Z=ゴ

‐

―  

一

  イ

第

4章  

ス トー クスの定理 の応 用

の辺の本数、 S上 の三角形の個数をそれぞれ υ

,c,∫

とすると、定理 4.44 より、

168

".25) が得 られ る。

o2つ

^の左辺_{券 ん}^κ

^vdは

三角形領域 に よる分割 とは無関 係 で あ るので、 υ一

c+」

^・は

S内

の 三角形 に よる分割 の仕 方 に依存 しない 値 とな る。 よって、υ―

c+ノ

を

Sの

オ イラー標数 とよび記 号で は χ(S)と 表す。 この定 義 を用 いれ ば、次 の定理 が得 られ る。

定理

4。

4.6ポ アンカレ・ホップの指数定理 Sを 曲面 とする。 Xを S上 ^の θ° °級のベクトル場とし、 P,(1≦

^j≦

m)を Xの 零点とする。このとき、

次が成 り立つ。

Σ ^{hda(χ )=χ (0}

,=1

ただ し、χ

(S)は Sの

オイ ラー標 数 で あ る。

定理 4.4.4と 定理 4.4.6よ り、次 の定理 が得 られ る。

定理 ^4。

4.7ガ

ウス・ボ ンネの定理

Sを

向 きづ け られ た曲面 とす る。κ を

Sの

ガ ウス曲率 と し、volを

Sの

volume forlnと す る。 この とき、次 が成 り立つ。

κ

vol=2π

_χ

_(S)

標 数で あ る。

積 分値 と曲面 の形状 の性 質

^(特

に位 相的 な り、 その意 味 において重 要 な定理 で あ る と

券兎″ ^{Vd=≧ phdalX)=υ} 一 ^C+∫

ヽ ４．

を と し   理

＞ こ だ   定 質 う た     性 い

169

本研 究 を進 め るに あた り、大学 院 入学 当初 か らの

2年

間 にわ た る手厚 い御 指 導 を して頂 いた、指 導教 員 の濱 中裕 明教 授 に心 よ り御 礼 申 し上 げ ます。 毎週行 わ れ たゼ ミや修 士論 文執筆 過程 におい て、 なか なか理解 の 進 まな い私 に的確 な助 言 を与 えて下 さつた こ とに深 く感 謝 致 します。 ま た、数 学 や数 学教 育 だ けで な く、様 々な分野 に関 して教 養 に富 む お話 を 聞 かせ て いた だ き、知 的 に充実 した 日々を過 ごす こ とが で き ま した。感 謝 の念 にた え ませ ん。

そ して、 日頃 か ら研 究 の進 み具合 に気 をか けて い た だ き、優 しい 言葉 で私 を励 ま して下 さつた小池敏 司教授 をは じめ と して、 大 学 院 の講 義等 様 々な面 で御 陛話 にな った数学教 室の先生方 に、深 く感 謝 致 します。

数学教 室 で 出会 った現職 教 員 ・ス トレー ト生 の皆 さん とは、数 学 や数 学教 育 、 また は学校 現 場 につ いて率直 に話 しあ うこ とが で き ま した。 時 に真面 目に、 そ して時 に笑 いなが ら学校 につ いて話 し合 え る機 会 に恵 ま れ た こ とは とて も有 り難 か つたです。

日本 文化 。国際理 解教 育 プログ ラムの皆 さん とは、ベ トナ ム研修 をは じめ とす る様 々な体 験 学 習 に和 気調 々 と協 力 し合 い なが ら取 り組 む こ と がで きま した。何 事 に対 して も意欲 的 な皆様 か ら多 くの刺 激 を与 えて も

らった こ とに、深 く感謝致 します。

最後に、いつも温かく見守ってくれた家族に心より御礼申し上げます。

平 成

28年

12月 20日 朝 長耕 平

ドキュメント内 曲面上の微分形式について ： ストークスの定理の応用まで (ページ 168-171)