=ノ

とな るので、

一

=ノ

￨ご

・∧ ご ν ^=ブ 「

^{B(ι)A(ι)× C′(ι)dι}

を得 る。

      

^□

円な どの特 別 な場 合 を除 き、 曲線 で囲 まれ た部分 の面積 を求め る こ と は一般 に容 易 で ない。 高校 の数 学 で よ く用 い られ る手 法 は、 まず は曲線 を表 す 式 を求 め、 それ を用 いて解析 的 に面積 を求 め る方 法 で あ る。 しか

第

4章  

ス トー クスの定理 の応 用 146 し、 ここで紹 介 した プ ラニ メー ターの興 味深 い ところ は、純 粋 に機械 的 な仕組 み に よって閉領 域 の面積 を求め られ る こ とで あ る。 そ して その原 理 に は、幾何 と解 析 の双方 の理論 を組 み合 わせ た微 分幾何 の手 法 が巧 み に用 い られ て お り、実 際、 曲線 で 囲 まれ た部 分 の面積 を求 め る こ とが こ れ ほ ど単純 な機構 で可能 で あ る とは驚 きに値 す る。

4。

2  擬柱 の体積

本節では、擬柱 とよばれ る立体 の体積の簡単な求め方について述べ る。

まずは、擬柱 の定義 を述べ よう。

定義

4.2.1次

の_(i),(五)をみたす上面、下面、側面で囲 まれた立体 アの こ とを擬柱 とい う。以下、正の実数 ″ を定数 とす る。

(i)平 面

z=0内

にある境界つ き領域 馬 を下面 とし、平面 ε

=〃

内に ある境界 つ き領域 Ⅳlを上面 とす る。

(li)■^o(ι),■^1(ι

)(0≦

^{ι≦1)をそれぞれ}

^/VO,Mの

^{境界 上を}

^2座

^{標 の高}

い側 か らみて反時計回 りに一周す る動点 とす る。ただ し、

o<s<1

となる

sを 1つ

固定 した とき、線分 ■。(ι)Al(ι)を

s:1‑sに

内分 す る点 を^A3(ι_)と お くと、

0≦

_{ι≦ 1に 対す る}A3(オ)の 軌跡 はなめ

らかな単純閉曲線である とす る。 この とき、

S={A3(′

)￨(Sl l)∈ 10,11× [0,11}

を側 面 とす る。

この とき、

Sは

_(s,ι)を 局 所座標 とす る曲面 とな って い る。 この よ うに 構 成 され る曲面 を線織 面 といい、線織 面 を構 成 す る線 分 の こ とを母線 と ヽヽう。

角柱 、 円柱 な どの柱 体 は擬柱 の特別 な場合 で あ り、 角錐 や 円す いな ど の錐体 を底面 に平行 な面 で きった錐 台 も擬柱 の特別 な場合 とな ってい る。

また、兵庫 県神 戸 市 にあるポー トタワー

(図

4.7を 参照

)は

デザ イ ン性 を 備 えた擬柱 と して有 名 で あ る。 ポー トタワーの形状 は双 曲線 の回転体 で あ るが、柱 はすべ て直線 で構 成 されて い る。

擬柱 の体 積 の簡 単 な求め方 を次 の命題 で示 す。 この求 め方 を擬柱 公 式 といい、測 量 の場 で実 際 に使 われ るこ とがあ る。

第

4章  

ス トー クスの定理 の応用 147

図 ^4.7:

命題

4.2.2(図

4.8を 参 照

)定

義 4.2.1の よ うに定 め られ た擬柱 の体 積 を

1ア とし、以 下定 義 4.2.1内 の記 号 を用 い る。馬 の面積 を^S。、М の面積 を

sl、 さ らに 平面

g=:∬

に よる擬柱 の断面積 を^S■ とす る と、

2

y=三

^二

(SO+4S:+Sl)

とな る。

証 明

とおき、

0<s<

分す る点 を^As(オ)

)を

s:1‑sに

内

問

の い 問

第

4章  

ス トー クスの定理 の応 用

図 4.8:

とな る。0≦ ′≦1に対 して

A3(t)で

定 まる単純 閉 曲線 を 吼 とお く。Sを

1つ

固定 した と き、平 面

g=s〃

の標 準 的 な座標 を (T,7)と し曲線

aか

ら平面

z=s〃

へ の包含写像 を ,と す る と、

グ

r=(1‑S)・

o(ι

)+S・

^1(ι)

j*dν

=d((1‑S)ν

o(ι

)+Sν

^l(ι))

=((1‑5)y古

(ι

)+Sり

1(ι))ご

ι

となる。平面

8=s〃

上の閉曲線

Qで

囲 まれ る部分 ェ の面積 を E(5)と すると、ス トークスの定理 によ り、

印 ^=.ん ぉ ″ ∧ ぬ ■ ん ド勁 ■ ん 3桐 勁

=.f岬 ― → 瓢 → 十 助 Om → 刺 ^{+覇 oロ}

=は ず _f綱 痣 十 ♂ _f州 蠍 神― ⇒ _fhO京 の 十 州刺ロ

=(1̲→ ^2ム ダ け ど の 十 ^S211ダ け ど の 十 ^S(1‑→ _/1価

^(ι

》

^{1(ノ)+71(イ})υ 6(′ )lr//

=  (1̲s)2ノ

‖

ご

r∧

_αソ十

^S2υ

(lα

^{″∧ ごν}

148

＼ り

Ｄ

﹁  

ドキュメント内 曲面上の微分形式について ： ストークスの定理の応用まで (ページ 146-150)