多体問題とグリーン関数との関係の研究

近畿大学工学部研究報告 No. 37， 2003年，pp.179‑195 Research Reports of the School of Engineering， 

Kinki University No. 37， 2003， pp. 179・195

多体問題とグリーン関数との関係の研究

一高等量子力学における摂動理論 ( 11)一

橋爪邦夫*、林田秀人**

S t u d i e s  o f r e l a t i o n s  between many‑body p r o b l e m s   and Green f u n c t i o n s  

‑ P e r t u r b a t i o n  TheoIY inAdvanced Quantum M e c h a n i c s  ( 1 1 ト

Kunio HASHIZUME and  日.d e t oHAYASHIDA 

Synopsis 

In也ispaper next subj関 白arediscus舘d _~ 28. Calculating a value of definite血加gralof real variable function by  applying  thωrrem of residue  of integral  of 

∞

mplex function.  ~ 29. Preparations  for卸 価ngup momentum.  repre悶 ltati.onof equati.on ofFeynman diagram.  _~ 30. Momentum. repre舵nta姐on.

~28 実変数関数の定積分の値を複素積分の留数の定理 を応用して求める事

実変数関数の定積分の値を複素積分の留数の定理を応用 して求める仕方は、例えば次の書物「自燃ヰ学者のための 数 学 概 論 牒I版j寺沢寛一著倍波書庖)中のpp191....195

に、又「理工系の数学入門コース5複素関数l表 実 著 倍 波書庖)中のpp83‑88に実例を以って、色々なタイプの関 数について丁寧な解説がなされている。我々も又この論文 のシリーズの中の fグ リ ー ン 関 数 と 多 体 問 題 包 目 次の第 4 章 ~4.2 1電子グリーン関数(1))J (:近畿大学 工学割弱椀報告No30pp181‑199平成8年12月)中の pp185‑186において、次のような特別の型の関数について それを論じている。

*近畿大学工学部建築学科

柑海上保安大学校

J f ゆ肱ゐ

⁽¹⁴²³⁾ 

伽 α>0 

l

上掲論文中の(176)刻 for  a<O  [上掲論文中の(17カ刻 ここにxは実数値の変数であり、関数f{x)は複素数の値 を取る関数である。上掲の論文中ではそこで得られた一 樹怜結果を次の形の実変数Eの関数の定積剣直を求める ために使用している。[上掲論文中の(181)謁

1 

^{r; ̲ ;  I.;...} 

^{/ ' ; 1}  

^{E dE  (1必必}

ー∞E‑E_n^平ie (1423)式との対応は

x 付 E (1425) 

f{x) 仲 f{E)= T"'  (1426)i  

E‑

ι

^平ie

Department of Architecture， Schω1 of Engineering 

阻nkiUniversity 

Japan Coast Guard Academy  179 

180  近畿大学工学部研究報告 No.37 

a  モ今 (1427)  h 

である。実変数関数の定積分(1必必式の計算結果は、

乙

二

:>0に対しては上掲論文中の(184)式と(185)式に与え h 

ら れ て い る 。 又 午 くOに 対 し て は 向 上 論 文 抑 制 式 と(185)式に与えられている。

この節(~)では先に挙げた 2 つの書物(寺沢寛一著と 表実著)Jの中から複素関数の積分に関わる必要な事柄を抜

き書きして、複素関数の積分について思い出しておく事に する。

(1)複素関数積分の定義

複素平面 (z平 面 ) 上 前 轍 な 複 素 轍

f ( z )

と、 z平面 内に異なる2点A，Bが与えられたとき、その 2点A，B  を結ぶ有限な長さの曲線Cに沿っての線積分を実関数の場 合併繍分と同様に定義し、それを複素轍

f ( z )

の曲線C に沿ってのAから Bまでの定積分とする。

Jf(z)位 =limLf~ι)L\zk

⁽¹⁴²⁸⁾ 

ここで、 L¥zk

= 

^{Zk ‑ Zk‑1}  、

4

はZkとZk‑1の聞のZの或 る値である。(図1参照)

虚軸

y 

A 

C 曲線

図1

B 

X  実軸

(2)  Cauchy (コーシー)の定理(文はCauchyの積分定 酪

複素関数

f ( z )

がz平面上の閉曲線Cに固まれる領域及 びC上で一価正則ならば、次の定理が成立している。

イ / ( z 炉

^{=0 (1429)} 

これをCauchyの定理、又はCauchyの積分定理と言う。

閉曲線に沿って1周り積分する事を周囲積分と言う。

(3)  Cauchyの積分表示(又はCauchyの積分1，..'‑jむ 関数

f ( z )

が正則である領域内に、伍意の閉曲線Cを描く。

zがこの曲線内の或る定まった点であるとするとき、

f ( z )

の値は次式で与えられる。

f ( z )   =ム4

^f

^ω ~

^(1必

ω

L.m e w‑z 

wは閉曲線上に在り、

f (

りは閉曲線上のその点での関数 値である。但し、勝士の方向は反時計方向(正方向)に行 なうものとする。(図2参照)

C 

図 2

(4)留数の定義

複 素 轍

f ( z )

は閉曲線Cに固まれた領域中でz

= 

Zoを 除いて正則で、z= Zoでm位の極を持つものとする。

f ( z )

をz

= 

Zoの周りでLaurent(ローラン)展開すると、

f ( z )

はz。の近傍で常に次の形に表わす事が出来る。

f ( z )   =ー壬

ι + α ‑(m‑::1)• +…+ 

，  a ̲

^1 ¥ + 

h ( z )  

か ‑ z o r.  ( z ‑ z o r ‑

¹'  •

( z ‑ z o )  

(1431)  但し、

h ( z )  

=α

。

+α'l(Z‑ZO)+α'2(Z‑ZOY+…  (1432)  α'̲m:F‑0  m註 ( 1433)

h ( z )

はCが囲む械で正則な関数である。(143])式の閉曲 線Cの周りでの周回積分を取ろう。直接計算する事により、

イ / ( z )

^{ゐ=2扇 町 (1必必}

C 

となる。こうして、係数の内乱1のみが留まるので、 αーIを 関数

f ( z )

の

z=z

。 に お け る 留 数 同due)と名付ける。

αー1== Re 

s [ f ( z  

)]z=zo == Re.宅

r ( z o )

(143ゆ と書く。留数は

α‑1 

=  R e s [ f ( z 河 内 =‑Lli4{( ( m

ー

1 ) . . . . .

dz  ^ト

z o rf ( z ) }  

Z 

→

Zo  (1436) 

多体問題とグリーン関数との関係の研究 ー高等量子力学における摂動理論 (11)一

より求まる。例えば、 f(z)がz=z。で^， 1位の極を持つなら ばm=1であるので、

ι 1  

= Re s[f(z 

) ] 同

=1加{(z‑zo)f(z)} (143吟

z~zo

である。

(5)留数の定理

轍 f(z)が閉曲線Cの内部に特異点ZI'Z2'....zrを持ち、

これ等の点を除いてC内及びC上で正則であるとき、次式 が成立する。

イ

^/(z

} d z

^= 2mLRes[f(z )]Z=  (1438)  ここで改めて(1423)式と(1424)式の結果を上掲の以前の 論文の中から考察してみよう。

複素変数Z及び定数に嫡繰の三つの演算を有限界施し て得られる関数時)をzの有理整関数と言う。そして、そ の一貴膨は次の形をしてしも。

R(z) 

= 

Ao + ~z+ ~Z2 +…+ A"zn  (1439)  但し、 Ao，~， A2' …，A"は定数、 n は正の整数である。(1439) 式はn次の多項式 (zのn次の有理整関委めを構成してい る。

それぞれがn次及び m次の次の2個の有理整関数 p(zlQ(z)があるものとする。

p(z) 

= 

Bo + B}z + B2z2 +

…

+ Bnzn  _(1必0)

Q(z) = C_o + C(z + C2Z2 +・・十Cmzm _(144U  p(ztQ(z)を使って次式で定義される関数W(z)をzの有 理関数と言う。

W(z) 喜三位 =~0+ 軌Z+B2十

^{+広z‑;;;‑ (1倒}

Qtz) 

C

_o +C(z+C2Z^L. +

…

+Cmzm  mは分母の次数、 nは分子の次数である。

ル)がxの有理関数であって、分母の次数が分子の次 数よりも1以上大きいとき、複素積分の留数の定理を用い て次の実数変数関数の定積分の値を求める事が出来る。

Jf

仲間政

^(a > O，aく0) [(1位制(1443) ここにxは実数値の変数であり、関数

f ( x )

は複素数の値 を取る関数である。務示の詳しい計算は上掲の論文に譲る として、結果を書くと次のようである。図3を参照しよう。

a>OのときにはJordan(ジヨルダン)の補助定理は複 素平面 (z平面)上の上半面での周回積分 Cに対して成立 する。ゆえにR→∞に対して

181 

虚軸

y 

‑ R  

x 

実軸

図 3

‑ ・ ・ 位 置

︑ F

z ︐a

・ ・ ︑

fI d  FA 1g e 

m 

‑ 一

命

砿

︑ _{‑ F}

X 〆

a a

・ ︑

II M 

マ J

4

R→∞ 

上半面の

c

(反時計苅旬、+方向)

=上半面に在る轍f(z

γ

^{の特異点Zk}

(k = 1，2・ ..，，r)での留数の和の2m倍

=2m

' L

Res[f

ゆ

t勺 同 伽 a>O (1444)  上半面の特異点Zkの虚部は Imzk ^{> 0である。}

αくOのときにはJo吋an(ジヨルダン)の補助定理は 複素平面 (z平面)上の下半面での周回勝刊に対して成 立する。ゆえにR→∞に対して

Jf

ゆ胤命

=lim1f

ゆ即位

一∞ C

R→∞ 

下半面のC1(醗十方向、一方向)

=下半面に在る関数f(Z

} e

^iOZの特異点Zk (k = 1，2，~..， r )での留数の和の‑2m倍

=‑2mLRes[[

ゆ

iaz]Z=Zk

(1445)  下半面の特異点Zkの虚部は Imzk ^< 0である。

(1424)式に対応する式として次の式を考えよう。

182  近畿大学工学部研究報告 No.37 

j 

l ごimd Q 低 ( 1ω1]( 凶U

∞

o . ‑E

平δi (1必3)式と比較して書くと、

J / ^{ね ) e}

^‑imd Q ーT>O，ーT<O)(1必の

f ね

) ‑ 1 ‑ 1 ( 1側

o

.

‑E平iδ ‑

o .

‑(E:tio) 

となる。もちろん、ここでQは実数値の変数であり、関数 /(0.)峨素数舗を取る。 Eは正負の実数値であり、 8 は無限小の正の実数値である。

図4を参照しよう。そして(1必4)式と(1445)式の結果を 利用しよう。又(1437)式の結果を利用しよう。

虚軸

y 

x 

実軸

図 4

関数/(0.)は1位の極を持ち、特異点は上半面上の E+iδ  文は下半面上のE‑iδ にある。

T <0 (即ちーT>O)のときには、複素平面上の上半面 のCについて周回積分を行なう。

j 

l e→m必 = 初R吋 le‑th]

∞

o .

‑E‑io  ‑z‑E‑iδ 

z 

→

E+io 

= 2me‑^iT(E+lo) 

for  T < 0  (1449)  (145ω 

=2mγiTE 

7 1 e ‑切 =0

∞

o .

‑E+iδ 

T>O (即ちーTく0)のときには、複素平面上の下半面 for 

T

くO

のCについて周巨際お士を行なう。

7 1 e ‑ t m心 =0

∞

o .

‑E‑iδ  ^，rあ T>O  (145]) 

7 

^{1  e‑切}

⁼ 

^{ー 初fRes[.‑‑1} 

^{〆 円 門}

^η

^{勺 九 ぺ}

^{]z戸 ==}

∞Q

一

E+iδ Z

一

E+iδ L

3 0

な で さ 泌0阪

4 0 6

的 の 用

M J

刈

k h w h k h w

断

M

棚 3 T r

?

の さ )

&

?

・ ぽ 島

b

数 成

§ 刈 来

n m t M

関 構 ( T出

T U

っ て 節

カ

d v

持 つ の 祉 淳 0・M寸O

を は 撤

! i

昏

fll

く

llLfll

︿

l l ‑ ‑

に 齢 制 船 6 )

こ り 当 貴 島 町 1 6

引 一 一 一 一 忌 の 州

E時m

よ 心 心 お 辺 式

↓

‑e F の 町 ぽ の 左

S

z . m

初 次

‑ e f

式 の 必

﹂ と 一

c o

一δ

必 式

h u 一 一

= る 一 寸 一

. H

必 の と め1

一

_E

1

一

E

泡 れ 式 と 了 一 一 は そ 訪 う ま 一

︒ 一

Q

丸 れ 必 ろ

・

4

I 1

・

6 4

冊r_十 二 成 句

︒ 湯

川山1

一M l

一 勧 剣 勝 弘

︒ 引 表 あ れ

とTる

f f f t

鹿 市 川

﹀ 什

﹀

︿

九 を

t十

t t

d式E

砂 町

? r r て か

n H b

お

n k

か れ こ そ 0 1 1 0

一 Z f

i ‑ ‑

し

f J l L

1一 し

=

= 剛 腕 什

46吋 45 13

‑o

ト 一

i

‑

一

必 う 利 一 一 川 一 + ( e

一

Q

‑ e L Q し み 勺

1

ム 柵

fJ4

肱 川

4

一 初

﹂ 一 初

置

(1455) 

(145ω  (1455)式と(1必6)式はそれぞれ単位ステップ関数(単位階 段 関 秘 的

‑ 1 ' )

と 的

‑ 1 ' )

の鮒愉表現で、ある。

1 +竺 ~-in((-什

θ1+(1 ‑1') 

=ユ子ーイ'0. [ 

(1455) ] (1457)  2m _~

o .

‑io 

1 +竺 ~-in~ト(，)

玖叫的(1‑1か，'

21厄li_~

o .

+i必δ 

関数のこれ等の表現はこの節(~)の初めに挙げた以前の 論文中の(140)式と(19ω式に既に出て来ている。

最後に(1424)式の計算結果を(1453)式と(1454)式の結果

多体問題とグリーン関数との関係の研究 ー高等量子力学における摂動理論(11)一 183 

を踏まえてまとめて記しておく。

7 

^{1  e}

^ーや

^dE=

∞E‑E_n ‑i& 

0‑ for  t > t' 

; (t‑t')E̲ 

21lie 

for くt' [前掲論文中の(189)式と(184)刻 (1459) 

̲;(t‑I')E 

‑21lIe 

for  t > t' 

1 

¹  _e ^{‑イiピ立}_{1;  dE=} 

司E‑

ι

^+i&

o 

for  t < t'  [糊論文中の(問8)込 ( 時 間 (1必，0)

~ 29  Feynman di勾ramの式を運動量表示するための準 備

我々は以前の節(~) 25でファインマン・ダイヤグラム (Feynman diagram)を挑めたとき、逆にそれを数式に書く 手順を記述した。そして、その具体例を同節(~)中の、

例1 (1326)式乃至(1327)式 例2 (1328)式乃至(1329)式 例3 (1330)均ラ至(1331)式 例4 (1332)式乃至(1333)式

に示した。これ等の式は複数個の鰍句積(コントラクショ ン又はベアリング関動の積、又は複数個の鰍句積(コン トラクション又はベアリング関動の積とN積の構成要素 との積から成る時間空間に渡る多重積分を構成して、積分 の種々の変数を含んで大変複雑な積分になっている。

しかし、これ等の積分は我々がそれを運動量表示 (momentum representation)する事によって幾らか簡単化 する事が出来る。

この節(~)では我々が次節(~)でファインマン・ダ イヤグラム (Feynmandiagram)の式を運動量表示で書くた めの準備として、今までの知識をまとめておく。

ファインマン・ダイヤグラム (Feynnmanndiagramu)中 で2つの結節点(パーテックス)聞をつなぐ線l説敵視責(コ ントラクション又はベアリング関動を表わしていた。そ して、それはあたかも1つの結節点(パーテックス)で生 成した1個の粒子(実線はフェルミオン、点線はボソン) が、その線

t

を伝播して、もう1つの結節点(パーテック ス)へ至り消滅する泊めように解釈できる事は既に何回か 記述(~ ~ ~ ~ 22， 25， 26， 27)して来た。

2個の演算子の寸IlA1

( x l )

とA_2(X2)の鰍瀬(コントラ

「一一「

クアション又はベアリング')

A l 仇 } A ; ( x J

は次式で定義さ れた。

A 1 ( X 1 ) 吟 ( x 2 ) =  T 

{~

( x

₁ 

) A 2  ( x 2 ) } 一 N { A 1 ( x 1 ) A 2 仇 》

[ (988)式 ( 1380)刻 ( 1461) そして、(1061)式又は(1382)式の所で説明したように、縮 約積(コントラクション又はベアリング〕は容易な方法と

して次式によって計算する事が出来る。

d広~(X2)=

^(φ

^。 I T { A l 仇 ) A 2 ( X 2 湖

^φ

。 )

[ (1061)式(1382)刻 ( 1462) ここに、<T

o )

はフェルミ自由海の嫌動ハミノレトニアン H。の基昏伏態であり、(1349)式と(1350)式が成立してい る。

1粒子グ、リーン関数の

G J ( x ; x ' )

と匂

( x ; x ， )

と

δ 1 ( x ; x ' )

と G:(x;x') と G~(x;x') の定義式はそれぞれ節(~) ²⁶の (1351)式と(1357)式と(1363)式と(1369)式と(1375)式に与 えられている。そしてそれは次のようで、あった。

GJ(x;x') = ーi件。 ITν(x~/*(x，)}φ。}

^{[(1351)刻(1必3)}

匂 ( x ; x ' )

=

ー帆 I T 紋 ( x ) i i ; : *   ( x ， ) }  

^<T 

o }   [ 

(1357)刻 (1464) 

匂(x;x') = 一i件。 IT~h(x)iì;h*(x時φ。}

^{[(1363)刻(1価)}

G:(x;x') = ーi(φ。 IT~J(.ゆヤ)作。}

^{[(13印)刻(1必6)}

G~(x;x'}= ーi(φ。 IT~J-(x)øJ+(x')}<þo}

^{[(1375)均(1必7)}

上記のー粒子グリーン関数と在議関数(propagators)の G~(x'

‑ x )

と句。か

' ‑ x )

と句。か

' ‑ x )

と

D : o ( x '‑ x )

と

D~o(x' -x) の関係は、節(~) ²⁷に与えられている。

伝播関数(propagators)はより早い時刻t'に生成した 粒子(フェノレミオン又はボ、ソン)が伝播してより遅い時期Ut で消滅するまでの振る舞いを表わす関数である。我々は縮 京瀬(コントラクション又はベアリング〉を容易に計算す る事の出来る(1462)式の関係をも利用する。

こうして伝播関数(propagators)悦敵包積(コントラク ション又はベアリング関動を用いて表現する事が出来る。

伝 播 関 数 伽opagator)G~

( x '  ‑x )  

184  近畿大学工学部研究報告 No.37 

G~(x'

‑ x ) =  G 1 ( x ; x ' )  

^(1必8)

=  ( < I > o ¥ T ヤ ャ } l か ) 作 。 )

⁽¹⁴⁸⁶⁾ 

=

ー i (

φ

。 I T ヤ 1 ( x   ) v t 1 . ( X 内

φ

。 )

⁽¹⁴⁶⁹⁾ 

=  o l ( x ' } j l か )

⁽¹⁴⁸⁷⁾ 

=

一 i _~I ( x   ) v t l l .  ( X

，)  (1470)  である。

伝播関数句ro開gator)

D ! o ( x '  ‑ x )

は

=  + i (

φ

。 甘 い 市 ν ^か

^)}φ

^{。 )}

⁽¹⁴⁷¹⁾ 

D ! o ( x '  ‑x ) =  i G ! ( x ; x ' )  

⁽¹⁴⁸⁸⁾ 

=+iFFPI(x)  (1472) 

である。

=(φ。 IT~吋:X)øI+(X')}φ。)

⁽¹⁴⁸⁹⁾ 

伝播関数(propagator)δJob'‑x)は = F

窃

⁷⁺

( x

，)  (1490) 

旬

。 ( x '‑ x ) =

δ; 

( x ; x

，)  (1473) 

=(φ。 IT~I+(x')ø吋f)}φ。)

⁽¹⁴⁹¹⁾ 

= ー や 。 I T 紋か阪市内

^φ

。 )

^{(1474)  =4rI‑+}

^一

^b

ー

^V「

ー か )

₍₁₄₉₂₎ 

= ‑ i 必 ( x ) i ; : . ( x ' )  

(1475)  である。

上記したように、伝播関数(propagators)峨敵強(コ

=  +i(φ。 IT~尻市阪か)ド。)

⁽¹⁴⁷⁶⁾  ントラクション又はベアリング〉を用いて表わす事が出来 た。ところで、その縮約積(コントラクション又はペアリ

=  + i V ; : . ( x ' ) i ; : ( x )  

^{(1477)  ング)は(1301)式(1303)式(1307)式(1315)式乃至(1317)}

式に示したようにフェノレミオン場の反交換関係式(772)式， である。 (775)式， (778)式， (沼5‑4)式やボソン場の交換関係式

伝播関数俗ro抑 制 ぽ)δ;oV‑x)は (814‑1)式と関係している。ここで、その当たりの事もまと めておく。

δ;

か 。 ' ‑ x ) = 匂 ( x ; x

，) (1478)  なお、(1457)式乃至(1458)式の単位ステップ関数(単位 階段関委めの記号。~(t‑t')乃至玖(t‑t')を使っても良いが、

=ーや。 IT{v;~か町けφ。)

^{(1479)  ここでは簡単のために}

=

ー

ⁱ

お号 ^{( x}

^{，) (1480)}  _{。~-tド O_~‑t')} 

₌  { : お

^t> t'  ₍₁₄₉₃₎ 

=+i(φ。 IT{v;~ゆ明か}}φ。)

⁽¹⁴⁸¹⁾ 

o 

^for  t'  > t  の記号を使っておく。

=dWJ(x)  (1482)  V「μー

( x ー

^{I V}「 (X2)=

ー

^θ(t₂‑t

l ) S ( X

₂，

X

_I^{)  [(772)}均 ( 1 似 ) である。

ぷ

^VI

・ ( x

₂₎=θ(

ぃ 訓 f l ' X

₂₎ [(π州 ( 1 却5)

伝播関数(propagator)

D t l か 。 ' ‑ x )

は

53Jbz)=‑802‑t

ぷ ( X

2，

X

I) [σ75)刻 ( 1496)

D t o ( x '  ‑ x ) =  i G t ( x ; x ' )  

⁽¹⁴⁸³⁾ 

￠r一(一~l~ー「

FJe(xz)=0(tl‑tzX(xph)[(775)刻 (1497)

=(φ。 IT~1 ( X ) o l  ( x

，)

作 。 )

⁽¹⁴⁸⁴⁾ 

5U(xz)=

列

z

一品 ( X

₂，

X

₁₎ [(打8)剖 ( 1498)

=応

^{ZI(x') (1485)} 

多体問題とグリーン関数との関係の研究 ー高等量子力学における摂動理論 (11) ー 185 

「ー一ー「

巧 (Xl}í;~・(X

2

^)=θ

t ( 1  ‑ t 2 ) ゑ ( X 1

^，

X 2 )

[(778)悶(14!鈎)

o

「一ー「

l  ( x l ) o I 仏 ) = 。 仏 ‑ t 2 ) D ( X 1

^，

X 2 ) +  0 ( t 2  ‑t 1 ) D ( X 2

^，

X 1 ) 

[ (814)剖 ( 1500)

K P I ( ^{有 ) = 0 ( t} 1 → ^{2 ) D (}

^日

^{) + θ ( t} 2 一 仇

^，

^X 1 )

[

日(但814心)式:J (15印01)) 

応 p 予 hI ? 恥

^{ト吋市市‑可令私(}

^x

^巧か仏2)⁼ 

哨叫 0 ( t ( t ι t

ら

2

2

一 ω h

^{州仇)D刈玲叫恥(か仇如州}

^ιx

^凶巧ら引^胤ν2

〆

^，

X 1 )

[

ω

同

(

側8脳11凶ω悶4心)閣剖 (臼

m

^雌ω15印問0ωω2) 

F ^{窃 可}

^{I￨什吋市喰I+吋市私}

^{ωx ( X ψJ}

^川

^{巧 川}

⁽

²

^か仏

^{) ト =}

^θ

^{即 ( 仏 t}

^1.←

^ト 1

日パ‑→叫tら

2 ) D ( X ω) 1

^，

X 2

^[同

^ω

^側1悶44

r‑一‑一『寸「一‑一

i

可 r ‑ 一

i

r(XIMFI

仏)=似

(XIW~*(X2)+

o : * ( X 1 N t ^{: ( X} 2 ) 

=θ

仏

^-t

2民

^(X

l'

^X

2

⁾

一

^θ

~2-tJ え

^(X

2

^{， X}

1

⁾

[ (750)式"⁽⁷⁵⁷⁾式 ⁽⁷⁷⁵⁾式~ (778)刻 (150

の

「ーーーi r^ーーーi iー圃ー園吋

夜^I

い

^l

^{} i ;}

^μ

^{仏 ) = 9 f ( x N ; 仏)+似九瓶事( X} 2 )

=-0~2 ‑ t 1 民 ^{( X} 2

^，

X 1 ) +

θ

t ( 1 ‑ t J S _{e ( X}

_I'

X 2 ) 

[ (750)式， (757)式 ⁽⁷⁷⁵⁾式 ⁽⁷⁷⁸⁾刻 ( 1505)

~ 30運動量表示

寸辺が Lの立方体の体積V=L³の中に閉じ込められた 自由電子のシュレディンガーの方程式

一 3 ^乙

_L

^こ

_.

^斗

_m 

^〉

^Vザ

²

^1仇

ω ^州

^f/

^{1 k ( r 約 ω ( r け r )=E}

^恥

^k

^'，P

^v

^{仇i胤以川i.}

^{仕 ω ( r け r}

^{) ω 1防5}

を、波動関数がx，y，zについて周期Lを持つような周期的 境界条件

れ

( x + L

，y，

z ) =

If/

k ( X

，y，

Z )

等 ( 1507) の下で解く。このとき、波動関数が体積V=どの空間で規 格化されているならば、波動関数は進行平面波

川 ) す

^{e'Ker (1508)} 

… 但 し ー 跡 ク 川

1 ( 昨)峨

の条件を満たしていなければならない。

い

^'y'

ぃ子

ⁿ 

⁼ 

^{0，:t1，:!:2}

^{， . . .}  

^(15ω) 

こうして、周期的境界条件の下では電子場の波数ベクトル h は波数空間の単位胞の体積住之毎に 1個指定される

V 

事が分かる。又その所より、 kについての和が次の積分で 置き換えられる事も分かる。

z  ^→ 4 7 ^件

⁽¹⁵¹⁰⁾ 

次にフォノン場を考えてみよう。寸互が Lの立方体の体 積V=L³がN³個の原子を格子定数aの間隔で含むもの とする。立方体の辺x，y，z方向について、格子振動の変位

以 ゆ

^y(salUz (sa)が長さ Lの 周 期 峨 界 耕

U_;r(sa + L)= u_;r(sa) 等 s

= 

^{0，1，2，..川一1 (1511)} 

を満たすならば、進行平面波の解は

Ux(s)=UJo

計

^x

…

^{qxt) 等 ( 1512)}

となる。ここで波数ベクトル、 qx，qy，qz^{の許される値は}

ι

心qx岬，，qq_叫qyyy，qz

である。 (1511)式と(1512)式の条件は

e仏x+qyY+qzZ)=e屯

x ( x + L ) + q y

(y

+ L ) + q .  ( z + L ) }  

₍₁₅₁₄₎ 

としても良しL

こうして、以前の電子動コときと同様に周期的境界条件 の下では、フオノン場の波数ベクト/ルレqは波数空間の単位 胞恥の体繍積竿につ引しい、吋て 1個 指 定 さ れ 硝5扮蜘分剣妙カか枕瓦 の所より札、 qについての和が次の積分で置き換えられる事

も分かる。

手→南向

⁽¹⁵¹⁵⁾ 

我々が今までに取り扱って来たブェルミオン場の演算子 If/

l  ( r  

，

t )

， _If/^μ

( r

，

t )  

， 

V ; :   ( r

，

t )  

， 

V ; : * ( r

，

t )

，必(r，

t )

， V;^~.(r， t) やボソン場の演算子ゆ

l ( r

，

t )

，

〆 ^{( r}

^，

^{t )}

^， 

^{o I + ( r}

^，

^{t )}

^は上述し

た体積Yの箱の中で規格化されている。それではこの箱の 体積 Vを充分大きくして Y→∞にしたときには、これ等 の場の演算子やその他の関係する諸量はどのように表現さ れるのであろうか。ここでは先ずその事を調べる事から始 める。関係する書物として読者は高橋康著の「新物理学シ リーズ16物性研究者のための場の量子論1J (培蹴官)の 凶5をも又参照すると良し、

クロネッカーの8関数、及びディラックの6関数はそれ ぞれ次式を満たしている。

L d

^{k，k' =1  (1516)} 

J d ^{位 一}

^k'

^{} i k =} 

^{1  (1517)} 

(1516)を積分の形で表わそう。(1510)式の関係を用いて、

186  近畿大学工学部研究報告恥，，37

ド Z 4 y ^仏

^{k，dk= 1  (1518)} 

(1518)式を(1517)式と比較する事によって次式を得る。

よー ( 2

7r

y  δ

^Vk ，k'=d

ら ‑ k ' )

⁽¹⁵¹⁹⁾  (1519)式の意味する所は、体積Yが充分大きくして V→∞にしたときには左辺を右辺で置き換えれば良い事 を、又逆に有限の大きさの体積yに戻るときには右辺を左 辺で置き換えれば良い事を表わしている。

初めにブェルミオン場の反交換関係

伝，~.}= ^{d k}

^，

^k 

^{[ (716)式 (7ω)刻 ( 1520)}

を考察しよう。 Y→∞のときを考えて(1519)式を適用し て、右辺の

δ k

，

' k

を 位

L d ( k ‑ k ' )

で置き換える。すると次

y  式を得る。

は，+与え=竿 δ ( k ‑ k ' )

f，ぽ

Y

→∞  (1521)  (1521)式は次のように書ける。

( 品 ) 九 ( 古 ) 乍 + ( 古 ) 乍 ( 命 ) 九

= δ ( k ‑ k ' )  

for 

V

→ ∞ ( 1522)  我々はここでY→∞ハ新子したときのフェルミオン場の 演算子を改めて次のように定義する。

5件)=1 ーと~

(\~

1  ~

for  V→∞  (1523) 

l  ^{( 2}

^7r

y  ) 

市 ) = 1 /打、五 l  ^ーとー￨ ( 2

7r

y  )  記

for 

V

→∞  (1524) 

こうして、反交換関係(1522)式は次のように書ける。

ド ^{( k } b ・ ( k ' ) }=  d ( k  ‑k ' )}  

^{for  V→ ∞ ( 1 閥}

次にボソン場についても同様に考えてみる。ボソン場の 交換関係

[

a

q， 

a :

^， ] 

= 

Oq，q'  [ (822)刻 ( 1526) を考察する。 Y→∞のときを考え、 (1519)式を適用して、

右辺のÔq，q を竿Ô~げ)情城えて、次式を得るo

aqa:， ‑a;，aq 

= 竿 ^{δ ( q‑ q ' )}

^ぉr

^V

^{→ ∞ 側}

(1527)式を次のように書き換えよう。

(命)九(命)九一((~y ^J 九 : { 古 ) 九

= δ ( q  ‑ q ' )  

for 

V

→ ∞ ( 1528)  我々はここでV→∞八移行したときのボソン場の演算子 を改めて次のように定義する。

( ¥ M  

a ( q )   = 

^1ー工¥3"1

^a

q  for  V→∞  (1529) 

l ( 2 n り

/ ν ¥

巧

内 ) = 1

二 一

a ;

， for 

V

→ ∞ ( 1530) 

L

^や7r

y ) 

こうして、交換関係(1528)剥ま次のように書ける。

[

a ω

^ぶ

^{( q ' ) ]= δ ( q ‑ q ' )}  

^{for  V→ ∞ ( 1531)} 

Y→∞へ理論を新子するに当たっては、上述した事柄 の他に留意すべき点は無い。以下の証述において我々は

E k  =E 件 ) ，

ω'q =ω

畑 )

⁽¹⁵³²⁾ 

を使う。

最初にフェルミオシ場に就いて、場の演算子を体積Yの 箱の中で規格化して周期的境界条件を持たせた場合と

Y→∞八移行して場の演算子を全空間で規格化した場合 とを対比して列挙する。このとき(1510)式と(1523)式と (1524)を利用する。

(1)箱Yで規格化、周期的境界条件を有する。 hは離散的 である。

伝，~~}=

^{Ok，k'  [ (1520)肉 ( 1533)}

準粒子フェルミオンの反交換関係 次に

Y→∞へ移行して全空間規格化、 k防車樹句である。

ド ^{( k } b ・ ( k ' ) } =o ( k  ‑k ' )}  

^[(1捌

準粒子フェルミオンの反交換関係

(2)箱Vで規格化、周期的境界条件を有する。 kは離散的 である。

￠似附悦(

ι ^{仲 ωr}

命^，

^府

^{，り1tゆ←川)ト主仲 r:;デ}

エ L e メ { ^{{ k . r}

^町

^r

^{ト斗一与与与}

t ) k え [ 

(7花6閥 (胸1日悶附5臼悶3お5

" Y  k>kF 

準粒子電子消滅 次に

Y→∞ハ砂行して全空間規格化、 k防車樹句である。

多体問題とグリーン関数との関係の研究 一高等量子力学における摂動理論 (11) ‑ 187 

記 ( r

，

t ) =/ ̲   ¥ 3 /   f d k e ト竿 t ) b ( k ) や

z

戸

^k

ム

樹立子電子消滅

(1536) 

(3)箱Yで規格化、周期間競界条件を有する。 kは離散的 である。

r ̲  ，E l 

w(r ，

t ) = ÷ z f

・

r‑‑‑‑tt

) i ¥ *   [ 

⁽⁷⁶³⁾剖 ( 日37)

"Y k>kF 

準粒子電子生成 次に

V→∞ハ移行して全空間規格化、 h同輯姉句である。

e‑{k・ トEFit)b

w(

り) = ‑ L

j a 市) ( 2 J r 戸川

準粒子電子生成

(1538) 

(心箱Vで規格化、周期医境界条件を有する。 kは離蜘句 である。

民( r

，

t ) = ~ L J k e

^r‑

与 ) t i ¥

'V Y  k<k 

[σ62)肉 ( 1539) 準位子正手

U

目減

次に

Y→∞〈新子して全空間規格化、 k防車繍句である。

必 ( r

，t)=‑L 14et(hr‑EF)E(k) 

伊 ) % k ム

準粒子正孔消滅

(1540) 

(5)箱Yで規格化、周期的境界剣牛を有する。 hは離散的 である。

r.  E. 1 

k(

り)=÷ze‑qk行 t)

h :

[(7ω)苅 ( 日41)

"Y k<kF 

準粒子ilifl生成 次に

Y→∞寸多行して全空間規格化、 hは連騨句である。

W 巧

削.可(令仏R

り 川

仲^，川

← t ) ) ト = 一

^¥3，.;(

J μ

品

a

&(

ι

⁽んe^{eメ一→‑イ十十{{十←I(ト}

k

^ト

e μ

^長"

.

^川肝昨.

r

^{ト ‑町町件}

( 2 J r ) 戸 7

2k<k_F 

準粒子正孔生成

(1542) 

である。

紋 令

，

t 1  ^{V ;} * : ^{( r '}

^，

^{t ' ) }}

⁼

^{土 I / ' ・}

⁰

^{ー が い 与 ( ト}

^1')

^{え か 仏}

^，X'

V k"';オk 

次に

[ (775)刻 ( 1543) 準粒子電子場の反交換関係

V→∞ハ移行して全空間規格化、 k防車樹句である。

断 ， 川' ，

t'

分 = 訪 y‑M ^学ト

^{t') (1胤)}

準粒子電子場の反交換関係

(7)箱Yで規格化、周期的境界条件を有する。 kは離散的 である。

初 仕

，

t 1 ^{v;~*(r' ， t')}= 土}

V _{~4

^Ie

^lk

^・

^(r-r'J

^{今ド)芸忌か ，x')}

次に

[(778)肉 ( 1545) 準粒子正手頃の反交換関係

V→∞八移行して全空間規格化、 k尚喜縦句である。

( 前 ，

tLWO'J'))=‑Lfaugh‑04tEFKM)(1546)

(24kdF 

準粒子正羽揚の反交換関係

(8) 箱 Y で規格化、周期的境界条件を有する。 k~土離散的 である。

~，l\， } =  

^{O，kk'  [(7槌)剖(1547)}

真の粒子の電子の反交換関係 次に

Y→∞へ移行して全空間規格化、 h防車樹句である。

争

(k1b*(k')}=δ(k‑k')  (15必) 真の粒子の電子の反交換関係

(9)箱Yで規樹七、周期甥界条件を有する。 k~靖鶴揃 である。

VJ'I 1(

κ ← ÷ z J ( ^{い号t ) 九}

'VY  k 

[ (7犯)刻(1549)

自由場の電子の消滅 (6)箱Yで規格化、周期的境界条件を有するok は離散的 次に

188  近畿大学工学部研究報告 No.37 

Y→∞〈新子して全空間規格化、 kf堪雛句である。

" / ( 1 り)=

^f. 1"3/ 

f d k e {  

k.r‑

E~k)l)b(k)

⁽¹⁵⁵⁰⁾ 

( 2 n ‑ ) 五

J

自由場の電子の消滅

(10)箱Yで規格化、周期的境界条件を有する。 hは離散 的である。

〆(り ) = 4 7 Z 汁

^r‑

与 ) 1 l 1 :

[(739)肉 ( 1551)

" J '  

^k 

自由場の電子の生成 次に

V→∞八移行して全空間規格化、 hは連樹句である。

fkt)=‑L  dj(k 」ヂ I ) b * ( k )

(21l'~ ^J 

自由場の電子の生成

(1552) 

(11)箱Vで規格化、周期的境界条件を有する。 kは離散 的である。

ヤ ν ^{I ( ヤ り}

^，t

^{ル ν}

¹

^{v 〆 I 市 γ 刈 ) 片 } = 土}

_V

^{2 玄}

_"k 

^{; i J f k h}

^附.

次に

[ (772)刻 ( 1553) 真の粒子の電子場の反交換関係

V→∞ハ新子して全空間規格化、 k出藍樹句である0

，E(k) 

ヤ

I(RtLvIV1)=‑Lfdhf(r47(M)(15M)

や " y

J 

真の粒子の電子場の反交換関係

(12)箱Vで規格化、周期的境界条件を有する。 kは南撒的 である。

l i m { 1 f /

1 1(

川 1 f /

1・

( r 刈 } = 土 L e

^{'k・(トピ)=δ}

^トピ)

V"k 

t~t'

次に

(1555) 

V→∞へ新子して全空間規格化、 kは

i

酪鮒である。

l i m {

'1/ 

( r

，t 

1 1 f / 市

γ))=‑L

}dr ・

(rイ)=持

‑ r ' ) や " y

J 

t 

→

t'  (1556)  次に縮約積(コントラクション又はベアリング)につい て考える。フェルミオン場の荷訴句積(コントラクション又 はベアリング)については、箱Vで規格化し、周期的境界 条件を持たせた場合と、 Y→∞〈弔尚子して全空間規格化

した場合の対比は次のようである。なおここでは(1454)式 (1必0)式 ( 1494)式乃至(1505)式を利用している。

(13)箱Vで規格化、周期白色境界条件を有する。 kは離散 的である。

夜

J か 阪 : 命 令 ' ) = O ( t ‑ t ' ) え ( x ， x ) ，

^[ (1497)均

次に

ik.(r‑〆)‑i主(1‑1')

=θ(t‑t777Ze 

[ (1073)式、(1076)悶

ヰ 山m 一→I草勾

e

イ，) ) 

=  よ .  土 τ

す、e♂

r

^北ik.(ドト円吋刈rピ吋什，)

2

勧1l' V♂z1F

二

E‑

ι

^+iδ

[ (1460)式 を 利 用 し た 。 ( 1557)

V→∞八新子して全空間規格化、 kf堪樹句である。

「圃ーーー吋

必 ^{( x} ) V ; : * ( x ) ， ₌ O ( t ‑ t ' ) え ^{( x ， x ， )}

^[ (1497)均

=θ

やサ Jzik

^い

I _与 ( 1 ‑ 1 ' )

[ (1073)式、 (1076)剖

= O ( t ー の ^J‑

deMM)‑4(M) 

( 2

1l'

y 

_k

よ

[ (1510)式を利用した. ] 

叩 危伽削.ベ(日

= 一i や " 一 f

^k

^オ

^I品Fdk‑

^f 

^{dE̲e‑‑‑=.，....，.......，} 

閣

E‑E(k)+iδ

[ (1460)_{式 ( 1}532)式を利用した。] (1558) 

(14)箱Yで規格化、周期的境界条件を有する。 hは離散 的である。

「四ー四i r^{四ーーー「}

9JWXFJV)=

一 民 か ' } r i I ^{: * ( X )}

⁼ 

^{‑ O ( t '  ‑t  ) S e ( X '}

^，

^{x )}  

抑制式、(1496)悶

= ‑ O ( t ' サ ^{L e}

^ik叫

[ (1073)式、 (1076)苅

咽 + ∞ →

5 ^令

^Vイ

= 

一ム. 

^{土す計汁川}

e

^{it泳b州帥k.(川.刊吋い川(。νいh川rピι山吋'-可川-イ寸rけ)川}

fd

厄~-.!!..ペ

: 

2"  ^V♂~ ^_~ E‑E_k +iδ  [ (1460)式を利用した。]

多体問題とグリーン関数との関係の研究 一高等量子力学における摂動理論 (11)ー 189 

次に

ー + ∞ if(I‑I')

=ーム.土すげ・

( r J ) f d E e  L 

21t  V ♂~ _~ E‑E_k +iδ  (1559) 

Y→∞ハ移行して全空間規格化、 h防車樹句である。

『 一 一 . . ，

i一 一 「

9 7 か ・ ) p ; ( x ' ) = 一 死 か ' ) i i ; ; * か ) =

‑O

  ， t ( ‑ t ) え ( x ' ， x )

[ (990)式、 (1496)剖

加

( r ' ‑ r ) ‑ i

主(山)

= 一θ(f‑t)7Ze

[ (1073)式、(1076)悶

=

一 θ ( t ' ‑ t ) m ‑ L fdkfh)‑4(

内)

( 2

1t 

1 

^k

よ

[ (1510)式を利用し丸]

+∞  北町

‑ r ) ‑ i . f ( t ' ー

1)

=-~

f d k  

fdE!!.  ^H 

( 2

1t

4   k ) オ

^F

i  E‑E 年

)+iδ

[ (1460)式 ( 1532)式を利用した。]

+∞ ‑ik

・

(r‑巾 f(I‑I')

=一一三一 f d k  f 

dE!!.  ⁿ 

( 2 π t k ム ー ∞

E‑E(k)+i8 (1560) 

(15)籍Vで規格化、周期的境界条件を有する。 hは離散 的である。

「一四ー寸

い 瓶 、 ' ) = θ ( t‑t ' ) 主 ， x ( x ' )

^[(a鈎)均

次に

=尚一 t ' ) t z i k ^い

同90)式 ( 1071)式 ( 1075)均

+咽 ^‑i

. f

^(I‑I')

=ム.土すe^1k・^(r‑r')

f 

dE~ : 21t  V k74  E ‑

4 .  

+ ^iδ 

[ (146ω式を利用した。 (1561)

V→∞〈移行して全空間規格化、 h同室紺句である。

応 号 ( 〆 ^{) = θ} ( t ‑ 細 川

、E.， 、

= O ( t ‑ t ' ) 十

^{y‑v‑rY7‑11}

[(14ω)剖

[(ω0)式 (1071)式 (1075)悶

zo(t‑f)J‑fdkf‑hhEFe‑f)  や

1t

1 よ

[(151ω式(1532)式を利用した.] 

+∞  ik・トピ)‑if(1→，)

=~

f d k  

fdE-e----"，~

e z y   k d F ‑ ∞

E‑E(k)+i8 

[ (1460)式 を 利 用 し た 。 ( 1562)

(16)箱Vで規格化、周期的境界条件を有する。 hは離散 的である。

『ー四一..， iーーー「

夜;・ (x)ii;~か')=-9Jか')ii;~.か)=-O(t' 一 t広(x'，x

次に

[ (990)式、(1498)肉

= 

‑ O ( t ' 件 Ie

^ik

・ ^{( r ‑ r ) ‑ 4 ( t ‑ t )}

[(1071)式 ( 1075)均

一

^-i~(I'-I)

=‑L.

₂

土す ^{e i k e ( r ' ‑ r ) " ' r} dE~ :

1t  V k74  E‑

ι

^+iδ 

[(1必0)式を利用した。]

・ + ∞ i?(1→，)

=‑L.

^{土すけ・(トピ}

) f d E h 

21t  V k74  E ‑Ek + iδ  (1563) 

V→∞〈帯尚子して全空間規格化、 k同郵船である。

r‑ーー..， .‑‑‑‑， 

夜;・(x~

ほか ^')=-eJ か'阪

^t(x)

⁼  ‑ O ( t '  ‑t ) 訂 正

^，

^x

[ (990)式 ( 1498)刻

= 

‑ O ( t ' サ ^{Edh‑M 宇}

^1'‑1)

[(1071)式、(1075)刻

= 一 θ(t'‑t)‑LMMr'‑r) → 竿

^(1'‑1)

w y   _{K i}  

[ (1510)式、(1532)式を利用し丸]

+∞  地・い^rト^if{t'‑t)

=-~ f d k  

fdE‑e

‑‑‑‑"，.，..，...，.‑

(21t

t  k ^よ_~

^{~~ E ‑}

E ( k )  

+ iδ  [(1必0)式を利用し丸]