<ノート>多体問題とグリーン関数との関係の研究--グリーン関数と多体問題(17)量子統計力学(9)
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(2) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 158. §42不. い る。 故 に、 これ は λ線 を横 切 っ て λ転 移 と呼 ばれ る. 完 全 ボー ス気 体. こ の 節(§)の 議 論 は 、K.Huang著"Statistical Mechanics"の. 第1版(旧. 版)と. う所 が 多 い 。 前 節(§)で. 第2版(新. 版)と. に負. 我 々は 、粒 子 間相 互作 用 を持. 相 転移 を して 得 られ る液 体ヘ リウム 皿 が ボ ー ス ・アイ ンシ ュ タイ ン凝縮 相 で ある事 の傍 証 と も成 っ てい る。 以 前 の節(§)29の(1622)式. 乃 至(1640)式 辺 り を も. た な い 理 想 ボ ー ス 気 体 の ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝. う一度 眺 め よ う。N個. 縮 に つ い て 議 論 した 。He4原. な い 自由粒 子 共 が 、 それ が非 識別 性(非. 個 と 電 子2個. 子 は 陽 子2個. と 中 性 子2. か ら構 成 さ れ る 原 子 で あ る 。 そ して 、 以. 前 の 節(§)29の(1621)式. の 下12行. 目辺 りか ら始 め て. 説 明 し て あ る様 に 、 そ の構 成 要 素 で あ る 陽 子 も 中性 子. 識 別 性(弁 別 性)粒 子 であ るボ ル ツマ ン系 で あれ 、 そ の1自 由粒 子 に 対 す る系 のハ ミル トニ ア ン は H一 正. 一一亙 ▽・. 2鷹2初. の 粒 子 と看 倣. し た と き そ れ は ボ ー ス 粒 子 で あ る の で 、He4原. 子はボ. 淵. ー ス粒 子 で あ り. 、 ボ ー ス 統 計 に 従 う。. 1908年. 券・ 券・ 券〕. オ ラ ン ダ の 物 理 学 者 の カ マ リ ン グ ・オ ネ ス. (H.Kamerlingh-Onnes)は. ヘ リ ウ ム4(He4)の. 功 し た 。 そ の 沸 点 は1気. 圧 の 下 で4.21Kで. 液 化 に成. [(1622>式](3472) で あ る 。 故 に 、 系 の シ ュ レデ ィ ン ガ ー 方 程 式 は. あ る。 そ し. て 、 こ う し て 得 ら れ た 液 体 ヘ リ ウ ム4(He4)は. 通常の. 瓠 券+翻 券〕 監←)一 雛). 液 体 の性 質 を 有 し常 流 動 状 態 で あ る 。 こ の 相 に 在 る 液 体 ヘ リ ウ ム4(He4)を リ ウ ム1は. 液 体 ヘ リ ウ ム1と. 飽 和 蒸 気 圧p=0.0497気. 7=2.172Kで. 弁別 陸)粒 子. な ら成 るボ ー ス 系 で あれ 、 フ ェル ミ系 で あれ 、或 い は. も 電 子 も共 に ス ピ ン1乃 を 持 つ フ ェ ル ミ粒 子 で あ る が 、 2 フ ェ ル ミ粒 子 偶 数 個 か ら 成 る粒 子 を1つ. の相 互作 用 の な い ス ピン を持 た. 言 う。 液 体 ヘ 圧 、転 移 温 度. [(1623)式](3473) で あ る 。 波 動 関数 殆(r)に 対 して 、変 数 第 薦zに 就 い て. 粘 性 が 消 失 す る 超 流 動 状 態 へ λ転 移 す. る 。 こ の 超 流 動 状 態 の 液 体 ヘ リ ウ ム4(He4)を. 液 体ヘ. リ ウ ムIIと 言 う。液 体 ヘ リ ウ ムHは 液 体 ヘ リ ウ ム4(He 4)が ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮 を 起 こ し た 状 態 で. 周 期Lの 周 期 的境 界条 件 を課 し、 且つ 、 体積7=ガ. の. 空 間 で規 格 化 され た もの を 考 え る。 こ の とき、 この条 件 を満 た す 波 動 関数 は次 の様 で あ る。. あ る。 我 々 は 前 節(§)41の(3469)式. で 、系 の 体 積7を. 吟←)一 ド. 一定. [(1627)式](3474). に 保 っ た と き の 理 想 ボ ー ス 気 体 の ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮 が 起 き る 為 の 転 移 温 度(臨. 界 温 度)場. を与. 但 し、 こ こで 、 この1粒 子 の運 動 量 固有 値 は. え る式. P一孕 一 等i・ 蝋k) 2πが [(1628)式](3475). ㌦{置 叫号 賦'蝋. 脚. で あ る 。 η.,刀ン,〃,は0又. こ の1粒 へ 、 実 験 で 得 られ て い る λ 点 で の 液 体 ヘ リ ウム1の 度 ρ=0」46×1(戸 ヘ リ ウ ム1の. .555xlO一 四 〔m3/個〕 を 代. 入 す る 事 に よ っ て 、 転 移 温 度(臨. 子 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は(1475)式. を用 い て 、. 密. 〔kg/m3〕 か ら 、 計 算 で 得 られ る液 体. 比 体 積 の 値v=4. は 正 負 の 整 数 で あ る 。そ し て 、. 界 温 度). ら÷ 素〔 孕覧 一素(響 魎. ・ 溝. 1b=3.148〔K〕(3471) を得 た 。 そ し て 、 こ の 値 は 実 験 の 示 す 値 の 場=2.172K に 近 い 値 で あ る 。 実 験 の 示 す こ の 値 乃=2.172Kは. [(1629)式 分. 子 間斥 力 であ る分子 間相 互作 用 を持 つ 実在 ボー ス気 体 (液 体 ヘ リ ウ ムHe4)の. ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝. 縮 の 飽 和 蒸 気 圧 ρ=0,0497気 か ら液 体 ヘ リ ウ ム1へ. 圧 下 で の 液 体 ヘ リ ウ ム1. の相 転 移 温度 であ る。 分 子 間相. 互 作用 を無 視 して理 想 ボ ー ス気 体 を仮 定 した この簡 単 な 計 算(3470)式. は 正 しい オ ー ダ ー の 転 移 温 度 へ 導 い て. で あ る 。7→. 、(1640)式](3476). 。Dにな る に 連 れ てL→. 。Dとな る 。故 に 、. そ の 様 な 極 限 で は 運 動 量 空 間 中 のpの 子 目 は 無 限 に 小 さ く な る。 又 、1粒. 作 る格 子 点 の 格. 子 の エネ ル ギー 固. 有 値 ε,のエ ネ ル ギ ー 間 隔 も無 限 に 小 さ く な る 。. 次 に、こ の様 なN個. の 自由粒 子 共 か ら成 る多 粒 子 系. の 量子 状 態 を考 え る。 系 が1つ の 量子 状 態 を取 って い.
(3) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(17)一. る と き に は 、 そ の 量 子 状 態 で 系 は 、(3475)式. で識 別 さ. れ る と こ ろ の 夢 に 、即 ち 、運 動 量 がp1の 粒 子 が η晒 個 、. く量 子 統 計 力 学9>. が 生 じ、 この液 体 は超 流 動 を 示 さな い 。」(世 界 百科 大 事 典 か らの 文章 の借 用 終 わ り。)こ うし て 、粒 子 間 相 互 作 用 の な い理想 ボー ス 気 体 の絶 対0度. 運 動 量 がp2の. 粒 子 が ηF、個 、 等 々 、 と言 う よ う に 一 般. 的 に 運 動 量pを. 持 っ て い る粒 子 共 が η p個 在 る よ うな 、. 占有 数 の組 勉}で そ の 量子 状 態 が 指 定 され る。 こ の場. 159. の ボー ス ・アイ. ン シュ タイ ン凝 縮相 は超 流 動 を 説 明 で き な い。 次 に、 再 び 、世 界 大 百科事 典 の 文 章 を抜 き書 き しょ う。「 液体 ヘ リウム4に 、液 体ヘ リウム 皿 と呼 ば れ る相 が 存在 す る こ とはW。H.ケー ソム らに よ っ て1927年 に発 見 され 、 これ が粘 性0の 超 流動 相 で あ る こ とは38年. にP .Lカ. ピ ッツア に よ っ て確 か め られ た。 また 、液 体ヘ リウム 合。系 の全 エ ネル ギ ーEと 全粒 子 数1Vは 次式 で与 え ら. 3の 超 流 動 相 は ア メ リカ のD.D.オ. れ る。. て72年 に発 見 され た 。超 流 動 相 が 起 こ る機 構 は4Heと 3Heと で は ま った く異 な り 、前 者 で は4He原 子 が ボー ス統 計 に従 うこ と と原 子 問 に斥 力 が あ る こ とが 、ま た. E一. Σ ・,・9. [(1633)式](3477). P. N一. シ ェ1コフ ら に よ っ. 後者 では3He原 子 が フ ェル ミ統 計 に従 うこ と と原 子 間. Σ 〃,[(1634)式](3478). 非 識別 性(非 弁 別 性)の 同等 な 粒 子共 であ る ボー ス粒. に 引力 が あ る こ とが原 因 に な っ て い る 。」次 に、 「 液体 ヘ リウム4の 場 合 は、 液 体 中 の4Heの 原 子 ど う しは 低. 子 と フ ェル ミ粒 子 で 、 ス ピン を持 たな い 場合 、 鱈}が. 温 にお い て 互い に位 置 エ ネル ギー が も っ と も小 さ くな. 四. る よ うな 距離 を保 っ てい て 、そ のた め に 一 っず っ が独 与 え られれ ば系 の1つ の量 子 状 態 が確 定す る。 今 、 考. 立 な運 動 をす る こ とがで き な い。 この よ うな系 では 、. 察 して い る ボー ス 粒子 の場 合 、 運動 量 量子 数pに. 最 低 エ ネル ギー 状態 の次 に エネ ル ギー一が低 い状 態 は 、. よっ. て識 別 され る1粒 子状 態 に何 個 の粒 子 共 が在 って も構. 系全 体 を伝 わ る波動 とな る。この 波動 は 音 波 で あ って 、. わ な い。 故 に、. 波 長 に依存 しな い速 度 を もつ 。 す な わ ち 、 どん な にエ. ηド1,2,3,4,…(ボ. ー ス 粒 子 共). (3479). ネ ル ギー の低 い 波動 も有 限 の速 度 を も っ て い る。壁 と 系 の 相 対速 度 が この波 動 の速 度 よ りも 小 さい と きに は、. で あ る。. 系 に波 動 を 引 き起 こ して 系 を高 いエ ネ ル ギー の 状態 に. 粒 子 間相 互 作 用 の な い理 想 ボ ー ス 気 体 は、 絶対0度 @=0)で. は 粒子 共 の総 て が 運動 量 が0{ウ=0)の1粒. 子. 状 態 を 占有 す る。 そ して、 い わ ゆ る、 系 はボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タイ ン凝 縮 相 へ 凝縮 す る。 これ は粒 子 共 が無. 上 げ る こ とはで き ない 。す なわ ち、 液 体 と壁 との 問 に は摩 擦 が生 じず液 体 は超 流 動 を示 す 。」(世 界 大 百科 事 典 か らの文 章 の借 用 終 わ り。) 即 ち、 液 体 ヘ リ ウム4(He4)原. 子 の 間 に は 、斥 力. 限大 の 圧 縮 率 で 高度 に理 想化 され た相 へ凝 縮 す る とこ. と言 う相互 作 用 が働 くが 、 この 様 な 場 合 で も、低 温 で. ろの1つ の 人 工 的例 で ある。 故 に、理 想 ボ ー ス気 体 の. は巨視 的数 のHe4原 子 が 一 っ の状 態 を 占有 し、 一種 の. ボー ス ・ア イ ン シ ュ タイ ン凝 縮 は非物 理 的 で あ る。. ボー ス ・アイ ン シ ュ タイ ン凝 縮 を起 こ し、 そ の結 果 と. 以 下 、 しば ら くは、 平 凡社 の世 界大 百科 事典 の 中 の 「ち ょ うり ゅ う ど う(超 流動)(小 林 俊 一)」 の項 の説 明の 一 部 分 を借 りる と話 が理 解 し易 い。「 絶 対0度 にお. して超 流 動 が 生ず るの で あ る。 こ うし て、超 流 動 の 説 明 に は分 子 間相 互作 用 を欠 く事 は出 来 ない。 我 々 は これ か ら、 理想 ボー ス 気 体 の 揚 合 の ボー ス ・. い て は 、 す べ て の粒 子 が エネ ル ギー が最 低 の状 態 に入. ア イ ン シ ュ タイ ン凝 縮 の性 質 那 、 分 子 間相 互作 用 を有. って い る。粒 子 間 に相 互 作用 が ない ときに は個 々 の粒. す るボ ース 気 体 では 如 何 に変 更 す るか を、 大雑 把 な 近. 子 が独 立 に運 動 で き るの で 、 こ の系 の全 体 と して の、. 似 で議 論 す る事 にす る。. 最 低 の 次 に低 いエ ネ ル ギー を もつ 状態 は どれ か一 つ の. 我 々 は今 、非 常 に低 温 で 、体 積7の. 箱 中に入 れ られ. 粒 子 に無 限小 の速 度 を 与 えた 状 態 に な って い る。(これ. た 質 量 〃2のス ピ ン を持 た な いN個. は(3476>式 で 五→・ 。 ○の とき、エ ネ ル ギー 間 隔 力撫 限小. 成 る1つ の 希薄 な気 体 の系 を考 え る。 ボ ソン共 は 散乱. に な っ て い る か らで あ る。)言い 換 えれ ば、この よ うな. 半径(散 乱 長)(scatteringlength)と. 相 互 作用 の な い系 で は 、個 々の粒 子 は 無 限小 を含 む速. 相 互作 用 を起 こす 領域 の 目安 を与 え る長 さ αに よっ て. 度 を もっ こ とが で きる。 そ こで 、 この 系 を入 れ て い る. 特徴 付 け られ た2対 衝 突 を通 して 互 い に相 互 作 用 を し. 容 器 の壁 と粒 子 の 間 に相 互 作 用 が あ る と、 系 と壁 の相. て い る。 我 々 が今 、 系 を1つ の 稀 薄 な粒 子 共 の 系 で あ. 対 速 度 が無 限 小 の 場 合 で あ って も粒 子 は壁 か ら運 動 量. る と した の は 、我 々 が粒 子 問 相 互 作用 を理 想 ボ ー ス気. を受 け と り、 そ の 結果 、系 をエネ ル ギ ー の 高い 状 態 に. 体 に働 く小 さな摂 動 と して取 り扱 う事 を 可能 に す る為. 上 げ る こ とが で き る。 す なわ ち 、 系 と壁 との間 で エネ. で あ る。 一 次 の摂 動 論 を使 って 、 αにつ いて 一 次 のオ ー ダー まで のエ ネ ル ギー 準位 演 、 次 の有 効 ハ ミル トニ. ル ギー の や りと りが 可能 であ り、系 と壁 との間 に摩 擦. の ボ ー ス粒 子 か ら. 呼ばれ る粒 子 間.
(4) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 160. ア ン を用 い て計 算 す る事 が 出来 る。. の項 と 「 散 乱 半 径 」 の 項 とか ら借 りた も の で あ る。 (3481)式 の 近似 を 高 め 彦の 高次 数 項 ま で採 用 す る と、s. 馬蕩 躯 ・4鷺嗣. 波 の位 相 の ずれ δは波 数 左の2乗 の級 数 に展 開 して表. [(2996)式 ユ. 〈3480). わ され る。. こ れ は 粒 子 間 相 互 作 用 が あ る と き の 有 効 ハ ミル トニ ア. た… δ一÷. ンで あ る。 こ こ で 出 て き た と こ ろ の 、(3480)式. の粒 子 間相 互 作. 用 が あ る と きの 有 効 ハ ミル トニ ア ンHげ は 以 前 の節. 去ψ2+・ を)(3482). αは 散 乱 半 径 、γ.は有 効 距 離(effectiverange)で. あ る。. r。は ポ テ ン シ ャ ル の 到 達 範 囲 の 目安 を 与 え て くれ る 量 で あ る。 非 常 に 低 温 の 極 め て 低 い エ ネ ル ギ ー 散 乱. (§)40「 不 完 全 電 子 気 体 の 磁 気 的 性 質 」 の 節 の(2996). 左→0で. 式 に 既 に 一 度 現 れ た 式 で あ る。 この 式 の 導 出 に つ い て. 価 に な る 。 短 距 離 力(又. は(2988)式. 波 動 関 数 を ゆ が め る領 域 が る を 半 径 と す る 範 囲 内 で あ. の 下15行. 目辺 りか ら(2997)式. に掛 けて説. 明 し て あ る 。 そ れ は フ ェ ル ミ オ ン 、 ボ ソ ン を 区別 しな い 。(3480)式. の 有 効 ハ ミル トニ ア ン 耽 びを 正 し く 理 解. は(3481)式. を 与 え 、 半 径 ρ の 剛 体 球 散 乱 と等 は 、 短 距 離 ポ テ ン シ ャ ル)が. る。 低 エ ネ ル ギ ー 散 乱 で は ポ テ ン シ ャ ル の 形 と は 無 関 係 にoと7、. の 値 を 実 験 デ ー タ ー と合 わ せ る 事 が 出 来 る 。. 故 に 、(3482)式 の た2の 項 ま で 採 っ た 近 似 を ポ テ ン シ ャ. す る為 に、我 々 は以 前 の説 明 を も う一度 こ こ に書 く事 にす る。 そ して、 そ の 際、 必要 に応 じて 「 電 子 」 とか 「フ ェル ミオ ン」 とか言 う言葉 を 「 粒 子 」 とか 「ボ ソ ン」 と言 う言 葉 に置 き換 えて説 明 す る。 又 、 文 章 と式 番 号 に も必要 に応 じて適 宜変 更 を加 え る。 初 め に 、我 々は ここ で言 う とこ ろの不 完 全 気 体 を定. ル の 形 に よ ら な い 近 似 と言 う。 我 々は 非 常 に低 温 で の不 完 全 気 体 を 考 察 す る。 この と き 、 長 さ の 次 元 を 持 つ2個. の 重 要 な パ ラメー ター が. 三 あ る 。 即 ち 、熱 波 長 λ と平 均 粒 子 間 距 離 り3で あ る。 こ こ で 、v(ヴ イ)は 比 体 積(粒 子1個. 当 り の 体 積)v=ヱ. 義 して 置 こ う。 こ こで言 うとこ ろの不 完 全 気 体 とは① 粒 子 間 ポ テ ン シ ャル が有 限 の範 囲(又 は、有 限 の距 離). で あ る 。 熱 波 長 λは(1822)式. で 初 め て 定 義 され た 量 で. 内で 働 く。 ② 相 互 作 用 し合 う2粒 子 間 に、2粒 子 束縛. あ り 、(1822)式 乃 至(1827)式. で 説 明 が 加 え られ て い る。. 状 態 が存 在 しない 。③ この様 な条 件 下 で互 い に相 互作 用 す る とこ ろの 非 常 に希 薄 な粒 子 共 の系. λ. で あ る。. =. 2痂2 [(1822)式](3483) 海 β7. 非 常 に希 薄 な系 と した の は 、我 々 が粒 子 間相 互 作 用 を理想 気 体 に働 く小 さな摂動 と して取 り扱 う事 を 可能. は エ ネ ル ギ ー ㌔rを. にす る為 で あ る。 それ 故 に 、不 完全 気 体 とは 物理 気 体. 呼 ば れ る。 エ ネ ル ギ ー たβ7を 持 つ 、 質 量 溺 の1粒. (実在気 体 、 実 体気 体)に 対 す るモデ ル と して の 、理. 持 つ 、質 量 耀 の1粒. ド ・プ ロ イ(deBro91ie)波. 長. 子 の熱 波長 と 子の. λ伽 塊,,.. 想 気 体 に施 す 最 初 の 改 良に 当た る。 次 に 、非 常 に 低 温 と した のは 、低 エ ネ ル ギ ー量 子 力. λ_一. 仁. 学 的粒 子 共 が 到 達 距離 の 短 い短 距離 中心 カ ポ テ ン シ ャ ル に よ って 散 乱(弾 性 散 乱)さ れ る と き、 量子 力 学 の 散 乱理 論 に よれ ば 、散 乱波 で あるs波(角. 塑[(1823)式](3484) 溺v. とは、. 運 動 量0の. λ読. 1. 鰯. 伽=α564福 軸(3485). 部 分 波)の 散 乱 波 の位 相 のず れ δは 、低 エ ネル ギー の 極隙. → 。(ん 」 蒲. 又 はE一 伽)2-.邑. 醒 は入. 乃2溺2耀. 射 粒 子 の 質 量 、Eは. 入 射 粒 子 の エ ネ ル ギ ー)で. は、. δ旬_α距 「(3481) の 様 に 振 舞 う。 こ こ で 、 比 例 定 数 α は 長 さ の 次 元 を 持 ち 散 乱 半 径(散 乱 長)(scatteringlength)と. 呼 ば れ る。. α は 相 互 作 用 を 起 こ す 領 域 の 目 安 を 与 え る長 さ で あ る 。 実 際 、 低 エ ネ ル ギ ー の 極 限 ん→0で 4瑚2=(2の2π. は 、散 乱 断 面 積 は. と成 る 。 そ し て 、 これ は 半 径6の. 剛体球. の 関 係 に あ る 。(3483)式 7→0で. を 眺 め る と分 か る様 に 、低 温. は λは 極 め て 大 き く な る。 熱 波 長 λ と 平 均 粒. ⊥ 子 間距 離 ジ は似 た長 さ で あ る か も しれ な い。 そ して、 1 熱 波 長 λ と平均 粒 子 間距 離v3の 長 さ は粒 子 共 の入 れ ! 物 で あ る物 質 容 器 の 大 き さ(長 さ)73よ. りは小 さい. と して も、短 距 離 中心カ ポテ ン シ ャル で あ る粒 子 間 相 互作 用 の ポテ ン シ ャル の及 ぶ 範 囲 よ りも、又 、 その他. に よ る散 乱 断 面積 と同 じで あ る。 我 々の 此処 での 文 章. の、問題 中に 現 われ る どの 様 な そ の他 の長 さ共 よ りも、. は 、 岩 波 理 化 学辞 典 第4版(岩. 遥 か に長 い と考 え られ る。. 波書 店)と 物 理 学 辞 典. (培風 館)の それ ぞ れ 、 「 有 効距 離(粒 子 の散 乱 の)」. 量 子 力 学 で は、1個 の粒 子 はそ の ド ・プ ロイ波 長 の.
(5) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(17)一. く量 子 統 計 力 学9>. 161. 内側 で は、 その位 置 は 局 在化 され る事 は で きず 、位 置 の不 確 定性 を持 っ。 系 中の 電子 間 相互 作 用 を持 っ が ほ. 小 さなパラメー タ弓. と斗 曝. られ る事 が 出 来 る 方 法 を 定 式 化 した 。 こ の 方 法 は 偽 ポ テ ン シ ャル 法(methodofpseudopotential)と. 現 在 の 場合 、1個 の粒 子 の不 確 定性 に よ る広 が りは λ. で得. v3. と ん ど 自 由 な 粒 子 を 考 え る場 合 、 ド ・プ ロイ 波 長 丑翻1。蜘 は熱 波 長 λ に よ っ て 置 き 換 え ら れ る 。 即 ち 、. も低 いオーダ. 呼 ばれ て. い る。. で、粒 子 間 の短 距離 中心力 相 互 作用 ポテ ン シ ャル領 域. 粒 子 聞 ポテ ン シ ャル が 剛体 球 ポテ ン シ ャル で は無 く. よ りも遥 か に大 き い。 故 に、 任意 の指 定 した1つ の粒. て 、 束 縛 状 態 を 持 た な い と こ ろ の 有 限 領 域 に 分 布 した. 子 の 相 互作 用 領域 内に別 の1つ の粒 子 を見 出す確 率 は. ポ テ ン シ ャ ル の と き に は 、質 量 膨 の 亙 個 の 同 等 粒 子 共. 不確 定性 に よる波 動 関数 の広 が りが大 きい が 故 に極 め. か ら成 る 不 完 全 気 体 に 対 す る 有 効 ハ ミ ル トニ ア ン は 、. て小 さい。 それ 故 に、1個 の粒 子 が有 効 に他 の粒 子 共. フ ェ ル ミオ ン 系 と ボ ソ ン 系 の 両 方 共 に 、 次 の 様 に 採 る. と相 互作 用 を経 験 す る事 は、 例 え 、粒 子 間 相 互 作用 ポ. 事 が で き る。. テ ンシ ャル が 大 きな値 を持 った と して も、少 ない 。又 、 不確 定性 に よって 空 間 中 に広 が っ てい る1個 の粒 子 は. Hザ 総. プ+4鷺. 嗣. み(3486). ポ テ ン シ ャル の平 均効 果 の み を体 験 す るの で 、粒 子 間 ポテ ン シ ャル の詳 細 は重 要 で はな い 。 既 に、(3481)式の上7行. αは散 乱 半径(散 乱 長)で. 目か ら(3482)式 の下10行. 目. ある。 この 有効 ハ ミル トニ. ア ンの 固有 値 共 は不 完 全 剛体 球 気 体 に 対 して は02の. に掛 け て説 明 した様 に、量子 力 学 の散 乱 理 論 に よれ ば、. オ ー ダー ま で 正 しい 固有 値 共 で あ る。 他方 、一 般 の不. 低 エ ネ ル ギ ー散 乱 左→0〈 実 際 は 、非 常 に低 温r→0を. 完全 気 体 に 対 して は 固有 値 共 は αの最 低 オ ー ダー で正. 考 え る。)で は1個 の粒 子(ボ ソ ン)の 散 乱 は ポ テ ンシ ャル の 形 とは無 関係 とな る。 そ して 、 それ はそ のポテ ン シ ャル に よ る散乱 の実 験デ ー タ ー に合 わせ る事 に よ. しい 固有値 共 で あ る。(3486)式 で 注意 す る事 は 一 旦rが ∂7 エ ル ミー ト演 算 子 で な い の で 、(3486)式. の 有 効 ハ ミル. って 得 られ る1個 のパ ラメー ター で あ る とこ ろの 散乱 半径(散. 乱長)oの. 面 積 は4加2=(2の2π. み に 依存 す る。 こ の とき、 散 乱断 で あ り 、低 エ ネ ル ギ ー た→0で. の. トニ ア ンHガ. がエ ノ ヒ ミー ト演 算 子 で な い 事 で あ る。 し. か し、(3486)式 を導 き 出す 際 に 、(3486)式 が実 際 の問 題 の近 似 的 固有 関数 共 で あ る実数 固有 値 共 を持 つ事 を. 1つ の ポ テ ンシ ャル か らの散 乱 は 半径 αの剛 体球 に よ る散 乱 の様 に見 え る事 とな る。. と言 う事 は 心配 す る に及 ば な い。 有効 ハ ミル トニア ン. そ して 、上 で述 べ て き た事 柄 は 、非 常 に希 薄 な 系で あ り、粒 子 問 相 互作 用 を非 常 な低 温7→0(低. エネル. ギ ー ん→0)に お け る粒 子 共 の量 子 力 学 的散 乱 と して 、 理 想 気 体 に対す る小 さな摂 動 と して取 り扱 うと ころの ∼ 塊 の不 完 全気 体 は 、上 で 出て きた3個 の パ ラ メー タ 1 一 の 熱 波 長 λ と平 均 電 子 間 距 離v3と 半 径)α い る。 まPhys、Rev.105pp767-775. (1957)``Quantum-MechanicalMany-BodyProblemwith Hard-SphereInteraction"で. の非 エ ル ミー ト性 は(3486)式 の 固有 関数 共 が 実 際の 問 題 の 固有 関数 共 と至 る と こ ろ一 致 は しない が 、漸 近 的 領 域 中で のみ そ うな る と言 う事 実 を反 映 して い る。 次 に 、(3486)式 の 偽 ポ テ ン シ ャル共 の. 4鷺. δ ￠一 嶋. (3487). 散 乱 半 径(剛 体 球. と で 記 述 され る 事 が 可 能 で あ る 事 を 示 唆 して. K,HuangandC.MYang喜. 証 明 して あ る ので 、 そ れ 淋 非エ ル ミー ト演 算子 で あ る. 、一 塊 の 不 完 全 気 体 の 低. 位 エ ネ ル ギ ー準位 共 を計 算 す る 目的 で 、 そ の系 の 正規 の ハ ミ ル トニ ア ン を 、例 え ば 、散 乱 半 径(散. 乱 長)α の. が、 摂動 論 にお い て 、 一 次 のオ ー ダー へ の み扱 わ れ る べ き小 さな摂 動 で あ る と看 倣 され る な らば 、そ の とき、. 演算子審 ・は・良い振 る鋤. を鰯F襯. 舳 粒子波. 動 関数 共 に、 常 に作 用 す る で あ ろ う。 それ 故 に、 演算 子 互,は1に ∂7. 等 しい と置 く事 醐. 来 る諏. に識. 々は. 様 な 、 散 乱パ ラメ ー ター 共 のみ が 表 立 っ て現 れ る とこ. こ の と き 、 次 の 有 効 ハ ミル トニ ア ン を 用 い て 計 算 す る. ろ の 、 有 効 ハ ミル トニ ア ン に よ っ て 置 き 換 え る 事 が で. 事 が 出来 る。. き る 事 を 示 した 。 そ して 、 そ の と き 不 完 全 気 体 の 分 配 関 数 は そ の 有 効 ハ ミル トニ ア ン の 助 け で 計 算 す る 事 が で き て 、不 完 全気 体 の総 て の熱 力 学 的 関数 がそ こか ら. Hげ一一 蓋か. ・4響 Σ嗣 κノ [(2996)式 、(3480)式](3488). 既 に 、 述 べ た 様 に 、(3488)式 の 有 効 ハ ミル トニ ア ン は 一 次 の 摂 動 論 へ 適 用 す る 目的 に 対 して の み 有 効 で あ る. 。.
(6) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 162. 民Huang著"Statistical恥chanics"第2版(新 のpp476-477の. 付 録 の(ん36)式. 版). と(ん42)式. に 、6に. 付. い て の 一 次 の オ ー ダ ー で 、1V粒 子 系 の ボ ソ ン 共 と フ ェ ル ミ オ ン 共 とに 対 して の エ ネ ル ギ ー が そ れ ぞ れ 与 え ら れ て い る。 ボ ソ ン 共 に 対 し て は 、. (3496)式. は1Vが. 極 め て 大 き い 値 で あ る の で 、 〈3495)式. で 誓 に対 して 多 を無視 した近似の式である。この式 (3495)式. と(3496)式. は 次の 条件 下 で の み有 効 で あ る。. _1. [(A.42)式]〈3490) で あ る 。 但 し 、1V.≡. 双 ↑,1琉. 幻v↓ で あ る 。(3489)式. の 導 出 は 先 に 挙 げ たKHuangandC.N.YangのPhys. Rev.105pp767-775(1957)中. のp772に. 但 し、 こ こ で、 彦は粒 子 共 の任 意 の対 の相 対 的 波 数 で あ る。. あ る。(3497)式 (3480)式[(2996)式. 、(3488)式]の. 有 効 ハ ミル. ン π げ が 理 解 で き た の で 、 我 々 は 話 を 先 へ 進 め る。. 希薄 な系 にお け る粒子 間相 互作 用 を非 常 な低温 7→0に. の 条 件 は 、vが. 比 体 積 ソ=ヱ で あ る の. トニ ア. お け る量 子 力 学 的散 乱 と して 、理 想 気 体(自. 1 でv3は 平 均 粒 子 間距 離 で あ る。そ して 、αは剛 体 球 半 径(散 乱 半 径 、 散 乱長)で あ る。 αは 当然 ポテ ンシ ャ ル の到 達 範 囲 の 目安 を与 える ところ の 有効 半径 ㌃ よ り. 由粒 子 気 体)に 対す る小 さな摂 動 と して 取 り扱 うので. も小 さい 。(3485)式 の下4行. あ った 。 我 々 は今 、系 の 摂 動 を受 けな い 自由粒 子波 動. 様. 関数 共 を Φ。と書 く。. 目辺 りか ら説 明 して あ る. 1 に、平 均 粒 子 間 距離v3の 長 さは短 距 離 中 心力 ポテ ン. シ ャル で あ る粒 子 間相 互 作用 のポ テ ン シ ャル の 及 ぶ範 囲 よ りも遥 か に長 い と考 え られ るか らで あ る。 故 に 、 三 ρ<1㌦<<v3(3499). Φ。共 は 摂 動 を 受 け な い 系 の 占 有 数 共{・・,・,,…}によ っ. て 識 別 され る 。 η,は運 動 量pを. 持 つ ボ ソ ン(ボ ー ス 粒. で あ る。 次 に、(3498)式 の条 件 は 、系 の粒 子 共 は いず れ も 非常 な低 温7→0、. 子)の. 数 で あ る。(3480)式[(3488)式]の. 用 が あ る と き の 有 効 ハ ミル トニ ア ンHげ. 粒 子 間相 互 作 を用 い て 、 α. 即 ち 、 ん→0の 低 エネ ル ギ ー. 状 態 にあ る。 故 に 、粒 子 共 の任 意 の対 の相 対 的波 数 で あ る と こ こ で 定 義 され た 彦(本 来 は 藍 と書 くべ き か。)は ほ とん ど0か 、例 え、一 方 は他 方 に対 して励 起. に つ い て 一次 ま で で計 算 したエ ネ ル ギ ー準 位 共 は次 の. 状 態 にあ っ て もそ の差 は無 限小 に近 い値 で あ る か らで. 様 で あ る。. あ る。 ん=0(撰=0)(3500). であ る。 最 初 に 、(3496)式 対0度{ノ. が 含 む 意 味 を 考 察 し ょ う。 系 が 絶. ニ0)に あ っ て 、 系 を 構 成 す る ボ ソ ン共 が 総 て. 完 全 に ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮 して い る と き に はp≠0に. 対 し て 総 て の η,=0で. 対 し て 刀p(。 。)≡η。=Nで. こ こ で 、 最 後 の 式 の 右 辺 第2項. あ る 。そ して 、p=0に. あ る 。 故 に 、 我 々 は(3496)式. よ. く3494,. り、 自由 ボ ー ス 系 の とき0で あ っ た全 系 の基 底 状 態 の. ヘ ボ ソ ン共 に対 す る. エ ネル ギー の 、粒 子 間相 互 作 用 を考慮 した ときの 全 系. (3489)式 の 結 果 を使 う。 我 々 は 次 式 を 得 る。. の 基底 状態 に対 す るエネ ル ギー 補 正(エ ネ ル ギ ー増 加).
(7) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(17)一. く量 子 統 計 力 学9>. 163. とな る。故 に 、1粒 子 当 りの 平均 のエネ ル ギー 変位(エ は 質 量 密 度 で あ る 。(3503)式[(3504)式]の 状 態 で 持 つ1粒. 生. は基 麿. ネ ル ギー 上 昇)は. 子 当 り の エ ネ ル ギ ー で あ る。 即 ち 、 自. 由 ボ ー ス 系 の と き0で. あ った エネ ル ギー が粒 子 間相五. 作 用 の た め に 、 こ れ だ け 補 正 さ れ る の で あ る 。(3504: 式 の最 後 の 式 か ら明 らか な様 に 、 童. は 散 乱 半 径(謬. 右. と な る 。 こ う し て 、 我 々 は 各 々 の 粒 子 が η2-1に. 比例. す るエ ネ ル ギー の増加 を持 つ事 を期 待 す る事 が で き る。 乱 長 、 剛 体 半 径)oと. 質 量密 度 ρ とに比例 す る。. こ こ で、 改 め て 、 〃は 屈折 率 で あっ た 。. 粒 子 間 相 互 作 用 を 考 慮 す る 事 に よ り生 じた 全 系 の 差 底 状 態 に 対 す る エ ネ ル ギ ー 補 正(エ (3502)式[(3501)式]、. 又 は 、 そ れ の1粒. と こ ろ の 平 均 の エ ネ ル ギ ー 変 位(エ (3504)式[(3503)式]は. ネ ル ギ ー 上 昇)￠ 子 当 り に した. ネ ル ギ ー 上 昇)￠. 「光 学 の 屈 折 率 近 似 」 の 基 礎 ￠. △E㏄ η2_1(3514) 媒 質 を光 波 の振 動 数 で振 動す る微 視 的 な 電気 双極 子 能 率 の集 合 と看 徹 し、 こ れ が 光 波 に よ り強 制 振 動 され 2次 波 を 放 射 しそ れ と元 の 光 波 と合 成 波 を 作 る 。 こ う し て 媒 質 中 を光 が 伝 播 す る。 こ の と き 媒 質 の 誘 電 率 は. 上 に 期 待 され る も の で あ る 。 即 ち 、 も し も我 々 が 、 厘. 次 式 で 書 く 事 が 出 来 る。(B.Rossi著. 1の 様 に 系 が 屈 折 率 η の 一 様 な 光 学 媒 質 で あ る か の 構. (8-49)式). に 考 え て 、質 量 泌 の 各 々 の 粒 子 が 真 空 中 か ら入 射 角 θ1 速 度v、 で 入 射 し て 、 境 界 面 で 屈 折 角 θ2、速 度v,で. 雇. 折 して そ の 系 を 通 過 し て 運 動 す る と想 像 す る な ら ば 、. ア. 「oPTIcs」. の. __'角.、. Tω. 醜騨ω一. こ こ で 、2V,は ゴ番 目 の 種 類 の 質 量 〃2、 、 固 有 振 動 数 ω。 、 の 振 動 子 の 単 位 体 積 当 りの 数 で あ る 。 一 方 、 電 磁 波 の 理 論 に よ る と 、 真 空 中 の 光 速o。 は.
(8) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 164. シ ャル を 同一 の散 乱 長 αに 起源 を与 え る とこ ろの、 そ の様 な 半径 と深 さを持 つ 方形 井 戸 型 ポ テ ン シ ャル に よ って 置 き換 える事 が 出来 る。 今 、系 を 通 して 運 動す る とこ ろの1粒 子 か ら眺 め た とき、系 の 残 りの1V蝋 個 の 粒 子 共 の提 供す る個 々の方 形 井 戸 ポ テ ン シ ャル は互 い に重 な っ て一 定 ポテ ンシ ャ ル面 を作 る 。 そ して 、それ はそ の 系 の媒質 の様 に 考 え る事 が 出 来 る。 そ して、 こ の有 効 一定 ポ テ ン シ ャル 面 の深 さは も ち ろん散 乱 長 θ を得 る。. に比 例 す る。. さて 、今 、我 々は媒 質 を構成 してい る振 動子 の種 類 は一 種 類 で あ る と し、体積7中. に 万 個 の振 動 子 が あ る. も の と仮 定す る。 この とき、 改 め て. (3495)式 も し くは(3496)式 を眺 め よ う。 そ の最 後 の 項 の 一去Σ ・;は純 粋 に量 子 力 学 的 起 源 を 持 つ 項 で あ P. る。 この項 は総 ての 励 起 され た 粒 子 共 が 同 じ運 動 量状 態 に在 る と き最 大 の 負 の値 を取 る。言 い 換 え るな らば 、. レ. で あ る 。 そ して 、 光 の 角 振 動 数 の は振 動 子 の 固 有 角 振. この項 の きき め で粒 子 聞相 互 作 用(粒. 子 間 反発)に よ. 動 数 ω。に 較 べ て 無 視 で き る位 小 さ い とす る。こ の と き 、. る系 のエ ネ ル ギー 変位(エ ネ ル ギー増 加)は 総 ての粒. (3521)式. 子 共 が 同 じ運動 量 状 態 に在 る と き最小 に な る。そ して 、. は次 の様 に な る。. そ れ を更 に 言 い換 え るな らば、 粒 子 共 は空 間反 発相 互 作 用 を最 小 にす るた め に 同一 の 運動 量 状態 へ 集 ま る傾 向を持 っ と言 う事 が 出 来 る。 これ を我 々 は 「 粒子 共 の 空 聞反 発 相 互作 用 が粒 子 共 の運 動 量 空 間 引力(運 動 量 空 間凝 縮)へ 導 く。」 と称 す る。 これ は2粒. 子 間 の相 対. の結 果 を持 つ。(3514)式 が語 る様 に媒 質 中 で は各 々 の. 的 距離 と相対 的 運 動 量 と言 う互 い に 正 準共 役 な対 に対. 粒 子 が 〆-1に 比 例 す るエ ネ ル ギ ー増 加 を持 っ。 こ う. す るハ イ ゼ ンベ ル グの不 確 定性 原理 の 結 果 で あ る。. して 、この 描 像 「光 学近 似 、屈折 率 近似 」の上 に 、我 々. (3488)式 の直 ぐ下 で記 述 した様 に 、 有 効 ハ ミル トニ. の粒 子 間 相 互 作用 を持 っ ボー ス 系 の全 系 のエ ネ ル ギ ー. ア ン の(3488)式 は 一 次 の摂 動論 へ適 用 す る 目的 に対 し. 増 加 が 〔7〕Nに 比 例 す る事 を期 待 す る・これ が(35・2) 式 に 反 映 され て い る。又 、1粒 子 当 りの エネ ル ギ ー増. て のみ 有効 で あ った。(3496)式[(3495)式]は. 得 られ た 一 次の オ ー ダ ーで の ボ ソン 系 のエ ネル ギー 共 E.で あっ た。系 の非 常 に低 いエ ネ ル ギ ー 状 態 共 に対 し ウ一 〇°. Σ ・. (3503)式. 、. 7. 和. て. 加 は 亙 に 比 例 す る事 を 期 待 す る。 そ して 、 こ れ が. こ う して. 中 の唯 一 重 要 な項 は基 底 一 粒 子 状 態 の. の 真 中 の 式 に 反 映 さ れ て い る。. 粒 子 問相 互 作 用 が あ る と きの全 系 の基 底 状 態 に対 す る エ ネ ル ギ ー 補 正(エ. ネ ル ギ ー 増 加)の. [(3501)式]と. 子 当 りの エ ネ ル ギ ー 補 正(エ. ル ギ ー 増 加)の. そ の1粒. 式 の(3504)式[(3503)式]を. 式 の(3502)式. ・;← 。))の項 で あ る.故. ネ. 互 作 用(粒 子 間 反 発)が あ る とき の 、 非 常 に低 い エネ. 眺 め て 、そ. ル ギー 準位 共 を良 い近 似 で 次 の様 に書 く事 が 出来 る。. 細 に解 釈 す る と次 の様 に理解 で き る。 (3502)式[(3501)式]と(3504)式[(3503)式]の. ち、 それ は 礁. に 、我 々 は(3496)式 か ら一 次 の オー ダ ー で 、粒 子 問相. の 式 を 上 述 の 「光 学 近 似 、 屈 折 率 近 似 」 よ り も よ り詳. 共 に系 が絶 対0度(rこ0)に. 寄 与 で あ る.即. 両式は. あ っ て、 系 を構 成す る ボ ソ. 恥 輪+4劉. 解 一シ の(3525). 基 底 状 態 に お け る ボー ス粒 子 数 η。が1だ. け変 化 して. ηゴ1に な った とき 、 これ は 運動 量状 態p=0か. ら上位. ン共 が完 全 にボ ー ス ・アイ ン シ ュ タイ ン凝縮 して い る. 状 態 の無 限小 運 動 量状 態 へ1粒 子 が励 起 され た 事 に対. と して得 られ た と ころ の、粒 子 間 相 互作 用 が あ る とき. 応 す るが 、 この とき 、上 式 よ り有 限量 のヱ ネ ル ギー. の 、即 ち、 粒 子 問 に 引力 が働 く ときのエ ネル ギー 変 位 (エネ ル ギー 増加)で. あっ た。 そ して 、そ の変 位(エ. ネ ル ギー 増 加)の 大 き さは 、式 か ら分 か る様 に、 唯 一 のパ ラ メー ター で あ る散 乱長 αの み に よ って特 徴 づ け られ てい る。 故 に 、 それ は 非常 に 低 エネ ル ギー で は粒 子 間 の 相 互 作 用 は粒 子 間 ポテ ン シ ャル の形 に依 存 しな い と も理解 出 来 る。 故 に我 々 は、 実 際 の粒子 間ポ テ ン.
(9) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(17)一. を 必 要 とす る 。 こ れ は 有 限 の 量 で あ る 。 こ う し て 、1 粒 子 エ ネ ル ギ ー ス ペ ク トル は エ ネ ル ギ ー の0点 △ だ け 分 離 す る 。 尚 、(3525)式 エ ネ ル ギ ー 差 は(3476)式. か ら量. の 右 辺 第 一 項 か ら来 る. か ら見 る 通 り無 限 小 で あ る。. く量 子 統 計 力 学9>. 165. 出 来 る と言 う事 を指 摘 す る の に 役 立 っ て い る 。 事 実 、 上 述 図2の. エネ ル ギー 間 隔 は 一 次 の摂 動 論 の. 式 の み の 特 徴 で あ る。 エ ネ ル ギ ー 準 位 共 が 摂 動 論 で も っ と 高 次 ま で 計 算 され る と き 、 そ の エ ネ ル ギ ー 間 隔 は 消 失 す る 。 以 下 に 書 く 数 行 の 文 章 はK.Huang著 「StatlsticalMechanics(2ndedition)」 8行 目か ら 下4行 訳)代. のp295下. 目 ま で の 文 章 の 直 訳 で あ る 。(以 下 直. わ りに 、基底 状態 の直 上 で 専 ら準位 密 度 の減 少 ユ. の み が あ る 。 そ して 、 一 粒 子 ス ペ ク トルZを1つ 2溜 フ オ ノ ン ス ペ ク トル 璽. 2珊. の. へ 変 化 させ て い る。 こ こで 、. cは 定数 で あ る。 準位 密 度 が 基底 状 態 の直 上 で 厳密 に 0で あ る と言 う事 を暗 示 す る とこ ろの 「 エ ネ ル ギー 間 隙(gap)」は 諸 問題 の 実 際 の 状態 に対す る粗 い近 似 で あ る。(直 訳 終 わ り。)こ の説 明 のま ま で は未 だ理 解 困難 で あ るが 、詳 しい事 にっ い ては 、 希薄 ボー ス気 体 の有 そ して 、 それ 故 に 、全 系 の一粒 子 エ ネ ル ギ ー 準位 ス ペ ク トル は 基 底 状 態p=0準. 位 を 占め る ボ ー ス粒 子 数. が η。な ら η。の 系 で 、 η。-1な ら η。-1の 系 で 、 η。-2な ら η。-2の 系 で 、 そ して 、 η。-3な れ ぞ れ が1つ. ら η。-3の 系 で 、 そ. の 連 続 シ リー ズ か ら成 っ て い る。そ して 、. 各 々 の 系 は 図2が. 示 す 様 に有 限 のエ ネ ル ギー 間 隔 だ け. 効ハ ミル トニ ア ン、エ ネ ル ギー 準位 、 波動 関数 と して 又節(§ 〉を改 めて書 く。 上 に述 べ て来 た議 論 共 は厳 密 な議 論 で は なか った と は 錐 も、 そ れ 等 の 議 論 は 、 エ ネ ル ギ ー 準位 共 の 式 の (3496)式 が ボ ソ ン間 の反 発 相 互 作用 の 効果 の多 くの 定 性 的 特 徴共 を備 えて い る事 を、明 らか に して い る。我 々. 他 の も の 共 か ら 分 離 して い る 。 も し も 、 系 を 励 起 す る. は これ 等 のエ ネ ル ギ ー 準 位 共 を非 常 に低 温 で 体 積7. 為 に 外 部 か ら非 常 に 小 さ な1つ. の箱 中 に入 っ た質 量 初 のN個. のエ ネ ル ギ ー 量 が投 入. の 同 等 な ス ピンの な い. され る な ら ば 、 基 底 状 態 に 在 る粒 子 共 の 励 起 は 例 え ば. ボ ソンか ら成 り、且 っ 、そ のボ ソン共 が散 乱長 αで 特. △ の 有 限 の 大 き な エ ネ ル ギ ー 量 が 必 要 な の で 、 こ こで. 徴 付 け られ た2粒 子 衝 突 を して い る希 薄 な系 の分 配 関. は基 底 状 態 にな い粒 子 共 のみ が影 響 を受 け る様 な遷 移. 数 を計 算す るの に使 用 す る。 この 計算 の有 効性 につ い. の み が誘 導 され る事 とな る。 そ して、 この意 味 で系 は. て は我 々 は計 算 を続 け て行 く中で議 論 す る。. 超 流 動(superfluid)の. 幾つ か の性 質 を示 す。 即 ち 、基. 我 々は 、 これ か ら、簡 単化 され たエ ネ ル ギー 準 位 共. 底 状 態 中 の ボ ー ス粒 子 共 は 臨界 量 △ よ りも 高 い エ ネ. の式 の(3525)式 を採 用 す る。 即 ち、我 々は 考 察 して い. ル ギ ー が 外 部 か ら系 へ 移 入 され る ま で 粘 性 の 様 な そ の. る ボ ソン系 のエ ネル ギー 準 位 共 が 次 の様 で ある と取 る。. 様 な 性 質 を 示 さ な い 。 但 し、 図2が 示 す 様 に エ ネ ル ギ ー 間隔 はη 。の 関 数 で あ る 事 に 注 意 し な け れ ば な らな い 。 更 に 、 既 に 書 い た 様 に 、(3496)式[(3495)式. 瓦一輪+4夢. 〔M一 詞. 】の 最. 後 の項 の 迭 Σ ・;は量子力 学的起源 を持 つ項 であっ P. [(3525)式](3527) これ は(3525>式. の 所 で も書 い た 様 に 、 一 次 の オ ー ダ ー. で 粒 子 間 相 互 作 用(粒. 子 問 反 発)が. あ る とき の、 非 常. た の で、 一 次 の オ・ 一ダー の摂動 計 算 で得 られ た こ こで の エ ネ ル ギ ー(E .で も △で も)は 、 どん な 意 味 に於. に低 い エネ ル ギー準 位 共 を 良い 近似 で表 わ してい る式. い て も、〃 個 の 一粒 子 寄与 に渡 る単 純 和 で あ る と心 に. の 温 度 が 低 い と き 、 こ の 式 は 元 々 の(3496)式. 思 い 描 く事 は 出来 ない。 そ れ は総 て の ボー ス粒 子 共 の. に 同 じで あ る の で あ る 。 尚 、(3527)式. 共 同の 寄 与 を含 んで い る。 一 次 の 摂 動 計算 で 得 られ たエ ネ ル ギ ー スペ ク トル の. 1-,η,,…}の 省 略 形 で あ る 。 こ れ を 勉p}と も 書 く 。 下 付. み に 基 づ い た 上述 の 議論 は、粒 子 問 相 互作 用(反 発 相. で あ る。即 ち、僅 か の粒 子 共 の み が励 起 を受 け る程系 と定 性 的. のE .の 添 字 η は. 添 字pは 運 動 量ベ ク トル で あ る。. 互 作 用)を 持 っ不 完 全 ボー ス気 体 の ボ ー ス ・アイ ンシ. 我 々 は初 め に正準 集 団 の分 配 関 数 を計 算す る。 そ の. ュ タイ ン凝 縮 で の結 論 的結 果 と取 るべ き で は ない 。 そ. 際、我 々は 、我 々の考 察 を次 の領 域 に 限 定 して行 な う。. れ は む しろ 示 唆 的な もの と取 るべ きで あ る。 そ れ は粒 一. 子 間 相 互 作用 の結 果 と して、基 底 状 態付 近 の ボー ス 気 体 の エ ネル ギー 準位 密 度 が 強烈 な変 化 を経 験 す る事 が. λ. 且 つ 、. く<1. (3528).
(10) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 166. 系 の 熱 力 学 的 諸 量 と の 関係 は 、 系 の 分 配 関 数 Z(廻 凡7)が 分 か れ ば 総 て 求 ま る。 そ して 、 そ の 関係 初 め の(3528)式 ら(3486>式. の 条 件 は 、〈3481>式 の 上18行. の 上7行. 散 乱 半 径(散. 目 辺 りか. 目辺 り に 掛 け て 説 明 して あ る様 に 、. 乱 長)θ. は 、2粒. は 次 の様 で あ っ た。 ヘル ムホル ツ の 自由エ ネ ル ギー. 子 が 相 互 作 用 を起 こ す. 領 域 の 目安 を 与 え る 長 さ で あ っ て 、 剛 体 球 散 乱 の 場 合 の 剛 体 球 半 径 で あ る。 他 方 、 λ は(3483>式 る 熱 波 長 で あ っ て 、(3527)式 に 低 温7→0で. で 定義 され. の モデ ル が成 立 す る非 常. は 、 λ は 極 め て 大 き な 値 と な る か らで. あ る 。 次 に 、(3529)式. 粒子融. の嗣. の 条 件 を 考 え て み る 。vは. である醐. 平均. ま今 粒子間. 相 互 作 用 を理想 ボ ー ス気 体 に働 く小 さな摂 動 と して 取 り扱 う事 が 出来 る とこ ろの極 め て希 薄 な 系 を 考 えて い . ユ. る の で 、v3は. 極 め て 大 き い 。 そ し て 、 λ とv3は. 似た. 長 さ で あ る か も しれ な い 。 故 に 、. L∼り乙リノ∫、、Udb5ノ 武 」. 曳Jb5bノ. (3527)式 の ボ ソ ン 系 の エ ネ ル ギ ー 準 位 を 用 い て 、. で あ る。 いず れ に して も、熱 波 長 兄 と平 均 粒 子 間 距離. (3531)式 の 定 義 式 よ り、 我 々 の 系 の 分 配 関 数 を 次 の 様. 王 v3の 長 さは粒 子 共 の入 れ 物 で あ る物 質 容 器 の 大 き さ. に 書 く事 が 出 来 る 。. ! (長 さ)73よ. りは 小 さい と して も 、短 距 離 中 心 カ ポ. テ ン シ ャル であ る粒 子 間相 互 作用 の ポテ ン シ ャル の及 ぶ 範 囲 よ りも、又 、そ の他 の問題 中 に現 れ る どの様 な そ の他 の長 さ共 よ りも、遥 か に長 い と考 える の で あ る。 我 々が これ か ら議 論 す る諸 問題 中で、 散 乱 半径(散 乱 長)ρ. を含 む 問題 が 出 て 来 た とき に は 、(3528>式 と. (3529)式 の 豆 と 童. が 唯_の 鰍. λv. な る。 尚 、(3492)式. 元,〈ラメ_タ_と. の 直 ぐ上 で 述 べ て い る様 に 、 我 々. の モ デル は σの一 次 の オー ダー に のみ 有 効 で あ る。 我 々 が 考 察 して い る 系 は 量 子 統 計 力 学 の正 準集 団 (カ ノ ニ カ ル. ア ン サ ン ブ ル)で. は 以 前 の 節(§)9量 ル. ア ン サ ン ブ ル)の. の 節(§)中. の(613)式. 数(partitionfunction,状. あ る。 これ に つ いて. 子 統 計 力 学 の 正 準 集 団(カ ノ ニ カ 節 で議論 してい る。 そ して 、そ は 正準 集 団 の 量 子 力 学 的 分 配 関 態 和su田overstates>の. 定義 式 で ある。 を 導 入 す る 。 熱 波 長 λは(3483)式. 系 は体 積7、 粒 子 数1Vで 構 成 され 、温 度7の. 大 き な熱. 浴 に接 して熱 浴 とエ ネル ギー の遣 り取 りを しな が ら温 度7の. 熱 平衡 状 態 に あ る。量子 統 計 力 学 の 正 準集 団 と. で あ るの で、.
(11) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(17)一. 「 一. γ1▼. く量 子 統 計 力 学9>. 167. ㌦0し月i1ノ. で あ る 。 次 に 、 こ れ 等 を(3538)式 の 計 算 を 更 に 続 け る 。(3538)式. へ代 入 して分 配 関数 の 分 配 関数 の 計 算 は 次. の 様 に 続 く。. C27.ろ[(3399)式 で あ る 。 次 に 、(3547)式. 中 の λ2へ(3540)式. 】(355。. 〉. の熱 波 長 の. 定 義 式 を 代 入 す る と 、 一 粒 子 当 りの ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由エ ネル ギ ー の式 は 更 に次 の様 にな る。. は 理想 ボー ス気 体 の 正 準集 団 の量 子 力 学的 分 配 関数 で ノ!噌. 、h. で あ る。 〈〉 。は あ くま で も理想 ボー ス 気 体 に 関 しての の熱 力 学 的 平均 を表 わ して い る。 (3532)式. と(3544)式. 由 エ ネ ル ギ ・-Fは. とよ り、系 のヘ ル ム ホル ツの 自. 次 の様 に な る。. 熱力学 的平均 勘 前 の 節(§)41ポ. F締,1り. (3340)式. している・(3552)式の く 蛾. は以. ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮. 中の. に よ っ て 与 え られ て い る 。. (3546) 故 に 、 一 粒 子 当 りの ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー は 次 の様 にな る。. こ こで 、. F(・)濡一ん。7bg。z(°)(嚥,}の. (3548). ヘ ル ムホ ル ツの 自由エ ネ ル ギ ー に 関す る(3551)式 の 結 果 は 、p=0状. 態 に 在 るポ ソン粒 子 数 η。が 理 想 ボ ー. は粒 子 間 相互 作 用 の な い理 想 ボ ー ス気 体 の ヘル ムホル. ス気 体 に 関 して の熱 力 学 的平 均値 に よっ て置 き換 え ら. ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー で あ る 。 そ し て 、F(ω の 値 は 、 以. れ て い て 、 そ して、 そ の事 よ って それ 等 を熱 力 学 的 パ. 前 の 節(§)41ボ. ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮. ラ メー ター へ変 化 させ て い る事 意外 、理想 ボー ス気 体. 中 の 式 の(3398)式. と(3399)式. の項. に 与 え られ て い る 。即 ち 、. のヘ ル ム ホ ル ツ の 自由 エ ネ ル ギ ー F(o) と(3527)式 中.
(12) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 168. は ボ ー ス粒 子 間 に相 互作 用 の な い理 想 ボー ス気 体 の圧 力 で あ る 。 そ して 、 ア(°)の 値 は 、 以 前 の 節(§)41ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮 の 項 中 の 式 の(3369)式 と(3370)式. ＼川. ノ. に 与 え られ て い る。 即 ち 、. 、澗10. で 置 き 換 え ら れ て い る 。1 の 和 で あ る と言 う、 非 常 に 簡 単 な 結 果 と な っ て い る 事 が分 か る。 次 に 、(3534)式. と(3544)式. と か ら 、 系 の 圧 力Pは. ち に 得 られ る 事 が 出 来 る 。 即 ち 、(3544)式. 直. よ り、. で あ るの で 、 ξ と壁. 酌. れ る 。(3553)式 -1■. (3555) 【が へ(3540)式 故 に 、(3534)式. の 表 現 を 代 入 し た 。]. よ り系 の 圧 力Pは. 聯,レ)=4∂. 、. 多1・ 翫zl聯,}の. の計 算 は(3553)式 を使 っ て得 ら. の 上方 の式 か ら次式 を 得 る。.
(13) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(17)一. 以 前 の 節(§)41ボ の 図9の. く量 子 統 計 力 学9>. 169. ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮. 理 想 ボ ー ス 気 体 のP4図. 中. で は 、 遷 移 曲線. 互. P慌. 〕2脚. 睡. 方の空間は鰍. るもの. に も 対 応 せ ず 、 ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮 相 は 遷 移 曲 線 そ れ 自 身 の 上 に 在 っ た 。 しか し 、 そ れ と は 対 照 的 に 区 別 され て 、 こ の 節(§)の 個 の 図4で. は遷 移 曲線. の 上 方 の 空 間 が 今 や ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮 相 に 対 応 し て い る。 次 に 、(3533)式 と(3544)式 とか ら系 の 内 部 エ ネ ル ギ ー σ が求まる 。(3544>式 よ り 1・翫Z偏,レ)-1・9 も ち ろ ん 、P(°)は(3560)式 図3は. と(3561)式. 。Z(°)(乙 を,レ). で あ る。. '!一. 。、. 、. 粒 子 問 相 互 作 用 と して の 反 発 相 互 作 用 を 持 つ. 不 完 全 ボ ー ス 気 体 の 等 温 線 を表 わ し て い る 。. て(3533)式. の 内 部エ ネ ル ギー を計 算 し な けれ ば な らな. い が 、(3553)式 V=00〃3'又. とく3562)式 の 関 係 よ り 、7く ろfbr. は 、V<Vc艶rr=00η3'の. 条件に対. して は 、. ξ諄レ㈲ 量一レ考. [(3553)式 上 】(3571). で あ る の で 、 計 算 は 次 の 様 に な る。 尚 、 上 式 の 右 辺 第 二 の 式 で は 、7はvσ. 図4は. 不 完 全 ボ ー ス 気 体 のP-7図. n. を表 わ して い る。. の 中 に入 っ て い る。.
(14) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 170. (3572) 次 に 、7>処fbrv需ooη3'又 r=oo〃 詳. は 、v>%fbr. の 条 件 に 対 して は 、. 、 一し. ξ=0【(3553)式. イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮. 中 の 関 係 式(3344)式. ー ス ・ア を思 い 出そ. う。 7イ. 、. 中 の σω は 、 も ち ろ ん 、. ー. と(3574)式. しT. と な る 。 こ こ で 、 我 々 は 以 前 の 節(§>41ボ 下 】(3573). で あ る の で、 計算 は次 の様 で あ る。. (3572)式. ノ. σ④)一 げ 〔 ∂ め導. 鋼. (3575) 7. で あ っ て 、 これ は粒 子 間 相 互作 用 の ない 理 想 ボ ー ス気 体 の 内 部 エ ネ ル ギ ー で あ る。そ し て 、そ の σ ω の 値 は 、 以 前 の 節(§)41ボ. ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮. 項 中 の 式 の(3394)式. と(3395)式 に 与 え られ て い る 。. !3たn乃. ノ.〆 、. 抽. の. リ ヲび. コ じ. と こ ろ で 、 乃 は 以 前 の 節 く§)41中 の(3292)式 ∩. よ り、. 各2. で あ る の で 、(3584)式[(3579)式. 】は 次 の 様 に な る 。.
(15) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(17)一. く量 子 統 計 力 学9>. 171. (3590)式 と(3591)式]を 図示 した もの で ある。 図 か ら分 か る様 に、転移 温度(臨 界 温度)委 で 曲線 は連 続 で あ る。(3586)式 と(3588)式 を 比較 しょ う。 こ う して 、粒 子 問反 発 相 互 作用 を持 つ 不 完全 ボ ー ス 気 体 の系 の 定積 熱容 量C7は. 転移 点 ろ を凝 縮相(液 体 ヘ リウ ム ∬)か ら. 通 常 の液 相(液 体ヘ リ ウム1)へ と横切 る とき 、 △￠-9黙. ①(3592). だ け減 少 す る事 が分 か る。 一般 に、潜 熱 を伴 わ ず 、 比 熱 に不 連 続 な い し発 散 が 見 られ る相転 移 が 二次 の 相転 移(第 二 種相 転移 、secondorderphasetfansition) で あ る。 故 に、(3592)式 の 結 果 よ り、粒 子 間 反 発 相 互 作用 を持 つ 不 完全 ボー ス気 体 のボ ー ス ・アイ ン シ ュタ イ ン凝 縮 は こ こま で の理 論 で は二 次 の 相転 移 で あ る。 他 方 、 理 想 ボ ー ス気 体の ボ ー ス ・アイ ンシ ュ タイ ン凝 縮 が 一 次 の 相 転 移 で あ る事 は 以 前 の 節(§)41中. の. (3464)式 の 直 ぐ下 で述 べ た。 しか し、我 々 は 現在 の こ の節(§)の 理論 の これ 等 の 結 果 共 か ら、 反発 相 互作 用 を持 つ 不完 全 ボー ス気 体 が 一般 的 に二 次 の相 転 移 で ある と言 う結 果 を推 論 す る事 は 出来 な レ幌. 在 のモ デ ル は 、単 に、も しも、亀 童 ￡v. にお け る高 次 効果 共 が無視 され るな らば転 移 が 二 次 の 転 移 で あ る と思 われ る事 を示 す に過 ぎ ない 。 しか し、液 体 ヘ リ ウム4(He4)の. 超 流 動 相(液 体ヘ. リ ウム 豆)と常流 動 相(液 体 ヘ リウム1)の 間の 相転 移 が 二 次の 相 転移 で あ る事 は 、比熱 が転 移 温 度 の 上 下 で λ 転 移 す るな ど、 実験 的 に支持 され て い る。 最 後 に、 我 々 は こ のモ デ ル の下 で 系 の熱 力 学 的 関数 の エ ン トロ ピー3と. ギブ ス の 自由エ ネ ル ギ ーGを. 計. 算 す る。 【 び ゜)はく3575)式 に 与 え られ て い る 。] で あっ て 、 これ は粒 子 間相 互 作 用 の な い理 想 ボ ー ス気 体 の 定 積 熱 容 量 で あ る 。 そ し て 、 そ のC曾. の値 は 以前. の 節(§)41ボ. ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮. の 式 の(3434)式. と(3435)式. に 与 え られ て い る 。 z〆. 、. ㌧1<1c踊 以 前 の 節(§)41ボ 中 の(3443)式. の項 中. 弱bノ堀. 影 リリ⊥,. ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮. の 直 ぐ 下 に 描 い た 図10は. 気 体 の 定 積 熱 容 量 の 式(3434)式. 、 理想 ボー ス. と(3435)式. に ごで の 、. 最 初 に エ ン ト ロ ピーSを. 計 算 す る 。(3535)式 と. (3544)式 とか ら系 のエ ン トロ ピーSが 求 ま る。(3535) 式 を も う一度 書 こ う。.
(16) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. で あ る 。(3553)式. と(3562)式. り=COη ∫ ご)く は 、V<VC角r7=00制. の 関 係 よ り、7<ろfbr の条 件 に対. して 嫉. (3608) で あ っ て 、 これ は 粒 子 間 相 互 作 用 の な い 理 想 ボ ー ス 気 体 の エ ン トロ ピ ー で あ る 。 そ し て 、 そ の 値3ω. は以前. の 節(§)41ボ. ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮. の項 中. の 式 の(3414)式. と(3414)式. に与 え られ て い る。.
(17) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(17)一. 、. 【(3415)式1(3610). 次 に 、我 々 は ギ ブ ス の 自 由エ ネ ル ギ ーGを. 計算 す る。. ギ ブ スの 自 由エネ ル ギー の 定義 式 は. く量 子 統 計 力 学9>. で あ る 。そ し て 、r>場fbrv=ooη5'又 {brr=ω. 競. ギ ーGは. 173. は 、v>Vc. の 条 件 に 対 し て 、ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル. 、. G=F+P7[(3410)式](3611) G-F(・)+4鮒. で あ る 。 ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ーFの (3551)式 に 求 め られ て い る 。 F罵F⑩)・4禦. 枷.P(・)7.4磁 η2v. 値 は. =F(・)+P(・)7+8加. 〔1-⊥ξ・ 2〕[(3551)式. て い る.乙. と(3550)式. 墨 の値 は(3553脚,与. 】(36・2) に与 え られ. え られ てい る.次. 値 は(3569)式. に 求 め られ てい る。. (3620). がπ 〃ル. 但 し 、F(°)は(3549)式 式 と(3561)式. に 、 系 の 圧 力Pの. (3619). がN η2v. =G(・)+8π. こ の 式 中 のF(o}の 値 は(3549)式. (3618). 乃2μ. 〃2v 2. と(3550)式. で あ る 。P(o)は(3560). であ る。 そ して 、. (3621) は粒 子 間 相 互作 用 の な い理想 ボ ー ス気 体 の ギ ブ スの 自 (}(o)=F{o)+P(°)7. 由エ ネ ル ギー であ る。. 参 考文 献 1)J.M.Ziman:"ElementsofAdvancedQuantum Theory"(CambrigdeUniversityPress) 2)高. 野 文 彦 著:``新. 物 理 学 シ リ ー ズ18多. 体 問 題". (培 風 館) 3)高. 橋 康 著;"新. 物 理 学 シ リ ー ズ16物. の た め の 場 の 量 子 論1,1"(培. 性 研 究者. 風 館). 4)K.Huang著:"StatisticalMechanics"(John Wiley&Sons,Inc)firsteditionsndsecond edition 5)A.M.Zagoskin著:``QuantumTheoryofMany-Body Systems,'(Spriger> 6)シ. ッ フ 著 、 井 上 健 訳:LL新. 版. 量 子 力 学 上 、 下". (吉 岡 書 店) 7)西 8)ラ. 9>ラ. 川 恭 治 、森 弘 之 著:"統. 計 物 理 学"(朝. 倉 書 店). ン ダ ウ ・ リ フ シ ッ ツ 著 、佐 々 木 健 、 好 村 滋 洋 訳: LL量 子 力 学1(改 訂 新 版)"(東 京 図 書> ンダ ウ ・リフシ ッツ著 、 小林 秋 男 、小 川岩 雄 、 富 永 五 郎 、 浜 田 達 二 、 横 田 伊 佐 秋 訳:"統 理 学 第3版. 上"(岩. 計物. 波 書 店). 10)ll.Fano:ReviewsofModernPhysics74vo129Nol (1955) 11)小. 田 恒 孝 著:cr統. 12)桂. 重 俊 著:"統. 13)キ. 華 房) 川 書 店). ッ テ ル 著 、 山 下 次 郎 、 福 地 充 訳:fLキ 熱 物 理 学"(丸. 14)小. 計 力 学"(裳 計 力 学"(廣. 暮 陽 三 著:"基. ッテル. 善 株 式 会 社) 礎 と応 用. 統 計 力 学"(森. 北 出.
(18) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 174. して の 電 子 と正 孔 の 新 しい 生 成 ・消 滅 の 場 の. 版) 15)田. 沼 静 一 郎 著:"電. 16)キ. ッテル 著 、 宇 野 良清 、津 屋 昇 、森 田章 、 山下 次. 郎 訳:"新. 子 伝 導 の 物 理"(裳. 版 固 体 物 理 学 入 門 上"(丸. 華 房). 演 算 子 を使 っ て の3マ. 善 株 式 会 社). 算例 *§2.17N積 *§2.18縮. こ の 論 文 は 拙 著 原 稿``多 体 問 題 と グ リー ン 関 数 と の 関係 の研 究. 高 等 量 子 力 学 入 門1",内 目次. フ ェル ミオ ン系 の量 子 力学. §1.1序 *§1.2状. 態 関 数 の 数 表 示 表 現 と生 成 ・消 滅 演 算 子 の. *§1。3ハ. *§1.4ハ. 約 積 が0と. ミル トニ ア ン を 生 成 ・消 滅 演 算 子 を 用 い て. ミル トニ ア ン の 運 動 量 表 示,フ ェ ル ミ真 空,. 表示. な る場 合. 定 理 の ダイ ヤ グ ラム 表 示. *§2.23Wickの. 定 理 の 計 算 例52式 規 形(N積. 中 の1項. 形 式)とWickの. *§2.25Feynmandiagramを. 定 理 の 関係. 眺 め た とき、 逆 にそれ. を 式 に 書 け る事 *§2.26グ. リー ン 関 数 の 定 義. *§2.27伝. 播 関数 の 定義. *§2.28実. フ ェ ル ミ 自 由 電 子 ・正 孔 系 の 記 述. 変 数 関数 の 定積 分 の値 を 複 素 積分 の留数 の 定 理 を応 用 し て 求 め る 事. *§1.5場. の演 算 子 の 導入 と交換 関係. *§1.6ハ. ミル トニ ア ン を場 の 演 算 子 を 用 い て 記 述. *§2.29Feynmandiagramの. す る事 *§1.7運. 定理. *§2.22Wickの. ら び に 生 成 ・消 滅 演 算 子 の 交 換 関 係. 記 述 す る事. ン トラ ク シ ョ ン). ト リ ッ ク ス のT積. *§2.24正. 言. 導 入,な. *§2.19Wickの. *§2.21縮. は じめ に 第1章. 約 積(コ. *§2.20Sマ. 容. トリ ッ クス展 開 式 の計. ε2. 動 量 表 示 で の 揚 の 演 算 子 とハ ミル トニ ア ンの 記 述. 式 を運 動 量 表示 す るた. めの 準備 *§2.30運. 動量表示. *§2.31ダ. イヤ グ ラム の 寄与 の計 算. *§2.32ダ. イヤ グ ラム の 寄与 の計 算 例. *§1.8シ. ュ レデ ィ ン ガ ー 表 示 の 量 子 力 学. *§2.33電. 子 ・フ ォ ノ ン 相 互 作 用. *§1.9ハ. イ ゼ ン ベ ル グ表 示 の 量 子 力 学 と ハ イ ゼ ン. *§2.34修. 正 伝 播 関数 の 計 算. *§2.35フ. ェ ル ミオ ン の ダ イ ソ ン(Dyson)の. ベ ル グの運 動 方 程 式 *§1.10ハ. イ ゼ ン ベ ル グ表 示 で の 生 成 ・消 滅 演 算 子 と 場 の 演 算 子,そ. し て,そ. れ ら の 交 換 関 係,そ. れ か ら 、 ハ ミル トニ ア ン の 表 現,第2量. 子化. 参 考文 献 第2章. *§2.36ボ. ソ ン の ダ イ ソ ン(Dys・n)の. *§2.37修. 正 され た バ ー テ ッ ク ス(vertex,結. *§2.38修. 正 され た 真 空 部 分. *§2.39我. 々 は 今 何 を し て 来 た の か を 振 り返 っ て み. 高 等 量 子 力 学 にお け る摂 動理 論. 方程 式 節 点). る。. *§2.1ハ. イ ゼ ン ベ ル グ表 示. *§2.2相. 互作用表示. *§2.3相. 互 作 用 表 示 で の 生 成 ・消 滅 演 算 子 と 揚 の 演. *§2。40フ. ェ ル ミオ ン の ダ イ ソ ン(Dyson)の. 方 程式. の別 の形. 算子. *§2.41ボ. ソン の ダイ ソ ンの方 程 式 の別 の形. 参 考 文献. *§2.4BrillouirWignerの *§a5時. 方程式. 摂 動理 論. 第3章. 間 発 展 演 算 子 σ(猛)の 積 分 方 程 式 に よ る 表 現 と、 そ の時 間積 分 展 開級 数. ポ ソン系 の量 子 力 学. *§3.1量. 子 力 学 的 単純 調 和 振 動 子. *§3.2ブ. ラ ベ ク トル,ケ. ッ トベ ク トル,生. 成 ・消 滅. *§2.6時. 間発 展 演 算 子 び{幽)の 計 算. *§2.7時. 間発 展 演 算 子 σ{幽)の 幾 つ か の性 質. *§3.3量. 子 力 学 的 一 次元 原 子 鎖 連成 振動 子. *§2.8時. 間発 展 演 算 子 σ(鮪)と そ の遷 移 確 率 死 功. *§3.4量. 子 力 学的 三 次 元格 子 状 配 列 原 子 連 成振 動. *§2.9散. 舌L理論 と8そ テ U. *§2.10時. 演算子. 子. 間 非 依 存 の 摂 動 理 論 と ∫行 列. *§2.11フ. ェ ル ミ オ ン ・ボ ソ ン 相 互 作 用. *§2.12∫. マ ト リ ッ ク ス 展 開;8霧. *§2.13相 *§2.14∫ *§2.15生. 成 ・消 滅 演 算 子(正. *§3.5連. 雄}P(・). σ(規 一αD). *§3.6古. 典 場 の理論. 似 変換 の公 式. *§3.7場. の 演 算 子 と第2量. マ ト リ ッ ク ス 展 開 式 の 計 算 例8.. *§3.8ボ. ー ス 統計 に従 うシ ュ レデ ィ ンガ ー 波動 場. 規 積(N積)へ. の. 準 備) *§2.16『. 続 体 媒 質 へ の議 論 の移 行 と、 場 の 演算 子. フ ェ ル ミ真 空 』 又 は 『フ ェ ル ミ海 』 に 関. の 量 子 化(第2量 *§3.9Klein-Gordonの *§3.10場. 子化. 子 化)と 方程 式. の 源 と揚 間 の 相 互 作 用. ボ ソン.
(19) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(17)一. く量 子 統 計 力 学9>. *§3.11簡. 単 な 例1、. フ ォ ノ ン の レー リー 散 乱. *§4.22化. 学 ポテ ン シ ャル と化 学 平衡. *§3.12簡. 単 な 例2、. 核 力 と湯 川 の 中 間 子 理 論. *§4.23正. 準 集 団 と大 正 準 集 団 の 等 価 性. *§3.13荷. 電 ボ ソ ン と荷 電 中 間 子. *§424研(N)の. 参考文献 第4章. グ リー ン 関 数 と多 体 問 題. *§4.1古. 典 物 理 学 の グ リー ン 関 数 と そ の 簡 単 な 例. *§4.21電. 子 グ リー ン 関 数(1). 振 る舞 い. *§4,25マ. ク ス ウェル 架 設 線 の 意 味. *§4.26演. 習 問題 の訳. *§4,27量. 子 統 計 力 学 の 以 前 の議 論 の お さ らい. *§4.28熱. 力 学 第3法. 則. *§4.3密. 度そ テ り. *§4.29小. 正 準 集 団 で 扱 か う理 想 気 体. *§4.4統. 計行列. *§4,30正. 準 集 団 で 扱 か う理 想 気 体. *§4.5量. 子 力 学 との 関 係. *§4.31大. 正 準 集 団 で 扱 か う理 想 気 体. *§4.6古. 典 統 計 力 学 の リ ュ ウ ヴ ィ ル(Liouville)の. *§ 生32理. 想 フ ェ ル ミ気 体 の 状 態 方 程 式. *§4.33黒. 体 放 射(空. *§4.34固. 体 中 の 音 子(フ. 度 演 算 子 の 運 動 方 程 式). *§4.35磁. 化 と正 準 集 団 と 大 正 準 集 団 の 磁 化 率. 子 統 計 力 学 の 小 正 準 集 団(ミ ク ロ カ ノ ニ カ. *§4.36ラ. ン ダ ウ準 位. *§4,37ラ. ン ダ ウの 反 磁 性 と 磁 化 率. 定理 *§4.7量. 子 統 計 力 学 の リ ュ ウ ヴ ィ ル(LiOUville)の 定 理(密. *§4.8量 ル *§4.9量. ア ン サ ン ブ ル) 子 統 計 力 学 の 正 準 集 団(カ ノ ニ カ ル. ア ン. *§4。38k空. サ ン ブ ル) *§4,10量. 子 統 計 力 学 の 大 正 準 集 団(グ ニカル. 175. 洞 放 射) ォ ノ ン). 間 と実 空 間 で の 軌 道 面 積 の 量 子 化 と 磁 束の量子化. ラ ン ドカ ノ. ア ン サ ン ブ ル). *§4,39パ. ウ リの常 磁 性. *§4.40不. 完 全 電 子 気 体 の磁 気 的性 質. *§4.11古. 典 統 計力 学 の基 本 原 理. *§4.41ボ. ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮. *§4.12小. 正準 集 団. *§442不. 完 全 ボー ス気 体. *§4.13古. 典 統 計 力 学 の小 正 準 集 団 か らの熱 力 学 の 導 出. §4.43超 §4.44ド. 流動 ・ハ ー ス ー フ ァ ン ・ア ル フ ェ ン 効 果. *§4.14エ. ネ ル ギー 等 分 配 則. *§4.15古. 典理想気体. *§4.16ギ. ブ ス のパ ラ ドック ス. *§4.17正. 準集 団. 参 考文 献. *§4.18正. 準 集 団 の熱 力 学. の 内 、紙 面 の 都 合 に よ り 、第4章. *§4.19正. 準集 団 に於 け るエ ネ ル ギ ー の 揺 らぎ. し た も の で あ る 。*印. *§4.20大. 正準 集 団. の で あ る。. *§4.21大. 正準 集 団 にお け る密 度 の 揺 らぎ. §4。45量 *§ 生46付. 子 ホー ル 効 果 録. 熱 力 学 的 関 数 と熱 力 学 的 関 係 式. 以 下 続 く。. の 節(§)は. 、 節(§)4,42を. 記述. 既 に掲 載 済み の も.
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