<ノート>多体問題とグリーン関数との関係の研究--グリーン関数と多体問題(15)量子統計力学(7)
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(2) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 108. き 、一 電 子 状 態 関 数 の φ、(τ 〉φ、(τ}…,φ ζ(τ)の近 似 が 良 け. れ ば良い程 で あ る。 この とき、2個 の 電 子 共 は反 発 エ ネ ル ギ ー を 最 小 にす るた め に、 反 対 称 の 軌 道 波動 関数 に在 る 事 を 選ぶ 。 しか し、 フ ェル ミ粒 子 共 の 場合 、電 子 の全 波 動. がN電. 関数 は系 を構 成 す る任 意 の2個 の 電子 同士 の 交換 に対. は(2966)式 が 停 留 値 を 取 る よ うに 一 電 子 状 態 関 数. 子 系 の よ り正 しい エ ネル ギー 値 を 与 え る。我 々. して ス ピ ンに 関す る変 数 ま で含 め た とき、 反 対称 で な けれ ばな らない 。 故 に 、反 対称 的 軌道 波 動 関数 は対 称 的 ス ピ ン波 動 関数 を 必 要 とす る。 そ して 、 それ は3重. φル(τ}吻(τ}…,φ ξ(τ)を選 ぶ 。(2962)式. に 対 す る(2966). 式 は 次 の様 に な る。. 項 状 態 で あ る。 即 ち 、 電 子 共 の ス ピンは 同 じ向 き に整 列 す る。 こ う して 、 定性 的 に言 え ば、 電 子 間反 発 相 互 作 用 は 常磁 性 を高 め る様 に影 響 を 与 え る。 上 で 定性 的 に 説 明 した事 柄 を よ り良 く理 解 す る為 に 次 に数 式 を用 い て それ を説 明 しょ う。 この とき、 我 々 は 基 礎 物 理 学 選 書5B量. 子 力 学(H)(小. 出昭一郎著. 裳 華房)のpp232-244§9.4Hartree-Fock近. 似と. §9.5Coulomb積. 分 と交 換 積 分. の項 を大 い に参 考. に して記 述 す る。 ハ1電子 系 のハ ミル トニア ン 玩 。 海、1は. 各 電 子 が独 立 にス ピン軌 道 を 占め る と言 う近似 を使 お う。 例 えば 、 軌 道 関数 π兀(ち)で ス ピン 上 向 き の とき を ψ。ω 窩〃、(ウ(σ、)(2968) 軌 道 関数脇 ω で ス ピン下 向き の とき を φ、(ち)一 ・、ω 陥)(2969) を使 う。 ス ピ ン上 向 き電 子 に 対 して. と置 い た・鴫)は. 一 粒 子 エ ネ ル ギー の項 で あ り、噸 で あ る。 α(ρ り を β(ら)に置 き換 えて 、ス ピ ン下 向 き電. は電 子 間 相 互 作用 の項 で あ る。 フ ェル ミ粒 子 の 場 合 、. 子 に変 え て も同 じ事 で あ る。 故 に、 この 形 の 項 共 は 一. 系 の波 動 関 数 と して許 され る もの は 、 系 を構 成 す る任. 電子 エ ネ ル ギー 共 に 当た る。 次 に、. 意 の2個 の粒 子 の位 置 の 交 換 に対 して反 対 称 の 波 動 関 数 だ け で あ る。 そ して 、 そ の 様 な波 動 関数 はSlater 行 列 式 で 記述 で き る。位 置 座 標 葛 とス ピン座 標 σ1をあ わせ て 座標 を ち と書 く。 ス ピ ン を も含 めた 一 電 子 状 態 関 数 を φλ(ち)と書 く。 反 対 称 波 動 関 数 Φ(τpτ2,…,τ の は 次 のSlater行. 列 式 で 表 わ され る 。. 我 々 は 、(2961)式[(2962>式]で 波 動 関 数 をSlater行. 与 え られ るN電. 列 式(2965)式. 子 系の. で 近 似 す る。こ の と.
(3) 多 体 問 題 とグ リ ー ン関 数 との 関係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(15)一. 電子間相瑚 (2971)式. 中 の ス ピ ン 関 数 γ(ケ)と 〆￠)は α,β. による購. 紘. 109. 筆 仙 ・ あ. のいず. れ で あ って も、共 に、. る ときの 一般 的 説 明 は こ こま で に して 、 次 に 、初 めに. Σ プ(ケ、)γ(ケ 、)一 Σ 〆虞(6、 ン 伝 、)=1(2973) qσ. く 量 子 統 計 力 学7>. 的性 質 に どの様 に影 響 す るか の定 性 的 説 明 を よ り直接. ノ. で あ る 。(2972)式1(2972)*式. 】は 幡. 目 の 電 子 と ノ番 目. の電子 の クー ロン相 互作 用 エ ネ ル ギー を与 え る項 で あ る 。(2972)式[(2972)*式]の. 説 明 した とこ ろの 、電 子 間相 互 作 用 が 電 子気 体 の磁 気. 積 分 を ク ー ロ ン 積 分 と 言 う。. に 、 よ り分 か り易 く、 式 を使 っ て説 明 し ょ う。 そ の為 に我 々は2電 子 系 を採 用 す る。 2電 子 系 の非摂 動 波 動 関数 は次 の様 で あ る。 三 重 項 ↑↑. 次に、. 全 ス ピ ン1. 1,,、,L.臨,._. で あ る 。(2974>式 7=〆=α. 中 の ス ピ ン関数 の 和 につ い て は. ま た は7=〆=β. な ら ば 、(2973)式. と 同様 で. あ って 、. で あ る 。 しか し 、7=α,〆=β. 又 は 、γ=β,〆=α. の と き は ス ピ ン 関 数 の 直 交 性 よ り、. と置 こ う。 」(λ,μ)を 交換 積 分 と言 う。 これ は電 子 共 の 同 等性 か ら出 て来 る量 子力 学 固 有 の量 で あ る。. 三 重 項 状 態 の 式 共 を 眺 め て み よ う。平 行 ス ピ ン の 場 合 、 こ う し て 、(2967)式. 中 の項 で 、. ρ≠∂の と き 、 喧=r2な び Φφi4r2は. 電 子1を. ら ば 、 い ず れ も Φ=0と 鞍∼ 馬+礁. な る。. に 電 子2を. はス ピ ンが 同 じ向 き の ときは 、 ス ピンが反 対 向 き の と. r2∼r2+4ち に見 出す確 率 で あ るの で 、異 な る軌 道 に電. き よ りも エ ネ ル ギ ー が 」(λ,μ)だ け 低 くな る事 が分 か. 子共 がそ れ ぞ れ在 る とき には 同 じ場所 で2個 の 電子 共. る。. が鉢 合 わせ る事 が ない 事 が分 か る。又 、σ功 の とき に は 、 Φ=0と な って 、 平 行 ス ピ ンの 場 合 、 同 じ軌 道 に.
(4) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 110. 電 子 は入 れ な い事 を示 してい る。 これ 等 は 平行 ス ピン. 想気 体 に施 す最 初 の 改 良 に 当 た る。. の と き 電 子 共 は 互 い に避 け 合 う事 を 示 して い る 。 (2980)式 を採 っ て2電 子 系 のエ ネ ル ギー を計 算 す る と、 E-∬. σ ㌔. 次 に、 非 常 に低 温 と した の は、 低 エ ネル ギー 量 子力 学 的粒 子 共 が到 達距 離 の短 い短 距 離 中 心カ ポテ ンシ ャ ル に よ って 散乱(弾 性 散 乱)さ れ る と き 、量 子 力 学 の. Φ4ちゴ・、. 散乱 理 論 に よれ ば、 散 乱 波 で あ るs波(角 一〈 ・[測・〉・鋼. 部分 波)の 散 乱波 の位 相 のず れ δは 、 低 エ ネ ル ギー の. δ〉+9(傷 δ)-J@)(2986). で あ る 。 次 に 、 一 重 項 状 態 の 式 を 眺 め て み よ う。 反 平 行 ス ピ ン の 揚 合 、 α≠わの と き 、 稿=r2で. も 、 Φ ≠0、. 搬b。. の と き Φ ≠0、 故 に 、 同 じ軌 道 に2個. の電子. 帳. 厩. 又 はE一 瞬. 。互. ゐ2η22溺. 射 粒 子 の 質 量 、Eは. 故 に 、2個 の 電 子 は 同 じ場 所 で 鉢 合 わ せ る 事 が で き る 。 又 、 α訪. 運 動 量0の. 醒1杁. 入 射 粒 子 の エ ネ ル ギ ー)で. は、. δ駕一α鳶(2989) の 様 に 振 舞 う。 こ こ で 、 比 例 定 数 α は 長 さ の 次 元 を 持. が 入 る 事 が で き る 。(2890)式 と の 比 較 の た め に 、(2985). ち 散 乱 半 径(散 乱 長)(scatteringlength)と. 式 の 第 一 項 の み で 考 え て み よ う。. αは 相 互 作 用 を 起 こ す 領 域 の 目 安 を 与 え る 長 さ で あ る 。 実 際 、 低 エ ネ ル ギ ー の 極 限 た→0で 4加2=(2の2π. 呼ば れ る。. は 、散 乱 断面 積 は. と成 る 。 そ して 、 こ れ は 半径 α の 剛 体 球. に よ る散乱 断 面 積 と 同 じで あ る。 我 々 の 此 処 で の文 章 は、 岩 波理 化 学 辞 典 第4版(岩 (2987) (2987)式. を 採 っ て2電. 子 系 の エ ネ ル ギ ー を 計 算 す る と、. 波 書店)と. 物理 学 辞典. (培風館)の そ れ ぞ れ 、 「 有 効 距離(粒 子 の 散 乱 の)」 の項 と 「散 乱 半 径 」 の 項 とか ら借 りた もの で あ る。 (2989)式 の近似 を高 め たの 高 次数 項 ま で採 用 す る と、s 波 の位 相 のず れ δは 波 数 々の2乗 の級 数 に展 開 して表 わ され る。 た・帆δ=÷. (2986)式 と(2988)式 を比 較 す る と、 反 平行 ス ピ ン の場. 去ザ+・. ω(299・). 合 、電 子 は 互 い に近付 くこ とが 出 来 る た めエ ネ ル ギー. αは散 乱 半径 、るは有 効 距離(effectiverange)で. が 高 くな り、 平 行 ス ピン の場 合 、互 い に避 け合 うので. r,は ポテ ン シ ャル の 到 達 範 囲 の 目安 を与 え て くれ る量. あ る。. そ の分 エ ネ ル ギ ー が低 くな る事 が分 か る。 そ の値 は交. で あ る。 非常 に低 温 の極 めて 低 いエ ネ ル ギー散 乱. 換 エ ネ ル ギー 分 」他 の で あ る。 こ う して 、電 子 問 相 互. た→0で は(2989)式 を与 え、 半 径 αの 剛 体 球 散 乱 と等. 作 用 が 電 子 気 体 の 磁 気 的 性 質 に 常 磁 性 を 高 め る 様 に影. 価 に な る。 短 距離 力(又. 響 す る事 の 簡 単 な説 明 が出 来 た。. 波 動 関数 を ゆが め る領 域 力翫 を 半径 とす る範 囲 内 であ る。 低 エ ネ ル ギ ー散 乱 で は ポテ ン シ ャル の 形 とは無 関. 我 々 は こ れ か ら 、K.Huang著"Statistical Hechanics"の. 第2版(新. 版)の 記 述 に 沿 っ て 話 を 進 め. る 。 我 々 の こ こ で の 目的 は 、 非 常 な 低 温 に あ る と こ ろ の 、 ス ピ ン1の. 2. は 、短 距 離 ポテ ン シ ャル)が. フ ェ ル ミオ ン 共 か ら成 る 不 完 全 気 体 を. 係 に4と るの値 を 実験 デ ー ター と合 わ せ る事 が 出来 る。 故 に、(2990)式 の ん2の項 ま で採 っ た近 似 をポ テ ン シ ャ ル の形 に よ らな い近 似 と言 う。 我 々は 非 常 に低 温 で の不 完 全 気 体 を考 察 す る。 この. 考 察 す る事 に よ っ て、 電 子 間相 互 作 用 が 電 子気 体 の磁 気 的性 質 につ い て、 電 子 共 の ス ピ ン共 を整 列 させ る傾 向 に働 く事 を、 実 例 を以 っ て証 明 す る事 に あ る。 初 め に 、我 々 は こ こで 言 うと こ ろの 不完 全気 体 を 定. とき、 長 さの 次 元 を持 つ2個 あ. の重 要 な パ ラメ ー ター が. 1 る 。 即 ち 、熱 波 長 λ と平 均 電 子 間 距 離v3で. こ で 、v(ヴ. イ)は 比 体 積(電 子1個. あ る。 こ. 当 り の 体 積)v=Z. 義 して置 こ う。 こ こで 言 うとこ ろの 不 完 全気 体 とは① 粒 子 間 ポテ ン シ ャル が 有 限 の範 囲(又 は 、有 限の 距 離). で あ る 。 熱 波 長 λ は(1822)式. 内 で働 く。 ② 相 互 作 用 し合 う2粒 子 間 に 、2粒 子 束 縛. あ り、(1822)式 乃 至(1827)式. で 初 め て 定 義 され た 量 で で 説 明 が加 え られ て い る。. 状 態 が存 在 しな い 。 ③ この様 な 条 件 下 で互 い に相 互 作 用 す る とこ ろの 非 常 に 希薄 な粒子 共 の 系. で あ る。. 非 常 に 希 薄 な 系 と した の は、我 々 が粒 子 間相 互 作 用. λ. 漏. 2痂2 1η β7. 正(1822)式](2991). を理 想 気 体 に 働 く小 さな摂 動 と して 取 り扱 う事 を可 能. は エ ネ ル ギー 編7を 持 っ 、質 量 溺 の1粒 子 の熱 波 長 と. にす る為 で あ る。 それ 故 に、 不完 全気 体 とは物 理 気 体. 呼 ばれ る。エ ネ ル ギー 秘rを 持 つ 、質 量 初 の1粒 子 の. (実在 気 体 、 実 体 気 体)に 対 す る モデ ル と して の、 理.
(5) 多 体 問 題 とグ リ ー ン関 数 との 関係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(15)一. ド ・プ. ロ イ(deBroglie)波. 長. く 量 子 統 計 力 学7>. 111. あ り、粒 子 間相 互 作 用 を 非常 な 低温7→0(低. λぱ 。.B.。g"、. ギー た→0)に. エネル. お け る電子 共 の 量子 力 学 的散 乱 と して 、. 理想 気 体 に対 す る小 さな摂動 と して取 り扱 うとこ ろの 一塊 の不 完 全 気 体 は 、上 で 出て きた3個 のパ ラ メー タ 三 一 の 熱 波 長 λ と 平 均 電 子 間 距 離v3と 半 径)α の 関 係 に あ る 。(2991)式 7→0で. は λ は 極 め て 大 き く な る 。 熱 波 長 λ と平 均 粒. 1 子 間 距 離v3は. 熱 波長 物. を 眺 め る と分 か る 様 に 、 低 温. 散 乱 半 径(剛 体 球. と で 記 述 され る 事 が 可 能 で あ る事 を 示 唆 し て. い る。 K.HuangandC.凡Yang翫. まPhys.Rev.105pp767-775. (1957)``Quantum-MechanicalMany-BodyProblemwith 似 た 長 さ で あ る か も しれ な い 。 そ して 、. Hard-SphereInteraction"で. 、一 塊 の 不 完 全 気 体 の 低. ⊥ λ と平均 粒 子 間 距離v3の 長 さは 電 子 共 の入 れ. 位 エ ネ ル ギ ー 準位 共 を計算 す る 目的 で 、そ の 系 の 正規. 1 さ〉 砕 よ りは小 さい. 様 な 、 散 乱 パ ラ メー ター 共 のみ が表 立 って 現れ る とこ. で あ る物 質 容器 の 大 き さ(長. の ハ ミル トニ ア ン を 、例 え ば 、散 乱 半 径(散. 乱 長)σ. の. ろ の 、 有 効 ハ ミル トニ ア ン に よ っ て 置 き 換 え る 事 が で. と して も 、短 距離 中心 力 ポテ ン シ ャル で あ る粒子 間相. き る 事 を 示 し た 。 そ して 、 そ の と き 不 完 全 気 体 の 分 配. 互 作 用 の ポテ ン シ ャル の及 ぶ 範 囲 よ りも、又 、 そ の他. 関 数 は そ の 有 効 ハ ミル トニ ア ン の 助 け で 計 算 す る 事 が. の、問題 中に現 わ れ る どの 様 な そ の他 の長 さ共 よ りも、. で き て 、 不 完 全 気 体 の 総 て の熱 力 学 的 関 数 が そ こ か ら. 遥 か に長 い と考 え られ る。 量子 力 学 で は 、1個 の電 子 はそ の ド ・プ ロイ波 長 の. 小 さなパ ラ メー タ論. び. び. と τ の最 も低 い オ ー ダー で 得 v3. 内側 で は、 そ の位 置 は局 在 化 され る事 は で きず 、位 置 の不 確 定 性 を持 つ 。 金属 中の 電 子 間 相 互作 用 を持 つ が. られ る事 が 出 来 る方 法 を定 式 化 した 。 この方 法 は偽 ポ. ほ とん ど 自由 な 電 子 を 考 え る場 合 、 ド ・プ ロイ波 長. テ ン シ ャル 法(methodofpseudopotential)と. λゐ。 別㎎"。は 熱 波 長 λ に よ っ て 置 き 換 え ら れ る。 即 ち 、. 呼 ばれ て. い る。 粒 子 間 ポテ ン シ ャル が剛 体球 ポテ ン シャル では 無 く. 現在 の場合 、1個 の 電子 の 不確 定性 に よ る広 が りは λ. て 、 束縛 状態 を持 た な い ところ の有 限 領域 に分 布 した. で 、電 子 間 の短 距 離 中心 力 相 互 作 用 ポテ ン シャル領 域. ポ テ ン シ ャル の ときに は、質 量 加 の 亙 個 の 同等 粒 子 共. よ りも遥 か に大 きい。 故 に 、任 意 の指 定 した1つ の 電. か ら成 る不 完 全 気 体 に対 す る有 効 ハ ミル トニア ンは 、. 子 の相 互 作用 領 域 内 に別 の1つ の 電子 を見 出す 確 率 は. フェル ミオ ン系 とボ ソン系 の 両方 共 に 、次 の様 に採 る. 不 確 定性 に よ る波動 関数 の 広 が りが大 きい が故 に極 め. 事 が で き る。. て小 さい。 そ れ 故 に 、1個 の 電 子 が有 効 に他 の電子 共 と相 互 作用 を経 験す る事 は 、例 え 、粒 子 間相 互 作用 ポ テ ンシ ャル が大 き な値 を持 っ た と して も、少 な い。又 、 不 確 定性 に よっ て空 間 中に 広 が っ てい る1個 の電子 は. αは散 乱 半径(散 乱長)で あ る。 この有 効 ハ ミル トニ. ポテ ン シ ャル の 平均 効 果 の み を体 験 す るの で、 電子 間. ア ン の 固有 値 共 は 不 完 全 剛 体 球 気 体 に対 して は02の. ポ テ ン シ ャル の 詳細 は 重 要 で は な い。. オー ダー まで 正 しい 固有 値 共 で あ る。 他 方 、 一般 の不. 既 に 、(2989)式の 上7行. 目か ら(2990)式 の 下10行. 目. に掛 け て説 明 した様 に、量 子 力 学 の散 乱 理 論 に よれ ば 、 低 エネ ル ギー散 乱 ル→0(実. 際 は 、非 常 に低 温7→0を. 考 え る。)で は1個 の 粒 子(電 子)の 二 散乱 は ポテ ンシ ャ ル の形 とは無 関係 とな る。 そ して 、 それ はそ の ポテ ン シ ャル に よ る散 乱 の 実 験デ ー ター に 合 わせ る事 に よ っ. 完全 気 体 に対 して は 固有 値 共 は αの 最低 オ ー ダ ー で正 しい 固有 値 共 であ る。(2994)式 で注 意す る事 は 一 皇rが ∂ア. エ ル ミー ト演 算 子 で な い の で 、(2994)式 トニ ア ンHげ. の 有 効 ハ ミル. が エ ル ミー ト演 算 子 で な い 事 で あ る 。 し. て得 られ る1個 のパ ラメー ター で あ る とこ ろの散 乱 半. か し、(2994)式 を導 き 出す 際 に、(2994)式 が 実際 の問. 径(散 乱 長)α のみ に 依存 す る。 この とき、 散 乱断 面. 題 の近 似 的 固有 関数 共 であ る実 数 固有 値 共 を持 つ 事 を. 積 は4加2;(2α)2π. で あ り 、低 エ ネ ル ギ ー 々→0で. の1. 証 明 して あ るの で 、 それ が非 エ ル ミー ト演算 子 で あ る と言 う事 は 心配 す る に及 ば ない 。 有効 ハ ミル トニ ア ン. つ のポ テ ン シ ャル か らの散 乱 は 半径 αの剛 体 球 に よ る. の非 エ ル ミー ト性 は(2994)式 の 固有 関数 共 が 実際 の 問. 散 乱 の様 に見 え る事 とな る。. 題 の 固 有 関 数 共 と至 る と ころ一 致 は しない が 、漸 近 的. そ して 、上 で 述 べ て きた 事柄 は 、非 常 に希薄 な系 で. 領 域 中で の み そ うな る と言 う事 実 を反 映 して い る。.
(6) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 112. 次 に 、(2994)式. の偽 ポテ ンシ ャル 共 の. の遣 り取 りを しなが ら熱 平 衡 状 態 に あ る も の とす る。 こ のN粒. 子 か ら成 る 不完 全 電 子 気 体 の エ ネ ル ギー 固. 有 値E.は 、 外 部 静 磁 場Hの. 下 で の 電 子 間相 互作 用 の. 無 い理 想 電 子気 体(完 全 電 子 気 体)の エ ネ ル ギー 固有. 、. が 、摂 動 論 に お い て、 一 次 のオ ー ダー へ の み扱 われ る. 値 が以 前 の節(§39)の(2843)式. べ き 小 さ な 摂 動 で あ る と看 倣 さ れ る な ら ば 、そ の と き 、. そ の式 へ 電子 間相 互 作用 のエ ネル ギー を足 し合 わせ て. 演算子号肱. 与 え られ る。. 良賑 御. ・ をする非獺 自由粒子波. に 与 え られ て い る ので 、. 動 関数 共 に、 常 に作 用 す るで あ ろ う。 それ 故 に、 演 算 子1,は1に ∂γ. 「. 等 しい と置 く事 が 出来 る.故 に 、我 々 は. 【zビ 闘ノ. ここで 、 β は電 子 の 軌道 運 動 に 由来す る磁気 モー メン. こ の と き 、 次 の 有 効 ハ ミル トニ ア ン を 用 い て 計 算 す る. トの 量 子 力 学 的 単 位 の ボ ー ア 磁 子 で あ る。 ..'^、 素. 事 が 出 来 る。. こ こで 、(2999)式 の有 効性 の条 件 に つ い て述 べ てお 既 に 、 述 べ た 様 に 、(2996)式 の 有 効 ハ ミル トニ ア ン は 一 次 の 摂 動 論 へ 適 用 す る 目 的 に 対 して の み 有 効 で あ る K.Huang著"StatisticalMechanics"第2版(新 のpp476-477の. 付 録 の(八36)式. い て の 一 次 の オ ー ダ ー で 、N粒. と(ん42)式. こ う。(2999)式 中 の電 子 間相 互 作 用 に よるエ ネ ル ギー 。. 版) に、 αに付. 項 の 4π7ガπ 〃7 ↑ π↓ は 次 の 条 件 で求 め られ た 。 即 ち 、 系 が 非 常 な低 温 に あ る。 電子 気 体 は 希 薄 で あ る。1個. 子 系 の ボ ソ ン共 と フヱ. の電 子 の不 確 定性 に よ る広 が りは 電 子 間短 距 離 中心 力. ル ミオ ン 共 と に 対 し て の エ ネ ル ギ ー が そ れ ぞ れ 与 え ら. 相 互 作用 ポテ ンシ ャル領 域 よ りも遥 か に大 きい。 不確. れ てい る。 ボ ソン共 に対 しては 、. 定 性に よ って 空 間 中 に広 が って い る1個 の電 子 は ポテ ン シャル の平均 効 果 の み を体 験 す るの で、 電 子 間ポ テ ン シャル の詳細 は重 要 で無 い 。 量 子 力 学 の 散 乱理 論 は 低 エネ ル ギー散 乱で は1個 の粒 子(電 子)の 散 乱 はポ テ ン シ ャル の形 とは無 関係 で あ り、 そ れ は 実験 デ ー タ ー に合 わ せ る事 に よ って得 られ る半径 αの 剛体 球 に よ る散 乱 の 様 に見 え る。散 乱 半径 αは ポ テ ンシ ャル の作 用す る有 効 半径 で あ る。 我 々 は 粒 子 問 相 互 作用 を理想 気 体 に対 す る小 さ な摂 動 と して取 り扱 う。 こ の とき 我 々 は正 規 ハ ミル トニ ア ン を散 乱パ ラ メー ター 共 のみ. [(ん42)式](2998) で あ る 。 但 し、1V.≡N↑,1V. .≡1V↓ で あ る 。. 我 々 は こ の 辺 りで 、 こ の 節(§)の (2988)式. の 下8行. が現 れ る有 効ハ ミル トニ ア ンHげ に 置 き換 え て、摂 動. 本 来 の 目的 で あ る. 目へ 話 を 戻 す 。 も う一 度 そ こ の 文 章. を 記 し て 置 く 。 我 々 は こ れ か ら 、KH聡ng著 "St atist三calMechanics"の 第2版(新 版)の 記 述 に. (2999)式 中 の 相 互 作 用 エ ネ ル ギ ー を 求 め た 。(2999>式. 沿 っ て 話 を 進 め る。 我 々 の こ こ で の 目 的 は 、 非 常 な 低. の有 効 性 の条 件 は、. 温 に あ る と こ ろ の 、 ス ピ ン ⊥ の フ ェ ル ミオ ン 共 か ら成. ち 回 《1帥1一. 2. る不 完 全 気 体 を 考察 す る事 に よ って 、電 子 間相 互 作用 が電 子 気 体 の磁 気 的性 質 につ い て、電 子 共 の ス ピン共 を整 列 させ る傾 向 に働 く事 を、 実 例 を以 っ て証 明す る 事 に あ る。. …曜`〈. 」. 毒 〔_λF2 π〕(3・. ・1). で あ る。こ こで 、ち は フ ェル ミ準位 に 在 る電 子 の波 数 で あ る・ 蝶. よ り・ろ は フ エル ミ波 長 で あ る認. 個 の 電 子 か ら成 る完 全 自由電子 気 体 が縮 退 して基 底 状. 我 々 は 今 、 量子 力 学 的 正準 集 団 を考 察 して い る。 系 は ス ピン1を 持 っ 丼 個 の電 子(フ ェル ミ粒 子)か ら成 2. 態 に 在 る とき、 電子 に よ って 占め られ るk空 間 の球 の 半 径 が 齢 で あ る。 故 に、 λFは フ ェル ミ球 面 上 に在 る. る不完 全 電子 気 体 であ る。系 には 外部 静 磁 界H=託. が. 電 子 共 の ド ・プ ロイ波 長 と考 え る事 が 出来 る。 故 に 、 α<<λFは(2999)式 の有 効性 の 当然 の条 件 で あ る。以 前. zの 正方 向 に掛 か って い る。 そ して 、系 は温 度rの. 外. の 節(§32)の(2214)式 の. 系 で あ る熱 源 に よ って 囲 まれ て 、熱 源 と熱 エ ネ ル ギー.
(7) 多 体 問 題 とグ リ ー ン関 数 との 関係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(15)一. く 量 子 統 計 力 学7>. 意 の 整 数N↑ を 選 ぶ 。 こ の と き 、(3009)式. 113. に よ り下 向. き ス ピ ン ↓ の 全 電 子 数1V↓ が 自 動 的 に 決 ま る 。 そ の と. き、 Σ 掃 一1V,と Σ η訴N-N↑. ←N、)を 満 た す よ うな 、. 肝P. 各運 動 量p状 態 に対 す る上 向 きス ピ ン ↑ と下 向 き ス ピ. ン↓傭 子の占磁 の纏},翰. の総ての組合わせ. の組 に渡 る 和 を取 る。系 の電 子 の 総 数1Vは 一 定 で決 ま っ て い る。 我 々 は 、 先 に 、1V↑の数 値 を任 意 に選 ん だ の で あ る が 、 実 際 に はN↑ の そ の 数 値 は0か らNの. 総. て の数 値 を 取 る事 が 出 来 る。故 に 、我 々 は、次 に 、0か らNの. 」'ρ. で あ る 。 こ れ は(2999)式. の有 効 性 の 条 件 と して 電 子気. 総 て の整 数1V↑に 渡 って 和 を取 らな けれ ば な ら. な い。(3007)式 中 で 、 、f璽_噛7'1-__、_____. 体 が 低 密 度 で あ る事 を 要 求 し て い る 。 正 準 集 団(カ. ノニ カル. ア ン サ ン ブ ル)の. 的 分 配 関 数(partitionfunction,状 states)Z(延1罵7)は. 量子 力 学. 態 和sumover. 以 前 の 節(§9)の(613)式. で 定義. され た。. 故 に、 今 の揚 合 、考 察 して い る系 で あ る不 完 全 電 子 気 体 の 分 配 関数Z￠. 凡7)は. 、(2999)式 を使 っ て 、 次 の. 様 で あ る。 一. 虐. 、,,、. 曳」Uuり. (3007)式. の 計 算 の 進 め 方 は 以 前 の 飾 く§39)の(2845)式. り. 但 し・ こ こで ・ 和 記 場. の場 合 と同 じで ある・和記号 漏. 取 る と き、 次 の2個. の上部の*繍. の 上部 の**印. は色 々 な 組. ゜を 合 わせ の確}に. の条 件. 渡 っ て の 和 を取 る と き、 各 々 の組 合. わせ 餐}の 全 て が 、 そ れ ぞ れ 、 Σ η;=N↑ の拘 束 を受 P. け て い る事 を 示 して い る。 そ して 、 同様 に 又 、 和 記 号 のの. 即 の束 縛 条 件 那 あ る事 を表 わ して い る。 我 々 は(3007)式 にお い て 、 こ の拘 束 条 件 下 で 、 劔. ←1}の 総 て の 可 能. 上部伽. 印は色々な組合せの組←纏. て和 を取 る と き洛. 々 の組 合 せ 鱒. れ 、 Σ 鳳 一N↑=N-2V,の. つ. の 全 て が 、 それ ぞ. 拘 束 を受 け て い る 事 を示 し. P. な 組 み合 わせ に 渡 っ て 和 を取 らな けれ ば な らな い 。 そ して 、 そ の 為 に は 我 々 は 系 統 立 て て計 算 を進 め な けれ ば な らな い 。 最 初 に 、 上 向 きス ピ ン ↑の 全 電 子 数 と して1つ. て い る。 質 量 溺 のN個. の ス ピ ン の な い 粒 子 共 か ら成 る理 想. フ ェル ミ気 体 の 正 準集 団 の 量 子 力 学 的 分配 関 数 は 、 次 の任. の様 に書 け る 。.
(8) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 114. の 下 で 、全 て の組合 わせ の碗}に. つ い て 不・を 取 る事. を意 味 し て い る 。 (3018)式. と(3020)式. を 使 う と(3012)式[(3007)式]の. 分 配 関 数Z{才 ノV,7)は 、 次 の 様 に 書 け る 。. の 下 で、 全 て の組 合 せ の組 セ,}にっい て の和 を取 る事 を 意 味 して い る。上 付 き 添 字 の ⑥ は ス ピ ン の 無 い 粒 子 系 を 表 わ し て い る 。 又 、(3014)式. のF(字,N,7)は. この. 系 の熱 力学 量 で あ るヘ ル ム ホ ル ツ の 自由エネ ル ギー で あ る 。 以 前 の 節(§)9の(623)式. に示 した 様 に 、熱 力 学. 量 で あ る ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ーF(r.1V,の. と. 統 計 力 学 量 で あ る 分 配 関 数(状. の. 態 和)Z(才,1V,7)と. 間 には 、 次の対 応 関係 が あ っ た。. Z伽7)一. 泣. 僻)[(2852)式](3。17). であ る。(古 典 統 計力 学 で は(956)式 参 照) 次 に 、 こ の様 に表 記 した と き、 質 量 初 の 万↑個 の ス ピン の ない 粒子 共 か ら成 る理想 フ ェル ミ気 体 の正 準 集 団 の 量子 力 学 的分 配 関 数Z鶏)は 、 次 の様 に書 け る。 ↑. (3025) を得 る。 こ こ で 、(3025)式. こ甑. 和記鴫. の上部伽. 印は束麟 件. の右 辺 第 二 項 の値 を近 似 的 に求 め. よ う。 外 部 磁 場H{A・turnlm】 を 有 す る 体 積7のN個 度7の. 中 で 、 質 量 〃2の ス ピ ン. の 粒 子 か ら な る 正 準 集 団 が 、温. 外 系 と 熱 平 衡 に あ る と き 、系 に 実 現 さ れ る 上 向. き ス ピ ン を 持 つ 粒 子 共 の 平 均 値1V↑ は 、(3025)式 の 右 辺. の 下 で、 全 て の組 合 わせ の確}に. つ い て禾・を取 る事 第 二 項 中の 和 Σ. を表 わ して い る。 同 様 に 、質 量 〃2のN↓ ←1V-jv↑)個. の ス ピ ンの な い粒. 子 共 か ら成 る理 想 フ ェル ミ気 体 の正 準集 団 の 量子 力 学 的 分 配 関数Z総=Z紐. 坪,は 、 次 の 様 に 書 け る 。. 中 の κ ・1個 の項 共 の 中の 最 大 項 で. ハ1↑=0. あ る 。 そ し て 、 そ れ が1V↑ の 平 均 値 で も あ る の で 、 N矧0お. 程 度 で1V+1廻Nな .r..7、. の で 、近似 的 に、 一.
(9) 多 体 問 題 とグ リ ー ン関 数 と の 関係 の 研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(15)一. (3026) と な る 。 故 に 、(3025)式. の右 辺 第 二項 は. く 量 子 統 計 力 学7>. 式 も最 大 で あ る 。 そ して 、 そ の(3027)式 代 入 して 得 られ た(3028)式. を(3025)式. 115. に. も 最 大 で あ る 。故 に 、(3029). 式 を参 照 して、. ところで・嗣. 働. 大きな値なので・寿1・ 醗. 1箒. の 様 に 極 め て 小 さ な値 に な る 。 故 に 、 こ の 項 を 無 視 す る 。(3027)式. を(3025)式. へ 代 入 して 、結 局 、 次 式 を得. ろ一. と な る 。(3032)式. は 関 数 ∫(亙↑)が極 値 を 持 つ 条 件 で あ. り 、(3033)式 は 関 数 ∫(祐)が 上 に 凸 に な る 条 件 で あ る 。 (3032)式. と(3033)式. と が 相 ま っ て 、 曲 線!(亙 ↑)が極 大. を通 過 す る と こ ろの 点 の位 置N↑ が 定 め られ るの で あ る。 しか し、 万↑が 曲線 パ κ↑)の極 大 の所 に 現 われ ず にN↑ 領 域 の 境 界N↑=0(殆. ど全 て の 粒 子 の ス ピン が. 下 向 き ス ピ ン を取 る 。)又 は 、N↑=1V(殆. ど全 て の 粒. 子 が 上 向 き ス ピ ン を 取 る 。)に現 わ れ る か も しれ な い 事 と こ ろ で 、 我 々 は 未 だN↑ の 値 を 知 ら な い 。 故 に 、. が 考 え られ る 。(そ し て 、 実 際 に 本 当 で あ る。)我 々 は 話 を進 め る に当 っ て この 事 を 心 に留 め てお く。. 次 に 、 我 々 はN↑ の 値 を 明 瞭 に 見 出 さ な け れ ば な ら な. 正 準 系 の化 学 ポテ ンシ ャル μ の定 義 式 は 、以 前 の節 (§)20の(1091)式 い 。(3028)式. を 参 照 し な が ら 、 次 の 関 数/(醜)を. で与 え られ て い る。. 定義. し よ う。 〆 う λ7＼. 冶 一_蚤2Ar. κβr で あ る 。(ギ リ シ ャ 文 字 の)yはN個. の ス ピン のな い. 粒 子 共 か らな る理 想 フ ェ ル ミ気 体 の 化 学 ポ テ ン シ ャ ル μ と(3035)式. の 関係 に ある。 故 に 、. (3025)式 の 直 ぐ下 で説 明 した様 に 、熱 平 衡 状 態 で 系 に 実 現 され る 上 向 きス ピン を 持 つ 粒 子 の 平均 値1V↑は 、 で あ る。 (3032)式. (3025)式 の右 辺 第 二項 中 の 和 Σ. へ(3029)式. を代 入す る と、次 式 を得 る。. 中 のN・1個 の 正 の 「∂ザ(ハ「 争)]2β. ハr↑ 置0. 項 中 の 最 大 項 を 与 え る も の で あ る。(3026)式. の 係 数1V. を 除 く罧 項(イ ク ス ポ ネ ン シ ャ ル 項exponeロtialterm) は そ の 最 大 項 で あ る。 故 に 、 そ の 対 数 を 取 っ た(3027). κ4麓. た24π. ロカ22」 ▽1秦.
(10) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 116. と置 こ う。 堺 は0≦1V↑ ≦1Vの 範 囲 で 変 化 す る の で 、 ア 、OU璽)Oノ. と な る 。 次 に 、(3033)式. へ(3029)式. は 一1≦ア≦+1の 範 囲 で 変 化 す る 。(3042)式. を代 入 す る。 次 式. よ り、. AF、. を得 る。 「■_'、-1「'、-1. は 、 長 さ の 次 元 を 持 ち 、 質 量 卿 、 エ ネ ル ギ ー ち7を 持 つ1粒. 子 の 熱 波 長 で あ る 。 又 、(ヴ ィ)v=Zは. (粒 子1個 と(3046)式. 当 り の 体 積)で の右 辺第 二項 は. 比 体積. あ る 。 これ 等 の 量 を 用 い る.
(11) 多 体 問 題 とグ リ ー ン関 数 との 関係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(15)一. と な る 。 故 に 、(3038)式. く 量 子 統 計 力 学7>. 117. 【(3046)式]は 次 の 様 に 書 け る 。. い るが 、そ れ ぞ れ 、N↑ 個 又 は1V↓個 の ス ピン のな い粒 子 共 か ら成 る理 想 フ ェル ミ気 体 に 関わ る もの で あ る。 以 前 の節(§)32の(2224)式 田u4ご ノ. 次 に 、(3040)式. は 次 の 様 に な る 。(3042)式. の 定義 式. 高簸. を も う一 度 書 こ う。低 温. 歪 〉>1(。 は 比 体積 の ヴィ)の と きの 化 学 ポ V. テ ンシ ャル μ@)に 対 す る展 開式 であ る。. か ら 1み. で あ る.故. つ. に 、(3040)式. 中 の ・'(π,)1畝 の 様 に な る 。. で あ る。gは 一 粒 子 エ ネ ル ギー 準位 共 がg重 縮 退 に あ る と仮 定 して い る 。 次 に、 、.1「1ア. 41v`＼. (3052)式. と(3053)式. 自. を(3040)式. 、. !1r、. ノ. へ 代 入 す る。. と置 い て い る 。 の 低 温 近 似 は 、 次 の 様 に な る。 今 は ス ピ ン を 考 え て い な い の で 、g=1と. して 良い 。 2. 、りvvv,. 故 に 、(3040)式. は最 終 的 に. とな る。 (3034)式 乃 至(3036)式 を振 り返 ろ う。(3036)式 中の (ギ リシ ャ文 字 の)レ(め はN個. の ス ピ ン の ない 粒 子. 共 か ら成 る理 想 フ ヱル ミ気 体 の 化 学 ポ テ ン シ ャ ル μ@)と(3035)式 ・(禰 と ・㊥=・. の 関係 にあ る。故 に 、今 まで 出 て来 た 匪. 万,)は ↑又}ま ↓の 添 字 鮒. いて.
(12) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. で あ る・(3・67)式の 高 温 近 似 を使 っ て μ〔誓 ・)は ・ 次. 故 に 、 ス ピ ン の な い 亙x個(x=1止. ア,-1≦7≦. 2. 十1). の 様 に な る ・尚 ・・-1± ・で ・砕. 号C+・)【(3・43)式. 】・. の粒 子 共 か らな る 正 準 集 団 の 化 学 ポ テ ン シ ャル 瓦=N一. 万 ・一誓 。一・[(3・44)式 】で あ っ た ・. μ〔 一x2〕 は ハ ア ＼1、. ア ＼2「,〆._、2」. で あ る 。 展 開 パ ラ メ ー タ ー の ち7は. 低温近似なので、. εF た」. 一,、. (3070) 故 に 、 ス ピ ン の な い 亙 。 個(。=1±. 2. 。,-1≦. 。≦ 。1). の粒 子 共 か らな る正 準 集 団 の化 学 ポ テ ン シ ャル で あ っ て ・ ス ピ ン 圭 を 持 ち ・縫. 度9-2・+1=2の. μ ⊂ 勤 擶. 近脈. 丼 個 の粒 子 共 か ら成 る系 の フ ェ ル ミエ ネ ル ギー で あ る。 次 に 、高 温 近 似 亙<<1を. 考 え る.こ. こ で 、。(ヴ イ). v. は 比 体 積 のv=ヱ の 式 、(2179)式. (3067)式. で あ る 。 以 前 の 節(§)32の. 高 温近 似. を も う一 度 書 こ う。. は 【(2179)式]は 高 温 低 密 度. 」 星<<1の. フ ェル. v. ミ理 想 気 体 に対 して 、zをNの い た もの であ る。Nは. 関数z≒z(め. 比 体 積v=Z中. と して 書. に在 る。熱 波長. N. 電 子 間 反 発 の 有 る不 完 全 気 体 で 生 ず る 自 発 磁 化 (H=0の. 揚 合). 強磁 性 体 力弐 外 部磁 場 を受 けな い状 態 で 、強 磁 性 体 内 部 の磁 気 の担 い 手 で あ る電 子 の ス ピ ンが規 則 的 に配 列 ㌣て 、ひ と りで に形 成 して い る磁 化 を 自発磁 化 と言 う。 自発磁 化 の形 成 は、 普通 絶 対0度 で最 大 で、 温 度 が 上. は 、 以 前 の 節(§)20大 て い る。. 正 準 集 団 の(1098)式. で 定 義 され. が る とス ピンの 方 向 が熱 運 動 に よ っ て乱 され るの で 、 自発 磁 化 は減 少 し、 キ ュ リー 温度 で消失 す る。 (3049)式 と(3056)式 を も う一 度書 こ う。.
(13) 多 体 問 題 とグ リ ー ン関 数 との 関係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(15)一. 価r々. く 量 子 統 計 力 学7>. 119. [(3064)式](3082). ・7<<1) εF. で あ る ・ 但 し・ こ こ で …. 退度g=23+1漏2のN個. は ス ピ ン ・一去 を 持 ち 瀦. の粒 子 共 か ら成 る系 の フェル. ミエ ネ ル ギー 、 即 ち 、絶対0度 で 系 の 電 子 共 が縮 退 し てい る とき の電 子 が 占め る最 も高 い エ ネ ル ギー 準位. で あ る。 我 々 は 最 初 に 、外 部 静 磁 場Hが のH=0の L2、. ノ ノ. 、 ↓ノ' . ピ ン の な い 粒 子 共 か. テ ンシ ャル μ㈲. } . ら 成. る 理 想. と μ(の. '璽. 一1τ 「 一 一 ↓ -1了. フ ェ ル. ミ 気 体 の 化 学 ポ. 掛 か って い な い と き. 場 合 を 考 え る。 絶 対0度(又. 右 辺 第2項 (3082)式. の72項. は(3082)式. の. が 無 視 で き る程 の 極 低 温 近 似)で は 、. よ り、. とに、次 の 関係 で結 ばれ て. い た。. ▼. L. 』 〆メ 「. 1(3035)式 、(3036)式 参 照} 又 、 β は 電子 の軌 道 運動 に 由来 す る磁 気 モ ー メ ン トの 量 子 力 学 的単位 の ボ ー ア磁 子 β≡角 ←鋤 2溜. 隔.m}. [(1822)式 、(299D式 で あ る 。 σ は 散 乱 半 径(剛 て 、(2989)式. 、(2990)式. 、(3047)式](3081). 体 球 半 径 、 散 乱 長)で 、 並 び に(2993)式. の 問 辺 りで 説 明 して あ る。 そ し て 、v=ヱ. あっ. と(2994)式 は 比体 積 で. あ る。. 一'、. ノ. 「. り'響. 右辺 の ζ は(3086)式 の右 辺 と比 較 す る と理 解 で きる。 ら成 る正 準 集 団の 化 学 ポ テ ンシ ヤル μ闘 近似で、. は・ 低 温. 次 に 、微 分 を実行 して、 号。・・》圭+号。一・γ去〉ζ(3・9・).
(14) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. ま と め て 置 こ う。H=0の (3082)式. の 右 辺 第2項. 温 近 似)で. 場 合 で 、 絶 対0度(又. の72項. は. が 無 視 で き る程 の極 低. 導 か れ た と こ ろ の 、(3086)式. と(3093)式. を. 改 め て 書 く と、 次 の 様 で あ る 。. 号≦ζ〔 ≡銅. ≦2号(3・. ・1). の 範 囲 に収 ま っ て い な け れ ば な ら な い 事 溺分 か る。 ζ・書 に対 して は ・が 唯 一 の交 点 で あ る事 も分 か る 。 我 々 は(3094)式[(3086)式 で あ っ た。 (3094)式. と(3095)式. はrの 符 号 を 変 え て 、7を. 一rで. 置 き 換 え て も 両 式 の 形 は 不 変 で あ る。 他 方 、(3097)式 と(3098)式. 】と(3095>式[(3093)式}が. ど う言 う議 論 で 求 め られ た か を も う一 度 振 り返 っ て み. は アを 一rで 置 き 換 え れ ば 」7↑と 万 ↓の 分 布. よ う。 そ の 為 に は(3025)式. の 直 ぐ 下 か ら 、(3034)式. 上 辺 りま で の 問 の 議 論 を 読 み 返 し思 い 出 せ 。 外 部 磁 場 H[A・turn/m]中. で 、 質 量 溺 の ス ピ ン を 有 す る 体 積7. の 亙 個 の 粒 子 共 か ら成 る 正 準 集 団 が 、温 度7の 数 が 入 れ 替 わ る 。 例 え ば 、r=α2の. とき に は 、. の. 外系 と. 熱 平 衡 に あ る とき 、 系 に 実現 され る上 向き ス ピ ンを持. つ粒 子 共 の平 均 値1V↑(故 に 、 下 向 き ス ピ ン を持つ 粒. 子 共 の 平 均 値N↓ はN↓=1V一. され るべ き結 果 で あ っ て、H=0の. と きに は 量 子 力 学. で は ス ピ ンの 上 向 き ↑、 下 向 き ↓に絶 対 的 意 味付 け が. 式 で臓. した関数 〆(禰 の鰍. で き ない か らで あ る。 こ う して 、我 々 は ア≧0の み を 考. 式 と(3033)式. 察 す る事 で 十 分 で あ る。 ここで 、 我 々 は、 以 前 の論 文. 求 め た 式 が(3073)式[(3049)式. 〈 量 子 統 計 力 学6>の 節(§)39の 図1を 再び 掲 載 す る。 図 を眺 め る と分 か る事 で あ るが 、(3094)式[〈3086)式】 の解 摩o)は. π↑で あ る 。)は 、(3029). を与 える条件の(3032). とか ら求 ま った。 そ して 、 そ の条件 か ら 】と(3074)式. 【(3056)式 】で. あ っ た 。 そ し て 、 次 に 、 こ の 式 共 を1∫=0で 絶 対0度(又. は(3082)式. の 右 辺 第2項. き る 程 の 極 低 温 近 似)で. 、 且っ 、. の ア2項 が 無 視 で. 書 き 換 え て 得 られ た 式 が. (3094)式[(3086)式1と(3095)式[〈3093>式]で. あっ た。故. に 、 図1か. の条 件 下 の. 1つ. ら求 め た 解 の 値 の 内 、(3101)式. の 交. 点 、r>0は. ・レ@,刀. 関 数. に 対 応 す る.他. ∫(固↑)の. 式 の 交 点 か ら求 ま る。 図か ら解7(≧0)が 存 在 す る た め. 瓶)-m・. に は ζ の値 が. 対 応 す る 。そ して 、次 に 、も し も 直 線y=ヶ. 最. 大. 方 、,一 ・は 最 小 に の傾 き ζ が.
(15) 多 体 問 題 とグ リ ー ン関 数 との 関係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(15)一. ヱ ζ>23な. ら ば(3094)式. 数!(醜)が. く 量 子 統 計 力 学7>. 121. は解 を持 た な い。 この 場 合 、 関. 定 数 で な い 限 り ∫(亙↑)の最 大 は1V↑の領 域. の境 界N↑=0(殆. ど全 て の粒 子 の ス ピン が 下 向 き ス ピ. ン を取 る。)又 は 堺 二N(殆. ど全 て の粒 子 の ス ピ ンが. 上 向 き ス ピン を取 る。)のいず れ か に 現 れ な け れ ば な ら な い.プ(κ,)は. 定 数 で は な い.し. か も 、 π=oで. はス. ピ ン の 上 向 き 、 下 向 き は 意 味 が な い の で 、 万 ↑=0で 2V↓;π. で あ る の とN↑=万. でN↓=0で. あ るの と で は 、. そ の 間 に 相 違 は な い 。故 に 、我 々 は 丼 ↑司VでN↓=0又 は7=1【(3097)式. 、(3098)式. 参 照]と す る 様 に 選 ぶ 事 が. 出来 る。 そ れ で 、我 々 は 、上 で 説 明 した事 柄 を 次 の様 に ま とめ る事 が 出 来 る。. =薇. κ・α7≡もア. 曳 昌1u"ノ. 【(3086)式 の 右 辺 を 参 照 せ よ 。 】 次 に 、(3107)式 を(3074)式 「r^阪. (3㈱. 式 の ζ一. 卿. の ・は(2993)式 の 下33行. に初 め て 出 て き た量 で、散 乱 半径(散 径)で. 目. 乱長、剛体球半. あ る。 σの大 小 は粒 子 散 乱 の 際 の反 発 の 大 小 を. 表 わす 。 故 に 、 ζ は反 発 の 強度 を表 わ す パ ラ メー ター で あ る。 反 発 の強 度 が 十分 に強 い とき に は 、 系 は 自発 磁 化 を持 ち強 磁. とな る.(3103)式}こ よれ ば. ζ一4で 3. 初 め て強 磁 性 が 始 ま る。 そ して 、そ の とき の αの 臨界 値 は、. で あ る。 以 上 述 べ た 結 果 は、 絶 対0度(又 辺 第2項. は 、(3082)式 の右. の72項 が無 視 で き る程 の 極 低 温 近 似)で 成 り. 立つ もの で あ る。次 に 、我 々 は π=0で. 、しか も、(3082). 式 の右 辺 第2項 の72項 ま で有 効 に近 似 を 高 め た 場合 、 即 ち 、有 限 の 、 しか し、小 さな 温 度 に あ る場 合 の 系 を 考 察 す る。(3082)式 よ り、. ψ〔 争〕 ≡畷 讐。±司. へ 代 入 す る 。次 式 を 得 る。.
(16) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 122. で あ る。 ま と め て 置 こ う。 ∬=0の 第2項. の72の. 場 合 で 、(3082>式. の右辺. 項 ま で 有 効 と して 、 近 似 を 高 め た 場 合 、. 即 ち 、 有 限 の 、 しか し 、 小 さ な 温 度 に あ る 系 に 対 して 導 か れ た と こ ろ の 、(3109)式. と(3113)式. を 改 め て書 く. と次 の 様 で あ る 。. 図2. ン式 の グ ラ フ は よ り上 方 へ 移 行 す る の で 、 交 点 ア(r)は よ り小 さ い 値 の 方 へ と移 行 す る 。 即 ち 、7の2個 男,ろ(鱈. 〉ろ)に. の値. 対 して. べ飢)〈 鵡)fbr鱈. 〉ろ(3123). と な る事 が 分 か る 。 こ う し て 、 も しも 、絶 対 温 度 丁=0. の と き・・(・)〉 ・で あっ て ・そ の とき溝. 袴 ア馨ζ}(3120). 。一・㊥. 一ぎ 。÷紛. とな り・ こ う して・絶 対 ・度 で ・正 味. π ↑一万↓=ル(り)>0の. 自 発 磁 化 が あ る な ら ば 、(3123). の 交 点 と して グ ラ フ か ら求 ま る 。 と こ ろ で 、(3119)式 の 右 辺 の 第3項. 式 か ら、磁 化 は 系 の温 度 の 上昇 と共 に減 ず る事 が分 か. は常 に 正 の値 で あ る。. る 。 そ して 、 自 発 磁 化 亙↑-」7↓=帝(ノ)は 或 る 臨 界 温 度 ろ よ り 上 で0と 故 に 、 τ=0の. とき の式. 外 部 磁 場H【A・turn11h]中 温 度71K1の. ンー￠+示+示1(3099)式1(3・22) と 、r>0、 但 し小 さ い 温 度 の 場 合 の(3119)式 式 を 描 い た 図2の そ の ときr(r)=0で. (単 と 、(3120). グ ラ フ か ら も し も 、r(0)=0な あ り 、 も し も 、r(り)>0な. な る 。 瑞 を キ ュ リー 温 度 と言 う。. らば 、 らば 、そ. の と き7(ノ)<ア ◎ で あ る 事 が 容 易 に わ か る 。又 、(3119). 式 で7が 大 き くな る と右 辺 の 第3項 が大 き くな り、. で 、 体 積F【m3】 で 、 絶 対. 熱 平 衡 状 態 に 在 る 正 準 系 の磁 化 の 強 さ. 位 体 積 当 り の 磁 気 モ ー メ ン. M【Wblm2]={Wb・m/m31}ま. ト の 和). 、以 前 の 節(§)39の(2866). 式 で 与 え られ る が 、外 部 磁 場H=0で. 自発 磁 化 を 持 つ 、. 現 在 の 場 合 も 同 じ式 形 が 成 り 立 っ 。. 雌)無. 瓦L禦)=解)(3124).
(17) 多 体 問 題 と グ リー ン関 数 との 関 係 の研 究 一 グ リー ン関 数 と多 体 問題(15)一. 123. く量 子 統 計 力 学7>. 但 し、 ここ で、 βは 電子 の軌 道 運 動 に 由来 す る磁 気 モ ー メ ン トの 量子 力 学 的 単位 のボ ー ア磁 子 β一腕 ←鋤 2η2. [(2817)式 、(2867)式 で あ る。V(ヴ. ィ)は. 、(3000)式](3125). 比 体 積 で あ る。. キ ュ リー 温 度7と の 定 義 か ら 、(3124)式 で ア(委)需0の と き 、 磁 化 の 強 さM(匪)=0で 式1ヘ. ァ ω=0を. あ る 。(3115)式[(3113). 代 入 す る と 、M(7)=0を. 与 え る温 度 の. 範 囲 が 求 ま る 。 次 の 様 に な る。. 図3 の 上 述 の モ デ ル は 物 理 モ デ ル と して 成 立 す る 。 と こ ろ が 、(3103)式. 乃 至(3106)式. の 所 で 説 明 した 様 に 、 粒 子. 散 乱 の 際 の反 発 の 強 度 を表 わ す パ ラ メー タ ー の ζ が ζ 〉丑 に 成 っ た と き に初 め て 、 醗 3. 磁 イヒが 発 生 し強 磁. 性 が 始 ま る 。 そ して 、 こ の 条 件 は(3105)式. か ら、. 々・σ〉号 ←1脚796327・)(313紛. で あ る。 故 に 、強磁 性 の場 合(3132)式 が 要 求 す るモ デ の 不 等 式 を満 た す 温 度 な ら. ル の有 効 性 の領 域 を越 えて い る。 しか しな が ら、 も し. ア⑦ 需0と な り、 自 発 磁 化 は 消 失 す る 。 故 に 、 キ ュ リ ー 温度 ろ は そ の 臨界 温 度 の 、. も 、我 々 が 弱 い相 互 作 用(反 発 強 度 パ ラ メー ター の ζ. を 得 る 。 故 に 、(3129)式. は ・ ζ≡豊 脇 ・[(3・ ・5)式】な の で ・ 砿 ・<<1の. 条件. は弱 い相 互作 用 であ る。)の結 果 共 を強磁 性 の結 果 共 へ 外挿 す る事 を望 んで い るの な らば、フ ェル ミオ ン間(電 子 間)の 空 間 的反 発 が如 何 に ス ピン整 列 を 高 め るか を 見 る 事 は 有益 で あ る。 電 子 間 反 発 の有 る不 完全 気 体 で生 ず る常磁 性 磁 化 率 (H>0の. 場合). こ こ で の 議 論 も 、KHuang著``Statistical. となる.図3は 磁化確)一 幽. の温麟. ヒの定 性的. V. の 分 配 関 数Z(7,1V,の (2999)式. 版)と 第2版(新. う所 が 多 い 。 以 前 の節(§>39パ. 版)と の負. ウ リの常磁 性 で述 べ. と. の場 合 の議 論 で あ っ た。 この節(§)で は電 子 間 反発 の. を 眺 め て み よ う。 不 完 全 電 子 気 体. あ る不 完 全 気 体 の 常磁 性 磁 化率 の議 論 を行 な う。 常磁. 最 後 に 、 我 々 は 初 め に 戻 っ て も う一 度(3006)式 と(2999)式. 第1版(旧. た の は電 子 間 の 反発 相 互 作用 を持 た ない 完全 電 子気 体. 振 る 舞 い を 示 して い る 。. (3007)式. Hechanics"の. の 式 中 の エ ネ ル ギ ー 準 位E.は. で あ る 。そ し て 、(2999)式 の 有 効 性 の 条 件 は 、. 性 を扱 うの で あ るか らH>0の. 磁 場 が掛 か って い る。. 議 論 を最 初 か ら行 うに は、我 々は 量子 統 計 力 学 の 正 準集 団 に対 す る磁 化 の強 さMを. M一秘7蓄b埣. 表 わ す式 の、. 岬). [(2661>式. 、(2863)式](3134).
(18) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. と 、 正 準 集 団 の 量 子 力 学 的 分 配 関 数Z(r,凡7)の. 、今. 次 の近 似 式 が成 り立っ 。. の 場 合 の 、 不 完 全 電 子 気 体 の 分 配 関 数 で あ る Z(ち 押ア)の. 式 の(3007)式. 、 故1こ、(3012)式. 故に、. (3023)式 、 と か ら議 論 を 始 め な けれ ば な ら な い 。 し か し 、 以 前 の 節(§)39で H[A・turn/m]申 [K]の. 導 出 した と こ ろの 、外 部 磁 場. で 、体 積7[m3]で. 、 絶 対 温 度7. 熱 平 衡 状 態 に 在 る 正 準 系 の 磁 化 の 強 さ(単. 位. 体 積 当 り の 磁 気 モ ー メ ン トの 和)M[Wb/mヨ=[Wb・ m/m3]を. 与 え る式 の(2866)式. 、. 故 に 、(3073)式[(3049)式]は. と こ ろ で 、(3145)式 る 任 意 の 温 度7に (3073)式 でH=0と. と な る の で 、 鵡[無 (3138)式. る7の. 中 の ち② は 、H=0の. 場 合 で、 或. 対 す る アの値 で あ っ た の で 、 そ れ は 置 い て 得 ら れ る 次 式 を満 た す 。. 単 位]は 確 か に 磁 化 率 で あ る 。. 中 の ㌔(r)は 以 前 の(3114)式[(3109)式]の. で あ っ て 、 π=0の. 次 の様 に な る。. 場 合 で 、 或 る 任 意 の 温 度7に. 値 で あ る 。(3138)式. 又 は(3139)式. 解 対す. の 右 辺 の 第1. y. 故 に 、(3145)式. の 第2式. と第3式. とか ら この部 分 を 除. い て、 次 式 が得 られ る。. 項 は 自 発 磁 化 の 強 磁 性 項 で あ り 、 そ して 、 右 辺 の 第2 項 が 外 部 磁 場Hに. 比 例 す る 常 磁 性 項 で あ る 。(3138). 式 か ら、. で あ る 。 次 に 、 我 々 は 、 星H[無 β あ る と 考 え て(3073)式[(3049)式]へ. 単 位]が 小 さ な 量 で 代 入 す る。 と こ ろ. で 、 血 が 小 さな 量 の とき 、 テ ー ラー展 開 の公 式 は 次 の様 で あ る。. 〆. 」. 故 に 、磁 化 率 篇[無 単位]と して 、 次式 を得 る。 (3142) 故 に 、(3073)式[(3049)式]中. の 左 辺 の各 項 につ い て、.
(19) 多 体 問 題 とグ リ ー ン関 数 との 関係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(15)一. く 量 子 統 計 力 学7>. L、 ΨVVV!一. 125. (3160). 旭」. 故 に、 上述 の4個 の 式 を組 み 合 わ せ て 、. イ号o+胡÷ 景イ誓o+胡 ＼. . ノ`'v」O、. 」 臼. ・ ノ. で あ る 。 次 に 、 これ 等 へH=0で. 、 絶 対 温 度0度. の場. 合 の 式 で あ る と こ ろ の 、(3156)式. 【(3084)式 】を 使 うと 、. o/17、A.. (3・54)式 の 分 母 中 の 喋. ち ・ は(3・ ・6)式[(3・88)式 】. の ζ で あ る 事 に 注 意 せ よ。 次 に 、 我 々 は 、(3154)式. を 基 に 低 温 と高 温 の 極 限 に. お け る 磁 化 率 を 考 察 す る 。最 初 に 、低 温 の 極 限7→0を 考 え る 。(3082)式[(3064)式]を. も う一 度 書 こ う。. ノ. 、. 、. で あ る。 故 に 、 〆Ar. 、. 〆 ハr. 」⊃. と な る。(3167)式 (3155)式[(3082)式 -1≦r≦+1>個. 】は ス ピ ン の な い 亙x(κ=1±7, 2. 、. を(3154)式. ノ. へ 代 入 し て、結 局 、 低 温. 近 似 の 極 限 の 磁 化 率 為 の 式 と して 、 我 々 は 次 式 を 得 る。. の粒 子 共 か ら成 る正 準集 団 の化 学 ポ テ 3、β2. ンシ伽(野 外 部 静磁 場H=0で. μ 〔 髪岡. の低温近似の式である・. 、 絶 対 温度0度. の場 合 、(3155)式. κ・躊. εFV. o+る 〉去ナo一るγ圭一%・ π. (3168).
(20) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 36. 次 に 、 高 温 の 極 限7→ 一度書 く 。. 。Dを考 え る 。(3071)式. をもう. 艦71・ 嵯[(3・7・)式1(3169) (3169)式[(3071)式]は -1≦r≦+1)の. シヤルμ〔 勢 (3169)式. 4v撃 ス ピ ン の な い 亙 κ個(x=1±7, 2. で あ る 。(3175)式. 粒 子 共 か らな る正 準 集 団 の化 学 ポ テ ン. ψ 〔 劉. の 右 辺 の 第2式. 一佑 ノ. を(3154)式. へ 代 入 し て、 高温 近似 の. 式. の高温近似の式である・. か ら第3式. へ の近 似 は 、 高温. で は κ駕1で 、 又 、 比 体 積v箒 ヱ は 大 き な 値 で あ る か ら を 得 る が 、高 温 の 極 限7→ で あ る 。 我 々 の 、 こ こ で の 議 論 で は 右 辺 の 第2の. v. 〔 ÷アの項を鰍. あ り 、又 、. 式 を. 分母 の式 中の鴫 用 い る 。 そ して 、 そ の 際 、 更 に 、1は. 。 。で は 、る →0で. 届. ま分 母の式 中の第 ・項1こ比べ. 小 さ い 量 と して. て無視 で き るの で 、結 局 、高温 近似 の極 限 の磁 化 率z 膨 の式 と して 、我 々 は 次式 を得 る。. る灘. 楡. 煮(3・7の. 常 磁 性 体 の 磁 化 率 篇 が 絶 対 温 度7に. 反 比 例 す る と言. う の が キ ュ リー の 法 則(Curie'slaw)で. あ っ て 、P.. Cuheが. 実 験 的 に発 見(1895年)し. た も ので あ る。. c κ・=7(3178) Cを. キ ュ リー 定 数Curieconstant)と. 言 う。(3177)式 と. の 比 較 か ら キ ュ リー 定 数 は. C÷. 篶(3・7窃. で あ る。 と こ ろ で 、 〈3154)式 中 の る(ア)は外 部 磁 場 ∬=0で 或 る 任 意 の 温 度(絶 対 温 度)7に. 、. お け る7の 値 で あ っ た 。. そ し て 、 そ の 値 ち は(3073)式[(3049)式. 】で 、H=0と. 置. い て 得 られ る 式. 外 〔 誓o+棚 →{髪o一 綱} 42鳩@)[(3・46)式. 】(3、8。). v. の解 であ る。しか し、こ の式 は この まま で は解 け ない。 我 々は 、何 らか の近 似 を導 入 しなけれ ばな らな い。 そ. して・式 蝋 争 〕 畷 彦・7 εF. <<1の. 〔 嬰e± 切〕の朧. 式 が(3・64)式[(3。82)式. 似. 】に 、 又 、 高 温 近 似.
(21) 多 体 問 題 とグ リ ー ン関 数 との 関係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(15)一. 星. 〉>1の 式 が(307、)式 に 与 え られ て い る. εF. 例 え ば 、低 温 近 似 で(3082>式[(3064)式1の の72の. .そ. へ 代 入 して π=0と. であ る。. [(3162)式](3185) (3185)式. へ(3107)式. を代 入す る と、次 の様 にな る。. した 式 、 即 ち 、. 同 じ事 で あ る が 、(3107)式 を(3180)式{(3146)式]へ し て 得 られ た 式 が(3108)式. 127. して、. 右 辺 の 第2項. 項 ま 近 似 を 高 め た 揚 合 の 式 が(3107)式. こ の 式 を(3073)式. く 量 子 統 計 力 学7>. 、 故 に 、(3109)式. 代入. で あ る。. そ して 、(3109)式 の 解 が 低 温 近 似 で の る② で あ る 。 そ して 、 そ の 値 ㌔⑦ は(3119>式. と(3120)式. の交 点 を与 え. る アの 値 と し て グ ラ フ か ら求 ま る 。(図2参. 照)(3120). 式 の傾 き ζは ζ一. た・・[(3・. で あ っ て 、(3154)式. ・6)式](3・81). の 分 母 中 の 第2項. ら 分 か る 様 に(3119)式. と(3120)式. は ・ グ ラ フ の 傾 き ζ〔=銅. で あ る。 図2か. の 交 点 の アの 値 ち②. が 大 き くな る と. そ して・ここでる→1と す ると・農. ち② →1へ 近 付 く。即 ち、%⑦ は散 乱 の 強 さち αに依 存 し、 齢 αが或 る値(解 が 存在 す る値)を 越 え る とき. 鷹. 回. 〕は. 。一切 が(3・87). ち αが大 き くな る に伴 っ て も⑦ の 値 が1に 近 付 く事. と な る 。 こ う し て 、 低 温 近 似 で は 、 為⑦ →1の. とな る。. (3154)式. 次 に 、 上 の 結 果 よ り、(3154)式. で 一 般 に κ.>0で. 反 発 相 互 作用 の あ る電 子気 体系 は強 磁 性 か又 は常磁 性 か で あ り、決 して反 磁 性 で は な い事 を示す 。 我 々 は こ こ で 一 般 に 砺>0と. 書 い た け れ ど も 、我 々. 高 め た 低 温 近 似 の 式 の(3064)式[(3082)式 (3161)式. まで近 似 を. 】で 議 論 す る 。. を も う一 度 書 こ う。. 鷹. 。+㌔鯛+轡. とな り・購. に豊 瞬. 一ち鯛. 体 で 分 母 は 正 値 と な り 脇>0を. 得 る。 こ う し て 、 系 は. こ とが 分 か る。 【(3139)式 】を 眺 め よ う。我 々 が 今 考 察 し て い. で 、 絶 対 温 度7[K]の. 【(3161)式](3182). も・全. 強 磁 性 か 又 は 常 磁 性 か で あ り、 決 して 反 磁 性 で は な い. (3138)式. を代 入 す る と 、 次 の 様 に な る 。. →・ ・(3・88). ζ)も大きくなる と雌. る と こ ろ の 、外 部 磁 揚H[A・turnlm]中. 鷹 幅帰 ・ 斎〔 号呵 (3182)式 へ(3107)式. の分 母 中で. あ. る 事 が 分 か り、 我 々 が 考 察 し て い る と こ ろ の 、粒 子 間. は 上 で 議 論 した と 同 様 に 、 こ こ で は 、r2項. とき. で 、体 積7【ln3】. 熱 平衡 状 態 に在 る電 子 間反 発 を. 有 す る 不 完 全 電 子 気 体 系 の 磁 化 の 強 さ(単 位 体 積 当 り の 磁 気 モ ー メ ン トの 和)M[Wb/mり=【Wb・mlm31 は、. 鷹o+切 ÷ 素[o+る 暗. 愈. で あ る。 右 辺 の 第1項 は 自発 磁 化 の 強磁性 項 で あ り、 右 辺 の 第2項. が外 部 磁 場 π に 比例 す る 常磁 性 項 で あ. る。 我 々 は 今 、 常磁 性 の 場合 を考 える。 そ して、 そ れ に 対 して は総 て の温 度7に 対 して、上 式 中 で 、 7b(ノ)=0(3191) 力漢 求 され る 。 ち⑦ の 下 付 添 字 の0はH=0を て い た 。(3102)式. を 眺 め よ う。. 意味 し.
(22) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. (3192)式. 【(3102)式1は 、∬=0,7=0で(3099)式. 式 の 交 点 で ア>0の. と(3100). 解 が 存 在 す る た め の ζ の 範 囲 、即 ち 、. 自 発 磁 化 が 有 り強 磁 性 が 発 生 す る た め に 、 ζ が 収 ま っ て い な け れ ば な ら な い 範 囲 を 表 わ す 式 の(3101)式 4三[(3101)式 一 くζ<233. の糊. 】(3. 外 で あ っ て 、((3192)式. 193). 【(3102)式 】は 、)ζ<丑. に. 3 対 して7漏0が. 唯 一 の 交 点 と な る 事 を表 わ し て い る。. (3192)式 よ り(3191)式 の 要 求 を満 たす た め に は 、 電 子 問 反 発 の強 さ を表 わ す 係 数 が. だ. た・α<す(3194) で な け れ ば な ら ない 。 磁 化 率 脇 の 式 で あ る(3154)式. を も う一 度 書 こ う。. ∬罎. 次 に 、 こ こ で 、(3177)式. と(3178)式. を 思 い 出 そ う。 高. 温 近 似 の極 限 に お い て は 、 つρ2. で あ る 。他 方 、(3203)式 又 は(3201)式. の 方 は 任 意 温 度7. で の 式 で あ っ た。 (3203)式[(3201)式. めに・傾轍 数7で. 臥. 】の7=0で. の 立 ち 上 が りを見 る た. を計算しょう潤 脅. 変微 分 す る と、 次式 を得 る。. こ こま で は 一般 的 な式 で あ る。 我 々は 常 磁 性 の 場 合 を 考 え る の で 、(3191)式 に 、(3198)式. に 従 っ て 、 ち@)=0と. す る。 故. は 次 の 様 に な る。 と こ ろ で 、(3165)式. 又 は(3166)式. よ り. を変.
(23) 多 体 問 題 とグ リ ー ン関 数 との 関係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(15)一. k∠ ノ. ハ「. と な る か ら 、(3207)式. 」. く 量 子 統 計 力 学7>. 129. κβ1 は. 楠'7重7「 π. と な る 。 こ う し て 、(3203)式[(3201)式]は7呂0で. 上式. の 傾 き で 線 形 に 立 ち 上 が る 。(3209)式. は 低 温 近 似 の極. 限 の 磁 化 率 を 与 え る と こ ろ の(3168)式. か ら も、 直 接 求. '5P. 何 故 な ら ば 、(3194)式. よ り、. め る事 が で き る。 即 ち、. で あ るか らで あ る。 この 議 論 の(3165)式 又 は(3166)式 で ㌔=0と. 置 い た も の を 使 う の は 絶 対0度. 近い. ち7<<1が. 条 件 な の で 、 この議 論 自体 矛 盾 を含 ん でい. εF. る 。 次 に 、 低 温 近 似 で は あ る が72項 く3064)式[(3082)式]を. ㌔②=0と. が有 効 で あ る. 用 い て 計 算 し た(3183)式. で. 置 い た もの を使 うと 、. 1∠. と な る 。 こ の 式 が1よ. .π. り も大 き な値 を取 る た め に は. 、.π227__-3!"Ωn1、. で な けれ ば な らな い 。 そ して 、 そ の 為 に は 、 んFα>050554(3222) で あ る必 要 が あ る。 こ の条 件 は 常磁 性 の 条 件(3194)式 郵 ・<号 ←L57・8)【(3・94聞(3223) 満 た す 範 囲 を含 む 。 しか し、 この 条 件 は 我 々 の理 論 の 根 本 的 条 件(3001)式[(3132)式1 隔 α<<ll(3001)式. 】(3224). を満 た す と言 え る か ど うか は 疑 問 で あ る。 π. と な り、(3209)式 (3201)式[(3203)劃. 次 に 、(3201)式. で. 々37Mを. 代 入 し ょ う。 こ れ. フ ェル ミ温 度 程 度 で あ る。 この とき、 次 式 を得. る。 物. 那1_.3_1〆r}Ω. 皆. 馨 ←L217り)・. んノ 遷. εF. は7が. 【(3203)式1で. 、 そ れ ぞ れ 、. と一 致 す る。. ¶ 漕、. εF. ・2←λ434衆. 響 夢. 号←L8257)・. 置 い て 、低 温 近 似 で は あ るが. π. 72項 が有 効 で あ る(3064)式[(3082)式]を 用 い て計 算 し た とこ ろ の(3183)式 で ㌔②=0と 置 い た もの を使 っ て 、 物 胡 を計 算 してみ る. 。 も っ と も、低 温 近 似 の条 件 か らC. す れ ば、 こ の議 論 も矛 盾 を含 ん で い るの で は あ る が。 そ れ ぞれ 、 次 の様 に な る。.
(24) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. (3225)式 が1よ. りも大 き な値 に な る為 に は. んFα>0.2738(3226). し、幽4V-Vノ. で な け れ ば な ら な い 。 これ は(3223)式 含 ん で い る が 、(3224)式. の条 件 を満 たす か ど うかは 疑. 故 に 、(3230)式. の 両 辺 ヘ ヱ を乗 算 して 、 C. 問 で あ る。. r. 結 局 、 こ こで の議 論 で我 々に分 か った 事 は 、横 軸 に 里. 」一＼」 」. を満 たす 範 囲 を. を採 っ て 、縦 轍. 肱. を採 っ て グ ラ フ を描 い て. 曳. と な る 。 但 し、(3232)式. 『. εFC. ノ. を 得 る 為 に 、 キ ュ リー 定 数. ^,. み る と、 横 座 標 が 里. (3201)式[(3203)式}が. '7β'. 剛 よ り も大 き な 或 る 値 で 、. εF. を 代 入 し た 。(3233)式. 与 え る 窺 卿 の 値 が1よ. くな り極 値 に 達 し、 次 に 、7→. 。 。に つ れ て1に. よ り直 ち に 、. り も 大 きC 近づ く. と言 う事 で あ る 。 】 駝 堺 の 定 性 的 な 振 る 舞 い が 図4に C. (3235). 示 を 得 る。. して あ る 。. 次 に 、 理 想 フ ェ ル ミ気 体 の 高 温 近 似 で の 磁 化 の 強 さ .Mと. 磁 化 率 篇 は そ れ ぞ れ 、(2956)式. と(2957)式. に与. え られ てい る。 A,. を得 る。 不 完 全 電子 気 体(電 子 間反 発 相 互 作 用 を持 つ 電子 気 体)に 対 す る 物 加 の7=0で. の 立 ち 上 が り(傾 き)をc. 表 わす(3209)式 と、理 想 フ ェル ミ気 体(電 子 間相 互 作 以 前 の 節(§)39パ (2926)式. ウ リ の 常 磁 性 中 の(2925)式. と. を 思 い 出 そ う。 これ 等 は 理 想 フ ェ ル ミ気 体 に. 対 す る 、低 温 で は あ る が 有 限 温 度0<秘7<εFに 磁 化 の 強 さM[Wb/m2】=[Wb・mlln3】 単 位1を 与 え る 式 で あ っ た 。 '、. 於ける、. と磁 化 率 κ皿【 無. 用 を持 た な い 自由電 子 気 体)に 対 す る 窺 翻の7=0で c の立 ち上 が り(傾 き)を 表 わす(32035)式 を比較 しょ う。 不 完 全 電子 気 体 の方 が理 想 電 子 気 体 の方 よ りも、 よ り 急 な勾 配 を持 っ 。 そ して 、そ れ は(2998)式 の 下8行 目 辺 りで 述べ た 様 に 、 電子 間反 発 相 互 作用 に よる ス ピン 整 列 の 高 ま りの反 映 で あ る。そ して 、 そ の反発 の 大 き さの 目安 は散 乱 ポ テ ンシ ャル に よ る散乱 半径(剛 体球 半 径)α の大 小 で表 わ され る。.
(25) 多 体 問 題 とグ リ ー ン関 数 と の 関係 の 研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(15)一. 不 完全 電 子 気 体 の(3209)式 を次 の様 に 書 き変 えてみ よ う。. く 量 子 統 計 力 学7>. 131. 版) 15)田. 沼 静 一 郎 著:"電. 16)キ. ッテ ル 著 、 宇 野 良 清 、 津屋 昇 、 森 田 章 、 山 下 次. 郎 訳:``新. 子 伝 導 の 物 理"(裳. 版 固 体 物 理 学 入 門 上"(丸. 華 房). 善 株 式 会 社). こ の論 文 は拙 著 原 稿"多 体 問 題 とグ リー ン 関数 との 関係 の研 究. 高 等 量 子 力 学 入 門1",内. 容. 目次 我 々 は(3209)式. 中 の フ ェ ル ミエ ネ ル ギ ー εFを わ ざ と. プ ラ イ ム を付 け て 停 と書 い た 。こ れ は 理 想 フ ェル ミ気 体 の 式(3235)式. と比 較 す る た め に 、 フ ェル ミエ ネ ル ギ. ー の 文 字 を区別 した の で あ る. 。両 式 が 等 しい と置 く と 、. は じめ に 第1章. フ ェル ミオ ン系 の 量 子力 学. §1.1序 *§1.2状. 〆^、. 言 態 関 数 の 数 表 示表 現 と生成 ・消滅 演 算 子 の. 導 入,な *§1.3ハ. らび に生 成 ・消滅 演 算 子 の交 換 関係. ミル トニ ア ン を生成 ・消滅 演 算子 を用 い て 記 述 す る事. *§1.4ハ. ミル トニ ア ン の運 動 量 表 示,フ ェル ミ真 空 , フ ェル ミ 自由電 子 ・正 孔 系 の記 述. で あ る。 これ よ り、我 々 は不 完 全 気 体 は よ り高 い フ ェ. *§1.5場. の 演 算 子 の 導 入 と交 換 関係. *§1.6ハ. ミル トニ ア ン を場 の 演 算 子 を用 い て記 述. ル ミエ ネル ギー を持っ 理 想 気 体 の様 に 振舞 うと言 う様 に述 べ る事 も出 来 る。. す る事 *§1.7運. 動 量 表 示 で の 場 の 演 算 子 とハ ミル トニ ア ン の記 述. *§1.8シ. 参 考 文 献. *§1.9ハ. 1)J.M.Ziman著:"ElementsofAdvancedQuantum. 野 文 彦 著:"新. 物 理 学 シ リ ー ズ18多. 体 問 題". *§1.10ハ. 橋 康 著:LL新. 物 理 学 シ リ ー ズ16物. の た め の 場 の 量 子 論1,H"(培. 第2章 高 等 量 子 力 学 にお け る摂動 理 論 *§2.1ハ イ ゼ ンベ ル グ表 示. edition 5)A.M.Zagoskin著:uQuantumTheoryofMany-Body. *§2.2相. 互作用表示. *§2.3相. 互 作 用 表 示 で の 生 成 ・消滅 演 算 子 と場 の 演. Systems"(Sgriger). 算子. ッ プ 著 、 井 上 健 訳:"新. 版. 量 子 力 学 上 、 下". (吉 岡 書 店). 8)ラ. 9)ラ. 川 恭 治 、森 弘 之 著:"統. 計 物 理 学"(朝. ン ダ ウ ・リ フ シ ッ ツ 著 、 小 林 秋 男 、 小 川 岩 雄 、 富 永 五 郎 、 浜 田 達 二 、 横 田 伊 佐 秋 訳:"統 上"(岩. 計物. (1955) 田 恒 孝 著:``統. 12)桂. 重 俊 著:"統. 13)キ. 華 房). 暮 陽 三 著:"基. *§2.7時. 間 発 展 演 算 子 σ(幽)の 幾 つ か の性 質. *§2.8時. 間 発 展 演 算 子 σ(幽)と そ の遷 移 確 率 耽 →う. *§2.9散. 舌L理論 と ∫そ 牙 唾 間 非 依 存 の 摂 動 理 論 と ∫行 列. *§2.11フ. ェ ル ミ オ ン ・ボ ソ ン 相 互 作 用. *§2.12∫. マ ト リ ッ ク ス 展 開;8竃. *§2.13相. 似 変 換 の公 式. ッテ ル. *§2.15生. 北 出. *§2.16『. 善 株 式 会 社) 礎 と応 用. 表 現 と、 そ の 時 間積 分 展 開級 数 間 発 展 演 算 子 σ(幽)の 計 算. *§2.143マ. 川 書 店). ッ テ ル 著 、 山 下 次 郎 、 福 地 充 訳:``キ 熱 物 理 学"(丸. 14)小. 計 力 学"(裳 計 力 学n(廣. *§2.6時. *§2.10時. 波 書 店). 10)U,Fano:ReviewsofModernPhysics74vo129Not. 11)小. *§2.4Brillouin-Wignerの 摂 動理 論 *§2.5時 間 発 展 演 算 子 σ(幽)の 積 分 方 程 式 に よ る. 倉 書 店). ン ダ ウ ・リ フ シ ッ ツ 著 、佐 々 木 健 、 好 村 滋 洋 訳: "量 子 力 学1(改 訂 新 版)"(東 京 図 書). 理 学 第3版. 子化. 参 考文 献. 風 館). Wiley&Sons,Inc)firsteditionandsecond. 7)西. して,そ れ らの交 換 関係,そ. れ か ら、 ハ ミル トニ ア ンの表 現,第2量. 牲 研 究者. 4)K、Huang著:"StatisticalMechanics"(John. 6)シ. イ ゼ ンベ ル グ 表 示 で の生 成 ・消滅 演 算 子 と. 場 の演 算 子,そ. (培 風 館) 3)高. イ ゼ ンベ ル グ表 示 の量 子 力 学 とハ イ ゼ ン ベ ル グ の運 動 方 程 式. Theory"(CambrigdeiJniversityPress} 2)高. ュ レデ ィ ンガ ー 表示 の量 子 力 学. σ(+。。 ダ。 。). ト リ ッ ク ス 展 開 式 の 計 算 例S2 成 ・消 滅 演 算 子(正. 規 積(N積)へ. の. 準 備) 統 計 力 学"(森. フ ェ ル ミ真 空 』 又 は 『フ ェ ル ミ海 』 に 関.
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