多体問題とグリーン関数との関係、の研究

近畿大学工学部研究報告 No40，2006年，pp.l97・221 Research Reports of the School of Engineering， 

Kinki University No40，2006，pp.l97‑221 

多体問題とグリーン関数との関係、の研究

一高等量子力学における摂動理論 ( 1 7 ) 一

橋爪邦夫*、林田秀人**

S t u d i e s  o f  r e l a t i o n s  between many‑body problems  and Green f u n c t i o n s  

‑‑Perturbation t h e o r y  i n  advanced quantum m e c h a n i c s ( 1 7 ) 一

Kunio HASHIZUME  *  and H i d e t o  HAYASHIDA  *  * 

Synopsis 

1n this paper， next subjects are discussed. 

S 

38. Modぜiedvacuum part. . Here we defineda vacuum  part as the sum of all closed graphs without particles entering or leaving. This give us the S‑matrix for the  effect of all polarization fluctuations， excitations ofvirtual parts in empty space. 

S 

39. Looking back what  we have done as far in the series of these papers. 

S 

40. 

An

other formula of Dyson's equation of fermion. 

S 

41. 

An

other formu~a of Dyson's equation ofboson. 1n above two sections we discuss Dyson's equation and  renormalization and construct another Dyson equation of fermion andlor boson. 

S 

38  修正された真空部分

最後に真空の揺らぎを表わす部分Svacuumに就いて述べて置く。 (2159)式と(2158)式より、

SYacuum = 1 + V  V =汽+v₂+門+汽+吟+・・・

である。これは次のダイヤグラム式で表わされる。

Svacuum  1 

1  汽

*近畿大学工学部建築学科

**海上保安大学校

' .

  Sy， 刷um= 1+汽+v_2+~ +V₄ +Vs +

… 

(2162) 

v

2 

v

3 

v

4 

Department of Architecture， School of Engineering  Kinki University 

Japan Coast GuardAcademy 

197 

198  近畿大学工学部研究報告 NQ40 

の 川

V

爪 V

円

+ 

V

₉ 

+  + 

V₆  V₇ 

九

。 句 ¥

+  b ^{ク ，}

^{十 … (2163)} 

只

。

S_{叩 m}は外部からのフエノレミオン又はボソンの入出 粒子(外部線)を持たない総ての閉じたグラフの和と して定義された真空部分を表わしている。それは真空 のありとあらゆる分極揺らぎ、又、ありとあらゆる仮 想的対の励起の効果を表わしている。

個々の真空励起の式は前節までの所で既に求められ ている。ここに幾っかを抜き出し図と結果だけを記述

して置こう。

x 

_l 

k E  

x 

₂ 

図21

k+q 

E+n ω 

円

=

f  ^{d4 x}

¹

f 

^d4X2G~(X2

-XJJ~(Xl ーら)Dio(x 2 ^‑X

¹⁾ 

(2164) 

= k ! ? + ‑ j d φ E ‑ E L ) + i δ  

i n  

• E ₊ 

n c v  

‑E(k + q)‑iO • (2

万 ‑fd _{ー の も}

)+iδ

(2165) 

= 訪 k ! ? l a ^{・ f d} 争

^l

^{E + n} ω _{一 九} + q )

ー

δ i

eG'(k，E)D'

札 ω )

(2166) 

X1 

k E  

k+q‑qF 

E+n ω ‑n ^ωF 

k+q 

E+n ω  x 

₂ 

_x 

4 

k‑q' 

E‑n ^{ω F}  

tJ  

X 

図22

円= f  ^{d4 x}

¹

f  ^{d4 x 2} f  ^{d4 x 3} f 

^d4x4G~

^{( x 2  ‑ Xl )G~ ( x 3  ‑} x J  

叫仇 -X3 )G~(Xl ‑ x J D i o ( x 3  ‑ x J D i o ( x 4  ‑x 2 ) 

(2167) 

= J ? l d E ^・ j

内

ω d l ・ j d q v ' E‑ E L ) + i 5  

多体問題とグリーン関数との関係の研究 ー高等量子力学における摂動理論(17)一

e E ‑tUiJ' ‑E(k ‑q')+iδ.E+hω ‑1i(iJ' ‑E(k + q‑q')‑iδ  1  ili 

.E+hω‑E(k+ q)‑iδ(2ny

・ ー ー 一 一 ー ‑ ・ ‑ ・

ん の2ーの2(q)+iδ  ili 

. 予 万

^.7Z

^・矛亡五

^(q')+ iδ  (2168) 

= k ! ? l d E ^{・ 訪 j ゆ・ 5 i y j} 々?

E+nω‑1i(iJ'‑E(k+q‑q')‑i8 e E+1iω‑E

年 十 一 心

‑jδ eGo(k，E

知 。 年 一

q，E‑Iiω)Do(q，ω)Do(q'，(iJ') 

(2169) 

X1 

k‑q  E‑n ω 

X₄ 

k ， E 

E‑n ω F  

今3

x 

図23

円

=f d4Xl f d4x2 f d4X3 f 

d4x4G~

^(x3 ‑x

ぷ ; ( X 2 一 同 )

eD;0

(x 2 一円減(有 -X4P~(X4

^‑x3)D;0(x4 ‑x3)  (217ω 

一

EU

一+ で ︑ . ︐

J1

雇 ︑

一

E

一

E

ω 

ザ ハ

w d

叩

nuE JU PSE

︐

d 

•

ω 

楠U Wd

叫

d  n ‑

舟a ‑ ‑ ‑

‑ E M '

‑

E 

7 1 4  

北F

︐ l1 6 J H 

K 

一 一

‑E‑hω_‑E(k ‑q)+iδ  ili 

石 万

.2Z.d‑d(q)+iδ

e 

E ‑E(k)‑i8 ^e E ‑Iiω

， 

_{‑E(k ‑q')‑iδ} 

ili 

石 万

^.7Z

^{・五て京 ( q ' ) + ， ; 5}  

⁽²¹⁷¹⁾ 

199 

= y l d E _{・ 訪} 1 4 F ‑ _訪 1 4 F '

E ‑E(k)‑i8 ^e E ‑1i(iJ' ‑E(k ‑q')‑iδ  ea

。 恥

E P

， 。 年 一

^{q，E‑1i(iJ )Do} 

( q

，ω

} D o ( q '

，(iJ') 

(2172) 

X1 

q ，  I i ω _X

₄ 

一一一う一一

k  E 

k'+q 

，

E ' + n ^ω 

X₂ 

q ， n ω 

^iX₃  図24

九 =f

^d4X

lfd 刈

^d

刈

^d4X4G~(X2

^一高知

^(X

^{1 ーら)}

eDfo(X₁ 

-X4P~(X3 -X4P~(X4

^‑x3)Dfo(x3

ー ら )

(2173) 

= y l a ^{・ f a} φ ‑ y l a ' E ‑ _ゐ

⁺ⁱ⁸

‑E‑hω_ーE

年 一

^q)‑i8

ili 

存可

.75.d‑d(q)+iδ

e E' ‑E(k')+ iδ.E+hω‑E(k' 

+ 心

^‑i8

ili 

石 万

^ePO • (iJ^2 ̲ (iJ2(q)+ iδ  (2174) 

= 訪 F l a ・ 訪 ^{j d q f d ω} ・ y?

‑E E‑hω‑E(k ‑q)‑i8 ^e E' + nω‑E(k'^十q)‑iδ eGo(k，E)Do (q，ω_Po (k'，E')Do (q，ω)  (2175) 

2 0 0  

近畿大学工学部研究報告 No40 

X1 

x 

₃ 

k E  

k ' + q '   E '   +no/ 

司LX 

x 

₄ 

図25

円=

f 

d4 x₁

f 

d4

x2

f  d刈d4x4G~

^(X2 ‑

XIP~

^(X1 ‑x2) 

.DIo(x2 -XJG~(X4 -X3P~(X3 ーら )DIo(X4 ‑x3)  (2176) 

= 

f 

^d4xIJ 

d4X2G~(X2 -XJ]~ 仇ーも)DJo(x 2

^‑XJ 

・ Jd刈d4X4G~

^(X4 ‑x:

お J か

^3‑'xJDio(x4 ‑X3)  (2177) 

す

i1i 

. 一 一 ー ‑ ・ ‑ .

E +1iω‑E(k+q)‑iO ‑

( 2

1f

t  ‑

PO ‑o² ‑ o²(q)+iO 

‑ p ? ‑ j 内 ヤ ^E'‑EL)+i5

i1i 

‑ E ' + h d ‑ E ( k ' + q ' ) ‑ i f 万 万 .7rd‑d(q い

δ (2178) 

= 仇 ! ? l a ・ j ゆ ‑EdJk+q)‑i5 . a ( k

，E)D'(q，

ω )  

・丸ケ?・ j 尚 子 ^{E '}

^+ no'

一 九 ' + ぜ

^)‑iO

.G_o 

( k ' ，

E')D_o 

( q ' ， c o ' )  

= 

V ; V ; '  

(2179)  (2180) 

~ 39我々は今何をして来たのかを振り返ってみる。

我々は「高等量子力学における摂動理論(1)"'"(16)J  と銘うった、この長々しい一連の論文の中で、話をど のように進展させて来たかをここで必要な範囲内で振

り返って見ょう。

シュレディンガー表示における系のハミノレトニアン HS

{ f )

を次のように書く。

HS

r (

)=H; +H

吋)

^{[(264)式] (2181)} 

H f

は非摂動ハミノレトニアンであって、時間を現わに

含まない。又 H吋)は摂動ハミノレトニアンで、あって、

時間を現わに含んでいても良いし、含んでいなくても 良い。時間を含むシュレディンガーの方程式は次のよ

うである。

(H; +H'S(t)

炉

S(q，t)=i1i

笠虫

，t) 包65)式]

θt 

(2182)  相互作用表示

G n t e r a c t i o nr e p r e s e n t a t i o

:n)で、の系の状 態関数φ1

( q ， t )

は、シユレデ、インガー表示での状態関数

φS(q，

t )

にユニタリ一変換

φI(q，t)=ejH5φS(q，

t )  

[(267)式] (2183)  を施したものである。(2183)式より φS(q，

t )

の式に変換 して、それを(2182)式へ代入すると、相互作用表示で の状態関数。1

( q

，

t )

が満たすべき時間依存の相互作用 表示での基礎方程式

δφI(O̲() 

( r )

φ1 

( q

，

t )   = 

i1i

立竺 。

^tti [(270)式] (2184)  を得る。但し、ここで

一 一 ー.;‑Ho^l

H

，

l 

( t )  

= e~HólH叩)e^{‑iiHol  [(271)}式] (2185)  である。状態関数φ1

( q ， t )

は H

，

l

( r )

に従って変化する。

(2181)式のシュレディンガー表示のハミノレトニアン HS

f {

)=H; +H

，

s

{ f )

が含む全ての'情報は(2185)式から 分かるように、相互作用表示の摂動ハミルトニアン

H'S

{ f )

中に含まれている。

多体問題とグリーン関数との関係の研究一高等量子力学における摂動理論 (17)一

系の時開発展を考える。或る基準の時刻t₁における 状態関数をφ₁

( q

，t

J

として、系の時開発展の任意の時 刻tで、の状態関数φ1

( q

，

t )

を次のように書く。

φ

l ( q

，

t ) = U ( υ 1 ) < t >

1 

( q

，t

J 

^[(272)式] (2186)  (2186)式を (218心式へ代入する。そして U~川)が満足

しなければならない、次の演算子方程式を得る。

。

^U(!，t1)

H可'p~，tJ=in立計1 [(2刈式] (幻87) 自然な初期条件として、

U~人 t

1

^{)=1 [(275)式] (2188)} 

と置いて、 (2187)式を積分して次式を得る。

U(υJ= づfH怜'p~，tl

^{[(278)式] (2189)} 

(2189)式は時開発展演算子

U (

川)の積分方程式による 表現である。 (2189)式の積分中の U~川)へ(2189)式自 身を代入して、それを繰り返す。これは次の時間積分 展開級数式を与える。

U~，tJ= 1 ‑ *   ^{[ H ' l}   ~)dt+(ずÍ ^{d t H ，}

¹ 

^{( t ) I  d t ' H ， I ( t ' )}  

︑ ︐ ︐ ︐ ︐

4Fb 

︐ ︐ . ︑

︐a H 

︑

1/

4F'b 

︐ ︐ . ︑

︐a 

国

n 

j d  

r h

1dhp﹄

w a ' E

P  

Ju frlJh 

︐

E︐ ︐a 

︐ r a tI g' q 

ふ ︐

rntEE︐ d  ︐

dι H.  

n ¥

Il l1

ノ

ユ

h

/I ll t‑

¥ 

+ 

+ 

H'I~W)…H'l~(川))

^{[(282)式] (2190)}  次に量子力学的散乱現象を考える。そこではフェル ミオン又はボソンの自由粒子状態が、相互作用により 十分長い時間をかけて、他の自由粒子状態に遷移する。

十分長い時間をかけてとは、例えば、粒子が互いに見 る事のない遥か遠い過去の時刻tI=ー∞の初期状態か ら、相互作用の後の、それらが再び遠く離れた十分時 聞がたつた後の最終時刻

t = +

∞までを言う。散乱の実 験とは正にこのような条件での観測である。

その場合、多く散乱は入射粒子と散乱体粒子の状態 に変化が起こり、散乱は粒子(フェルミオンやボソン) の吸収や新たな粒子(フェノレミオンやボソン)の発生を イ半ったものとなる。

上述の説明を踏まえて、次の散乱行列

( 8

マトリック ス)を定義する。

s=U か∞，一∞)'

[(516)式] (2191)  (2191)式の計算は(2190)式に基づいて進められるので あるが、初期時刻と最終時刻は結果には明瞭に現れな

201 

い。計算に幾らかの技巧的工夫を施した後、次式を得 る。

c un  

∞ ヤ ー ︼ 吋

円︑

u

= 芸 ( 子 ^{) n j j μ}

^{4X1d4x2 ♂} 

T { 川畑 ' I か 2 ) 代 4

[(987)式] (2192)  我々は相互作用表示で記述されたところの、次の標 準的なブエノレミオン・ボソン相互作用摂動ハミノレトニ アン密度で記述されるところの相互作用を考察する。

H

1  ( x ) =  

gIf/

1 o ( X ) o I ( X ) v r ( X )  

[(1108)式， (1111)式] (2193)  但し、ボツン場の演算子持

I ( X )

はボ、ソン(フォノン)の生 成と消滅の場の演算子の両方共を含んでいる。

o ^l _か ) = 件1 ‑ ( X ) + O I + ( X )

(2194)  我々は、 (2193)式を(2192)式へ代入して、次のSマ トリックスの

T

積表示を得る。

S=so+ 司

+S2+S3 +S4 +S5 +S6 +… (2195)  イ旦し、 ここで

So = 1  [(1121)式] (2196) 

司= (~)~gf

^d4x1

^{Tyo  ( X}

¹

^{) o 1  ( X}

¹

^{) ? 1 仇 ) }}

[(1122)式] (2197) 

S2 

= ( 子

^)2jg2P4M4V

^竹

^l

^{) o I ( X}

¹

^{Y か 1 )}

〆

・

^(X2

) ; b

¹

( x

₂

Y  ( x J }  

[(1123)式] (2198) 

S3 

=(子)2jg2日ω4X2T~1 ゆI(Xl~1仇)

If/

I O ( X 2 ) ; b 1  ( x ₂ Y  ( x ₂ ) ?

μ

( X 3 ) o 1  _(X3~〆仇)}

[(1124)式] (2199) 

吋司同日代仰

T~〆(巧知I か1~〆かly*(X 2 ^{);b1 仏~〆払)}

202  近畿大学工学部研究報告 No40 

vμ (x 3 }l(xJvI(有~μ(X4}P1 (X4~1

^(X4)} 

[(1665)式] (220ω 

ミ~(子)5ig5即日内仰

T~〆吋XIMI仇Y仇~μ(x 2 ^}lか2Y仇)

v 吋

^:X3

) o

1

( x

₃

Y  ^{( x}

3

ル

^μ(X4

^{} P}

¹

^{( x J v I   ( x}

⁴⁾ 

v 市' s } f / ( x s Y  ( x s ) }  

[(1666)式] (2201) 

8

，  ~(子r ~!g6HSHJ州、N

T~〆・(X 1 )ø1仏νIか1~〆・(X2}P1 ( x

₂

Y  ^{( X}

²⁾ 

v吋~3)ø1 (x

3ν

1 (x3~μ か4}p1

( x

₄

Y  ^{( x}

4) 

Vμ (XS}PI(XS~〆 (X S ^y*(X 6 ^{}P1 ( x}

^6y 

^{( x}

^6)} 

[(1667)式] (2202)  etc. 

節(~)19で述べたWickの定理は『任意の多数の演 子の組の任意の T積は、 1個の N積とその演算子の 組中で選ばれる事の出来る総ての可能な縮約積(コン トラックション又はベアリング)で作る事の出来る総 ての可能なN積の和とに等しい。』事を述べている。

それは(1101)式または(1102)式で一般的に表わされる。

幾つかの例が(1104)式乃至(1106)式と(1134)式と (1135)式に示されている。

Wickの定理を(2195)式へ適用すると膨大な数の項 が現れる。もちろん、縮約積(コントラクション又はベ アリシンク、、)がOとなり消える項もあるが、それでもな お、多くの項が残る。そして、この残った項の1つ1 つが物理的に意味のある物理現象を表わしている。

節(~)22で述べたように、場の演算子の組は同一時 空座標を持つもの同士がグノレープを作り、 1つの演算 子は別のグループの他の1個の演算子と結合する。

我々は時空点が同じグ、ループ中の演算子を一点・に集 約して表わす。このような点を結節点(パーテックス)

と言う。

こうして、我々は固体中での電子や正孔とフォノン 等の素励起間の相互作用を表わすのに、幾つかの結節

B 

A  (  a  ) 

︑ 可

1・

・・

・

4a '

人

‑ M r

. ‑

︐

JtES. 

︐

Fh・四・

h

︑

︑ . ・

E‑ ae a' '

︑ ノ

B 

A 

(  c) 

図26

節(~)34の図5中の(a)と(c)であるが、どちらも 分離したA，B  2個のダイヤグラムからなる。

点(パーテックス)と実線又は破線からなる幾つかの 内線及び外線とを用いて、中間状態をも含めて、相互 作用が目にみえるように表わしたファインマン図を描 く事が出来る。そのとき、バーテックスの数は2次の

S

マトリックス

S 2

の項からは 2個のパーテックスが 現われ、4次の

S

マトリックス8₄の諸項からは4個の パーテックスが現れ、 6次の

S

マトリックス 8₆の諸項 からは6個のパーテックスが現れる。云々である。

(2193)式のような相互作用の場合、奇数次のSマトリ ックス SI' S3'  8_s， S7の様な項に由来するものは消 えてしまう。

以下の文章はZimanの教科書 J.M.  Ziman著

多体問題とグリーン関数との関係の研究ー高等量子力学における摂動理論(17)一 203 

Elements of Advanced Quantum Theory"のpp88.  89.の部分に全面的に拠っている。

例えば節 (~)34 の図 5 のような、自己エネノレギー

(self" energy)グ、ラフの、考えられ得る可能な総てのも のを思い浮かべよう。その中には同図中の(a )と(c )  のダイヤグラムのように、フェノレミオンの伝播とは無 関係、に起こっている真空の揺らぎを伴うようなグラ ブがある。そこでは1つのダイヤグラム中の2つの部 分は分離しており、どんな伝播関数の線によっても結 ばれていないいわゆる分離型ダイヤグラムとなってい る。

このように、今もしも1つのダイヤグラムの内の2 つの部分がどのような伝播関数の線によっても結び付 けられていないとするならば、それ等はSマトリック スのマトリックス要素中で積分の全く独立な変数を持 つ、全く分離した因子として寄与する。こうして、も しも凶)が 2つのダ、イヤグラム AとBをそれ等を伝 播関数の線で結びつける事なしに1個のダイヤグラム

として描くならば、次のようになる。

Sr_(A，_Bn' ₎ = S，S  (2203)  これに関連して、以前の我々の考察を再考する。

節 (~)35 の(1842)式[(1843)式]で、総てのブエノレミ オンの結合型の自己エネルギー・ダイヤグラム(all connected sel

f ‑

energy diagram)のみの和を考察した。

G=G 仇 E ) =  L  G ' ( k

，

E )   2 2 : ; 2 e

官

[(1842)式.(1843)式] (2204)  これ等の和を構成する項の各々に真空ダイヤグラム

~. V_{2 •} ~.…を結ひ。つける事が出来る。こうして 得られる結合型(connected)と非結合型

(non"connected)の自己エネルギー・ダイヤグラムの全 集合はフェノレミオンの自己エネノレギー・ダイヤグラム の完全集合を与える。こうして得られる自己エネノレギ ー・ダイヤグラムの完全集合の和が(1840)式 [(1827) 式. (1828)式.(1829)式. (1830)式]である。(1840) 式は(1841)式のように書ける。

G

ゆ

^，

E)=G ・

⁽¹⁺ 

^{V )}  

^{[(1839)式参照] (2205)} 

Svacu附 =1 + V  [(2159)式] (2206)  であるので、結局、次の代数学的関係、を得る。

G" =G

・

^{Svacuum (2207)} 

次に、我々は節 (~)36 の (2037)式 [(2039)式]で、

総てのボソンの結合型自己エネノレギー・ダイヤグラム (all connected sel

f ‑

energy cliagram)のみの和を考察

した。

D =D(q，

ω ) = エ

^D'(q，

^{ω )}

self‑制 帽 '

[(2037)式.(2039)式] (2208)  これ等の和を構成する項の各々に真空ダイヤグラム

~. V_{2 •} ~.…を結びつける事が出来る。こうして 得られる結合型(∞nnected)と非結合型

(non"connected)の自己エネノレギー・ダイヤグラムの全 集合はボソンの自己エネノレギー・ダイヤグラムの完全 集合を与える。こうして得られる自己エネノレギー・ダ イヤグラムの完全集合の和が(2038)式 [(2028)式， (2029)式.(203ω式.(2031)式.(2032)式.(2035)式， (2036)式]である。(2036)式と(2037)式とから明らかな ように、

D"(q，ω)=D

。 ・

^+V)

再び、

Svacuum = 1 + V 

(2209) 

[(215ω式.(2206)式]

(2210)  である。結局、次の代数学的関係を得る。

D"=D

・

^{Sva側 附 (2211)} 

節(~)38の(2156)式乃至(2161)式を眺めよう。

(2157)式は真空の揺らぎを含まない結節点(パーテッ クス)部の和で、ある。

F= 凡 +F'oF;+ 凡F;+ 凡F;+Fo~+ 凡Fs+ … [(2157)式] (2212)  これ等の和を構成する項の各々に真空ダイヤグラム

~. Vz， ~.…を結びつける事が出来る。こうして 我々は結節点(パーテックス)の完全集合を得る。こう

して得られた結節点(パーテックス)の完全集合の和が (2155)式 [(2156)式.(2160)式]である。

Svacuum =l+V  [(2159)式] (2213)  であるので、

F"=F

・

^{Svacuum [(2161)式] (2214)} 

である。

S

行列に関して、次の1個の一般的関係がある。

Sall  = Sca刷 仰d.S附 凶 (2215)

graphs

ア

hs

時開発展演算子 u~川)の定義(2186)式と、 S 行列の定 義(2191)式へ戻ろう。

￨  吟 ル

^n即

a l )

= 

l   S ι バ ι ^{ル / 1 ，}

^ω1;

=Sc

…

^d{Svaauuml

^吟

^iliar))

=Sa

… ^{l d 〆 1 )}

⁽²²¹⁶⁾ 

204  近畿大学工学部研究報告 NQ40 

もちろん、状態￨〆)は

￨ 〆 ) = 丸 c u u m l 〆 )

⁽²²¹⁷⁾ 

によって定義される。状態￨刈は何を意味している のであろうか。定められた粒子が真空中(又は、電子 縮退した固体中)を通過するとき、相互作用項S附仰の 作用によって、真空中に揺らぎが生じ、仮想粒子対の 生成・消滅を伴う。我々が観測する真空中を通過する 実際の粒子は正にこのような状態の粒子である。真の 物理真空とは正にこのような系を言う。真空の揺らぎ や励起を伴わない状態￨めは単に数学的構造物であ って、観測可能な場ではない。ゆえに、もしも我々が

「実際のJ真空中で起こっている実際の過程を記述す る事を望むならば、我々は常に状態￨めに関して計 算しなければならない。

我々は、節 (~)35 の(1846)式でフエノレミオンのダイ ソンの方程式を導出した。それをもう一度書く。

G恥 E)=~。恥 E)+G

1

^。恥E

) L ( k

， 

E  ) G ( k

， 

E )  

[(1846)式] (2218)  移項して

G

恥 E ) ‑ G o ( k

，

E ) L ( k

，

E ) G 恥 E )

= 

G o ( k

，

E )  

(221

ω 

括弧で括って、

。 ‑ ^{G o ( k}

^，

^{E ) L ( k}

^，

^{E ) 初 年}

^，

^{E ) =G o ( k}

^，

^{E )}  

⁽²²²⁰⁾ 

故に、

年

，

E ) ‑ G o

恥 E )

‑l‑G

_o

( k

，

E 津 ( k

，

E )

‑i‑‑zkE) 

G o ( k

，

E )  

(2221) 

となる。節 (~)35 の図 22 と (1803)式に説明しである ように、時空点x'で生成したフェルミ粒子が時間軸を 正の方向(t>

t ' )

へ伝播して行き、時空点xで消滅する までの振る舞いを表わすところのフェルミオンの伝播 関数は

句 Ik

・

(rイトそ(1‑1')

GJ(d‑x)=‑Lfdk f d E e  

ⁿ 

伊 t

r.U}"，~.<J

E ‑ E ( k ) + i

δ 

[(1803)式] (2222)  である。そして、その対応する運動量・エネルギー表 示の式は、

G o ( k

，

E ) = . . . .  

....1.  ¥ . "  [(1805)式] (2223) 

‑E ら ) + i

δ

である。 (2221)式中の

G o ( k

，

E }

がこれである。 (2223) 式を(2221)式へ代入して次式を得る。

G

恥 E }

=."  (r./.  ¥ . ...，(.  .".¥l.， <'  (2224) 

E‑ 伊年)+咲 : k

，

E } } + i

δ

G

恥 E }

は(1843)式が示すように、全ての結合型自己エ ネノレギー・ダイヤグラム(allconnected self‑energy  diagram)のみの和を取ったものであった。

(2224)式の結果は次のように解釈できる。 (2223)式 と(2224)式を比較しよう。 (2224)式の「物理的Jフェ ルミオンは(2223)式の空論的自由フエノレミオンに比べ てエネルギーがZ焦点)だけ変化している。しかし、そ の事を除けばそれは数学的には空論的自由フェノレミオ ンに類似している。物理的フエノレミオンは、あたかも それがエネルギー

E ' ( k )  

= 

E ( k ) +  L ( k

，

E )  

(2225)  を持つかのように振舞う。故に、

G K E ) ‑ l 匂22ω

‑E  ‑ E ' ( k ) +  

ic5 

のように書く事も出来る。それは、あたかも観測され たエネルギー

E ' ( k )

を持つ基本的自由粒子伝播関数で あるかのようである。

~ 40  フエノレミオンのダイソン(Dyson)の方程式の別 の形

以前の節 (~)35 フエノレミオンのダイソン(Dyson) の方程式中の(1830・2)式と(1837)式を眺めよう。式中 の第1クツレープはフエノレミオンの無摂動グラフである。

第 2グ、ループはフェルミオンの結合型の既約グラフの 組である。第3ク守ループはブエルミオンの結合型の可 約グラフの組である。これ等を眺めて、我々は電子の 自己エネノレギ一部分の結合型ダイヤグラムの一般形を 図27のように描く事ができる。

k ， E  0

₀ 

M

i 

GoMjGoMk G

_o・・・

G O M l 一 ^{. 圃 ‑}

k ， E  G 。

G ' ( k ， E )   =  G~ ( k ， E )  

多体問題とグリーン関数との関係の研究ー高等量子力学における摂動理論(17)一 205 

図27

σ(k， E) 三 G~(k， E) の添字の Sは

σ ( k

，

E )

^を

区別するために付けた。

次に、以前の節(S)36 ボソンのダイソン(Dyso

r V

の方程式中の(2030)式と(2032)式を眺めよう。式中の 第1グ、ループはボソンの無摂動グラフである。第2グ ノレープはボ、ソンの結合型の既約グラフの組である。第 3グ、ノレープはボ、ソンの結合型の可約グラフの組である。

これ等を眺めて、我々はボソンの自己エネノレギ一部分 の結合型ダイヤグラムの一般形を図28のように描く 事ができる。

‑

q， n ω 小 D 。

. ︑

︑ ︐

︑

. r

︑

. r

︑

.J

︑ ︐ ︐

︑ ︑ ︐

︐

p ' ︑ ︐

J

︑ え え え く ぐ

︿ d

I I t D o I I j D o I I k D o

・・・

D o I I /

的 ? D 0

• ^{D ' ( q ， ω ) =   D ; { q ， ω )}  

図28

D ' ( q

，

ω )

^言

D ; ( q

，

ω )

の添字tは

D ' ( q

，

o )

を 区別するために付けた。

次に、以前の節(S)37 修正されたパーテックス (v.

e

此

e x

，結節点)中の(2155)式と(215ω式を眺めよ う。パーテックス部分の内、結合型ダイヤグラムの 一般形は図29のように描く事ができる。

… と(2069)式とより 〉 ト は

凡=G.。年一

q，

E ‑ n

ω)Do(q，ω

知 o ( k

，

E )

[(2069)式] (2227)  である。故に、図29のような一般的な修正パーテッ クス部分は次式のように表わす事ができる。

q 年 一q

^，

E‑ n

^ω)Do(q，ω

ぬ い

^，

E ) .

^円(k

^‑q

^，

E ‑ n

^ω

; k

^，

E )  

= Go (k ‑q，

E  ‑no 

)Do (q，ω

。 知 ( k

，

E ) F ; ( k

，q)

= 凡F ;

(2228)  但し、ここで、円

( k

^，

q )

は巧

( k‑

q，

E  ‑ n o ; k

，

E )

の省略形 である。

1  k‑q 

E‑n ω  Go(k‑q ， E‑n ω )   D o { q ， n ω )  

~(k-q， E-ñω;k， E) ー|ーート・ 3

q ， nω  k ， E 小 Go{k ， E)

1  2  k‑q 

ーータ‑‑e 3  q ， n ω 

2 

図29

図29へ図27と図28を組み合わせて、図80のよう な、より一般的なダイヤグラムを作る事ができる。

図30のダイヤグラムは次式で表わす事ができるO

F; (k， qp~(k-q， E

‑ n

ω

) D ; ( q

，ω

P o ( k

，

E )  

(222

ω 

2 0 6  

マ 三

円 ( k ， q )

近畿大学工学部研究報告 No40 

• ^{7  I  l l ; D o l l j D o I T k D … 。 D o I I [}

巧 (k-q， E~nω;k， E) ³ ・十一ーター ‑ l ^{・ ・トーうーー・}

⁶

4  5 1   q ^{， た の}

ヤ . 6 

1

、 T J ^{q ， h ω D ; { q ， ω)} 

j 、

、 3

3  1 0  

•

ノト

k‑q ， E‑n ω 

• ⁹ 

MiGoMj  GOMk  G _o

^・・・

G 。 ^{λ イ}

l

• 8  ^{‑ ・ ‑}

〆

f 、 ^{k ‑q ，} E‑n ω 7  

• 2  ^{q，   ω n} G o { k ， E) 介 、 k ， E

•

1 0  

k  ‑ . q ， E‑n ^ω 

G~{k ^{‑q ，} E‑n ω ) 7   巧 ( k ， q )

G o ( k ， E )  

1 

図30

1 0  

k  ‑q ， E‑n ω  G~ い -q， E-nω)

‑

・E

・

E

‑ E

・

・ ・

・

.•••••

・

•

， ' a 、 ， 、

^J

/ . " 、

3 ・ ' ¥ ， 、 " ， '

^"，，/  \~ν・ 6

q ， n ωD:(q ， ω )  

多体問題とグリーン関数との関係の研究 ー高等量子力学における摂動理論(17)ー 207 

次に、図30の端点6と10を連結して、新たな結節 図31の副ダイヤグラムの修正された伝播関数 点(パーテックス， vertex)として、そこから新たに

G~ ( X

^{l ‑ X}

l1)の運動量・エネルギー表示

GLAk

，

E )

は 1本のブエルミオン線を引き出す。すると、図31の S.υ 

ような、より一般的な副ダイヤグラムを得る事ができ 次のようである。

る。

k‑q ， E‑liaY

・

G~ (k ‑q ， E

ー

hω)

~(k， q)

1 1   1 1  

6  &10  . . . . 1  

ら ^{q ， た の}

ラ _、 ^{D ; ( ぃ)z.::}

. . . 、 . '   、

て ふ G t  

^(X₁ ^‑X

_u) 

r  ^s

^，t，l 

¥2' 

G~.t.1 仇 E)

1 

図31

1 

匂

1./(k

， E ) = Go(k，E)trs内dωG~(k ー μ -na>

⁾ 

D : ( q

，

ω ) 円札q ) 。 炉 ( k

，

E )

包230)

界平G~，'./(k，E)

⁼ 

^{G o ( k} 噌 界

JJdqd

ω

G~ 年一 q， E

‑ n ω ) D : ( q

，

ω ) F ; { k

，

q ) P o { k

，

E )  

G~ は節(~ ~ )34と 35中に現れた種々の結合型のフェ ルミオンの修正伝播関数

G ' ( k

，

E )

の内の特定のものを、

添字Sを付けて区別したものであった。又、

1 1

は節 (~ )36中に現れた種々の結合型のボソンの修正伝播関 数D'(q，Cu)の内の特定のものを、添字tを付けて区別し たものである。又、 F; は節(~)37中に現れた結合型の 修正パーテックスに関わるものである。

図31，(2230)式の結合型副ダイヤグラムの、考えら れ得る限りの可能な副ダイヤグラムの無限の和を取ろ

フ。

1 

.

、 _， 

⁴_司、

^{型 1}

_ノグ^~.

^{士 ，}

^._' ^{)  • 11} 

J、ミ・ーニ・/

= G_o 

(k ， E~ 日 dqd Cù L 

^Fz(k

^，

^q) 

. L : G ; ( k ‑ q

，

E  ‑ n ω ) 玄 D : ( q

，

ωH G o ( k

，

E ) 2 2 2 2 r u   z s z z

^砂

(2232) 

2 0 8  

近畿大学工学部研究報告 No40 

= Go(k，

E ) t r S   ^{d q d o F ' ( k}

^，

^{q )}  

G 年 一

q，

E

‑/i

ω ) D ( q

，

ω ) 。 炉 ( k

，

E )

包23

の

[(1843)式参照， (2038)式参照， (2157)式参照]

但し、ここで、

F ' ( k

，

q )

は(2157)式を参照しながら、

F ' ( k

，

q )

= 1+ 

: L F ;

(k，

q )  

vorlexs 

= 

1 + F ;  +F2  + F ;十円+…

(2234)  である。こうして、我々は

どち

_、:

‑

_‑‑

‑

_ー

‑

_圃F←〆

= 

J J d q d ω

，

F ' ( k ，

q

) G ( k

ーも

E

‑/iaj 

) D ( q ， ω )  

の表現を得た。

(2235) 

節(~)35へ戻って、フエノレミオンのダイソン(Dyson) の方程式(1846)式乃至(1847)式を検討しよう。

(1846)式と(1847)式をそのダイヤグラム表現をも添 えて、もう一度書く。

G

仇 E)

= Go

( k

，

E )

+ G1

。 恥 ^E)

^:E

年

，

E ) G ( k

，

E )

[(1846)式] (2236) 

.q‑.=…十約モ炉

^{t (2237)} 

G ( k

，

E) 

== 

0

0 

( k

，

E)+ 

G(k~E):E恥 EPo(k，E)

[(1847)式] (2238) 

。::a=…+~判。239)

上式中で :E

( k

，

E )

は(1838)式である。即ち、

:E

{ k

，

E )  

=Ml 

{ k

，

E)+M2(k

，

E)+M3{k

，

E ) + . .  

[(1838)式] (2240)  である。 (2240)式中の既約ダイヤグラム

M

₁

(t = 1，2ム…)の各々は(1830・2)式を見ると分かるよう に、例えば次のようである。図 32参照

〆♂ラペ

‑ ‑ 、

M 1¥ _ノ

^{A ι /.， .r .也 、a}

^{・ ・}

^{〆 ¥ 、h、企晶 、a圃h}

，〆・'・・『、¥

M

^屯

f ' f ¥ ¥ M d

‑. ) . ~ー@十... 

。

、

〆 ' ー 一 、 . 、

Ms 

， . ‑.   .

^・司h 

M

^"，  ~勺〈‘(\

6 令ー糾イ巴うふ今ゐぅ J b

"ーペ コ 、 『 、

af 、 aLL 、 J 、l....-~

・ ‑ ‑ . .̲ . . . ‑‑‑

^， 司1"" ーー

̲.ー・『司、

d戸 、 、 M7 

，.~ρ、

^{i冨凶 I}

，‑、，、¥

^{/ ¥}

約 + 令 噌 今 一 み ・~争寸齢命令噌ト>~・

図32 等々である。

しかし、既約ダイヤグラム

M

₁ (l =1，2ム…)のグラ フには節 (~)37 で導入された、修正パーテックスの考 えが入っていない。今、修正パーテックスの考えを導 入して、各ダイヤグラムを見直そう。

ダイヤグラム

M

₁はそのままである。

ダイヤグラム

M

₂はダイヤグラム

M

₂の他に、その仮 想励起の一部を修正されたパーテックス部分へ繰り込 んでしまう様な、その様な仮想励起ダイヤグラムも考 える事が出来る。このダイヤグラムはM₂と区別され なければならないので、それを

M

₁₆^{と置く。(図}33参 照)

M

₂ 

、

、 l Y 

.../¥ 

ノ/  ... 

多体問題とグリーン関数との関係の研究 ー高等量子力学における摂動理論(17)一

M

₁₆ 

図33

209 

‑

』 ー

、

^....j 

F l  

ダイヤグラムM3はダイヤグラムM3の他に、その仮 想励起の一部を修正されたパーテックス部分へ繰り込 んでしまう様な、その様な仮想励起ダイヤグラムを考 える事が出来る。やはり、このダイヤグラムもM3と 区別されなければならないので、それをM₁₇と置く。

(図34参照)

ル ダ

3

︑ ..•

a a ‑ ‑

︐ ︐  

︑

︑

︐

J

¥ ノ

︑ /

︑

M

₁₇ 

九

¥ ¥ 

¥ 

1 

ノf 

/ ノ

図34

、

、

¥ 

¥ 

¥ 

/ 

/ / 

︑ . .

︐

s ' ' ' F

¥

︐  

ノ¥ 

九

ダイヤグラムM4もダイヤグラムM4の他に、その仮想 励起の一部を修正されたパーテックス部分へ繰り込ん でしまう様な、その様な仮想励起ダイヤグラムを考え る事が出来る。このダイヤグラムもやはりM4とは区 別されなければならないので、それを九1₁₈と置く。(図 35参照)

M

₁₈ 

O  凡

図35

F ; .

4 

ダイヤグラムMsもダイヤグラムMsの他に、その仮 想励起の一部を修正されたパーテックス部分へ繰り込 んでしまう様な、その様な仮想励起ダイヤグラムを考 える事が出来る。このダイヤグラムも又Msとは区別 されなければならないので、それをM₁₉と置く。(図 36参照)

A イ

5

M

₁₉ 

図 36

‑ ‑ z

‑ ‑ a a ' '  

︑ ︑

4

︐ ︐

¥ /  

¥ 

F r  

210  近畿大学工学部研究報告 Na40 

ダイヤグラムみんもダイヤグラムM6^{の他に、その仮}

想励起の一部を修正されたパーテックス部分へ繰り込

、 、 、

^d e， t 

んでしまう様な、その様な仮想励起ダイヤグラムを考える事が出来る。このダイヤグラムも又M6^{とは区別 i}‑‑^{旧 21}

二 。 ^，

^daRι

  ^‑

^L

^，

^eF

^，

 

^、

F τ A t    ‑

s 

， 

されなければならないので、それを M20と置く。(図

3 7

参照)

M6 

M

₂₀

_そ

、 、 、 、

、

_I

， 

f 

¥ /  

" " i

Y 

 

ノ

ノ

、 、

¥ 

、

/  ノ / 

F

₁ 

図

3 7

司

、

、

¥ 

、

一

/ f 

ノ

F

₁ 

ダイヤグラムM7もダイヤグラムM7の他に、その仮 想励起の一部を修正されたパーテックス部分へ繰り込 んでしまう様な、その様な仮想励起ダイヤグラムを考 える事が出来る。このダイヤグラムも又M7とは区別 されなければならないので、それをM₂₁と置く。(図

3 8

参照)

A イ

7

+ ¥ f A  ^〉

/ 

ノ

F

₁ 

F

₁ 

図

3 8

ダイヤグラムMsもダイヤグラムMsの他に、その仮 想励起の一部を修正されたバーテックス部分へ繰り込 んでしまう様な、その様な仮想励起ダイヤグラムを考 える事が出来る。このダイヤグラムも又Msとは区別 されなければならないので、それ等を_{M22' M 23}と置 く。(図

3 9

参照)

¥  ¥ 

¥  ¥ 

¥ 

A イ

_s

/ 

_/ 

^/ 

/  ^/ 

ノ

除

、

、

¥ 

1 

M

₂₂ 

/ 

/ 

ノ

九

V

九

・¥ ¥ 

、

M

₂₃ 

， a

‑ ^{、 ，}  _/ 

R./F  ^V  F l l  

図

3 9

多体問題とグリーン関数との関係の研究 一高等量子力学における摂動理論(17)一

数が多くなるので、ダイヤグラムM9' MlO'  M12'  M13，M14を論ずるのを省略して、次に、 M_llとM15^を 考察してみよう。

ダイヤグラムM_llもダイヤグラムM_llの他に、その 仮想、励起の一部を修正されたパーテックス部分へ繰り

込んで、しまう様な、その様な仮想励起ダイヤグラムを 考える事が出来る。このダイヤグラムも又 M_llとは区 別されなければならないので、それを λ1₂₄，M25， M26 

と置く。(図

4 0

参照)

M

_l1 

M

₂₄ 

M

₂₅ 

A ^イ

₂₆

¥ ︒ /

¥ ︑

O

ノ ー

o  . F

4 

β _乃

図

4 0

︐ ︑

︑

J ‑ r w

︐r

︑ ︐ ︑ ︑

r

d '

岬︐︐︐

‑ a t

︐

︑

4・rル

?t d

d  ﹄F

F r

7 ・

︐

t .

一 ︑ t

A F T 叫 ︐ ︐ ︐

a

﹃

﹃ 4

︑

2.

︐ ︐

F

︑ ︑

d /

︑

F

₄ 

‑

Lー・

F 9  

、

¥ 

¥ 

/ 

/ 

211 

ダイヤグラムM_1SもダイヤグラムM_1Sの他に、その 仮想励起の一部を修正されたパーテックス部分へ繰り 込んでしまう様な、その様な仮想励起ダイヤグラムを 考える事が出来る。このダイヤグラムも又M_1Sとは区 別されなければならないので、それを M₂₇，M₂₈と置

く。(図41参照)

A

イ15

O  O 

h イ

27

三 。

O '   ^F 

M

₂₈ 

。

，

0 .   ^E 

図41

y¥

戸 ︑

J

晦

︐

f

m J

︐ ︐ . ︑

日

J .

ャ

d

‑ J ' ' M

色 ︑ a ' ' a

司温︑.. 

﹄ 司

' Y

ヘ

JF AL P

づ ム ペ 司 戸 ︑ ャ

ML

︐ ︐

e d ' H .

可 ︑

凡

F13 

我々は今、図 33乃至図41に幾つかの例を挙げて、

(224ω式中の既約ダイヤグラムM_Jへ、修正パーテック スの考え方を導入して、それ等のダイヤグラムの見直 しを行った。そして、その見直しから図 31中の r2 から6&10Jに至る部分の一般的な副ダイヤグラムの 種々のものが出て来る事が分かつた。 (2240)式の和は

z 恥

E)=

: L

MJが示すように、無限に考えられ得るダ

212  近畿大学工学部研究報告 NQ40 

イヤグラムの無限の和を取るものである。故にL(k，E) はフェノレミオンの修正伝播関数とボソンの修正伝播関 数と修正パーテックスを含む全ての可能な仮想励起ダ イヤグラムを含む事となる。こうして、我々は、

z 恥 E ) = LM

1が図31中のダイヤグラム f

、 ^{/ ¥ 1} へ r ' 1 ， ノ

J

‑、』〆， . 

E

、 、 "

a"'j 

部分の考えられ得る

限りの無限個のダイヤグラムの和を取る事と等価であ る事を理解する。こうして、

z 恥 E ) = 工 科

[(1838)式， (2240)式] ω241) 

f 、 J へ JJ : ， j ， 1 4

五九 w/ ^。

= く J i ^・

^{[(2235)式] ω}

= ffdqd^，

ω

F'(k，q

) G

(k ‑q，E 

‑no 

)D(q，

ω )  

[(2235)式] (2244)  を得る。

(2236)式乃至(2239)式を眺めよう。上の(2241)式乃 至(2244)式と比較して、我々は、次のもう 1つ別の形 のフェルミオンのダイソン(Dyson)の方程式を得る事 が出来る。

ゅ ^{= ・ 十}

⁴

^{・ + ・ ‑ H t} ( ^. C j 、 ^険金=・ .

⁽²²⁴⁵⁾ 

G

恥

E)= Go(k，E)+ Go(k，E)ff G(k^ーq，E

‑ n o )  

D(q，ω)F'{k，q

) d

qdωG{k， E)  (2246) 

。 = … + 同 3 …

⁽²²⁴⁷⁾

G

恥

E)=Go{k，E)+ G{k，E)ff F'(k，qp(k ‑q，E 

‑ ! i C u )  

D{q，ω

) d

qdωGo{k，E)  (2248)  (2246)式と(2248)式は共に1個の積分方程式であっ て、ブエノレミオンであれ、ボソンであれ、パーテック

ス部分であれ、そこに仮想励起を伴わないような単な る数学的構造物とは異なる、実際に我々が観測する実 フェルミ粒子の伝播関数G{k，E)I

・ ^>=e 

は、実ボース粒子の伝播関数D句，

ω ) ・二二二二・

と実ノいテックス部F'{k，

q ) 吋

とが分かれば、

上式を解く事によって求める事が出来る。

~ 41  ボソンのダイソン(Dyson)の方程式の別の形 改めで、もう一度、以前の節(~)37  修正されたパ ーテックス(vertex，結節点) を振り返ってみよう。

(2155)式中の各ダイヤグラムの内から、結合型ダイヤ グラムに注目して、その内の幾つかを下に抜き出して 見る。そして、それの本文中の対応する箇所の図と式 を挙げる。

X

₁ 

E k‑q  ‑ n ω 

x 

₃ 

q~ 1iω

一一歩一・

^X2

Fi=

凡 ・

¹ (図8， 9) 

s(k，E;q，の)

= 

^{Go{k ‑q，E} 

^‑no 

^)Do{q，ω

見

(k，E)

三Fa=凡・

^{[(2069)式] (2249)}  但し、 G_。とDo^の式は(2064)式と(2066)式にある。

(2249)式は凡の定義式でもある。

X1 

k‑q  E‑ 1 i ω 

X

₂ 

F

日

(図 10，11) 

q ， 1 i ω 

一一うーー・ 4'

多体問題とグリーン関数との関係の研究一高等量子力学における摂動理論(17)一 213 

s(k，E;q，ω) == <Ic。年一q，E‑nω)Do{q，ω知。(k，E)

‑ F ;

年一q，E‑nω;k，E)

== Fo

F ;  

• ^{[(2086)式] (2250)}  但し、

F ;

の式は(2081)式にある。

X1 

k‑q  E‑n ω 

q ， た の

一一歩一一. x

₃ 

司AX 

F o F ; .  

(図 12，13) 

s(k，E;q，ω) ::::Go{k-q， E-hø)Do(q，ω知~(k， E)

‑ F ;

年一q，E‑nω;k，E)

: : : :

  F o F ; .  

^[(2105)式] (2251)  但し、 F₂の式は(2099)式， (2100)式にある。

x

₁ 

q ， た ω

一 一 与 一 ‑ ・

x

3

x 

₂ 

F o F ;  

(図14，15) 

s(k，E;q，ω) ::::  Go{k ‑q，E -nø)~。札 ω}Go{k， E)

‑ F ;

年一q，E~nø;k， E)

=凡F3 [(2123)式，] (2252)  但し、

F ;

の式は(2117)式， (2118)式にある。

X

₁ 

k‑

E ームヘ

^ム

^{q ，} n m

x 

₂ 

F o 凡

(図 16，17) 

s(k，E;q，ω) = Go(k ‑q，E ‑no )Do(q，ω

弘

(k，E)

・巧年一q，E‑nω;k，E)

=凡凡 [(2139)式] (2253)  但し、凡の式は(2134)式， (2135)式にある。

今、上に抜き出して列挙して来たところを眺めれば 分かる様に、 (2155)式[又は(2156)式]中の各パーテッ クス部分の内、結合型ダイヤグラムの一般形は次のよ

うな形をしている。(図42) 式で書けば、それ等は

s

恥

E;q，ω)

= 

_Go (k ‑q， E ‑nω)Do(q，ω

} G

o(k，E) 

・巧年一q，E‑nω;k，E)

=凡

F ;   z (

== 1，2

ん・)

(2254)  となる。但し、既に記した様に、 (2249)式の

F o

は

凡 = 凡 ・ .(2255)  と考えるので、 (2254)式中には必要な場合

F ; = 

1をも 含める事とする。

X

₁ 

k‑q 

E‑n ω  Go(k‑q ， E  ‑ n ω r )  

q ， n ω 

円 作 ‑ ^q

，

E  ‑n m ; . k

，

E}

十 一 歩 一 ・ⁱX3 

. D o ( q ， ω )  

σ o   ^{( k ， E )}  

k ， E 

X

₂ 

214  近畿大学工学部研究報告 NQ40 

X1 

今JX 

‑ u‑ h

︑ ァ

nm

‑

x 

₂ 

凡 ~

図

4 2

パーテックス部のダイヤグラム月=凡・ lとダイヤ グラム f

訊   f (

^= ，1

2

，

3

，…)及びF'o・

1

とを図

4 3

の様に 結合して、新しいダイヤグラムを作る。但しこの場合、

図の様に2と2'の聞と、 lとl'の間へはそれぞれ電子 の自己エネノレギ一部分の結合型ダイヤグラムの一般形 であるところの G~ 恥 E) と G;(k-q， E-hω) を挿入する ものとする。

ω 

ゑμ

の 一 寸

E J

叶

J1︐

A 

1 K G  

‑ h E

・

凡 ︑

y ‑ ' t A T

‑ ‑

1 E E / d F  

ω /  

ω J n  

タ ' 仏 w . / {

E Z n u i 1 a

・

t D

司 E い

L h G  

2 '  

2 

k-q~E 一角ω

Go(k ‑ q ， E‑n ω )  

q ;

^/i

ω 1   D o ( q ， ω ) .   ‑ ; ‑

• ³ 

F o F J < 及び F o ・ 1 ) イ旦し l =  1

，

2

，

3

，・・・

図

4 3

電子の自己エネルギー部分の結合型ダイヤグラムの 一般形は、既に図 27の所で説明した通り次の様であ る。参考のために再録する。

k ， E  G _o 

， 

MiGoMjGoMkGO

・・・

G o M J

k ， E  0

₀ 

G ' ( k ， E )

= 

G~(k， E)

図44 [図27]

図

4 4

を式で表わすと、次の様になる。

G ; ( k . E )

⁼ 

G o ( k . E ) M / ( k . E 見 ( k . E ) M J ( k . E P o ( k . E )

.Mk(k.E)Go(k.E)...~。恥 E}M/ 年.E知。年.E)

( 2 2 5 6 )  

図43は次の様に描く事が出来る。図 45参照。

I x~ 3 

q

，/i

ω  _{? D} ‑ _{。 ( q ， ω )}

_x~

3 

k.E  G~ 仇 E)

﹄司F

・ ︑ ︐ ・

︑ ︐ . ︑

︐ 司

‑ ソ 八 ︑

今 ︑

0 ・ ﹀ ︑

ヘ ャ リ ペ .

︐ L

‑ d

︿ ︐

︑ ‑ ふ ︑ く

の

a H

 

= 一

ι ω も

. 4

ト

E

︐ 刈

r P E G  

‑AV 

k‑q 

q ， 1 i ω ? D 。 ( q ， ω )

‑

X3 

X3 

D~.t，/(q， ω)

図45