =θ

^{2(し2)ul― θ2(し1)u2}

υ

2 =θ

^{l(鶴 2)し}

^{1 θ}

^{l(し 1)し2}

とぉ くと、任 意 の点P∈ ^{υ で}

θ

_T(υ

5)=0,  ^θ

'(υ

T)=0       (3.9)

とな る。 また、任 意 の点

p∈

υ で

υ _Tキ 0,  υ ^gキ

0

となる こ とを背理 法 を用 いて示 す。 あ る点

P∈

^{υ で}

υ ^g=θ

_{T(し3)鶴T一}

『 θ

^(しT)し

と仮定すると、し Tルgは し

(S)の

基底より '=0

『 θ

(し

,)=θ 『

(し

T)=0

となる。したがつて、■ (S)の 基底包

_T,し

^gに 対してθ

_T(鶴

『 )=0と ^なる

の で 、

『 θ =0

第

3章  

^{ス トー クスの定理}

とな る。 しか しこれ は (3.6)に 矛盾 す る。 よって 任 意 の点

P∈

^{υ において、υ}

;キ 0

で あ り、 同様 に

任意の点 P∈ びにおいて、υ _Tキ 0

で あ る。

こ こ で 、

υ 7=満 ^{υ T,  υ ′} g=満 υ

_;

とおくと、 _(39)よ りり

_T,り

_,は 次をみたす。

『 θ

(υ

g)=0,  _{θ ′}

_(υ

T)=0

g(υ

_l,υ

l)=g(υ 2,υ 2)=1

=(θ

lい

1))2

とな るので、

113

0・

10

また 、

ク(υl,υ

2)=(θ

l● θ

l+θ

2● θ

2)(υ

l,υ2)

=θl(り1)θl(υ

2)+θ

2(υl)θ2(υ2)

=0

とな るの で 、 υl.υ

2は

び の 正 規 直 交標 構 で あ る こ とが わ か る。 さ らに、

1=gい

_1,υl)

1=g(υ

2・ υ₂₎

=(θ

18  ^{θ l+θ}

^2●

^{θ2)(υ 卜υ} l)  =(θ l'θ l+θ 2X  ^θ

2)(υ2、

υ

₂₎

=(θ2(υ2))2

『 θ

(υ

T)=± ^1.θ ダ

^(υ

;)=±

¹

とな る。

したが って

(3.10),(3.11)よ

り、必要 とあれ ば υT,υ

;に ‑1を

か ける こ とで θ『^,θ『 は υ^T、 υ

;の

双対基底 とな る。 よって、 主張 は示 され た。

 

^□

υ の双対 な正規 直 交標構 が もつ性 質 を次 の命題 で述 べ る。

命題 ^3。

3.7Sを R3内

の 曲面 と し、υ を

Sの

座標 近 傍 とす る。鈍:θ2と θl、θ2を げの双対 な正規 直交標構 とす る。 この とき、θl,θ 2,θ l,θ

2は

次 をみ たす。

θ_l∧ θ

2=土

^θl∧ θ₂

(3.11)

第

3章  

^{ス トー クスの定理}

証 明

 S上

の関数 α,b,c,ご を用 いて θl、 θ2を

とお くと、

g=θ

l Θ θ

l+θ

2● θ2

=θl● θ

l+θ

2● θ2

であ るので、

= 

^{仇 ,く θ}

^l+θ

^20xo θ2

=(α

^θ

l+わ

^θ2)0(aθ l+bθ

2)十

(Cθ

l十

∂θ2)0(Cθ

l+∂

^θ2)

=(α ^2+ε

^2)θ

l.θ l十

(b2+d2)θ 2● θ

2+(ab+Cα

^)(θl X θ

^2+θ

^{2● θl)}

=θ

l e θ

_l十

θ2Θ θ

2       (3.12)

とな る。θl.θ

2が

び の 双 対 な正 規 直 交標 構 な の で 、 あ る び の 正 規 直 交標 構

el・

e2が 存在してθ 『

^,θ

′は

^CT・

^esの 双対基底となる。

(el,Cl)、 (C卜 e2),(C2,C2) を (3.12)に 代 入す る と

θ

2+β 2=1

b2+α 2=1

ab十

̀d=0

を得 る。 こ こで

θ_l∧ θ

2=(α

^θ

l+わ

^θ2)∧ (βθ

l+″

^θ2)

=α

^どθl∧ θ2+bCθ

2∧

θ_l

=(α ご―^bC)θl∧ θ

2         (3.13)

で あ り、

(a″ ― わr)2

=α

^2α

^2+b2c2̲2α

^bcご

=(α ^{2+C2)(b2+α 2)̲α}

^2b2̲c2α

^2̲2α

^♭cα

=(α

^2+〔′)(b2+α

2)̲(ab tt Cα

)2

==   1

とな るので、α^(′ 一レ

=±

1と な る。 これ を (3.13)に 代 入す る こ とに よっ て 主張 は示 され た。

      

^□

114

θ   θ わ ご

十  

＋

♂ Ｊ 一一  

θ一 ｌ θ一

２ ｒ ｌ く ｉ ｔ

第

3章  

ス トー クス の定理 115 次 に、双対 な正規 直 交標構 θl、 θ2の向 きに関す る定 義 を述 べ る。

定義

3.3.8向

きづ け られた曲面

Sは

座標近傍系 Φ

={(比

:Zα,να)}α∈ハに よって向 きづ け られているとす る。υを

Sの

座標近傍 とし、θl,θ2を υの 双対 な正規直交標構 とす る。 この とき、θl,θ

2が

^この順で

Sの

向 きと適合 す る とは次 をみたす ことをい う。

υ上の各点Pに ついて、Pを 含む任意の座標近傍 じ鴨 ″α

^,υ

α )∈

Φに対 して

『 θ

^Aθ

′

で あ る。

曲面

Sの

正規 直 交標 構el,c2の 向 き とその双対 な正規 直 交標構 と θl,θ2

の向 きの関係 につ いて次 の命題 で述べ る。

命題

3.3.9Sを

向 きづ け られた曲面 とし、び を

S内

の領域 とす る。cl,c2 を υ [1の正規 直 交標 構 と し、el,e2に関す る υ

Lの

双対 な正規 直 交標構 を θl.θ2と す る。 この とき次 の(1)(il)は 同値 で あ る。

(1)el,e2が

^{この順 で}

Sの

向 き と適合す る。

(五

)θ

l.θ

2が

^{この順 で}

Sの

向 き と適合す る。

証 明

 Sの

^{座標 近傍 系}_{(鴫^;χα,ソα)}α∈スに よって

Sの

向 きが定 まる と し、

任 意 の ρ∈び に対 して

P∈

磁、となる し^4α を とる。α,わ、β,ど を実数 と し、

＞０ ヽ

︑

︲

′

／ ρ ヽ

︑

︲ プ ノ

∂ 一

ドキュメント内 曲面上の微分形式について ： ストークスの定理の応用まで (ページ 111-116)