2)=(券 )P={::コ

第

2章  

微 分形 式 と外微 分 57 例

2,1.5Sを

曲面 として、

Pを S上

の点 とす る。∫を

Pの

^{まわ りの近傍}

y⊂ _Sを

_{定義域 にもつ θ}∞級関数 とする。このとき、υ∈

TP(S)に

υ_(y.)∈

Rを

対応 させ る写像 を(ィ)ρ と表す ことにす る。 す る と、(ィ)pは 余接ベ ク トルである。

証明

 

^υ,り を

TP(S)の

元 として、α,わ を実数 とす る。 この とき、

(dハP(αυ+わυ

)=(α

^{υ十わυ)(.f)}

=α υ(∫

)十

^bυ(∫)

=a(イ

)ρ(υ

)十 b(イ )p(υ

)

と変形で き、写像

(げ )p i TP(S)→ Rは

線型写像 で あ るので、(げ)pは 写

(S)の

^{元であ る。}

       

^□

ベ ク トル場 を考 えた ときと同様 に、曲面上の各点 に余接ベク トル を対 応 させ るものを考 える。

定義

2.1.6Sを

曲面 とす る。

S上

の各点

Pに

余接 ベ ク トル空間 写 (S)の

元ω _Pを ひとつずつ対応させる対応ω ={ω

p}p∈

Sを 、 S上 の 1次 微分形式

とよ

̀ミ

。

次 に、 曲面

S上

の一次微 分形 式 ωの 「微 分可能性 」 につ いて考 え る こ とにす る。 こ こで注意 した い こ とは、 ベ ク トル場 の とき と同様 に各 点 で の余接 ベ ク トル空 間 が異 な る こ とで あ る。 そ こで まず は、

S内

の座標 近 傍 内で局所 座標 を用 いて余接 ベ ク トル を表 す こ とにす る。

命題

2.1.7Sを

曲面 と して、

Pを S上

の点 とす る。 (y;.1,・ 2)を

Pを

^含

む

Sの

座標 近傍 とす る。 この とき、

7⊂ S上

で定 義 され る座標 関数 ■1,■2

制 して、に￢冷 ^.ば 砲 LCOは (舟 )P,(洗 )P∈ Ъ O剛 ^す

る双対基底である。

証 明

第

2章  

微 分形 式 と外微 分

       58

それで は、

1次

微 分形式 ωを局所座標 に よって表 す こ とを考 える。命題 2.1.7よ り、

y上

_の各点

_Pで

の余接 ベ ク トル ω

Pは

ω

2=α

^{(dTl)P十 ♭(αχ}

^{2)P(a.b∈ R)}

と表 す こ とがで きる。 ここで、ω

pは

点

Pに

対応 す るひ とつ の余接 ベ ク ト ルであるので、

y上

_の関数

_A,ん

_{を用 いて}

ω

p=A(P)(α

_・

^1)p十

ん

(P)(d・

^2)P

と表す ことがで きる。 これ を用 いて、一次微分形 式の微 分可能性 の定 義 を次で与 えることにす る。

定義

2.1.8Sを

曲面 とし、ωを

S上

の一次微分形 式 とす る。

S上

の点P。

に対して、

「

;χl,・2)を P。

を含む Sの 座標近傍とする。 S上 の一次微分

形 式 ω を

yに

制 限 した もの を ω′として、

″ ={■ Omゝ ^+ん 0回 P}〆 ソ

とお く。ただ し、∫1,ノちは^1/上の関数である。 この とき、

S上

の一次微分 形式 ωがP。 で0∞ 級である とは次 をみたす ことをい う。

y上

_{の関数 ∫1,ん が}

poで

θ∞級関数である。

任意の点

P∈ Sで

ωが θ∞級であるとき、

S上

の一次微分形式 ωは σ∞

級である とい う。

定義^2.1.8では、

S上

の一次微分形式 ωが

pOで

θ∞級 であるか どうか は座標近傍 の と り方に依存す る。 しか し次の補題^2.1.9と命題

2110で

確 かめるように実際 は座標近傍 の と り方によらない。

補題

2.1.9Sを

曲面 とす る。(ス^;χl,π2),(b;νl,ν2)を

Sの

座標近傍 とし、

レ1∩ ち キ0と す る。

p∈

_{И ∩}1/2において、_(απ_l)P,(α

"2)P,(dν

^l)P,(αν^2)p は次 をみたす。

解 眈 b=1等 +0い ヽ ^+1等 _;0解 め ら

ば 挽 b=t等 争 ^{0 ab十} 劣 ^0に ヽ

第

2章  

微 分形 式 と外微 分

       59

証 明

 a,bを

^{実 数 と して 、(∂}ν

l)p=α

・(α ^{1)P tt b(α}・ 2)pと ^{お く。 両 辺 に}

(ザ

^汗

)Pを

^{作 用 させ る と}

ヽ

︱

′ ノ

∂ れ一

／ １ １

＼

／

′

︲ ヽ

＼ χ ｐ ｂ ご ρ ＋

απ α ヽ

︱ １ ｐ／ ヽ

ヽ

︱ ノ

／

∂ 一鍋

／ １ ｔ

＼

／

′

︲ ヽ

＼ ｙ ρ ｄ

p)

よ っ て 、 α =讐 0と な る 。 ま た 、 両 辺 に 〔 ^Jb)pを 作 用 さ せ る と

b=劣 _oと なり 、 uttЬ =警 Om》 十 帰 ^0%ヽ と な る 。

同様 に 解悦ヽ

=券 0解

助 Ь

+劣 09め

ヽ とな る ことも示 され る。

□

命題 ^2.1。

10Sを

曲面 として、ωを

S上

の一次微 分形 式 とす る。(し11,7.1,■2)ヽ

(blyl,y2)を

Sの

座標 近傍 として、И ∩ち キ0とす る。ω を И ∩ち に制 限 したベ ク トル場 を ω′とお く。 この とき、И ∩ち 上の関数^Jぃ ん^,gl、 ク2

を用いて げ を

ω′

=ノ・

ldrl十 んど■²

=glごυ

l+g2dν

² と表す と、関数 チ^1,.チち^,ク1,g2は次の式をみたす。

A=Я 弁 ^+"警 ん ^=釣 劣 ^+"劣

証 明

 

補題 2.1.9よ り、

ω′

=glイッ1+g2どツ²

=釣 (警 ぬ ・ ^+劣 山 2)+の (器 α 均十 劣″ め

)

=し

_::十

十 の _t惚 争

^)α

け

(Й

^:惚 ;+ル ^{t揚 :)α} Q

第

2章  

微 分形 式 と外微 分

       60

と変形 で きる。 И ∩ち 上の各 点

Pで

(d″1)Pと (αr2)pは

次

_{独 立 なので、}

A=ヵ _t等 十 十 の _1惚 争 ん ^="劣 +"%

とな る。 □

座 標 の変 換 を表 す 写 像 (・1,72)→ (71,υ2)は θ∞ 級 写 像 な の で 、

7∩

^y′

上 叫撒讐 ^{,劣 ,解 ,裁} す 驚躙》』 ^[[亀 λ蜆 ∩

ドキュメント内 曲面上の微分形式について ： ストークスの定理の応用まで (ページ 58-61)