=島

   (i)

¨ 声引 =(寺 ,寿

)

#=,舌 _半   ^{争 =て デ号}

券 ^=て 詳号   ^{器 =て 寿寺}

(116)

第

1章  

曲面 と接 ベ ク トル とな るので、

とな る。

det(Jφ20 

φ ^{l 1)p}

‑4s212

̲(s2̲ι

²⁾²

=   (s2+12)2

̲̲ ′⁴

̲s4̲2s2チ

²

= (s2+ι

2)2

=‑1

37

□

1。

4  接ベ ク トル

本節 において、曲面 上の点 における・接ベ ク トル

^"と

い うもの を考 えた い。単純 に、曲面 に接す る空間ベ ク トル を接ベ ク トル とみなす こともで きるが、 この場合 には曲面 の外側 にある空間

R3を

考慮 しなければな らず

Nの

座標 が必要 となる。本節では、曲面の局所座標 のみ を用いて接ベ ク トルに相 当す る概念 を構築 したい。 そのために、 まず は曲面 ^11で定 義 さ れた関数 に着 目 して、その 方向微分｀として 接ベ ク トルいを考 えてい く

ことにす る。

定義 ^1。

4.lSを

空間内の曲面 とし、∫を

S上

の関数 とす る。J・

:S→ R

が

S上

の点

Pで

^θ°°級関数であるとは、次 をみたす ことをい う。

Pを S上

^{の点 として、}

(7φ

)を

Pを

含 む座標 近傍 とす る。 こ の とき、.チ

・_Oφ

:φ

1(7)→ Rが

_φ^1(2)∈

R2で

θ∞級関数 と なる。

また、

S上

の関数.ノ

・が任意の点

P∈ Sで

θ∞級関数の とき、.メ

.を S liの θ∝級関数 とい う。

定義^1.4.1の定め方では、関数 ノ・が

S上

の点で θ∞級関数であるか どう かは座標近傍 の と り方 に依存 して しまう。 しか し結果 か ら述べ ると、関 数 ∫が ゞ上の点で θ∝級関数であるかどうかは座標近傍の とり方に依存

しない。 これ を次 の命題で述べ る。

第

1章  

曲 面 と接 ベ ク トル 38

命題

^1.4。

2Sを 曲面、 P∈ Sと して、∫を S上 の関数 とする。このとき、

∫が点 Pで θ∞級関数であるかどうかはPを 含む座標近傍の とり方に依 存 しない。

証明  Pを ^含む

^2つ

^{の座標近傍を}

^(ア

^φ

^{),(y′ ,φ}

^{′ )と する。今、ノ}

^{oφ :φ}

1(7)→

Rが _φ

^1(2)で

θ∞級関数 であると仮定する。このとき、任意の点

^(11,7')∈

φ ′ ^1(y∩ ソ′

_)に

対 して、

∫

^Oφ

′

(?1,7')=.fOφ Oφ

10φ′

(11,2')

=チ

^.Oφ _(φ

10φ ′

(?イ ,で'))

と変形した式について考える。命題 ^1.3.7よ りφ ^10φ ′はφ′

^1(p)で

σ¨

級関数であり、また仮定より∫

^oφ

はφ 1(p)=φ ^10φ ′

(φ

′

^1(2))で

σ∝

級関数である。 したがつて、∫

^Oφ

′はφ′

^1(p)で

もσ∞級関数であり、∫

が点 Pで

^C°

°級関数であるかどうかはPを 含む座標近傍のとり方に依存

しない。 □

定 義

^1.4.1と

命題

1.42に

よつて 、曲面

S上

の 関数 ノが

Sで

^{θ∞ 級 関数}

であるかは∫と Sだ けで決まることがわかる。次に、曲面 SLの 点Pに おける関数 ∫の 微分係数

^"に

相当する概念として、曲面上で定義された 関数に対 してある実数を対応させる操作を考 え、それを次のように定義 する。以後、実数 α

^.bと

曲面 S上 で定義された関数

^.ノ:夕

に対 して、線形 和 α∫ +bgと 積

J.ク

は次で表される関数を表すこととする。

(α

ノ

^.+bク)(

)=α ∫

(")十 bg(a)

(ノ

.g)(")=∫

(π)g(・⁾

定義

^1.4。

3Sを 空間内の曲面 として、Pを S上 の点とする。点 Pに ^おけ る方向微分 υとは、 S内 の点 Pの ^近傍

^1/で

^{定義された θ ∞級関数 ∫に実} 数 υ

(∫)を

対応させる操作であ り、次の ^3つ の性質をもつものである。

S内 の Pの ^近傍

^1/、

^{ア で定義されたθ} ∞級関数をそれぞれ∫、

^g

とし、α

^.わ

を実数とするとき、

(1)ノ

.、

クがPの ある近傍

^1/″

⊂ Sで 一致すれば、υ

(.ノ

)=υ

^(ダ)

(ii)υ ^((1ノ

.十

わ g)=α υ

_(J.)十

わ υ

_(g)

(iil)υ(J・

g)=υ

_(∫

_)g(P)+υ

(g)∫(P)

第

1章  

曲面 と接ベ ク トル

       39

定義^1.4.3で注意す ることは、点

Pに

おける方向微分 は局所座標 を用い ず に定義 されていることである。 さらに、性質^(ili)は

R上

の積 の関数の 微分法則 と類似 してお り、点

Pに

おける方向微分 を 曲面上での微分^"に 相 当す るもの と特徴 づ けることとなる。

ここで、方向微分 に関す る重要 な例 を

2つ

挙 げてお く。

例 ^1.4。

4Sを

空間 内の曲面 として、

Pを S上

の点 とす る。

S内

の曲線片

C(t):(‑6,C)→ S(C(0)=p)に

^{対 して、}

{ノ

・

￨ノ

.は S内 の _Pの 近傍で定義されたθ ∞級関数

_}

か ら

Rへ

の写像 υcを 次の ようにお く。

先

o=写 0

この とき、υ

cは

点

Pに

おける方向微分である。

証明

 

υrが 定義^1.4.3にある

3つ

の性質 をみたす ことを示せ ば よい。

S内

の

Pの

^{近傍 ア1/′ 上で定 義された θ}∞級関数をそれぞれ ノ^.、 gと し、α,bを 実数 とす る。

(1)∫、

gが Pの

^{ある近傍y″ ⊂}

sで

一致す ると仮定す る。ιが

0に

十分 近い値の とき^c(ι)は ソ″に含 まれるので、

0に

十分近い ι∈

Rに

対

してバ

^C(オ

))=g(C(t))で ある。よつて、

ば 月 ―隻 0=写 0‑雫 0

=   0

=0

(ii)

ば げ 十り =   0

dげ 00)ギ

^gに

←

^)))①

)

=α

Ψ O+b雫 0

=α υ

_c(f)十

わ υ

_c(9)

ドキュメント内 曲面上の微分形式について ： ストークスの定理の応用まで (ページ 37-41)