<ノート>多体問題とグリーン関数との関係の研究--グリーン関数と多体問題(12)量子統計力学(4)
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(2) L 2 0. 近畿大学工学部研究報告. に見る事ができる。こうして、我々は電磁放射場に対. No . 4 3. と、それは光速度 cに等しい。故に、. して考察に都合の良い任意の境界条件を課す事ができ 電磁波を記述するマクスウェルの方程 ( M a x w e l l 's. ( 2 3 0 5 ). 一 五 五 ;. る 。 である。. e q u a t i o n s )を書く。時間的に変動する電磁場の一般的 法則は. 。 一. x. D. ( 2 2 8 9 ). VxH=i+ θ t. 。. dB VxE=一 一 一. ( 2 2 9 0 ). t. v・ D = v・ B=0. ρ ( 2 2 9 1 ). ふ ま. れ 一. ( 2 2 9 2 ). である。そして、これを補助するところの、電磁場の. ・ ド. d J山 d. ol. 存在する媒質の性質を表わす式は. Z. ( 2 2 9 3 ) ( 2 2 9 4 ) ( 2 2 9 5 ). である。. y ん=2L. 電荷と電流が存在しないとき、即ち、電荷の形でも 電流の形でも電磁波の泉源が存在しないときには、上 のマクスウェルの方程式は、次の様になる。. 。 E. VXH=B^一一. ( 2 2 9 6 ). dH VxE=ー . μA一 一 Vθ t. ( 2 2 9 7 ). vδt. v E=O. ・. ( 2 2 9 8 ). V.H=0. ( 2 2 9 9 ). ~=L. ん 十. ここで、 E[ N / C ]又は [ V / m ]は電場、 H[ N / W b ]又は [ A / m ] は磁場、 Bo [ C ' / ( N o m ' ) ]又 は [ F / m ]は真空の誘電率、 μ。[ W b /( A m)]又は [H/m]は真空の透磁率である。. λ a = l z ， ‘ 2. 0. ( 2 2 9 7 )式の rot=Vx を取る。. 主 VxH VxVxE=ー μ向 .V δ t. ( 2 3 0 0 ). ( 2 3 0 0 )式へ ( 2 2 9 6 )式を代入する。 Y 共振器の体積. δ2E. ( 2 3 0 1 ). VXVXE=-B O μ。 五?. L 共振器の z方向の長さ. とれへ、公式. ・. V汀 xE=V(V E)-V2E. ( 2 3 0 2 ). と( 2 2 9 8 )式を利用して、次の波動方程式を得る。. θ 2 E. 今. V"E-B。μ。~_:V'. V. d t '. =0. ( 2 3 0 3 ). この式は電磁波の存在を述べている。この式で、 ( 2 3 0 4 ). v=ーτ - B。 μD v. は電磁波の速度を表わすが、. 図1 図 1の様に、完全反射の導体壁で固まれた体積 V の 空胴共振器を考える。空洞の z方向の大きさは Lであ る。空胴内の電磁波の電場はそれぞれの導体壁におい て Oの境界条件を満たしていなければならない。 ま方向に偏光して、 t方向に進む、角振動数 ω の古 典的電磁波の 1つの定在波モードは次の様に書ける。. E。 と. μ。に数値を入れる.
(3) 多体問題とグリーン関数との関係の研究 ーグリ}ン関数と多体問題 ( 1 2 )- <量子統計力学 4 ). 。. F. ι 抑ω b 俳 初 刷叫 ← t ) バ ) ト = ( 除 宅 討 努 ) 矧 戸 、 仙 V w ω e 怜 W 凶 ) 榊 s 叫 s i 附 m n k. u. d z. ( 2 3 0 6 ). 波数ベクトル. C. q ( t ). r. 与川. k. 故に、ま方向に偏り. 振幅 [ m ] 時間 tに依存する。. q ( t ) S 帥. ( 2 3 1 5 ). t方向へ進む角振動数のの磁界の. 振動の波の 1つの定在波のモードの次式を得る。. r. 吋与さ. 。真空の誘電率 [C'/(N'm. 2 )]. s. H y { z. である。 E x ( z ， t )の時間依存性は q{ t )による。. ， t )の単位が電場の単位 [N/C]にな ここで、電場 E)z っている事を確認して置こう。. q t { ) S 山. ( 2 3 1 6 ). H y ( z ， t )の時間依存性は q{ t )による。 ここで、磁場 H y { z ， t )の単位が磁場の単位 [A/m]にな. 同制 =N/C. d t. チベぞ. 質量の次元を持つ定数 [ k g ]. m. v. E xへ ( 2 3 0 6 )式を代入する。次式を得る。. 空胴の体積 [ m ' ]. k=~z. ( 2 3 1 4 ). --'-=-8^ ーー~. ここで、諸量の単位をも添えて V. oE. ) J {. 1 2 1. 2 3 0 7 )式の結果を使う。 っている事を確認して置こう。 (. ド 川 = [ 枠 内] l. 守(日1=m :，. ( 2 3 0 7 ). 電場の単位. 次に、 ( 2 3 0 6 )式へマクスウェルの方程式の ( 2 2 9 6 )を 使用する。. VxH. 。 =. A. E. ( 2 2 9 6 )式] ( 2 3 0 8 ). 80 v_~ U. m. θ t. AθAθ. 電磁場のエネルギー密度 w [ J / m ' ]は. w = j e 。 ι 2 + μ A Z ). δ d z. V i一一 +yー +zー 今. δx. 《. ( 2 3 1 7 ). [. ととろで、 Vナブラの定義式 " ，. 磁界の単位. ( 2 3 0 9 ). より、. ( 2 3 1 8 ). である。故に、単一モードの古典的な電磁場のハミル. トニアン i i { t )は. V X H = ( 寄与ト(寄与)会. 前)=~J. ~oE/ (z，か μoH/(z， t)炉. ( 2 3 1 9 ). 釘. Z R m，. Z. +. である o ( 2 3 0 6 )式と ( 2 3 1 6 )式を ( 2 3 1 9 )式へ代入する。. ( 2 3 1 0 ). 次の様になる。 2 的)=~r~8。辺町2 ( ) s i n位 2 t l V8 t. である。又、. v. oE. oE Aδ'Eo^δIE_^ 8^一 一 一 =8^---X+8^--'V+8^- z 】. uθtυ o t. υδt•. υ. ーム. ôt. ( 2 3 1 1 ). +μ04. 区有20)∞ω'~dV k " V8. であるので、 z成分を比較して、. oH_ oH o. oE. 一 一 一 一 一 一 ー ー = 8 ^ -ーニー 司 y e 泣 V o t ι. 0. ( 2 3 1 2 ). 故に、. ( 2 3 2 0 ). J. ここで、 ( 2 3 0 5 )式の. である。電磁波は横波なので、 Hz=0. ". 一 ぷZ. ( 2 3 1 3 ) と. c2 =_1_ [ ( 2 3 0 θ式] ( 2 3 21 ). 。 μ。. E.
(4) 122. 近畿大学工学部研究報告. k=竺. ω= k c. N O . 4 3. ι 27rユム 拘=一一=-;-一~. ( 2 3 2 2 ). .. (2331 ). s=， 12， 3 ・ ，.. (2332). s=L2. 3 . ・.. t 2 L / s ). a λ's. C. である。故に、可能な角振動数は. とから、. 。. μ 60 ω. k. ( j ). である。古典的にはこの様な放射場は種々の角振動数. である。又、 ( 2 3 2心. p~) 呈 mq(t). の平面波共の線形な重なりと看倣す事ができる。 量子論へ移行するには、古典的なハミノレトニアン ( 2 3 2 9 )式で、位置座標 q A t )はそのままでそれを演算子. と置く。こうして、. 的. 2 r 7. . = C I C . = C・ 一 一 一 一 一 s -~~s -~( 2 L / s ). ( 2 3 2 3 ). 2. = j j ( tヤ 州 ωZ. qs {t) →~. 2. i nk z. と看倣し、運動量 Ps~) は演算子. トザ 吋 c o. æ~ro. dV. Ps {t)→ -ih~. ω. (2334). d q s. で置きかえる。シュレディンガー表示であって演算子 は時間に非依存である。 (2329)式に対する量子力学的. を得る。境界条件を満たす空間で平均を取ると. Qa. ¥-hill--2 ノ. ω327). aS m 2. である。 I : f : I( ql>q 2九. +. ii~)十(j)2q2~)+ザ. 、 で ん、 s. 的電磁場のハミルトニアン i i ( t )として、. 〆'EElll-. H. である。故に、空胴共振器内にある単一モードの古典. 一 -M 乙. ( 2 3 2 6 ). 2. 初 Un一. 孟2kz=孟S2kz=!. なハミルトニアンは. (2335). q s， …)をこの系の状態関数とする. と、シュレディンガーの方程式は. ー(ーま委伊吋 (q同. を得る。 (2327)式は質量 m の質点が角振動数 ω で単振. ' I ' s. 動するときのハミルトニアンである。 qは質点の位置 座標であり、 pはそれに対して正準共役な運動量であ. ι( z ， t )とH y ( z ， t )は. る。こうして、電磁場の単一モード. (2336). である。初等的な量子力学の方法により、放射場のエ ネノレギー固有値は次の様になる。. キ(ns+~}ωs. 正準共役な位置座標 qと運動量 p とで記述される調. n s=0， 1 ， 2， …. 空胴共振器内の電磁場が導体壁において Oの境界条 件を満たしているならば、共振器内の電磁場はいろい ろな角振動数の定在波の重なりから成る多モードの場 である。故に、その様な多モードの場の古典的ハミル トニアンは、その各々が或る角振動数の 1個の調和振. かザ. こうして、量子論においては、角振動数 ω sの単一モ. 分. n s ードの調和振動子はエネルギー (. ωsを持つ事. ができるだけである。ここで、 n s=0 ， 1 ， 2 ， ・-・である。こ の事実は電磁場の量子としての光子(ph o t on)の概念に. 動子に対するハミルトニアンの式. 久( t ) = j m叫 2qsZ(. (2337). E(nj， n2， . . . ， nS" " ). 和振動子として振舞う事が分かる。. ( 2 3 2 8 ). 導く。空胴共振器内の放射場の 1つの状態は、構成す る各々の振動子 ωsに対する数 n sによって指定される。 言い換えるなら、放射場の 1つの状態は各々の振動数. の和. に対して存在する光子(ph o t on)の数によって指定され. i i t {. る 。 ( 2 3 3 7 )式を見ると厄介な問題が存在する。場のどの. として書かれる事ができる。図 1を参照すると、可能. n . =n.=・ ・= n . ・ =u 1-'.2， . s= -・. な定在波の波長は λ s 2 E s. モードも励起されていない放射場の状態. s=1 ， 2 ， 3 ， ・ ・. である。故に、可能な波数は. ( 2 3 3 ω. (2338). は場の真空状態である。しかし、それでも. Lが. E ( O ， O . O . ，. . ) =. (2339.
(5) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題. の真空状態のエネルギーが存在する。しかも、 ( 2 3 3 2 ). ( 1 2 )ー〈量子統計力学 4 >. 1 2 3. である。 ( 2 3 4 4 )式が示す様に、与えられた kに対して、. 式から分かるように ωsの値は幾らでも大きくなり、. 2個の、そして、唯だ 2個のみの独立した分極ベクト. ( 2 3 3 9 )式の和は発散してしまう。とれは量子化した電. ノレ(直線偏光又は平面偏光ベクトル)" 1' ' ' 2がある。. 磁場の難点である。. p h o 印n)はフエノレミ 放射場の量子論によれば、光子 ( オンの様な物質粒子ではなく、力・電磁気力を介在す る素粒子であって、スピン n( 角運動量 s nで s=l) の質量のないボース粒子である。スピンは光子の進行 (j).. 方向の波数ベクトル k= = iに対して、平行と反並行 C. の 2個の独立な配向を持つ事が出来る。そして、 1つ の明瞭なスピン状態にある 1個の光子は右又は左のい ずれかに円偏光している平面電磁波に相当している。 量子力学においては、明確なスピン状態を持っこの 2 個の光子状態を重ねる事ができる。そして、スピンの. 1個の固有状態ではないところの直線偏光(平面偏 光)(l i n e a r l yp o l a r i z e dl i g h t，p l a n ep o l a r i z e dl i g h t )し. た 1個の光子状態を得る事が出来る。以下では我々は 直線偏光した光子共を考察する。. 図2. p h o t on)は次の性質を持っ 角振動数 ωの 1個の光子 ( ている。. 3 ( 2 3 4 5 )式の形の平面波に体積 V=L の空胴中で周期. エネルギー. E=hω. ( 2 3 4 0 ). 運動量. p=hk=h竺 る3 c. ( 2 3 41 ). lk￨zZ(2342). 的境界条件を課すものとする。このとき、例えば x成 分については kx C x+L)=kxx+k x L. ( 2 3 4 7 ). kxL=27D'1x. ( 2 3 4 8 ). 故に、 でなければならない。故に、. ー3 は単位ベクトノレであって、 k方向を向く。. 分極ベクトル(直線偏光ベクトノレ又は平面偏光ベク. k = 2n :n L. n x=0士L 士2 ， …. ( 2 3 4 9 ). である。こうして、 k空間中で波数ベクトノレ kに対し. トノレ)". 1 ，，1 = 1. k-，， =O. k1 .E. ( 2 3 4 3 ). " 2=a2. ( 2 3 4 4 ). て許される値は. 与い+ゆが). k. "1=a1. 又は. ( 2 3 5 0 ). nx>n y， n z=0 ， : 1 :1 ， : 1 :2， … ここで、るいる 2， e 3は互いに右手系に直交した単位ベク トルである。. ιの方向は波数ベクトノレ kの方向である。. p h o t on)は、その電場ベクトノレ 上述した様な光子 (. 3 ]中のモード密度は である。 k空間中の単位体積 Wm. ド ( 去) Z 4 7. ( 2 3 51 ). E ( r ， t )が次式で表わされる直線偏光(平面偏光)した. である。故に、 kとk+dkの間にあるモードの数、或. 電磁放射に対応している。. いは、許される運動量の数は. E f j り) = " e i ( k ' ・ r制 ). ( 2 3 4 5 ). ここで、 sの方向は電場 E ( r， t )の方向である。 (2343) 式の k-，， =Oの条件は電磁波が横波であるためである。. V-E=O. 包3 4 6 ). /V"_41 1 k2dk. ( 2 3 5 2 ). ( 2n : Y となる。 k=竺. c. dk=ldω C. ( 2 3 5 3 ).
(6) 1 2 4. 近畿大学工学部研究報告. であるので、角振動数の ω 空間では ω とω +d ω ， の間に あるモードの数は. N O . 4 3. Z M J Y ) = z j F E L }. ( 2 3 5 9 ). 2. V ， ( ωi 1. V 一 一 一 一 一 一 ・ q m - I -a ( i J =一 一 ー 一 一 ωaω. ( 2n y' ' ' lc)c …. 司・. 2n-γ~. -. ( 2 3 5 4 ). となる。我々は今、平面電磁波の進行方向の波数ベク. 光子共の数は明確でないので、札}に制限を付けない。. 和忍は札. n k •• =0 以. トル kについて許されるモードの数を計算したのであ. の、ありとあらゆる. った。我々は、電磁波はこの kに垂直に直線(平面)偏. 組について和を取る。次に、 Z の計算を実行する。. 光した互いに直交する 2個のモードから成っている事. ( 2 3 5 5 )式を代入して、. に注意しなければならない。そして、角振動数 ωにつ いても同様で、. ωはk { こ依存して本来町I = I k l cである. .干.~A"l'I"，'. ( 2 3 6 0 ). Z= )'e " "' . '. ZE(古川. ので、 1個の ω についても電磁波には互いに直交する. 2個の直線(平面)偏光がある。 空鯛の壁を作っている原子共は絶えず光子共を放射 したり、吸収したりし続けている。そして、平衡状態 では空胴中には、壁の温度で決まる、常に或る一定量. = 5 1 J e k J. ( 2 3 61 ). の光子共の分布がある。 hF. ∞す討. H". 運動量が1ik で分極ベクトル E の光子数が n k .• 個で. ( 2 3 6 2 ). ある様な電磁場の状態の全エネルギーは、次式で与え られる。. ところで、 aが初項で rが公比、. 札}=LIiωIkl nk.•. I r l 1のとき、無限等 く. ( 2 3 5 5 ). E. 比級数の和は. イ 旦 し 、 ここで、. _ _ _ 3. n匙 ε =0 ， 1 ， 2 ， ・. I k l =守 L ω I k l= c l k l. 一 ーHJU. ( 2 3 5 6 ). a. a+ar+ar+ar+・ ・ ・ = 一 一 一 ー l-r. ( 2 3 6 3 ). や古川lであるところの無限等. である。故に、公比か e. ( 2 3 5 7 ). k .. Z. で あ る 。 玄 は( 2 3 5 ω式の k と( 2 3 4 4 )式の1:1， 1 :2 につい. 比級数の和を含む ( 2 3 6 2 )式は、次の様になる。. ( 2 3 6 4 ). て和を取る。 量子統計力学の正準集団(カノニカ. 6 0 )式 ] 、 ( 6 2 4 )式[(1861 ) 式 ] 、 ( 6 2 5 )式 ( 6 2 3 )式[(18. アンサンプル) 中の ( 6 1 3 )式、又は、以前の節. [ ( 18 6 2 )式 ] 、 ( 6 2 6 )式[(18 6 3 )式]を眺めよう。それぞれが. 以前の節 (~)g. ノ レ. (~ ) 3 0 正準集団で扱う理想、気体中の(1859)式をも. ヘルムホルツの自由エネルギ -F、内部エネルギー U 、. う一度書く。. 圧力 P、エントロピー Sを与える式である。最初に、. Z仕λ. V ) =L ek，T. [ ( 6 1 3 )式、(18 5 9 )式] ( 2 3 5 8 ). Z ( T λV )は正準集団(カノニカルアンサンブ、ル)の 量子統計力学的分配関数( p a r t i t i o nf u n c t i o n，状態和. sumo v e rs t a t e s )である。量子統計力学の正準集団と T ， N， V)が分かれ 熱力学的諸量との関係は分配関数 Z(. l o g . Zを計算する必要がある。 ( 2 3 6 4 )式から. 十. = ー さl. l o g . Z. ?g(J1)ω 刊. ば総て求まる。 ( 2 3 5 8 )式より、我々が今考察している 光子系の分配関数は、次の様になる。. である。ここでは 2個の可能な分極(直線偏光)81， 82 に ついての和が取られているので因子 2が掛かっている。. 6 5 )式によれば、スピンを持たないボース粒子共 ( 17.
(7) 多体問題とグリーン関数との関係の研究. グリーン関数と多体問題(12 )ー〈量子統計力学 4 >. の平均占有数は. ( n p ) =. ー古川!. ' ， _ ト. 1 2 5. し. ゃ - e. . _" ' ' ' I k l T2 = 一 ー で 一 一 一 ・ ー で =-2k. }'ヤ ー' h . . ， . ， knT~ ‘ 1 -ek， T ， ，. [ ( 1 7 6 5 )式] ( 2 3 6 6 ). D. ー. 2. k l = ヶ 戸" " 1 -・1. である。 pは運動量量子数であって、 p= l i k[ ( 2 3 4 1 ). 1. n O J. 式]、波数ベクトル kは( 2 3 5 0 )式で与えられる。ところ で、光子共は真空中へ消える事ができるので、光子系. i 1ω￨肱￨ = 玄 h). の化学ポテンシャルは 0と言う事ができる。. μ=0. ( 2 2 6 7 ). 我々はここで、光子の 2つの可能な分極(直線偏光、平. [ ( 2 3 7 0 )式を利用した。] 次の計算をして見ょう。. 面偏光)を考慮する。こうして、我々は、波数ベクトル. 九T. と置くと、. ( n 寸土k)=. ( 2 3 6 8 ). ー 」7dT. dβ=. e 石 1 ' " " " 11. 一. 因子 2は 2つの可能な分極から来ている。. 一 会 log.Z=一一手ー log，Z 一一ニτδT. V}J. kBT". l o g . Z. -kBT. Ô~~J2~IO+-e'~'''')}. o-k ， T. A. シ ヲ" ' 1. (. 2 =k T B. o 句. 算しよう。. ー が 咋. P=kTf-logeZ[(625)式、(18 6 2 )式] ( 2 3 7 7 ) Dδy ( 2 3 6 9 ). 目 ' A. 叩. l. 倫. ‘. ザ げρ L W. l よ 一 石. 2. l. 制. 円. J. QO. qU 04 ft. ， 、 、d. EF. ]. Hhu. OL. UHU. c u. q o. 位3 7 0 ). 式 、. ¥I1111 ノ. ρ L W. ザ 1一. n -. o9U. ••. ' E且 /tilt--i¥. 今必. 6 2 4 )式[(1861)式]より、内部エネルギ 次に、 (. 一 一7L. 与 一. (nh)=-kBTd ォ 凡 Z=-1 1 kl VV 1Wl ' ek s T" " ' kl-. ない。. ob o a. 力学的分配関数 Zを用いて次の様に書く事ができる。. ( 2 3 7 7 )式は体積 Yで偏微分されているので、 ( 2 3 6 5 )式 o g . Zを体積 Yを含む様に書き換えなければなら の l. z k. ( 2 3 6 9 )式は ( 2 3 6 8 )式と同一である。故に、波数ベクト ル kの光子共に対する平均占有数は、正準集団の量子. である。. -uは. FL. L凪. 。. H I. t-rλ. (2371). a. lK14. の ω るる ああ でで. o g . Zに ( 2 3 6 5 )式を代入する。 次式で計算される。 l. ρ δTI "k'・. ネルギー U は次の様に書く事ができる。. 次に、 ( 6 2 5 )式 [ ( 1 8 6 2 )式]より、圧力(放射圧)pを計. =2knT・ 一二一一一一一・￨一一二一￨ 1 ¥ k BT) -e. =kfJLJ-2 アlog.ll-e中 角 川. である。これは包 371)式と同一である。故に、内部エ. ω (2釘 37 6 ). ¥. U =k"T2~log_Z θT ~. ~.. u=. 川. 噌. 4BT24logeZ(2375) u θT. 云 安l均gιμ.Z. 哨 Z l[ l _ e < T] 1. =2k. ( 2 3 7 4 ). kBT・. である。故に、. 次の計算をしてみよう。 l o g . Zに( 2 3 6 5 )式を代入す. 拘. ( 2 3 7 3 ). β-. kの光子共に対する平均占有数の次の式を得る。. る 。. ( 2 3 7 2 ). [ 包3 4 2 )式] ( 2 3 7 9 ). ( 2 3 8 0 ).
(8) 1 2 6. 近畿大学工学部研究報告. い+nyy+nzz). k=21. N O . 4 3. 加 U =玄( n k) I k l. [ ( 2 3 5 0 ) 式] ( 2 3 81 ). [ ( 2 3 7 2 ) 2 3 8 9 ) 式 ， ] (. V3 2nω. ゃ ￨ 判. ( 2 3 9 0 ). ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー. " ，. τe 古川 -. ( 2 3 8 2 ). 21 r V30. 1. T. [ ( 2 3 6 9 )式 2 3 7 0 ) 、 ( 式を利用した。]. であるので、結局 ( 2 3 7 8 )式は体積 Yを含んで、次の様 に書ける。. 守品市. 宅 日. ー 占 1 l c2 _ lnI V 'I l o g .Z=-2)) o g .l 1 -eKr ー. ￨. - ~.411edk =r~ 3・一一 21Z') 古 川1_1 ~( e. ( 2 3 8 3 ). ( 2 3 91 ). [ ( 2 3 5 2 ) 式を利用した。] ( 2 3 8 3 )式の結果を用い、 ( 2 3 7 7 )式へ戻って圧力(放射. -2nck. 手 V. d k 1 1 k" = 1一一一・一一一一・ 4. { ( 21Z'y すck. pの計算を進める。 圧). ..?. ( 2 3 9 2 ). n ， ー . ・. [ ( 2 3 7 7 )式] ( 2 3 8 4 ). P=kJilogeZ Bθ V. .. [ ( 2 3 4 2 )式を利用した。 l. 叶-2~IOg{I-' か "~l，， 1 匂. 一叫 ω L1-h. [ ( 2 3 9 0 )式] ( 2 3 9 4 ). r ， でーママ ω ・ーァ~dω = 1 LlrC-hω V. -1. ， ; r 1 e k ー. r. 開 o3 = ー で ー で-1一 一 ァ ー 一 一 一 一 ao -て でニでchω 1 z 'c VeKBJ ー1. pは次の様になる。 へ戻して書く。圧力倣射圧). ・. を得る。故に、単位体積当りの内部エネルギーは次の. ω I k l. ゅの￨判. 様である。. ( 2 3 8 6 ). U 下 h ω ω ー一=1-ーナーァ・-一一ー一一幽 a V. ~ 7 r"C'. [ ( 2 3 6 9 )式 2 3 7 ω式を使用した。] 、 ( 1U 3V. ( 2 3 8 7 ). 27r. pは単位体積当りの内部エネノレギー(内 圧力(放射圧). との事については後に、古典電磁気学的にもう一度説. U. V. PY=1U 3. ( 2 3 7 2 )式をもう一度書く。. ( 2 3 8 8 ). ( 2 3 9 7 ). -1. ω=27rv.. dω=21 1 1 iv. ( 2 3 9 8 ). ( r 会 ) - (y γ 21Z'V. {7r. 明する o. 8 7 )式より次の状態方程式を得る。 故に、我々は、包3. e 句. の関係を使うと、式は更に次の様に変形する。. _1. 部エネルギー密度)ーのーになっている事が分かる。 V 3. ~hω. 次に、我々はここで、 n=土. [ ( 2 3 7 6 )式を利用した。] U. ( 2 3 9 ω. 守. ーI. ( 長 =Z. ( 2 3 9 5 ). ーム. ここで、 ( 2 3 8 2 ) 式、包3 8 0 )式を用いて、和乞を和工. eKr. 2 n. _ _ 2_. ~ 0--. -3V? - 1_平. ( 2 3 9 3 ). -1. 2一 1 一 v. ( 2 3 8 5 ). て 、. U. …. 25:2. 土. n c 2 1 r V: 31 0 1 “ . '-"J'-~'_' 3V ， ! ; ; ; h c2"v ' I n l. p=_l)'_._ 2. 今. 2 3 5 4 )式を利用し 2 3 9 0 )式の段階で ( を得る。或いは、 ( 瓜. 守-， eKS =-2k ， . L ' -K243hi BT . t . . . . 1 '_'J'-~'_' 3 k.T l-ek正hc2"v' I n l -e. e " ， J. n c k. μyie'-. z k. τ1phdV314. ー. 2V 宇. " d k 1 1 k =一一一 I 一一一一一・ 4 EjFM ，. 内耳元. 正 午 ・ 去 dgV e 3 V. で 一 ・ 一 一 一 一 一 一-av =•1-ー -hv oC ー e ksT_l. 次に、更にここで、我々は. "1-1.. I--P. ( 2 3 9 9 ).
(9) 多体問題とグリーン関数との関係の研究. c. dv==-~dλ λ 4. v=← ー .. c=v. λ. λ'. グリーン関数と多体問題(12 )一〈量子統計力学 4 >. j 元市=吋与J ~4. ( 2 4 0 ω. 一 一 ー 一. の関係を使う。 ( 2 3 9 9 )式は次の様に変形する。. (~J. 1 2 7. ( 2 4 0 9 ). 同じ、上記の「数学大公式集 jの p1079によると、ベル ヌイ ( B e r n o 叫li)数の札は、. ) λ. Vザ ・ 京 了 ( 一 戸. B.=一 土. ( 2 4 1 0 ). 3 0. 勾. 山山. 捌 一f. である。. 包401 ). 次に、(23 9 7 )式[包4 0 2 )吋の積分を実行しよう。黒体 空洞中の単位体積当りの内部エネルギーは、次の様に. 次に、我々は単位体積当りの内部エネルギー予を次. なる。. の. Ts. M u f. m u 、 ‘. v. 伺t EJo o n /¥=. ' ' t. 書 U一. の. 様. r. U n 0)3 一 で で ・ 一 ? 一 一 一 一 一a ω V=1 . ! -ー 1 T :" C '一 ~h.， eksT -1. [ ( 2 3 9 7 )式 、 ( 2 4 0 2 )式]. ( 2 4 0 2 ). ( 2 4 1 1 ). 又は、. 予= ! u 仏伽 t 円. て し 較 比 接 直 と 式. qG. qd. o u. は 、 也. u. 21 T : I 1 ( 1~. =IYZT. ( 2 4 1 2 ). ( 2 4 1 3 ). 単位体積当りの定積比熱 C vは、次式で与えられる o Aθ. 一 . 一k 〓 一・ eaT 1. 1. ~. = ー ー ー 一 一 ・ 1-11一 ・ ・ 一 ー ー l 2 3 、 1 T :C 1一 n .1I 8 i~ 一 30) LんT) 2 1 T : ( k . T r. ( 2 4 0 4 ). dUJ'. w ゆ い 仏 何 ル ， T T. 内. μ. =. このとき、. 、 T y へ い，， h uiF. ∞ po--ou. v ' U一. 又は、. n. ( 2 4 0 3 ). ( 2 4 0 5 ). (ui 41T:2k .4T3. - ， 弓 ー ~v oTlv)- 15争c Y. ( 2 4 1 4 ). M. ( 2 3 4 1 4 )式によると、単位体積当りの定積比熱 Cvは. かT ). である。次に、 u ， は ( 2 3 9 9 )式と比較して、 8 n h u T)=7. ， か. v3. ・ 寸 一. -dv. T→∞のとき、幾らでも大きくなる。これはボース粒 子である空洞中の光子共の数に制限が無し、からである。. ( 2 4 0 6 ). -hY ー. ekST -1. である。次に、. ω ，の聞にある量 I仏T， d )ω を計算す 振動数がのと ω+d. u ( )は(2401)式と比較して、 ， t -T. ) =学・寸与仏T. u. . t a T・ e k -1. 次に、 ( 2 4 0 5 )式を用いて、絶対温度 Tの黒体の単位 面積から単位時間に放射されるエネノレギーの中で、角 る。この為には我々は空洞中に小さな窓 dSを開け外. ( 2 4 0 7 ). 界へ黒体空洞を開く。このとき放射は光速 cで空洞か. < oは空洞内であり、 ら外界へ出て行く。図 3で z. z=o. の砂面上に小さな窓 dSがあり、 z>Oは外界である。. である。. 2 3 9 7 )式 [ ( 2 4 0 2 ) 単位体積当りの内部エネルギーは (. 空洞内に、任意の断面 dSを考え、その断面 dSを通し. 式]の積分を実行する事によって得られる。もちろん、. て一方から他方へ一方向的に、角振動数 ω の光子の形. ( 2 4 0 4 )吋 の 積 分 ( 2 3 9 9 ) 2 4 01 0 3 ) 式]、又は、 ( ) 式[ 式[包4. で単位時間に通過するエネルギーは、. を実行しでも得られる。 数学大公式集大槻義彦訳 ところで、 f. cu~ω， T}ds. [ J / s ]. ( 2 4 1 5 ). 丸善株. である。故に、図 3の窓 dSを通して θ， r p方向の立体. 式会社)の p325によると、次の積分公式が成立して. 角d n=s i nr u r u r p方向へ、角振動数 ωの光子の形で単. いる。. 位時間当たり外界へ逃げて行くエネルギーは. ! 玉 三. 叫 I. 与 ) 五. l t 1. ( 2 4 0 8 ). (. θ・ 川ωT} d s∞s 竺1T: ョ. ( 2 4 1 6 ). 斗. となる。こうして、角振動数 ω の光子の形で、窓 dSを. ここで、 B2n はベルヌイ ( B e r n o u lli)数である。 n=2の. 通して単位時間当たり外界へ逃げるエネルギー放射の. とき、上式は次の様になる。. T} 量I ， d sは、. い.
(10) 1 2 8. 近畿大学工学部研究報告. No. 43. IW)=juW). ( 2 4 2 0 ). Z. ω3. h. ( 2 4 21 ). =ーーー一ー ーー・ーーーーーーーーーー 2 2 C 41f~ C: ' : : ^ ". e k i ! ' 1. [ ( 2 4 0 5 )式を利用した。. l. を得た。そして、これより又、式 ω=21fV 、d ω =2 1 1 l iv. r. かr ). を利用して、 l ( v，) dvの式の I ， として、. l(v，r)=~学・っとL ー. ( 2 4 2 2 ). hY. ek i ! ' 1. c 一 、 を得る。そして、更に又、式 C = v . λ、 v=一 λ. 司. 一 会 副. dv= 立体角 dn=sinB d B d p r. r=1のとき. を利用して、 1(ム伽の式の 1(.~.，r). して、. の，r ) =半・. x. z. ( 2 4 2 3 ). ァ. -j-h. ・ -. nk.T . 1ー.. v. を得る。 ( 2 4 21)式、又は ( 2 4 2 2 )式、又は ( 2 4 2 3 )式は 1 9 0 0 年プランク ( P l a n c k )によって導かれた黒体の熱放射の 公式である。. y. 温度 Tの黒体の単位表面積から単位時間に放射さ. ( r )は、上式共をそれぞれ角振動数 れる全エネルギー l ω 、又は振動数 v、又は波長 λに渡って積分して得ら. 空洞内 zく O. れる。故に、. 法T-fトdω. l ( r )= J 1 仏 伽= J. 図3. e. 匂 4. f?ω17). I ( O J， r 防= c f u 仏T凶∞s8・ ( l. =子u~ω， r}ds 斗1f. f∞s8sin側 副ψ. O O. I U ) = ! I かT M v = j 苧ヂ了v. ( 2 4 2 5 ). 又は、 2. 下 手 2nhc l ( r ) = f 1 仏r } i J . .= 1 で「・. 1 h c. dλ. k• T・ eー A 1. ( 2 4 2 6 ). である。. = 会u仏 前 十 2. 1 f. 2 4 2 5 )式の両式は前述した積分公式の ( 2 4 2 4 )式と ( ( 2 4 1 9 ). となる。こうして、絶対温度 Tの黒体の単位表面積か ら単位時間に放射されるエネルギーの中で、角振動数 が ω と ω +d，のの間にある量 1(，ω ， r)d，ω の式の 1~ω， r) と. して、. 又は、. ( 2 4 1 8 ). = ヰu， いr吋j∞s28I [ r p I n = 7 u い，r} d s. ( 2 4 2 4 ). ーI. ( 2 4 0 8 )式乃至 ( 2 4 1 0 )式を直接適用して計算出来る。他 2 3 2 6 )式の計算には次の変数変換 λ→Rを行なう。 方 、(. R=! λ. ，. dR=-idλ λ. このとき、 ( 2 4 2 6 )式は次の様になる。. ( 2 4 2 7 ).
(11) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題(12 )ー〈量子統計力学 4). 川. 2 2 1 1 カc +ー一-・. 2 山. 品 皿. 会 ・ . f -. 1. いゴさ -dR ，1. 。. ( 2 4 2 8 ). ekT. h c 1. ・ e. 町 ・ ー ー ー ー ー ・ ー ァ ー ー γ kBT 2~凪. f 土ι.~. 1 ek， T. 1 1. 恒 一. =f 2. 1 2 9. ( 2 4 3 5 ). =0. 故に、. 故に、再び、積分公式の ( 2 4 0 8 )式乃至 ( 2 4 1 ω 式が利用. 1 0 曲ム. できて、計算を進める事が出来る。結果はいずれの計. 2n ヵγ. 1. 1. ーーで一~=一一?ーーー・--・ ，. A 凪. 2 4 2 4 )式についての 算も同じなので、ここでは我々は (. 4臨 んT. (兵 ・. f t ・ 7L. 、 ・e r. .-. 1. 1e " ' - .--11. 計算を示す。積分公式 ( 2 4 0 8 )式乃至 ( 2 4 1 0 )式より、. 1 ま斗 L -. 市)=. d ω. T. o. … 戸. ek ， T. 山F 一. ( 2 4 3 6 ). [ 仰 ( ω M ω ω 仰 4 2 悶 4 ω 4 侃 州 ) 成 吋 胤 式 刻 ] ( 拙 ω ω 必 4 2 却 捌 9 4 2. 一1. λ. _ _ . . T =主 5 k n. = 」 で ? で 竺Ldω 4" c " ~. 1 t. v. ~ω. U四. -1. e~Bl. 故に、. . 十. ( 2 4 3 7 ). -~.-'k， T λ皿. l-e. 8 である。ここで、真空中の光速度は c= 2 . 9 9 8 x1 0 [ m J s ]、 3 4 プランク定数は h=6 . 6 2 6 x1 0 [ J .s ]、ボルツマン定数. 会 ( 一 1)怯(一会). はん=L381xlO-23[ J / K ]である。故に、 (2437)式中の係 数は、. =豆与~T4= σT 4 6 0 i 1' c . 4. S 21 tk ~A =一ーで』ァT4 D. 1 5 h ' c .. = σT. ( 2 4 31 ). 4. kB. 1 . 38 1 x1 0 " ' 明. =0.01438[m・回. 2ι=0.002877[m.回 5 九. である。故に、 ( 2 3 3 7 )式は、. を得る。ここで、 4. ベ百. 4. 1 fk n ヲ1fSk n σ喜一一手-=ーーでヰァ 2. h c 6.626x1 0 -34x2 . 9 9 8 x1 08. ( 2 4 3 0 ). ( 2 4 3 2 ). 6 0 i 1' c . 1 5 h ' c ". =5.6697xlO-S. [W/(m'K4)]. ( 2 4 3 8 ). 仏 ド 0.002877. 1-e . l . . . ，T. ( 2 4 3 3 ). となる。この式の解はグラフを用いて解く事が出来て、. である。. λ'maxT=0.002898[m・回. 黒体の単位表面積から単位時間に放射される全エネ. (定数). 包439). ルギーは T に比例する事が分かる。 (2430)式、又は. である。 ( 2 4 3 9 )式 は ヴ ィ ー ン の 変 位 則 ( W i en 's. (2431 ) 式 は ス テ フ ァ ン ・ ボ ル ツ マ ン. d i s p l a 白 m entl a w )と言われるものである。. ( S t e f a n -Bol t z m ann)の法則と呼ばれる。そして、比例 S t e f a n)定数である。 定数 σはステファン ( (2423)式をもう一度書こう。. い. か. ( 2 4 0 5 )式乃至 ( 2 4 0 7 )式の u ， T )，u ， T )，u ( 2 ， T )は. いずれも量子論を通してのみ得られる式である。そし 2 3 8 8 )式の状態方程式、又 て、それを用いて得られた (. は圧力(放射圧)の式. 2 2 幼c. 1 ( ムT ) =て 「 ・ 寸 口 一. [ ( 2 4 2 3 )式] 包43 心. ek，T~_l. である。これは絶対温度 Tの黒体の単位表面積から単. PY=1u. [ ( 2 3 8 8 )剖. p = . ! . . U = ・ 一 一. [ ( 2 3 8 7 )式] ( 2 4 41 ). 3 V. 位時間に放射されるところの、波長の単位幅に含まれ. ( 2 4 4 0 ). と(2413)式の. る放射の強度である。 我々は今、波長 λの関数として 1 ( 2 )が極大を示す λ. u_~.色T)' V-15-{ n c y. の値 λ mを求める。 λ四皿は次式を満たす。. I. dI1 2 1 1 =2 n カc2い)仏・→→一 d λ L I I C・ 一 一 1 ' ' ' ek ， Tλ. 主盟. 回 一. [ ( 2 4 1 3 )式] ( 2 4 4 2 ). が示す Uo cT4. ( 2 4 4 3 ). の事実は、量子論に依らず、古典物理学でも導出する.
(12) 1 3 0. 近畿大学工学部研究報告. 事が出来る。次に、それを示そう。. B yリ. 真空中に、 z方向に進む x方向に偏った平面電磁波. 叫. ( 2 4 4 4 ). 旦s. 。 x E =一。 一 一 μ. V '. 川. ( 2 4 5 3 ). 死守以￨. ( 2 4 5 4 ). であるので、. を考える。真空中のマクスウェルの方程式の内 ( 2 3 9 7 ) 式. No. 43. J e ι ￨は電場により電子に働く力であり、 J V x Jは. を得る。. H. [ ( 2 3 9 7 )式] ( 2 4 4 5 ). uθt. e E x v x Jは物体に入射する電 電子の速度である。故に、 J. を利用すると、. d H . . d E ω (zi -Un一 一ム=一一一=一一-Hncosω1t--I 一θ d z C C). ( 2 4 4 6 ). 磁波が電子に対してする仕事の仕事率である。物体中 の表面近傍の電子面密度を nWm']とすると、単位面 積当りに働く力、即ち、圧力(放射圧)は. を得る。これを積分して、次式を得る。. = -i. Hy=土 E os i n o (t ' μ。 C ¥ C). 守 Exvxl. ( 2 4 4 7 ). P=nF.. ( 2 4 5 5 ). [N 刷. である。入射電磁波のエネルギー密度を u[ J / m ' ]とす. =jZEomω(t-~). ( 2 4 4 8 ). ると、単位面積、単位時間当たり通過する電磁波のエ ネノレギ一束は. ( 2 4 5 6 ). c u[ J / ( m' 8 ) ]. 但し、ここで、光速. ( 2 4 4 9 ). 五瓦. である。このエネルギ一束が吸収されて物体の単位表 面積当りの電子の仕事率になるので、 xx v:V. E a. 引制. P. Fx. n. 一 一. 一 一. E z l但t n-c. を得る。. ( 2 4 5 7 ). 、. ふ. る あ で. ' μ。. F. H2=ELEJ. nU. ' ' 、 E. 5 ， 、 、 AOL. 叶 と. t仙 寸 こ. d= u cu 。. を使った。こうして、我々は初めに. ( 2 4 5 8 ). 次に、電場と磁場のベクトルが E とH であるところ. となる。我々は今、 z方向に進み、 x方向に偏った平. 2 4 5 0 )式 の平面波の平均エネノレギー密度 U を考える。 (. 面電磁波が物体面に及ぼす場合の放射圧 P を考察し. を利用して、. た 。. 1_1:'2.1.T T 2 1 : '2. 1 。 2u 2 'u 2u 2μ. しかし、黒体放射(空洞放射)の様な場合、我々は. 2. ~BoE2 +一 μH'= ; : B O E '+一μo.二LE. 。. =BoE2 u [ J / m ' ] 言. 立方体中に満ちた等方的な放射を考えなければならな. ( 2 4 51 ). い。立方体(箱)中の放射は総ての方向に伝播してい. n c o h e r e n t )な重なりである。そ る平面波のばらばら G して、その平面波共の Eいの相対的な強度はその箱の. である。. ， _. 光の圧力(放射圧)を古典電磁気学から考えてみよ. 皇室の温度によって決まる。箱の任意の壁に掛かる放射. う 。 zの正の方向に進み、 x方向に偏った平面電磁波. (u 1 圧は箱の中のエネルギー密度 u l =一!のーである。何 l VJ 3. の電場は E xで、磁場は. B A =μo H Jである。この電磁. eは電場から力 波(光)が物質に当ると物質中の電子 を受けて電場とは逆方向へ速度 Vx を持つ。運動する電. eは 光 の 磁 場 B yからローレンツカ(Lor e n t z ' 8 子f o r c e )えを受け、物体にカを及ぼす。これが光の圧力. = 1 e v x B I=jevsyj. ( 2 4 5 0 )式より. るが故に、その平面波共の 1 のみが箱の任意の壁上の 3 放射圧に寄与するからである。故に、. 1U ・ 一 < J . 3 V. P=':"u= 3. [ ( 2 3 8 7 )式参照] ( 2 4 5 9 ). である。そして、状態方程式. (放射圧)の原因である。. 民. 故ならば、総ての平面波共がエネノレギー密度に寄与す. ( 2 4 5 2 ). PY=1U 3 である。. [ ( 2 3 8 8 )式参照] ( 2 4 6 0 ).
(13) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題 ( 1 2 )ー(量子統計力学 4>. 次に、 z方向へ進行する電融波が持つ 1[ぜ]当りの. Uo cT4. 総ての系に成り立つ、次の関係式を思い出せ。. 芸 () T + P = T ( 5 ) v. 2 = 60J 6 l 01 0E. この式の導出は、「基礎教育. u I一c. n V. E. 一 一 一 r. 一 一. c. ro. [ ( 2 4 4 3 )式 ] 位466). を古典物理学で導出する。熱カ学第 2法則の範晴で、. ￨ 同 ト 60μ。匹函=削oEH 三 千 子 J ・ ，. である。 次に、 ( 2 4 4 3 )式の. 平均運動齢、!日￨で与えられる。. = 60μ0. 131. ( 2 4 61 ). ( 2 4 6 7 ). 物理学コース IJ (森田. 章、佐藤岩男、福間義一、大貫裕司、奈良久. 共著. 学術図書出版社)の pp254・257に記述がある。空洞放. である。ここで、 (2461)式がl[m 当りの運動量の次. 射では空洞内の電磁波エネノレギー U 、又は電磁波エネ. 元を持つ事を確かめて置く。. ルギーの密度 U は空洞の壁の温度 T と熱平衡状態に. 3 ]. 2 4 6 5 )式の ある。故に、 (. 憧動劃昨. P Y = 1 u 3. と放射圧. 3. J7￨lk. 仁 川 苅U. ( 子 ) ( 2 4 6 2 ). U=3PV. ( 2 4 6 8 ). p= . ! . . U = ー ー ・ ー ー ー 3 V. ( 2 4 6 9 ). であるので、. 4 T 4 3 x -・. (T θVL. 故に、. ( 24 6 3 ). I -=-4) U U. (~~l イ芸l-p. の運動量である。そして、それが物体の表面で単位時. 2 4 7 0 )式と ( 2 4 6 9 )式とから である。 (. 間に吸収されるのであるから、運動量の時間変化はカ. N Pち、圧. 力(放射圧)となる。そして、再び以前に説明した様 に、黒体放射(空洞放射)の様な場合、我々は立方体 中に満ちた等方的な放射を考えなければならない。立 方体(箱)中の放射は総ての方向に伝播している平面 波のばらばら(i n c o h e r e n t)な重なりである。そして、 その平面波共の互いの相対的な強度はその籍の壁の温 度によって決まる。箱の任意の壁に掛かる放射圧は箱. ( U¥_ 1 の中のエネルギー密度 u l=一￨のーである。何故なら l V) 3 ば、総ての平面波共がエネルギー密度に寄与するが故 に、その平面波共の. j のみが箱の任意の壁上の放射圧. P = . ! . u = . ! . . U ・ ー ー = u = 3 3 V. ( 2 4 71 ). _lldUIU 3 VdT 3 V. U=lX-・ーー一一一一一・一一. Td u 1 3dT 3. ( 2 4 7 2 ). =ーー一一一一 -u. を得る。故に、. 4 Td u -u=一ー一一3. ( 2 4 7 3 ). 3dT. である。故に、. d u .dT. 一 u 一T. ( 2 4 7 4 ). を得る。不定積分を実行して、 l o g .u=4 l o g .T+l o g .C. [ ( 2 3 8 7 )式参照、 ( 2 4 5 9 )式] ( 2 4 6 4 ). ( 2 4 7 5 ). である。 log.C 又は、 Cは不定積分定数である。こ うして、これより. u=CT4. に寄与するからである。故に、. ( 2 4 7 0 ). である。包4 6 7 )式から. は単位時間に、単位断面積を z方向へ通過する電磁波. であるので、物体の単位表面積に掛かる力、. は壁の温. 度 Tのみに依存する。. =(N・ s ) / が = 皇 竺) 1m. l c 両 I = u. P. を得る。こうして、. ( 2 4 7 6 ) U. o c T が導かれた。ここで、定数 4. Cは古典物理学の考察からは得られる事の出来ない 値:である。. である。そして、状態方程式. PV十 蜘 蹴 参 照 、 仰 ) 式1( 2 4 6 5 ). ~3 4 固体中の音子(フォノン) この節(~)の議論は、K.. Huang著“ Statistical.
(14) 1 3 2. 近畿大学工学部研究報告. No. 4 3. M e c h a n i c s " の第 1版(旧版)と第 2版(新版)に負う. =(1~(2派)で識別される、独立した調和振動子の和 ヤ). 所が多い。. として記述される事が出来る事を示している。ここで、. フォノン(音子)は巨視的物体中の音波(格子振動) の量子である。格子振動の量子化. ①単純調和振動子. の量子化と、②一次元原子鎖連成振動子の量子化と、 ③三次元格子状配列原子連成振動予の量子化. の問題. は、既に、この一続きの論文体系中の、「多体問題とグ. G匂)伝)は単振動の場合のパネ定数に相当しており、各 モードの角振動数は同論文中の ( 4 4 4 )式 の. の ど ) = 伊. リーン関数との関係の研究ーボソン系の量子力学(1) 一(平成 3年)Jと「多体問題とグリーン関数との関係 の研究ーボソン系の量子力学 ( 2 )一(平成 4年)Jの各 節(~ ~ ~)1， 3， 4で詳しく議論しである。. 格子が融ける程の高温でない、低励起に対しては、 上記「ボソン系の量子力学(1)J 中の(19 4 )式の ( 1 ___ 1 _ < . ¥ _ . _ . .i H =玄￨ P; 凡+':'G争以Uk k'~ 2 m •• 2 " • ' ). I. [上記論文中の ( 1 9 4 )式] ( 2 4 7 7 ). [上記論文中の ( 4 4 4 )式] ( 2 4 81 ). ω ω. 錦凶 8 剖 組 附 1ま城波数ベク川(与小各モ一 である。 凶4. υ ω )い ω ) ト = ( 1 ω Lω や 1 ( 3 ). ドの角振動数 叫 ω髭心. との関係を与. えているので、それは波の分散関係を与える式である。 ωk( P)=ω-k( P ). [上記論文中の ( 4 4 5 )式] ( 2 4 8 2 ) の関係がある。そして、上記の様な N 個の原子共から. は、一次元結晶格子中に並んだ N 個の同種原子共から. 成る三次元格子配列原子連成振動子の場合、同論文中. 作られるところの、周期的境界条件を持つ一次元原子. の( 3 5 8 )式から分かる様に、それには 3N個の基準モー. 鎖連成振動子のハミルトニアンが波数 kで識別される. ドがある。. 独立した(基準モードの)調和振動子の和として、記. 量子論においては、これ等の格子振動の基準モ}ド. Uk は波数モード kの 基 準. 共はフォノン(音子)と呼ばれる量子に起源を与えて. 振動に関わる基準座標であり、兵はその共役運動量で. いる。調和振動子共の量子化については上記 2論文中. 1 9 5 )式の ある。そして、同論文中の (. の節(~ ~ ~)1， 3 ， 4に詳しく議論しである。. 述できる事を示している。. 長. = 2 s m j ￨ 知 ￨. 叫. [上記論文中の ( 1 9 5 )式] ( 2 4 7 8 ) は、波数. k ( 与)と角振動数叫の問の関係、即ち、. 波の分散関係を与えている。. ωk =ω.k. 1個のフオノン(音子)は、 1個の或る調和振動子 の 1つ の 量 子 で あ る の で 、 そ れ は 特 徴 的 角 振 動 数 ωk(P)とエネノレギ-1'1 ω占 ) を 持 っ て い る. o. NトN凡 N J個の同種原子共を持つ三次元国体は 3N 個の基準モードを持つ。そして、それ故に、特徴的角 振動数共を持つフオノン(音子)の 3N個の異なる型 が在る。我々はそれ等を便利性のために、以前の九か). [上記論文中の ( 1 9 8 )式] ( 2 4 7 9 ) の関係がある。 N 個の同種原子共から成る一次元原子. か)=(lH2~(3). の代わりに、今. ω)， ω2'… ， ω"…ω3N. ( 2 4 8 3 ). 鎖連成振動子の場合、同論文中の(15 9 )式の直下の説明. と書く。基底状態付近の結晶格子の量子状態は、各角. で分かる様に、それには N 偶の基準モードがある。. 振動数のt に存在するフォノン(音子)共の数を数える. 次に、同じく格子が融ける程の高温でない、低励起. 事によって指定できる。調和振動子の 1つの励起状態. に対しては、上記「ボソン系の量子力学 ( 2 )J中の ( 4 4 3 ). は任意の数の量子を含む事ができるので、フォノン(音. 式の. 子)数保存の制限は無く、フォノン(音子)共はボー. 号本正片足P ) + i z z G ( P )俳Prut). H=. [上記論文中の ( 4 4 3 )式] ( 2 4 8 0 ). ス統計に従う量子である。こうして、我々は、低温で は固体は相互作用のないフォノン(音子)量子の気体 を入れる容器と看倣す事ができる。. は、格子の基本並進ベクトル 31， 32 ， 33方向にそれ. 格子振動のアインシュタイン(Ein s t e i n )モ デ ル ア. ぞ れ N1個 、 N2個 、 N3個の同種原子が並び、全部で. インシュタインは格子点に在る N 個の同種原子共は. N=N N2N3個の同種原子から成り、それ等がそれぞ 1. 同じ角振動数 ω で互いに独立に振動するものとした。. れの方向に周期的境界条件を持っところの、三次元格. 即ち、彼は格子上の原子共を閉じ角振動数 ωの 3N個. 子配列原子連成振動子のハミルトニアン H が波数モ. の独立な調和振動子の集合によって置き換えた。この. ー ド kの 基 準 振 動 の 、 各 主 軸 方 向 へ の 分 極 モ ー ド. モデノレは固体の定積モ/レ比熱が低温で Oに近付き、高.
(15) 多体問題とグリーン関数との関係の研究. ーグリーン関数と多体問題 ( 1 2 )- <量子統計力学 4>. 温でのデュロン・プティの法則 3Rからずれる事を定. k _= 2 n. L， .. 性的に説明する事が出来たが、あまりにも単純過ぎた ため定量的説明は出来なかった。 D e b y e )モデル 格子振動のデパイ (. 1 3 3. ( 2 5 0 0 ). を持つ。 デパイは ( 2 4 8 3 ). 2 4 9 8 )式乃至 ( 2 5 0 0 )式を ( 2 4 91)式へ代入 次に、上の (. 式の角振動数 ω l '町，…，ω3Nを見出すために、固体を 1. しょう。我々は可能な振動モードに対する次の関係式. 3. 辺の長さが L、体積 V=Lの弾性連続体であると考え. を得る。. ( 引 い n/+n/)=手与. た。そして、その弾性体中を伝播する音波に関して、 周期的境界条件を採用して、三次元波動方程式 θ2U θ2U o2u. θ2U. 一 一 7 " + 一 ー で ー + 一 一 一 ァ = ー ? ・ ー ー で o x " 0 ' " o z " v " e γ を満たす解. ←. u ( x， y， z ，. Ae和 + k ， y + k : z z 叫. =Ae'(k.，制). ( 2 4 8 4 ). ( 2 4 8 5 ). M4. H. ん''吋 ppH'. 剖肘酔. ( 2 4 8 7 ) ( 2 4 8 8 ). L'zke. 哨. 叫叫. kykwkyky. ム肝心帆仏仏. dgeee d m 一 AAA 2222 44yL Z4 一一一一一一一一 一z u 一2 u 一z u 一2 M 4m7ad一砂民一命が一み. を求めた。. fい ω M を求める。. 仲. ) ( 2 4 91. J'. 次に、弾性体中を伝播する音波に関して、周期的境 界条件を課しているので、解 ( 2 3 8 6 )式中の幕 e 加はL について周期的でなければならない。それ故に、 xが. x+Lに 、 yが y+Lに 、 zが z+Lになったとしても幕 ( e x p o n e n t i al)は変化しない。故に、. k空間の体積要素. e ; J L ) V. ー)ー ザ に 1個ずつ許される kの 点 が 杭 そ し. て 、 1つの許される kに対して 3個の可能な分極モー ドがあるので、 3倍して. f ( ω ， 阿ω=3xて 共τ・ 4ポ 2 d k (L .n¥. ( 2 5 0 2 ). ¥L ) 3V. ( 2 4 9 0 ). 4 n. 次に、角振動数が ω とω+d ωの間にある基準モード の数. ( 2 4 8 9 ). である。これ等を ( 2 4 8 4 )式へ代入して、両辺から共通 k . x + k ， Y + 1 a 削)を消去すれば、次式を得る。 の _Aei{ 2. 故に、振動モードとして可能な波長と角振動数は 3つ. x， n y， nz で決められる。 の整数 n. ( 2 4 8 6 ). ，2 ，2 o k _ "+k."+k."= -_ーでv"λ4. ( 2 5 01 ). = 一 一 ? ・ 4放 "dk 8 7 f ' 勾. ( 2 5 0 3 ). ここで、. 27f 2nv o k=一一一=一 人 dk= 二 dω(2504) λ v λ ν ν を利用すると、 ( 2 5 0 3 )式は更に次の様になる。. f~ωゆ=兵・ 47f ・ 4 山ω d n . v - v. と Ldω(2505) L . 7 f. =V.. -V-. 我々は今まで、固体は弾性連続体であるものとして 2 5 0 1 )式で nf+nyz+nfは幾ら 議論して来た。故に、 (. e ' k ， ( x +L )= e ' k . x. ( 2 4 9 2 ). e 政' ， ( y + L )=e ' k ， y. ( 2 4 9 3 ). でも大きく出来て、波長 λは幾らでも小さくする事が. ( 2 4 9 4 ). 出来た。従って、可能な振動モードの数は無限に有り. eι( ， +L)= e， k " " が成り立つ。故に、. 得る。しかし、実際の固体結品は決して連続体ではな. ' 2叫 が =e l ' e =1. ( 2 4 9 5 ). い。それは原子共から出来ている。故に、今議論して. ' 2. り =e ""y =1 e. ( 2 4 9 6 ). いる固体モデルでは固体は原子の位置に相当するとこ. 2111ry=1 e ' k ， L=e'. ( 2 4 9 7 ). ろの飛び飛びの位置にある質点から出来ている。故に、. である。ここで、 n x= : 11 ， : 1 : 2 ， : 1 :3 ， . . . etc.である。これ. 粒子問距離よりも短い波長に対しては原子共の変位は. より我々は、許される kの値として、. 無意味になる。他方、 N 個の同種粒子からなる固体の. k=~竺 n • L. ( 2 4 9 8 ). お. k =27f y L ..y. ( 2 4 9 9 ). 格子振動の基準モードの総数は 3Nである。 この事から、デパイ ( D e b y e )は、①結品の格子振動の 取る総ての可能な振動モードに対して連続体モデ、ルを 用いる事が出来る事と、②連続体モデ、/レの振動モード を、低振動数側(長波長側)から採用して全数が 3Nに.
(16) 134. 近畿大学工学部研究報告. N o . 4 3. なった所で切断して、振動モードに全数が 3 Nの制限. ( T λ 学的諸量との関係は、系の分配関数 Z. を課す事を、仮定した。. れば総て求まる。. v )が分か. 我々は先程 ( 2 4 8 3 )式の下辺りで、低温において固体. こうして、我々は次式を持つ。. わ い 怜 =3N. ( 2 5 0 6 ). は相 E作用のないフオノン(音子)量子の気体を入れる 容器と看倣す事が出来ると述べた。こうして、我々は. ここで、 ω醐は最大角振動数である。 ( 2 5 0 5 )式を代入. いま、フォノン(音子)共からなる量子気体に対する分. すると次の様になる。. p a r t i t i o nf u n c t i o n )Z ( T λ 配関数 (. ? f い か= ? y・ 表 示ω 3V ωr =-ー一?ーァ U ω 2trγi. 低温での固体の平衡での諸性質を計算する。尚、ここ での Nは原子数では無くて、フォノン(音子)量子共の 数 N=h}である。. 今 ・. aω. N 個の同種原子共から成る三次元結品の格子振動. 3. ‘ ﹂ 吋11111. ﹁111111tE﹄. 1 ) ， ( 2 1 ( 3 )で識別される独 は、波数 kと分極モードい)=(. ho. ω l一 3. 3. 戸縄. -今L. -. ペ. 7 v p3E 一方. 一 一. =之九 t r V. 立した基準モードの調和振動子からなる。そして、そ れ故に、特徴的角振動数を持つフォノン(音子)の 3N. =3N. 3. L .. ( 2 5 0 7 ). r. ø~ =( v 6 t r ; N. 個の異なる型が在る。そして、我々は今、それ等を ω心) い) = ( 1 1 ( 2 1 ( 3 )の代わりに、. ω l ' ω 2 '… ，ω "… ， ω3N. 故に、最大角振動数 ω阻 は. Mλ. [ ( 2 4 8 3 )式] ( 2 5 1 2 ). と書く。結晶の基底状態付近の量子状態は各角振動数 ( 2 5 0 8 ). aに存在するフォノン(音子)量子の数を数え モード ω る事によって指定できる。もしも、 i番目の型の角振 動数モードに n， 個のフォノン(音子)共が在るならば、. ( 2 5 0 9 ). 結晶のその状態のエネルギーは. L n ， n ωt. 一. 小S. 最. =長 血岐. V. M. 皿で の. ω. る あ で. V7 皿J. である。文、. v )を計算して、. ( 2 5 1 3 ). E{ n ， } =. 1 = 1. である。分配関数 Z恥， n (i v )は、次の様に計算される。. 仏. 2 竺=一三竺一一. 伴y. ωm. (4 Vi 3 r・ー￨起粒子間距離程度 = 1 2 .t ¥3 N). r t. Z ( T ， { n i i v ) = e古. [(25ω 式 ] 凶4 ). r t. ( 2 5 1 5 ). ( r t 古 川 崎 ) J. ( 2 5 1 6 ). e. ( 2 5 1 7 ). E削. 1~. ー-fr~ゆ叫. ek.T~. =. ( 2 5 1 0 ). となり、 λmよりも短い波長に対しては、原子共の変 位の波が無意味になるので、合理的判定条件である。 これから、しばらくの聞は前節(~) 3 3の ( 2 3 5 8 )式辺. りから始まる議論の進め方に類似した仕方で、ここで =初. の議論を進める。 再び、以前の節 (~)9. ノニカノレ. 量子統計力学の正準集団(カ. アンサンプル) 中の ( 6 1 3 )式、又は、以前. 0 正準集団で扱かう理想気体 の節(~) 3. I T L e. = =. 中の(18 5 9 ). ( 2 5 1 8 ). k . T. t 軍 1n =O. ところで、 ( 2 3 6 3 )式でも述べた様に、 aが初項で rが. 式をもう一度書く。. L e. Z ( T ， N， v )=. k . T. k . T. [( 6 1 3 )式、(18 5 9 )式 、( 2 3 8 5 )式] ( 2 5 1 1 ). Z(T λv )は正準集団(カノニカル アンサンプル)の. 公比、lrIく Iのとき、無限等比級数の和は. 。 +ar+ar +ar + …=~ 1-r 2. 3. [ ( 2 3 6 3 )式]. ( 2 5 1 9 ). p a r t it i o nf u n c t i o n，状態和 s u m 量子力学的分配関数 ( overs t a t e s )である。量子統計力学の正準集団と熱力. である。故に、公比が e -k~T""'1 であるところの無限等比.
(17) 多体問題とグリーン関数との関係の研究. グリーン関数と多体問題 ( 1 2 )- <量子統計力学 4>. 利判J 1 1. 級数の和を含む ( 2 5 1 8 )式は、次の様になる。. n M 日H. Z. 4. ( 2 5 2 0 ). n k s T叫 ( 1 ' ¥ =knT ・ーァ一一・|ー -~-I -~1tω， l k DTJ. 量子統計力学の正準集団(カ. 再び、以前の節 (~)9. 1 3 5. l-e' 叩. 6 2 3 )式 、( 6 2 4 )式 、( 6 2 4 ) ノニカルアンサンプ/レ) の (. 、. 式、 (626) 式、又は、節(~) 3 0 正準集団で扱かう理想. 6 0 )式、(18 61 ) 式 、 ( 1 8 6 2 )式、(18 6 3 )式を 気体の(18. 眺めよう。それぞれがヘルムホルツの自由エネルギF 、内部エネルギー U 、圧力 P 、エントロピー S を. o g . Zを計算する必 与える式である。いずれも最初に l 要がある。 ( 2 5 2 0 )式から、 3N. l o g .Z=-~)og.ll-e. ( 2 6 2 6 ). ム 1141， ks T -1 e. である。 ( 6 2 4 )式[( 18 61)式]より、温度 T、体積 Y、原子数 N. の三次元結晶系の格子振動のフォノン(音子)量子共に -~h." ~ k.T '. I. 起因する、系の内部エネルギー U は、次式で計算され ( 2 5 21 ). る 。 ( 2 5 2 1 )式を代入する。. U=kBT21logeZ θT. である。 6 5 )式によれば、スピンを持たないボース粒子共 ( 17. [( 6 2 4 )式、(18 6 1 )式] ( 2 5 2 7 ). の平均占有数は、. ， n () =τ 十 一. [ ( 1 7 6拭 、. ー 一 ek.T -1. I3N. 。 . ' 1. (. _1 h " "~. I. =kBTZL{ー デ log.ll-ek.T .I ト ' T I討つ I J. ( 2 3 6 6 )式] ( 2 5 2 2 ). ( 2 5 2 8 ). ι. 3N. ks T叫 f ; r . ョ. h. _n. =-knT2) '= = 一 一 一 . ニ " ' ， ァ ' 七fl-e吋 叫 んT. である。ここで、 pは一自由粒子近似の一自由粒子(フ オノン量子)の運動量量子数 p=肱、 kはフォノンの. D. ( 2 4 9 8 )式乃至 ( 2 5 0 0 )式]であるが、 pは 波数ベクトル [. ι -・. 3N. =玄「. 今は、エネルギー準位 Bp を識別しているに過ぎない。. t4e 石F n e ，l. 2 4 8 3 )式の角振動数引のフォノン(音子) 故に、それは (. ( 2 5 2 9 ). I i C i J ，. = 乞( n ， ) I iωI. が持つエネルギー B， = I i 引 の tに相当すると考えて良. ( 2 5 3 0 ). [( 2 5 2 5 )式を利用した。]. い。故に、. これは期待される結果である。. ( n ) ，= - 1手-. ( 2 5 2 3 ). ?でごR叫. e " . 1 -1. ( 2 3 7 3 )式乃至 ( 2 3 7 5 )式をもう一度書く。次の計算を. してみよう。. である。フォノン(音子)量子はフォノン(音子)共に対. β5--. 中で消える事が出来るので、フォノン(音子)系の化学 ポテンシャルは Oである。 μ=0. ( 2 5 2 4 ). ( 2 5 2 3 )式が次の様に書ける事は、実際に計算して確か. お = 話 三 l o g .Z. 事実、計算してみると、. -kTL10 宮 Z B. θ 1 ' i 1ω . 1. ~. と置く。. 。=ー」 7dT kBT ・. [( 2 3 7 4 )式] ( 2 5 3 2 ). である。故に、. 一 ー ヱ-log.Z. める事が出来る。. ( n ) ，=-kBT. [( 2 3 7 3 )式] ( 2 5 31 ). 九T. してフオノン真空の容器と看倣される事のできる固体. -ilogeZ= ( 2 5 2 5 ). os ~.ー土て ôT. 九T'. =kBT24logeZ oT. [ ( 2 3 7 5 )式] ( 2 5 3 3 ). =u [( 6 2 4 )式、(18 61 ) 式 、 ( 2 5 2 7 )式] ( 2 5 3 4 ). である。故に、系の内部エネルギー U は、次の様に書.
(18) 1 3 6. No. 4 3. 近畿大学工学部研究報告. く事ができる。. す og.Z=kT !og.Z=2 : ( ゅ の 会. ( 6 ; N ]. a. B. γωmax( 古. v=ム. 3N. 2. u=. y. ( 2 5 4 6 ). 1 &. ( 2 5 4 8 ). e '1 -. ( 2 5 4 8 )式を眺めて、我々はここで次式を定義する。. か ) 三 訂 正14tt. 式]の内部エネノレギー U を次の様に書く事ができる。. r. ( t zω m a x Y. を得る。. であった。こうして、我々は ( 2 5 3 5 )式[( 2 5 2 9 )式 、( 2 5 3 0 ). U=o. d. イ 竿J. u 並立Y 7.1LA N. [( 2 5 0 8 )式] ( 2 5 3 7 ). =. ( 2 5 4 7 ). である。こうして、. 課す事から得られる最大角振動数 ω加 は. ( i ) m a x. L f 一山 レ '7160. 並 泣 kriLd かω ' m a x y e'-1-'. =N.. であった。又、 ( 2 5 0 8 )式によれば格子振動のデパイ. ( D e b y e )モデルに従い振動モードに全数 3Nの制限を. z f. ( 2刷. 入一'一明 代一 V4一 〆O げ吋リ一・. 'h. 基準モードの数 f ( ω ，阿ωは 、. f~ω怜 =v.2二dω[ ( 2 制式] Llrv. の京一}. 一今. ( 2 5 0 5 )式によると、角振動数 ωとω+d ω ， の間にある. 式 3ニ 向 上一作. Z1eZF叫 ー l. で= U の. ( 2 5 3 5 ). る あ で. t ω， -~ .z. f~ω)号→ω(2538) ， -1. e kT. ( 2 5 4 9 ). D. 関 数 珂x )はデパイ関数 ( D e b y ef u n c ti o n )と呼ばれる ものである。デ、パイ関数の級数展開表示を求めよう。 最初に、. 3V ωT. = ー で で しω2ーで一一一 d ω. ( 2 5 3 9 ). ， .. さて、ここで、変数変換 ω→t を行なう。. 1 1， 1， 1 2 1 3 1. e '= 1 + " : ' t + " : " t "+ " : " t '+・ ・ ・. 2zvieEiFM-1. ( 2 5 5 0 ). であるので、. h ω. ( 2 5 4 0 ). んT と置くと、. ( 2 5 4 1 ). dt=1-dω んT. 3. l. 十i. t 2 +...)fdt. =! t X r{ 1. ( 2 5 51 ). である。そして、 k n Tt ω=_ D _ h. ( 2 5 4 2 ). n T 向=k す d t. ( 2 5 4 3 ). ωー =bEt-. z t叫. J .. t ーω 叫 んz T. t …. である。ところで、一般的二項定理によると、. nが任意の実数であるとき、次式が成立する。. t. ( 1+ t ) "=1+n+ 生ゴレ+均一 2 !. ( 2 5 4 4 ). 明 白. n凪. l X n 2 l t 3. + . . . + 均 一1 ) か 一川l t， . . r. であるので、 ( 2 5 3 9 )式は次の様に変形する。 故に、. . (knT i. r ' ( r'-1 . ¥t z) e. u=一ーで = 3~ _ II ー主~t kBTtI・ . J 品 k BT ー と一一 一一乙i ・_ ι -at ~. ( 寸 十+ . . ) f 十 i+ . ) t 2. =1. t. +. ¥1112ノ. 2. & 勾 3. ++. p. 一司. et. 1， 70170 ‘ ++. 今，.. e ，.. 'I L e a f --L1一 4 x+. ト一一. 41--. 一. 一2. EA. 二 ﹂2 f 16 一. --e. 配一 11一. ( 2 5 4 5 ). ・ . ， =. ( 2 5 3 7 )式より、. . J. z t. +1. =笠伴rT~二dt 2 1 & " :t z ' v '~ e ' 1. ( 2 5 5 2 ). r !. 、 今 月I-U-tl. 2 1 &V. l t I<1で.
(19) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題 ( 1 2 )ー〈量子統計力学 4). 1 =. 1--(+一 一 r+・ ・ ・ ヲ. J te ' d t=[ e tt J ( e '. 3 t2 } t t 3. 3. ( 2 5 5 3 ). イ. 次に、 x>>lのときを考える。積分を次の様に 2つ. 右辺の第一項の積分については、前節(~). X. x3 3 x2 6 x 6 e e e e ". = 一 一 + 一 一 一 + ー 一 一 + 一 一. ( 2 5 5 6 ). -1. X. 6 [ e ' t =手+子手 +. の部分に分けて積分する。 忌. ノ. を得る。. X. 33の ( 2 4 0 8 ). X. ( 2 5 6 0 ). X. 2 J te -' d t廿eイl ( 十 河 )dt. 式乃至 ( 2 4 1 0 )式を眺める。 ( 2 4 0 9 )式で、 p=lであるの. 3. et 白舎，. 1131PIl}J. 、. 々JM. Ju. •. BE﹃1lJ ノ. e. 、 、t ，2. /I1111. I一 2. ， ， Ed x ωa 、 、. 2 ， z. ∞ ﹂x -lll. ﹁144ih--L. -X. -. l一 2 一 一. 2 1 r r i ( 古 ). =州. •. しuf 2 4 ， .. t=. 2. ov Je--. -X. 同 い 〈 子r 主. ∞mas--dX 、 ‘2 . o 3 一 ， 一 ペ ノ ﹄ + 3-2 -L X 一 e ril2 - 3一 + I一 2 3-2 Xて 一 一 e. で 、. 2. x 3 x 6 = 一 一 + ー 一 一 + 一 一x+6I宇e，-'dt e e e 3. Oe--1. ﹄. ( 2 5 5 5 ). X. o巴 -1. 今. =手与斗イートヤ} t. に対して、. 1 4 d t = 1 4 4 t 1 4 プ. s ，. L. を得る。 ( 2 5 5 4 )式を ( 2 5 4 9 )式へ代入する。我々は xくく l 3 Dか)=l-~x+ ーが+ 8 20. Btbl l 、lt Lup. づ+手ゆ'ゆ. (2554). 60. -. 8. e. 3. 、 iト. . . 3 1 ..4. 1 1 =x . --X'+ ー~X5+ …. aEd x ∞p，. •. 内 ， . t. ~. ). p-. 1，. 1 2. 包. t ~. 今‘d. 1. 2. =1 1("--t'+ 一-r+・ ・ ・ ' a t. bib. ). 、. } ( 今. 1 2. ﹁ rl. 2. t rE11411、. ~. f ， d. It211-~t+~t2. ~. + 3-2 x -e. e '-1. 一 一. ~. 3 勾. j 3 j( 1 1 z+…)Idt -t '-d t=. +. を得る。 ( 2 5 5 3 )式を ( 2 5 51)式へ代入する。. ヴ ・ l ρ 4 ，. apa--gex. 3 xe. 1 2. ， 一 一 一. 2. 1 3 7. = j f L寸f k + j i e 2 g t h t となる。他方、右辺の第二項の積分は、 x>>lなので、. i z L I d = i E 7 d. 十云十云4 十 l ( 十 xtI. t d. 、 ‘ 。. LW. O L ・. + I. J s -. ， . ，&. t r 'ノ LP 、. ρ b. 14. l ' ' ' t ， 、 ‘ E. 44. NN. X. h. X. 1 x 3 x 3 3r1， _. 1 ・ ー で ー + ・ ー ァ + ・ ー ァ + 一 I--e_ .I x 2 e " 4 e " 4 e ' 4L2 J x 3. LV. det. ( 2 5 5 8 ). f f ( t) g ( t ) d t=[ F ( t ) g ( t ) ] -f Fぬ' ( t ) d t. 2. ∞. X. 2. x 3 x 3 x 3 = 一 ・ ー ァ + ・ ー ァ + 一 ・ 一 ; ; + 一 ・ ァ 2 x 2 e . 4 e " x 4 e ' " 8ー e 3. z x. となる。部分積分の公式. ( 2 5 61 ). ( 2 5 6 0 )式と ( 2 5 61)式を ( 2 5 5 8 )式へ代入する。次式を得 ( 2 5 5 9 ). を何回も繰り返し使用する。又、数学の不定形の極限 を求めるド・ロヒ。タル ( L 'H o s p it al)の定理を何回も適 用する。ド・ロヒ。タルの定理については以前の節(~) 3 1. の( 1 9 5 0 )式辺りの定理 1と定理 2で既に説明している。 例えば、次の様である。. 2. 3下 x 3 x 3 ・ ー で ー + ・ で ー + ・ ー → : : ' I e U d t xx 2 e ' 4ー e ' 4 e < x ' 4 J. z. e ， .. ， 3. ea. +. 6'a ，. E. 3. d ，. =. ∞ρa'aJ. ipd @pa-，d z x a'EEex t ， 、 ，. 一 一. 3. ' ) d t }. る 。. h ちかか. 2 +3x +6x+6t. (~X3 1..3+ . 3. . 2 .3 . . . 3 2+ 2 + 1 = x = x + . : : .t-2 1 e x+…. ¥2. 4. 4. 81. ( 2 5 6 2 ). 結局、 x>>lのとき、 ( 2 5 5 6 )式は次の様に書ける。.
(20) 1 3 8. 近畿大学工学部研究報告. jt 3 l ~. a. ~t=":'-' 1T 4. e '-1. 1 5. x +x'e+・. ( 2 5 6 3 ). N O . 4 3. 叶l i 手ボ手J + . l. T>>6D. 2 5 4 9 )式へ代入する。我々は x>>1に対し ( 2 5 6 3 )式を (. ( 2 5 7 2 ). て 、. 叶4 ( ￡ 3 )十 字} l. 十(古川 = 与 ・ 十O ( e -. D ( x ). ex+) ( 2 5 6 4 ). X. ). T<<6D. [( 2 5 6 5 )式を利用した。]. 系の定積熱容量 Cvは. を得る。 d e b y e 最後に、まとめて置こう。デパイ関数 (. f u n c t i o n )に対して、次の展開式が成り立つ。. くく1. 20. Dか ) =. ( 2 5 6 5 ). 与十 oやす. イ 明 言. = n o. ¥T I. ( 2 5 6 6 ). max. Cv _ 1 (δUi Nk . δT)v B Nk B¥. =叫泣〕. x>>l. デ、パイ温度 6D を次式によって定義する。. B6D. ( 2 5 7 3 ). δTL. から求まる。故に、 (2571)式より、. 1 1x 2 . x 一3 x+一 +… 8. = ( 笠l. Cv. dT. = 3 D I到 +3Tf?Aa T". 斗 d (竺 ¥T I. . ¥T ). ( 2 5 7 4 ). となる。個々の項を初めに計算して置こう。. [( 2 5 0 8 )式を使用した。]. ( 2 5 6 5 )式より、. 故に、. =生皿 =i 1 V (生笠i 3. 6. kB. k B~. 1-~ 生」(手 . )'. ( 2 5 6 7 ). 20lT. 8T. V ). r+. である。 6D は 3N個の基準モード中で最もエネルギー. r六). ( 2 5 4 8 )式は次の様に書ける。. ゴ ( 手. 9 ( kT ) 4 k1 ' (3 一=ご史ι~. r -.'-dt. [ ( 2 5 4 8 )式] ( 2 5 6 8 ). D. ( n o m a x Y~. N.. e'-1. 勾. ， ; r. k. + O (. こ 聞よ 1 . .. T. >>1. である。故に、 .3. D ( h ) ie l. =3knT・ 一一二ーで lー ニ-dt. ( 2 5 6 9 ). く く 生 止 ( 手J T + '生. 2. 3. 8 T 20lT )'. k B T. ・ ベ で す ). BT =3k. [ ( 2 5 4 9 )式を利用した。]. ・. =3kT D I生) ¥T I D. l. ( 2 5 7 5 ). の大きな基準振動モードに対応する温度である。. U. 皇 く く. 'T. [( 2 5 6 7 )式を利用した。]. l. ( 2 5 7 6 ) ( 2 5 7 0 ). r. 手 ) 笠♀ 刻字 十 2 5 7 5 )式を微分して、 である。次に、 (. T. >>1.
(21) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題 ( 1 2 )ー(量子統計力学 4>. ; + 占 ( 手 ) +. 6n くく. T. l. て1111/. 芝生 T. 一，d. 一fill-¥. 4. ( 2 5 7 7 ). r. 判手 十 手 ). 1 3 9. 図 4に結品の格子振動のデ、パイ (Debye)理論の定積 熱容量 Cvの温度依存性を示す。それは実験結果と良 く一致している。 ( 2 5 7 9 )式より、低温 ( Tくく 6D ) では格子振動の定 積熱容量 Cvは T3 に比例して Oへ近付く事が分かる。. 空♀. T. >>1. そして、それは熱力学第三法則を証明している。次に、 温 度 T が デ パ イ 温 度 6D よ り も 十 分 に 大 き い. (T>>6D ) とき、格子振動の定積熱容量 Cvは. である。更に、. Cv; : ; ; 3 N k B. ( d 予)T 作) T. ; 手 《 手J +. ( 2 5 8 0 ). となる事が分かる。原子数 N がアボガドロ数 NA のと. 2. が気体定数である。故にこのときに きには、 R=NAk B ， 空♀くく l. T. r. は、固体の定積モル比熱は Cv; : ; ; 3 R. ( 2 5 81 ). となり、デュロン・プティ (Dulong-Petit )の法則が成. ( 2 5 7 8 ). 刊 号 十刊号>> 1. り立つ。デ、ユロン・プティの法則は本来、室温で固体 に対して実験的に見出された経験則である。そこで、 我々はここで、銅 Cuと鉄 Feとアルミニューム Alのデ パイ温度 6D を簡単に見積って置く。 ¥1tilt-/. v. 山 一. 川. f l lk. 様に得る。. D. する。こうして、我々は温度 Tにおける系の定積熱容 量C vの高温と低温での振る舞いを、それぞれ、次の. 九 h一. @. である。次に、 ( 2 5 7 6 )式と ( 2 5 7 8 )式を ( 2 5 7 4 )式へ代入. [( 2 5 6 7 )式] ( 2 5 81 ) '. 34 であった。 1 i=1 .055x1 0 Js，ん=1.381xl O -23 J /K，. ¥ 寸 ( 手). T>>6D. F勺一肌川. ( 2 5 7 9 ). 子削 十 手 ) 3. … D. NA =6.022xl023 1 /m o lである。音速 vの値のデーター. は書物によってまちまちである。厳密には縦波と横波 とでは随分値が異なり、一般的には縦波の方が横波よ りも速い。(東京天文台編纂「理科年表 J 音. 種々の. 物質中の音速度)又、同じ縦波でも無限固体と棒状固 森 体では値が異なる。ここでは、「物理学コース 1J (. c一向. 田章、大貫裕司、佐藤岩男、福田義一. 共著学術図. 書出版社)の p194の表の値を単純に採用した。故に、 銅 Cu. 原子量 6 3 . 5 5，密度 8 . 9 6g /cm3 ( 2 0 " ( ; )， 1m o lの質量 6 3 . 5 5g， 1m o lの体積. 31ー 一 一 ー 一 一 一 ー ー ー ー ー ー. 部. . 5 5 “ v =一683 一一一=7 . 0 9 3cm =7 . 0 9 3 x1 0 -m . 9 6 3. 6. 3. 3 音速 v=3.560x1 0 m/s( 2 0 " ( ; ). T3. T D. 図4. T. 1 .055xl0-34 _ __~ _~， (6x3. 142x6.022x1023 )3 6D =一一一一十 x 3 . 5 6 0 x l 0 ' x !~'^~~-'::~66 2 3 1 .381xl O - '-'---'-7 .093xl O =466K=1 9 3" ( ;. 鉄 Fe. ( 2 5 8 2 ). 原子量 5 5 . 8 5，密度7.87g/cm3 ( 2 0 " ( ; )，.
(22) 140. 近畿大学工学部研究報告. 1molの質量 5 5 . 8 5g， 1molの体積. のための場の量子論I，. 5 5 . 8 5 _~~_ ， _~~_ .~_< 一一一一=7.097cm3 =7.097xlO-6m3 7 . 8 7. 音 速 v=5 .130x1 0. r r " (培風館). 4 ) K.Huang 著:“ Statistical Mechanics". v =. 3 阻/. N O . 4 3. ( J o h n. l n c ) first e d ition and second Wiley &Sons， edition. s( 2 0 " ( ; ). 5 ) A . M .Zagoskin著:“QuantumTheoryofMany-Body. l . 055x1 0 - _ ._~ .~， (6x3.14 x6.022x103 I 3 一 一 一一一一 : : x 5 . 1 3 0 xl O 'x l' . . . '. . . _ . . . 34. D. 2. l . 381x1 0 -. 2. 7 . 0 9 7x1 0 -. 23. 0. ( 2 5 8 3 ). =671K=398" ( ;. Systems". ( S p r i g e r ). 6 ) シッフ著、井上健訳:. “新版量子力学上、下". (吉岡書庖) 7 ) 西川恭治、森弘之著; 統計物理学(朝倉書庖). アルミニューム Al 原子量 2 6 . 9 8，密度 2 . 7 0g/cm3 ( 2 0 " ( ; )， 1molの質量 2 6 . 9 8g， 1molの体積. 量子力学 1 (改訂新版) (東京図書). 2 6 . 9 8 ， _ ___ ._-" v =一一一 =9.993c m '=9 . 9 9 3 x1 0 m ~ ~~_. -0. 2 . 7 0. 9 ) ランダウ・リフシッツ著、小林秋男、小川岩雄、. 3. 富永五郎、浜聞達二、横田伊佐秋訳:. 3. 1 .055xlO-34 _.~~ . _ ， (6x3.142x6.022x1023 ¥3 D= x 5 . 1 0 0 x l O 'xl -"-'~'^~~-'::~6"'l . 381x1 0 -23 9 . 9 9 3 x1 0 -0. 一一一: : _ 7 1. 1 0 )U .Fano: ReviewsofModernPhysics74vo129No1. ( 19 5 5 ) 1 1 ) 小田恒孝著:. 統計力学(裳華房). ( 2 5 8 4 ). この論文は拙著原稿“多体問題とグリーン関数との. である。 我々の上述の簡単な見積もりは、比較的高いデ、パイ. 関係の研究. 高等量子力学入門 1'¥内容 目次. 温度値を与えている。 J.de Launay in Solid State Physics，edited by. はじめに. F .SeitzandD . Turnbull (AcademicPress，NewYORK，. 第 1章. 1 9 5 6 )，Vol.2，p.246によれば、固体のデパイ温度 E >D. は、(尚、括弧内の数値は「東京天文台編纂「理科年表 j 熱. “統計物. 理学第 3版上" (岩波書庖). 音 速 v=5 .100x1 0 m/s( 2 0 " ( ; ). =595K=322" ( ;. 8 ) ランダウ・リフシッツ著、佐々木健、好村揖洋訳:. ~1. 1. l 3 94 K( 4 2 8 K )，銀 Ag 215K(225K)，金 Au ムA 1 0 5 K )，亜鉛 Zn 234K(327K)， 170K( 1 6 5 K )，鉛 Pb 88K(. ニッケル N i 375K( 4 5 0 K )，塩化カリウム K C l 230K( 2 3 5 K )，塩化ナトリウム NaCl 3 0 8 K ( 3 2 1 K ) 等々. となっている。 国体が非常に高温になったときには、格子は融ける ので、我々のフォノン(音子)共の相互作用を考えない. 序言. *~1. 2. デパイの特性温度 J 記載の値である。). 銅 Cu 315K(343K)，鉄 Fe 420K( 4 6 7 K )，アルミニュー. フェルミオン系の量子力学 状態関数の数表示表現と生成・消滅演算子の 導入，ならびに生成・消滅演算子の交換関係、. *~1. 3. ハミルトニアンを生成・消滅演算子を用いて 記述する事. *~ 1.4 ハミノレトニアンの運動量表示，フェルミ真空， フェルミ自由電子・正孔系の記述. *~ 1.5 場の演算子の導入と交換関係 *~ 1.6 ハミルトニアンを場の演算子を用いて記述 する事. *~ 1.7. 運動量表示での場の演算子とハミルトニア. 理組気体モデルは成り立たなくなる。格子の融解は格 子中の原子問カが厳密に調和力でないと言う事実によ るものである。フォノン(音子)共は互いに相互作用す る。そして、この相互作用は非常な高温で強くなる。. ンの記述 *~1. 8. シュレディンガー表示の量子力学. *~ 1.9 ハイゼンベルグ表示の量子力学とハイゼン ベルグの運動方程式. *~ 1.10ハイゼンベルグ表示での生成・消蹴演算子と. 参考文献. 場の演算子，そして，それらの交換関係，そ. 1 ) J.M.Ziman著:“ElementsofAdvancedQuantum Theory". (Cambrigde Universit yP r e s s ). 2 ) 高野文彦事事:. “新物理学シリーズ 1 8 多体問題". (培風館). 3 ) 高橋康著:. “新物理学シリーズ 1 6物性研究者. れから、ハミノレトニアンの表現，第 2量子化 参考文献 第 2章. 高等量子力学における摂動理論. *~ 2.1 ハイゼンベルグ表示 *~ 2.2 相互作用表示.
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