多体問題とグリーン関数との関係の研究

近畿大学工学部研究報告 N.o39， 2005年，pp.l89‑220 Research Reports of the Schoo¥ of Engineering， 

Kinki University N.o39， 2005， pp.l89‑220 

多体問題とグリーン関数との関係の研究

一高等量子力学における摂動理論 ( 1 5 ) 一

橋爪邦夫*、林田秀人**

S t u d i e s  o f  r e l a t i o n s  between many‑body problems  and Green f u n c t i o n s  

‑Perturbation t h e o r y  i n  advanced quantum m e c h a n i c s ( 1 5 ) 一

Kunio HASHIZUME  *  and H i d e t o  HAYASHIDA  *  * 

Synopsis 

In this paper^， next subject is discussed.  ~ 36. Dyson's equation ofboson.  At first we consider all possible  diagrams beginning and ending with just one boson line. We calculated modified propagators D'

何点)

for all  these possible sub‑diagrams. Next we 

calculated the propagator D"

札

ω)corresponding to the^叩 nof all sub‑diagrams  D'(q

， u > )  

i.e.  D"(q，ω)=

エ

^{D'(q，ω). D"}

^札

^{ω)represents eve削 hingthat} can happen to  a free boson in the crystal 

self‑nergy  diagra，悶

Lastly we define another boson propag瓜orD

， 句

ω)=  LD'(q

， u > )  

which contains only the propagators for 

connecled  self ‑側ergy diagrams 

connected diagrams and does not contain non"connected diagrams with fluctuations of the vacuum. Then the  result  in  D"(q

， u > )  

gives  the  product  of  D(q

，

ω)  and  S‑matrix (1 + 

V )  

for  a vacuum  diagram.  The  representation of  D(q

， u > )  

gives Dyso凶 equationof boson

， 

say  D(q

，

ω)= Do 

+

DI1Do・

~ 36  ボソンのダイソン(Dyson)の方程式

前節及び前々節(~ ~ 34， 35)において我々は何を してきたかを振り返って見ょう。前々節(~34)では、

入って来る電子と出て行く電子を表わすところの、ま さに2本の外部フェノレミオン線を持つ副ダイヤグラム

*近畿大学工学部建築学科

**海上保安大学校

189 

を考察した。このような副ダイヤグラムは無限に構成 する事が出来る。これ等の副ダイヤグラムの各々は大 きなダイヤグラムの適当な場所へ挿入され、その大き なダイヤグラムの構成の要素となる。我々は副ダイヤ グラム部分を1つのまとまったものと考え、それを一

Department of Architecture， School of Engineering  Kinki University 

Japan Coast GuardAcademy 

NQ39  近畿大学工学部研究報告 190 

我々は今まで、前節及び前々節(~ ~

3 4

， 

3 5 )

でして 来た事を振り返って見た。そして、それと全く同様な 事をボソン粒子に対してなす事が出来る事に気付く。

次の図l(a)のダイヤグラムを計算する事を考えよう。

本のジグザグ線で置き換えた。このとき初めの大きな ダイヤグラムはジグザグ線で部分修正を受けた大きな ダイヤグラムとなる。ジグザグ線で表現された伝播関 数部分を修正された伝播関数(修正伝播関数)と言う。

修玉伝播関数は或る仮定された運動量kとエネルギ‑

Eの一個の関数

σ( k

，

E )

である。それは相互作用表示

今 . ︐ e

x  ︑

iA什

1 1 4 F

︑

︐

F

︑

sI1'

︐

︑

︐

︑

aF

、

、 、 、

." ノ

での修正伝播関数の時空座標表示 G~(Xn ‑ x J

のブーリ

エ変換されたものである。我々は節 (~)34 で沢山の考 えられ得る可能な副ダイヤグラムの内から、思いつく ままに幾つかの副ダイヤグラムを挙げ、それ等の運動 量・エネルギー表示の修正伝播関数

G ' 恥 E )

を計算し た。

次に、前節(~

3 5 )

では我々は、上述の副ダイヤグラ ムの和を求めるのに、それに対応するジグザグ線の修 正伝播関数の運動量・エネルギー表示

σ ( k

，

E )

の和で、

ある

G " ( k

，

E )

を計算する。

G"

恥 E )

= 

I

G'

( k

，

E )  

seJj‑eneぽY diagram 

(1891)  [(1827)式]

( a)  (big diagram) 

•

，  ， 

・

・

_，  ，  ‑ "  

、 ，  " 

，  _、

，

7 

， 

_司.

， 

・

L 

、

7" 

， 

〉

〈

_，  、

〈

，  、 .

< .  

， 

~

・ .

、

_p 

‑

x 

₄ 

( b)  (sub‑diagram)  L X1 

・

l

t i t i l

‑

‑ W B i t t

‑ ・ ら

24 ad

﹃'

hi

x

﹄︐t‑3

︑

n11VA 図1

図1

σ ( k

^，

E )

は そ の そ れ ぞ れ が 一 本 の ジ グ ザ ク 守 線 M M / で表わされる。他方すべての副ダイヤグラムの和であ る

G " ( k

，

E )

は2重線

〉

で表わす。この2重線 で表わされた伝播関数

G " ( k

，

E )

は 1個の自由フェルミ オン粒子が何もない空間(真空空間)中を運動すると き、その 1個の自由粒子に対して起こり得る一切の事 柄、即ち総ての仮想的励起の効果を表わしているので ある。言い換えれば、 1個の自由フェルミ粒子は仮想 励起の衣をまとって運動しているのである。もちろん 2重線 f  は前述の大きなダイヤグラム中の前 述のジグザグ線の入っていた場所へ、そのジグザグ線 に代わって挿入する事が出来る。こうして大きなダイ ヤグラムは2重線で部分修正を受けた大きなダイヤグ ラムとなる。

節(~

) 3 5

の議論で最も重要な事はブェルミオンのダ イソン(Dyson)の方程式を導出した事である。

G

恥 E )

= 

G o ( k

，

E ) +  

G，。伝，

E ) . r 恥 E ) G ( k

，

E )

[(1846)式

l

(1892) 

(1893)  [(1843)式]

ここで、伝播関数

G ( k

，

E )

は

G ( k

，

E ) =   I G ' ( k

，

E )  

selfー 抑 留

で定義されている。即ち、

G ( k

，

E )

は真空の揺らぎ部分 を除いて和を取ったものであるので、真空の揺らぎ(励 起)を伴わないフォノン等の各種の励起の衣を着た粒 子(電子)の伝播を表わす関数である。

多体問題とグリーン関数との関係の研究一高等量子力学における摂動理論(15)ー

図1(c) 

(big diagram with a modified propergator)  図 1

これは前々節(~34)の図 1又は図2(a)と本質的に同じ 図である。前々節(~34)の 図2(a)， (b)， (c)と、この節 (~ 36)での図1(a)， (b)， (C)とを比べると、その違いは大 きなダイヤグラム中のどちらの部分を副ダイヤグラム 部分と見倣すかの違いだけである。

我々は以前に述べたところで、『我々は今まで、前節 及び前々節(~ ~ 34， 35)でして来た事を振り返って見 た。そして、それと全く同様な事をボソン粒子に対し てなす事が出来る事に気付く。』と記した。こうして、

この節(~36)では我々は、 1本の入来ボソン線で始ま り、 1本の出て行くボソン線で終るボソンのダイヤグ ラムを副ダイヤグラムとして考察する。そして、それ

，、，、，、，、， '

を破線のジグザグ線，、，、，、，、， ，

X

で代表する。

この破線のジグザグ線がこのボソン副ダイヤグラムの 修 正 伝 播 関 数U句 刈 で あ る 。 も ち ろ ん 、 そ の よ う な 2本 の 外 部 ボ ソ ン 線 を 持 つ ダ イ ヤ グ ラ ム は 上 図 の1 (b)のものだけに限らない。考えられ得る限りのその他 の無限の可能なダイヤグラムがある。我々は後に、そ のような総てのダイヤグラムの和を考察する。そして、

それを破線の 2重 線 = = = 〉 = = = で 表 わ す 。 こ れ が 修 正 伝 播 関 数 の グ 札

ω )

である。最後に我々は 前節(~35)と同じような考え方に基づいてボソンのダ イソン(Dyson)の方程式を導く。

そ れ で は 図 1(a)のダイヤグラムの計算から始めよ う。原理から始める。相互作用表示で記述された標準 的なフェルミオン・ボソン相互作用の摂動ハミノレトニ

191 

アン密度は次式である。

H 1 ' ( X )

⁼ 

g v l * ( x } l ( x ) 〆 ( x )

[(594)式， (1663)式] (1894)  これを、 Sマトリックス展開式

cd n 

∞ ヤ ー 討 c d  

=古~( 子 ) } n 7 訂 j 却 j 打 f ‑ . ‑ f

^{仇 jd4x2...d4}

T

{ u 1 ' ( か

x

叫 サ i ) 畑

H

1 ' ( か

x巧

2 } .

^日….い.H町

' l か . ( リ

x

ろ J }

^{[(α1船66ω心ω)4減凶式剖]}(1895) 

へ適用する。ここで、(1894)式 中 の

v μ( x )

と"，1

( x )

は 真の真空(barevacuum)に対して記述されたブエ/レミ オン(電子)の生成と消滅の場の演算子である。神I

か )

はボソン(ブオノン)場の演算子であって、ボソン(フ ォノン)の生成と消滅の場の演算子の両方共を含んで いる。図1(a)には結節点(パーテックス)が6個ある ので、それはSマトリックス展開式中の6次の項に所 属する。 S6を書く。

民~ ⁽  ~7 i  ^{J f f f f J 仰 川 d 4 X 4 d 4 x s d 4 X 6}

T

{ u 1 '仇 ) H '( 1 x 2 ) H   ' 1 ( x 3 ) H   ' 1 ( x 4 ) H   ' 1 ( x J H   ' 1 ( x 6 ) }  

= (

子 J ~!g6HfHf仰4x 2 d

⁴

x 3 d

⁴

T

レ

^1*

^{( X}

^j

^{} o}

¹ 

^{( x 1 ) か 〆 ル}

^μ

^{か タ 1 ( x}

²

^{) v 1   ( x J}  

"，1・ (X3}ø1 か3)v1 (X3~1. か4 }ø1 (X4~1 仏νI・ (XS}ø1 ( x s ν I ^仏)

v 市ぷ

1

( x

6)

〆 ( ら ) }

(1896)  S6 を節(~)19で説明した Wickの定理(1101)式又は (1102)式で展開する。当然の事として膨大な数の展開 項が出現する。これ等の展開項の内で縮約積(コント ラクション又はベアリング)がOとなる項は消えてし まう。こうして、 Oとならずに残る項の1つ1つは物 理的に意味のある現象を表わす事となる。図 1(a)で表 わされたダイヤグラムは、そのような物理現象をあら わすダイヤグラムの 1つである。文字を節約する為に、

取り敢えずこのダイヤグラムの表わす項をS6と置く 事にする。

192  近畿大学工学部研究報告 NQ39 

図1(a)を眺めて式を構成すると次のようになるo

8

6  =(子J~g6ffHffωV巧山川

G~ (X5 ‑Xl)G~ (X6 ‑x5

) D

:O(X6 -X5 )G~(X4 ーら) D:O(x2 -XJ5~(X3 -X2 )G~(X2 ‑x3)D:o(x4 ‑x3) 

，

，/*(X₁

ν

^{I(XJ  (1897)} 

[(1684)式と本質的に同じ]

=(子)初日仰4X4d4x5d4X6G~

D: O ^(x 6 ^{ーゆ ~}

^(X4 ‑X6

) t r   d

⁴

ψ 4X品(x 2 ーポ ^{~(X3 ーら)}

G~(X2

^‑X3

測 。

^(X4‑X3)}

〆 事 ( 叫 ル

I(X4) (1898)  (1898)式で中括弧{ }で束ねた部分は図1(b)の 副ダイヤグラム部分に当たる。そして、それは 1本の 入来ボソン線で始まり、 1本の出て行くボソン線で終 わるダイヤグラムである。即ちそれは2本の外部ボソ ン線を持つダイヤグラムである。この部分を改めて、

D~(X4 ^‑x1

) : =   J 

^d4x2J d4X3D:o(X2 一高知'~(X3 一円) G~(X2 ‑x3

) D

:O(X4 ‑x3)  (1899)  と置く。ここで、今、新たに導入した関数

1 Y o

(X₄‑xJ  を副ダイヤグラム図1(b)の相互作用表示でのボソン 粒子の修正伝播関数(modifiedpropagator)と言う。

我々は図1(b)でこのボソンの修正伝播関数を破線の ジグザグ線で表わしている。こうして(1898)式はつぎ のように続く。

= ( 子 ) 村 山 J l ハい j ^何

D:O(x6 -X5 )G~(X4 ーら )D~ (x4-xJ，，/*

か 1 ) 〆仇)

(190ω  (1900)式の意味するところは、大きなダイヤグラム 図1(a)の計算をするに、あたかもそれが高IJダイヤグラ ム図1(b)の代わりにジグザグ破線で置き換えられた 図1(c)であるかのように計算しでも良い事を表わし てしいる。

次にここで、相互作用表示のボソンの修正伝播関数 (1899)式D;

か

^4‑XJの運動量・エネルギー表示D'

，ω 句 )

を定義して置く。

帆 ‑ X I ) = 」 τ r r

^dqdcoD'(q

^ゆ叩

^{(r1‑r4}‑1"，(t1‑t4)} 

( 2

1r 

t 

^JJ 

(1901)  (1901)式はD'

，ω 句 )

の定義式であり、

D~(X4

‑xJとD'

， 畑 ω )

は互いに1対1の対応にある。

さて、これからは(1899)式を計算して最後にその結 果を(1901)式と比較する事によって、ボソンの修正伝 播関数の運動量・エネルギー表示D'

仇 ω )

の式の具体 的な式形を求めよう。その為には(1899)式へ前々節 (~ 34)の①乃至⑥の式[(1668)式乃至(1683)式]を代 入する。次のように計算される。

月

(X4‑X1)^言

J

^d4x2J d4X3D:O(X2 一明 )G~(X3^‑x2) 

G~

(x2 ‑x3

) D

:O(X4 ‑X3) 

=    J J

^dr2dt2 

  J J

^dr3dt3

命 ‑ f j 州 ト ' Z T J ; : : )

ー +国 ^加(r2‑r3 }-í~(12 ーら)

.

石 j y y l d Ee E

一時

^)+iδ

咽 + ∞ K・(乃‑r，)‑if(日 )

・

石 j y v r l a ， _{e E} ， 引

品 +∞  匂・(町一向}‑i回(13‑九)

‑ 訪 ‑ f J 吋〈

^{zー の}

^{2 ( q ) +}

^{it5  (1902)} 

= 

J 

^dq' 

J 

^dco'

^・ J d k

^JdE

_・

^Jdk'

J 

^dE'

・ J

^dqJ ，dω 

eiq'or1 ‑i^"，'11 且• e‑iqor4 +1日f

.e ^-~ ‑.. ‑‑‑. 

h由'‑E+E'

・ ~fdr"el( ^山一山， .土 f

dt"ei‑‑;;. ‑1， 

( 2

1r) J ^{~.2- ‑}21r J ^~.2

唱 E‑E'‑Ii出

.←一 ^~fdroe 〆 ^e

^{i(ベ(叫 +qり州》}

(

や

2zyJ 3 2 z J   I

i  1 

. 5 Y . 2 Z . ω ^，

^2 ̲ co2(q')+ i^d'. E ‑E(k)+ id'  I

i

‑‑‑‑‑‑‑

 

E' ‑E(k')‑id'  ‑

ぃ ^{) 4‑}

^{PO ‑co2 ‑co}

^{2 ( q ) +}  

^iδ 

(1903) 

= Jdq' Jd^ω'

・ ^j

^ぬJdE

・ ^j

^北，

J 

^dE' 

•

J 

^dq 

J 

^dω ，

eiq'or₁ ^{‑1出 '/}₁

・

e^{‑iqor4 +iaJ}l4 

ω ( ‑ q '  

+ k ‑k'

} d

^(lico' ‑E + E')  (‑k +k' +q

} d

^{(E ‑E'‑Ii}

ω )  

多体問題とグリーン関数との関係の研究一高等量子力学における摂動理論(15) 一

. ー 一 伊 一 一 ー ) 4 ー ー ー

・

ー ー

Ph 

一

O

・ ω ， 2 ̲m2 ( q ' ) +  

id'  ‑

・

E ‑E

件

)+id'

. 

_E'‑E

舵

)‑i

δ' 一 一 や 一 ー 一

1f

一

)4‑

一 一 ー 一

P

一

h O

ー ω 2

ー

ω 2 畑

)+i

δ

(1904)  (1904)式中に出てくる 6関数を含む積分に就いては 次式が成立している。

q '  + k '  =k 

，  h

ω

'+E'=E  (1905) 

q  + k '  =k 

hの+E' 

= 

E  (1906)  これ等の式より、次の関係、が成立しているのが分かる。

q '   = q ω ω

(1907)  k' = k ‑q  E' = E ‑hω (1908)  こうして、この計算中に現れる独立変数は、

qラωラk，E (1909)  の4個のみであるとする事が出来る。

初めに積分

f d q 'f d l

ω'を実行する。(1904)式は次のよ うに続く。

日 一

hn .  

︑_{L P}

L ‑a  

b民

ρ L W  

ーω

7 1 6

叩

自 輔且

︐d 

' a ‑ ‑ ‑ ‑

E 

‑

・a u

叩r

lJ 4

A y  

r‑

E 

‑

・k 4J・

J U   団

rj

叫

A F  

F2 1u ι a n   ・ 消

一 一

ee崎 町 村 叫 ・

δ ( ‑ k+ k '  + q )

・d'(E‑E'‑h

ω )  

h 

• ( 2 万 .75.fE‑E12‑E‑E(k)+iδ l 

^{s ~ s  J ‑al (k ‑k}

い

^δ

h 

.E'‑E(k')‑JZY.75.d

ーの

2 ( q ) +

i

δ 

(1910) 

次に積分

f d k 'f d E '

^{を実行する。}

= 

f 

^dk 

f  d E .  f  ^{d q}   f  d m e

^{iq日 "1}

・ ^{e ‑ '}

^叶

h  1 

• ( 2 万 .75.d‑d(q)+jfE ‑ E ( k ) + i δ  

h  .E‑hω‑E(k‑q)‑id' ‑

( 2

1f)4  ‑_PO ^‑_w2 _‑w2_(q)+iδ 

・ 一 一 ー 一 . 一 一 一 .

(1911) 

= 訪 ^j ゆ か ^{2 ‑ J ( q ) + i δ}

. { 訪 _{k p l d H L M} ^{・ E‑M‑4‑ψ}

193 

ih

・^{niqe(r1‑r4ドω(11‑1.)}

・ ‑ ・ ， 、 ・

^r

ρ w² ̲ w2

句

_)+iδ

(1912)  我々はボソンの修正伝播関数の座標表示問仏

‑ X J )

を計算して来たのであった。(1912)式を(1901)式と比 較する。こうして、相互作用表示のボソンの修正伝播 関数

q

_仏 ‑ X_J)の運動量・エネルギー表示D'

( q

，

w )

^は次

のようになる。

D'(q，

ω ) = 竺

. 2 l A 

ω‑d 句

^)+iδ

. { 玩 !?ldEE‑4)+1.

in 

.75.d‑db)+15 

次の式を定義しよう。

一

^{i高 l}

い O^呈

A‑d‑dh)+iδ

(1913) 

(1914) 

ロ =‑LidEJdE1. 

ー や

1f

tよと

^{E‑E(k)+id'‑E‑nω‑E(k ‑q)‑iδ} 

(1915)  (1913)式は次のようになる。

D'

札 ω ) =

DoTIJDo  (1916)  我々は図1(b)において、或る大きなダイヤグラムの 適当な場所へ挿入されるべき、 1本の入来ボソン線で 始まり、 1本の出て行くボソン線で終わるボソンの副 ダイヤグラムを考えた。そして、それをジグザグの破 線で表した。そのような2本の外部ボソン線を持つ副 ダイヤグラムは無限に考える事が出来る。以下に思い 付くままにそれ等を挙げ、それ等のボソンの修正伝播 関数の運動量・エネルギー表示D'

，ω 句 )

を求めよう。

X1  X1 

•

q  l  hωl 

D ム か

^{2 ‑ X}1): 

D' 札 ^ω)

•

X2  X2 

図2

194  近畿大学工学部研究報告 NQ39 

図 2は固体の電子縮退したフェルミ真空中をボソン (フォノン)が 1個通過した事(励起された事)を表 わす最も基本的な図である。図 2を眺めながらボソン

の修正伝播関数 D~(X2

‑X₁₎の式を構成すると次のよう である。

D~仏 -XJ=DIo(x2 ‑XJ 

み +∞  匂・(r，‑rzトt曲(I，‑IZ)

= 訪 ・ 去 ^{j d q l} ペ ²

^イ

^{( q ) +}

^io' 

[(1678)式 (1917) 次に、ボソン粒子の修正伝播関数弓仏‑ X₁)の運動 量・エネルギー表示D'

( q

，

ω )

の定義式を書く。

D~(X2

^‑X₁^{) == /̲1 ¥4} 

  f f

dqdωD'(q，ω

い

^{.(r，‑rz}‑illl(1パ )}

( 2

n‑

t 

JJ 

(1918)  (1917)式と(1918)式を比較して次式を得る。

D'(q，ω ) = 1 E . [ ( 1 9 1 4 )^l  式] (1919) 

《 ω2‑m2(q)+iδ 

(1919)式を(1914)式と比較すると、図2の場合、

D'(q，ω)= Do  (1920)  でもある。

w 

w r r  

ω m

︐

‑1刀F

h k

︐

h k ω  

w

︐

︐

F F

︐

iv!ゑn

q¥JJ

ノ

q

¥ 1 ︑

J /

も

L l . ‑ B E ' .

︐ BEEs‑‑'B'E

・

v匂24

︐︑

J 3 1 4 v

︑ ・

3

X . / p

¥ y x x

一 f

p ¥ v

ん

W 

E E  

w

︐

LH

凪

L un  

︑

EE︐ ︐ ︐

x

︑)

一 ω

・

6 r L

j

い

︑

︒ 仏

u v

FhU

︑ ー ノ

D l  

︑ ︐ ︑

︐ ︑ ︐

y ︑

' r

︑

vh

・

A

' '

¥ /

¥ ︿ ど と ど

ζ

え く え ぐ

L

・

x 

₆ 

図3

次に図3の副ダイヤグラムを考察する。図3を眺め

ながら修正伝播関数 D~ 仏 -X 1 ) を構成すると次のよう

になる。

D~(X6 ^‑x1)= 

J 

^d

刈

^d4X3Jd4x4J d4x₅DL(x2 ‑

x J  

G~ (x3 ‑X2P~ (x2 ‑xJDL (x4 ‑x

お

6(X₅‑x4)  G~(X4 一時 )D:。私一時) ⁽¹⁹²¹⁾  (1670)式， (1674)式，(1679)式を用いて計算を進める。

(1921)式は次のように続く。

= 日 内 《 日 久 《 日

^d

帆日

^dr5

1;;  ̲  ， +，: "iq'

・

(r，‑rz }‑IIlI'(I， ‑12 ) 

一二一・ μy 

""^《':":"'1^Jda可 J~ I.V" 1 dm"‑m= ，，2ーの2

( q " )  

+ io' 

‑ ー が・(r2一円ド竿(12ーら)

・ 5 丸 ^{! f E C l a w e r ‑ E ( r j + i d}

唱 +叩∞ tIk~削~川.引(r3町い-寸r2汁トいⁱ写⁽¹3ら3-→叶²らz

. 訪 _{r ! 仔 ア グ} m ? l F a m2 m  ‑ E h d  

‑ 命 ‑ f j _{ゆ ' C} 二 五 : ; ;

喧 + 国 伽(r.‑r， }‑if( .，‑1， ) 

‑

詰 ^yylaeE 一 則

^+iδ

一 一

一

JM

l γ

一 ト

ト 一' k

︑

尚 一

E

M

一

Ee一E 

叩m

ir

‑4

d y  

rEJd ι凡1

• 一 例

‑ 5 お づ ^j

^州

l d d . 2 ぷ : ;

(1922) 

= Jdq" Jdm"

・

^Jdk"JdE". 

J

^品'"JdE'"

・ J

^dq' 

J 

^，dω' 

• J a k  

^JdE

_・

^{Jak'JdE'. JdqJdω} 

eiq

'.^町一

、

^S

曲

_e‑tq

・

^r6+1出'. .̲" ̲1̲. 

f

^{み ei(̲qn+山 市r}

z . . . よ _f

dt‑e

i

笠千ιz

μ) 

^{J ~'2'" ・}

2n-

J ^~-2'"

・ ^-Lfdrei( μ) 

^{J ‑‑3‑品}

^k~+

^りr

^{3 .土}

^‑2n‑^J 

^f

^‑"3 

^{d t e L 宇佐}

・

^{‑Lfdrt(‑q'唯一山.}

^.土 r

^{dt.e'笠 ヂ 互4'}

( 2 n ‑ )  

^{r'"4‑ ‑2}

‑ n

^r"4 

・ _μ)J

^̲1

^f 

^d

^…

^{r.5‑ei(叫 + けr}

^{， .}

^‑

^{. . 土}

_2n‑

J 

^{fheiE‑‑5‑}

^ヂ"

in 1 

GY.7Z.d2‑dN)+if E W ‑ E ( k n ) + j d  

in 

• E"'‑E

{ k " ' ) ‑ i

^o'.

万 二 Y . 7 5 . _{京て京(qい}

_δ

多体問題とグリーン関数との関係の研究 一高等量子力学における摂動理論 (15)ー

e E ‑E(k)+iδe E' ‑E(k')‑iδ  ili 

・一一一・‑・

₍₂ (1923) 

i'Z

y  ‑

^{Po ‑m2 ‑m2(q)+ i8} 

デ ィ ラ ッ ク の 6関数についての式(1691)式乃至 (1694)式を適用する。(1923)式は次のように続く。

= fdq" fdm"

・

fdk"fdE"e  fdk'" fdE"'e fdq' fdω^l' 

e 

f  d k  f 

^dE e 

f  d k '  f 

^dE'

・

^fdqfdω

eiq'.r

，

‑i

、 由

^{e‑iqer.+i出11.}

e8(

ー

q"+k" ‑k"')

・

^8(lim"‑E" + E"') 

・

6

←

k"+k'" +q')

・

^{8(E"‑E'" ‑lim')} 

・

^{8(‑q'+k ‑k')}

・

^δ

か

ω'‑E+E')

・

6

←

k+k' +q)

・

^8(E‑E'‑Iiω)  ili 

. 一 ( 2 一

i

一

'Z")

一

4  ‑P

ー 一 一

O

・

 ‑m"2̲m2(q")+iδ‑

・

E" ‑E(k") + i8  iIi 

・

_{E'" ‑E(k"')‑iδ‑}

・ ー ( 2 一 一

^i'Z"

一

)4

一 ・ 一

ρ

一 ・

。の，2̲ m2(q')+ iδ  e E ‑E(k)+iδe E' ‑E(k')‑i8 

ili 

. ー ー ( 2 ー ー

i

ー

'Z"

ー

)4  ‑P

一 ー ー 一 一

O ‑m2 ‑m2_(q)+ iδ 

8関数を含む積分に就いては次式が成立している。

q" + k'" = k" ，  Iiω"+E^岬 =E骨 ( 1925) (1924) 

q' +k'" = k"  ，  hω， +E'" =E"  (1926)  q'+k' =k  hω'+E'=E  (1927)  q+k' =k  hω +E'=E  (1928)  これより、

q = q' = q"  ，  ω=ωω'  (1929)  k' =k‑q  E' = E‑Iiω  (1930)  k'" 

= 

k" ‑q  E'" 

= 

E" ‑Iiω (1931)  である。こうして、この計算中に現れる独立変数は

q，ω，k，E，k"，E"  (1932)  の6個である。(図4参照)

積 分fdq"fdm"を実行する。

= 

f  d k "  f 

^dE" e 

f  d k ' "  f 

^dE'" e 

f 

^dq' 

f 

^dm'

・ f d k

^fdE 

e fdk'JdE'

・

^fdl

ψ ^{ぽ山ャ主:子ヤ}

e8(‑k" +k肺+q')

・

^{8(E"‑E'" ‑lim')} 

195 

e8(‑q' + k ‑k')

・

⁸⁽1iω'‑E+E')

・

8(‑k+k' +q)

・

^{8(EーE'‑Iiω)} 

ili 

戸 Y . 7 Z . f r ‑ F 1 2

￨一万一

1‑ω2(k"‑k"')+i8

e E" ‑E(k")+iδe E'" ‑E(k"')‑i8 

ili 

石 ZY.7fd

^{ーの2(q')+i8e} E‑E(k)+i8  ili 

e E' ‑E

( k

^')‑i8 e

石 万 .7rd

ーの2(q)+iδ  (1933) 

ω 

ゑM

my  

列

‑SEta‑‑E

︐ t

︐ . ︐ ︐

B I z ‑

x 

₆ 

図4

積分 fak'"fdE'"を実行する。

f  d k "  f 

^dE" e 

f

^内

，

Jdω'

・ J a k

^{JdEe  fak' fdE'} 

e 

J 

^{d q}  

f 

^dmeiq'er， 

e8(‑q' +k ‑k')

・

^8(lim'‑E + E') 

・

^δ

^十

^k+k' +q)

・

^{8(E‑E'‑Iiω)} 

ili l 

・ 一 加 一 一 一 t ー ‑ ー 一 一

^{A ω}

^，

^{2̲ m2(q')+ iδ} E" ‑E(k")+i8 

e E" ‑lim' ‑E(k" ‑q')‑i8 

196  近畿大学工学部研究報告 No39 

ih 

. 石 万 . 7 Z . ω， 2 ‑

o

2 ( q ' ) +  

io 

.E-E依)+iδ •

^{E' ‑E(k')‑iδ} 

ih 

. 石 万 .7Z.ω2

^ー

ω 2 ( q ) +

i

δ 

積分

J

^dq' 

J 

^{do'を実行する。}

(1934) 

= 

J 

^dk" 

J 

^dE". 

J 

^ak 

J 

^dE. 

J 

^dk' 

J 

^dE' 

J  ^{d q}   J  ^{d ω} 

^，

E‑E' 

; ( k ‑ k '

^{)or1‑;D ~L> t} 

e'\-~-r'l ~'-h--'l e‑;q

・

r6+i出11.

. o ( ‑ k  +  k '  +  q ) ・ δ

(E‑E'‑h

ω )  

ih 

研 γ( 千ト

²

^{恥 叫}

^io

• E" 

-E(k")+iδ •

E" +E' ‑E ‑E(k" 

+ k '  

‑k)‑io  ih 

5Y.7rfY  ￨ 子 _I

^̲o2

( k ‑ k ' ) + i o  

.E‑E 年

^)+iO• E' ‑E(k')‑io  ih 

.52Y.7Z.ω2 ̲ 

o

2 ( q ) +  

i

δ 

積分

j

^{北，JdE'を実行する。}

= 

J 

^dk" 

J 

^dE". 

J 

^ak 

J 

^dE. 

J  ^{d q}   J 

^d

^ω 

eiqor1 ‑1^由111e‑lq

・

^rd+i国'1.

(1935) 

ih 1 

.一

(

ー

2

ーー7r一

t 

一ー

‑

ー一一

Po 

ω 2

ーの

2 ( q ) +

io ‑

E"‑E

ν

^)+io 

ih 

. r ‑ M

一時に ^q)‑if ( 2

^7r)4

コ ^{. ω 2}

^‑o2(q)+iδ 

• E ‑E(k)+i

δ.E‑hω

‑E(k ‑q)‑i

δ 

ih 

. 万 万 . 7 5 . ω o

²

_{( q ) +}

iδ  (1936) 

= 訪 ^j ゆ か

^{2 ̲ o21(q)+iδ}

. { 訪 _kFF

^山

ih 

E" ‑ho

一時 Lq)‑i5j.7Z.d‑d(q)+iδ

.{訪 kFI ^{叫ん +iδ} • ^{E  ‑ h O ‑ ; { k ‑ q ) ‑ 1 8 }}  

.竺.

e^{1qo(い 山 田 ( い6)}  PO ‑

o^2 ‑o²

( q ) +  

iδν 

(1937) 

次に、ボソン粒子の修正伝播関数

D~(X6^{‑ XJ)の運動} 量・エネルギー表示D'(q，

ω )

の定義式を書く。

I Y o

^(X6 ‑

X J  

== 

₍ I~ ₂

₇¹ _r ^¥4 

_t    r

J

r

J ^{dq，dωD'(q，o} 

^{) e}

^lq

^・

^{(r1‑r.}‑‑;IV(11‑ら)} (1938)  我々は図3 (図4)のボソンの修正伝播関数の座標 表 示 弓

( X

₆

‑ x J  

^[(1921)式]を計算して来たのであっ た。そして、(1937)式の結果を得た。(1937)式と(1938) 式を比較する。こうして、相互作用表示のボソンの修 正 伝 播 関 数 弓

( X

₆

‑ x J

の 運 動 量 ・ エ ネ ル ギ ー 表 示

U

札 ^{ω )}

^{は次のようになる。}

( q

，

ω ) = 竺.

向 ω2‑o2(q)+iδ 

. { 訪 _{! k ァ ヤ} r ん M

ih 

E" ‑ho ‑E(k" 

‑ q ) ‑ 刈 .7Z.d‑d(q)+id

. { 訪 k p l d H _ゐ

^+io

^・

^E

‑M‑J(k‑q)‑M 

ih 

.7Z.d‑d(q)+iδ 

⁽¹⁹³⁹⁾ 

(1914)式と(1915)式の定義式を用いると(1939)式は次 のようにも書ける。

D'(q，

ω )   = 

DoTIJDoTIJDO  (1940)  次に、図5の副ダイヤグラムを考察する。図5を眺 めながら修正伝播関数D~(.

ら

-xJ^{を構成すると次のよ} うになる。

局私 ‑ x J ) = J 

^{d4x2J d4x3J d4x4J d4xsDio(x2 ‑x))} 

G~(X3 -X2P~(X4 ^‑x3)Dio(x4 -X3P~(X5 ^‑x4) 

197 

• E 

-E(k)+iδ •

^{E' ‑E(k')‑id} 

ili 

・ ー や ー 一 一

^7r

ー t‑ ー ー 一 一 一

^Po 

o2

^ーの

2 ( q ) +

iδ 

デ ィ ラ ッ ク の 6 関数についての式(1691)式乃至 (1694)式を適用する。(1943)式は次のように続く。

(1944)  (1943) 

e1q'.r1 ‑iω11e^‑iq

・

^r.c+itlJl

(イ+

k'" ‑k'

} 5

(lio' ‑

E ' "  

+ 

E ' )  

・

6

十

k'"+ k" + q"

} 5 ( E ' "  ‑E "  

‑no") 

・

⁶

←

^k"‑q" +k

} 5

(E" +no" ‑E) 

・

^{d(‑k+ k' + q}

^{} 5 ( E  ‑}

^E' ‑Ii

ω )  

ili l 

. ー

₍

一

₂

一 一 一 ー ー 一 一

7r)4  ‑Po ω

，

^2 ̲ o²

( q ' ) +  

iδ E'" ‑E(k"')+iδ  ili 

・ ー一一』ーー一一ー一一一一一

E" ‑E(k")+id

似 t

^{・A ‑o，，2 ‑o2(q")+id} 

.E‑E(k)+id. E'‑E(k')‑iδ  ili 

. 一 ( 一 2 一

7

一

r

一

)4  ‑

一 ー ー ー

P

一

o

・

 ‑o² ‑o²

( q ) +  

id 

6関数を含む積分に就いては次式が成立している。

q' + k' 

= 

k'"  • Iiω， + E' 

= 

E'"  (1945) 

ili l 

・ ー ー

₍₂

ー 一 一 一 ー ー 一 一 一 ・ ・

7r )4・PO

ω ， 2

ー

ω 2 句 ， ) +

id ‑E'" ‑E(k'")+ id  ili 

. 一 一 一 一 一 一 . ‑ ・ ‑ 一 ー ー 一 ー ー ー ー ー

E"‑E(k")+iδ

似 t‑

^Po 

o " Z ̲ ω 2  ( q " )  + 

iδ 

‑ w 

ω 

柵

F

l

・‑ 4

w m可︐d 

m︐ 

....•

6 

‑

UW E 

冊f

!w 4

a w 

d v  

f1 dJ N 

ι A 

‑

m E 

Jr iJ 4 

m dヤ

ps

‑E d

同L κ

 

•

ω 

マ

μ J 4

nME d 

'B E‑

‑E W 

一 一

=f内，fdω'

・

^fak'" f dE"'.  f dk" f dE" • f dq" f do" 

‑ ‑ L f d j ( 4 k wイ 肘3

. 土

^fdteL

千 担

^‑13

やり

^{J‑‑‑3‑ ' 27r J ‑"3} 

.~fdr.e什'+k- 川.土 fdt~e'笠千土互'1

²

似 ^{j J}

^{つ 27rJ ‑"l} 

‑‑LIdes(k'

日同.土

fdteiE

千 二 互

14

(27r 

j 

J ‑"4‑ ‑27r J ~'4

.←一~fdr<ei\司4 品叫叫 h恥 M 川+品 +k'+q仲 q

^).rS 

(

や

^:27r

j 

J吋 27rJ ‑‑') 

の

す ・ l J J

市TJu 

' B ‑ ‑ ‑ ‑

‑ u  

‑

E 

VP SI

‑∞ 

+ー

・ ‑ ll

A F  

︐tE

︐

ed 

ι n 

‑

E 

Ta

‑J 4 

4 F  

ri

Jオ

ι a n  

•

fdk' fdE'

・

^fdqfdω 一高等量子力学における摂動理論(15)一

eiq'or1 ‑i出'11e‑iq

・

^r6+i即16

• f 

^ak 

f 

^dE. 

多体問題とグリーン関数との関係の研究

(1942)  (1941)  (1670)式， (1674)式， (1679)式を用いて計算を進める。

(1941)式は次のように続く。

︑

EE/

x 

︑ ︑ . ︐ /

一 ω

4 l

十円V

令 市

F 0 1

ノ

D Z  

1

・ 7

ア

﹀

﹀

﹀

﹀

﹀

﹀

﹀

;

︑ J ︐ c ・

J

︐ ︑

︑

︐

︿

︿ ど

︿

︐

︐

︑

︐

︐

h

︿

︿

︿

4

‑5jy‑fJ4 ヤ 3 ; コ ^{i J i : 二}

4 急+~崎'・(rl‑r2 )‑ilV'(11 ‑12) 

一二一・」二一

Ido'I do''':: 

( 2

^7r)4  ‑Po J ~'1土

ω ， 2

^ーの

2 ( q ' ) +

iδ 

咽 +∞  ぽ・(r2‑r3)‑i

写

⁽12‑13)

・ 訪 ! k ァ γ2m‑E(km)H5

‑ 訪 ^‑fJ41dω5 二 以 : ;

o r  

唱 +∞  K・(円‑r.}‑if(らーら)

. 万 九 ! ア ' p r ^{e E W ‑ E (} 川

^+id

一 ω

‑ 1

千 一 ト

ト 一' k

︑

引 . 一F

M

一

E

e ‑E 

7lj叩

ふ 仙 ア ρt iJ d 

l

一 例

•

唱 +間 取・(r.‑叶ふい，)

・ 訪 rideE‑E(k)+iS

X6 ^t 

= 日

^dr2dt2

f f

^伐dt3

f f ^{dJ帆日ぬ仇}

G~(X2一時 )Dio(X6一時)

図5 I ^X

s  q _， n ωj 

s 

‑

X1 

q ' ， n ω ' 1  

I _X2 

x 

₆ 

E" 

k" 

198  近畿大学工学部研究報告 NQ39 

q "  + k "  = k ' "  

q "  + k "  =k  q+k' =k 

h ω

"+E" 

= 

E"'  (1946) 

これより、

q'=q  k " ' = k   k '  =k‑q 

k" = k ‑q" 

h ω

"+E" =E 

h ω

+E'=E 

ω ω  

E"'=E 

E' =E‑h

ω 

E" 

= 

E‑h

ω '  

(1947)  (1948) 

(1949)  (1950)  (1951)  (1952)  である。こうして、この計算中に現れる独立変数は

q，ω，

k

，

E

，q"，co"  (1

9 5 3 )  

の6個である。(図6参照)

k‑qn  E‑ 1 i ωF 

X1 

q ， 1 i ω 

x s i  

i  q ， h ω  

‑

x 

₆  図6

積分

f

^dq' 

f 

^{，dω'を実行する。}

k‑q  E‑ 1 i ω 

= f dk'" f dE"'.  f dk

ポ r e " .

f dq" f d山 fdkfdE 

• fdk'TdE'

・

fdl

ψMh

.d

十

k'"+ k" + q"

) o

(E'" ‑E" ‑hco") 

ω(‑k"‑q"+ ゆ

(E"

+ 

hco" ‑E) 

・

^{d(‑k+ k' +} q

) o

(E ‑E' ‑h

ω )  

ih 

.57.7Z.fEm‑E'y 

￨一万一 1 ‑ ω 2 ( k ' "‑k ' ) +  

i

δ 

• E'" ‑E(k"')+id. E" ‑ECピ)+iδ ih 

.一

伊

一ー一一

t

一一

‑

一一一

PO ‑

a l

² ‑o²(q")+ iδ E ‑E(k)+id  ih 

.‑一ーー一一・‑・

E' ‑E(k')‑id ‑(2ir)4 ‑PO ‑

o² ‑co²(q)+iδ  (1954)  積 分 fdk"'fdE"'^{を実行する。}

fdk"fdE".fdq"fdo"

・

^{fdk f dE.  f dk' f dE'} 

(

  . ' +'1.  i(k"+q^にk')or¥‑i!!.:..竺壬f : r I J ‑ d M

• I 

^dq 

I 

^{doe ' . ，.  e司V 叫}

.d(

ー

k"‑q" ₊ k

) a

^(E" +ho" ‑E) 

・

^d(‑k

^{+ k '}  

^+q

^{) o}

^{(E ‑E'‑h}

^{ω )}  

ih 

5 y ‑ r f r

_l  ^+hc_h ^o" ‑E

'Y‑d(kw+qw‑k い ^δ

.EW+hω" ‑

E(k" 

+  q " ) +   iδ •

^E" ‑E(k") 

+ 

ⁱ

δ 

ih 

5Y.7Z.

ポーの

2 ( q w ) + i 5 . E ‑ E ( k ) + i d

ih 

.E'‑E 舵 ^)‑is.5 万 ^.75.ω2̲ 

^co2(q)+ id 

積分

j

^品♂

f

^{dE"を実行する。}

= f dq" f dco"

・

^fdkfdE

・

^fdk'fdE' 

(

  . ' +'1.  i(k-k')o^r\-iE~E'，\ ̲/n.. 

~;."

. I d q  I 

^{doe'  e崎 町 一}

.d

十 ^k+ k '  + 

^q

) o

^{(E ‑E'‑h}

^{ω )}  

ih 

5Y.75.fE‑m 

ト瓦ート ^{ω 2 ( k ̲}

^k')+i

^δ

• E ‑E(k)+i

δ.E‑hap ， _‑E(kー イ

^)+id

ih  1 

(1955) 

戸 ^Y.7Z.

^{ポ ‑o2(q")+id.E‑E(k)+i}

^δ 

ih 

• E' ‑E(k')‑id • ^(2ir 

  ) 4

•

^PO • o² ‑C0² 

( q ) +  

^iδ  (1956)