<ノート>多体問題とグリーン関数との関係の研究--グリーン関数と多体問題(14)量子統計力学(6)
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(2) 1 6 4. 近畿大学工学部研究報告. No. 4 3. c m. 2L2C. E. Huang著“ Statistica1. この節(~)の議論は、K.. 一 一 ¥ I l l -ノ. / l a l 且 . ，、 、. ~ 39 パウリの常磁性. ( 2 7 9 9 ). Mechanics" の第 1版(旧版)と第 2版(新版)とに負. う所が多い。最初に、物理学辞典(物理学辞典編集委 員会編. を得る。故に、係数 &2は. 位-mcX E+mc 一= = ー 2=1一 一 E2 E2 c. 1 9 8 6 )の中の項目「パウリ近似 ( P a u l i. 培風館. 2. E2V2mγ. approximation)J の説明文の中から必要な事柄を引用. 2 ). 起 レ -m ・ パ2mc. する事から始める。. 2. 磁東密度 B [ T ]o r[ W b/ m2]のベクトルポテンシャル A[ T・m ]o r [ W b / m ]. B=r o t A. =三τx[運動エネルギー] mc. [ ( 2 5 91)式] ( 2 7 9 0 ). と、電場 E [ V / m ]のスカラーポテンシヤノレ φ[V] θA E= - g m d b - 3 7 ( 2 7 9 1 ). とから成る電磁ポテンシヤル ( A ， φ )の 下 で 、 質 量 m[ k g ]，電荷 e[ C ] (電子の場合は eく 0) の荷電粒子. が運動するときの非相対論的ハミルトニアン H は、磁. (2800). 部~x[運動エネルギー mc-. 2 7 9 3 )式に施す相対論的補正と で与えられる。我々は (. して &2の大きさの項までを考慮する。そして、 項までを考慮して導かれたところの、スピン. &2の. の粒子 j. 正負の符号を含む)の荷電粒子の運 場中では電荷 e (. に対するハミルトニアンをパウリ近似のハミルトニア. 動エネルギーはベクトルポテンシヤノレ A によって、. ンと言う。物理学辞典(培嵐館)によればパウリ近似. よ p2→土(p-eAY 2m". 2m. [( 2 5 9 5 )式] ( 2 7 9 2 ). のハミルトニアンは次の様である。 H. の様に変化するので、. 上 手 伝 -eAY+eφ. ( 2 7 9 3 ). L .m. + 血 色 ) 1 iaeH+eφ 2m. である。次に、この式に相対論的補正を施そう。しか し、それでも尚、我々は観測者から見たところの粒子. ぽ 一 日. )同 + 乎 ( 去2. の速さ νが、その粒子の持つ運動エネルギーが、即ち、 粒子の持つエネルギー. ( 2 7 9 4 ). +iae(VxE-ExV)} ( 2 8 01 ). 或いは、小出昭一郎著基礎物理学選書 5B 量子力学 (ll)裳華房)の pp349-350の表現を借りて書くな らば、. から、粒子の静止エネルギー mc2. ( 2 7 9 5 ). を除いたものが、非相対論的に扱って良い程度にゆっ くりと運動している場合を考える。即ち、. V くく. ( 2 7 9 6 ). 島 川 + 手 ト. が州訪(か -eA)2f. H=. +生位入 eH+eφ 2m. m. JYd 一 m = ト. 運動エネルギー =E-mc2. cより、. ιい. ー ヂ. +J4 但 ・ p) 斗m-c4m-c-. (Exp)} ( 2 8 0 2 ). 2. 2 8 01)式の右辺の最後の項中の σを含む項、 である。 (. mc. 2 8 0 2 )式の右辺の最後の項はスピン軌道相互作用 又は ( =lmd(2797). 2. 2 7 9 4 )式の分母の平方根中の式を眺めれば このとき、 (. を与える項である。即ち、中心力場では. . 1 Ir r ) = ( ¥r竺 a r. E=一抑制. ( 2 8 0 3 ). I. である。又、. 分かる様に E. v一C. E. ( 2 7 9 8 ). 2 7 9 4 ) は相対論的効果の大きさを表わす係数である。 (. 式より、直ちに、. h s=-a， 2. であるので、. rxp=l. ( 2 8 0 4 ).
(3) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題 ( 1 4 )- (量子統計力学 6>. ιぃ ・ 舵. 子. ( 2 8 0 1 )式又は ( 2 8 0 2 )式を参考にすると、外部磁束密 度B ( = r o t A ) =μ。 H 中を運動する 1個の非相対論的自. ( 1 . 笠 ) い (rxp)) 件m " c " lr dr ). xp)}=• e~2. (1¥a I φ =ナママ￨ー￨ー十 s xI. L m c -¥rJa r. ( 2 8 0 5 ). となり、見慣れたスピン軌道相 E作用項となる。. 向電子(スカラーポテンシヤノレ φ=0、電子電荷 eく 0) のハミルトニアンは、次式によって与えられると考え て良い。. ( 2 8 0 1 )式又は ( 2 8 0 2 )式中の pは運動量演算子 p=i l i V. 1 6 5. ( 2 8 0 6 ). である。又、 eは 2x2行列演算子であってパウリのス ピン演算子と呼ばれる。 σは通常の 3次元空間中の 1 個のベクトノレと、数学的取扱い上、形式的に同じ性質 を持っところの 2元ベクトルである。故に、座標軸に 沿って適当な成分を持つ 3個の分離したベクトル共の 和として表わされる事が出来ると考えられる。即ち、. I. Z i， 叫= . J X2+Y2+Z2=1 単位ベクトノレ R=五+巧 + の方向のスピンに対して、. H. =が叫，1+角・ H. ( 2 8 1 6 ). 但し、ここで、 β==u . o ( 坐 [ い [ ( 2 6 9 3 )式] ( 2 8 1 7 ). Lm. は電子の軌道運動に由来する磁気モーメントの量子力. 2 8 1 5 )式[( 2 8 1 6 )式]の 学的単位のボーア磁子である。 ( 第一項は、既に我々が以前の節~ ~ ~ 3 5乃至 3 7に掛. けて議論してしまった所のランダウの反磁性に起源を. Reo=X σ ，x+y σ ，y+Z σ z. ( 2 8 0 7 ). 与える項である。そして、次に、 ( 2 8 1 5 )式[( 2 8 1 6 )式] の第二項はこれから議論するパウリの常磁性に起源を. である。そして、この表現において導入された、直角 座標軸共に沿う成分スピン演算子共の σρσy'σzはそ. P a u r is p i nm a t r i x ) れぞれ、次のパウリのスピン行列 ( によって表わされる。. 与える項である。 我々は常磁性の効果のみを考察する。そして、その 為に、次の一粒子ハミルトニアンを採用する。. H =二! . . p 2+ 角 ・H Lm. ( 2 8 1 8 ). 外部静磁界 H が zの正方向に掛かっているときには. σ=(0 11Io-i(I O ￨ 一￨ ￨ = ￨ I ) ω 1 O， ! y l i O!' -z 1 0-. H=H 五. ( 2 8 1 9 ). であるので、. ( 2 8 0 7 )式の Reoは単位ベクトノレ R 方向の全スピン演 算子であるが、それはこのとき次の行列で表わされる。. ~iY つつ. ( 2 8 0 9 ). Reo=(x. =σH=(;:)H. ( 2 8 2 0 ). となる。 ( 2 8 2 0 )式の固有値を考えよう。. もちろん、. R=1 ま ， R=ly，R=1 Z. ( 2 8 1 0 ). のときには、 ( 2 8 0 9 )式は、それぞれ、 σz' σy'. U zを. 与える。. 古典的描像で電子を思い描いたとき、電子は質量 m を持つ点ではなく、大きさを持ち、地球の様に自転を. J.s ]を している。故に、その自転による角運動量 s[ 持っている。これをスピン角運動量と言う。しかし、 本質的に、量子力学的量である電子の自転(スピン)の. Z. ( 2 8 1 1 ). ︽. ht'6ll ノ. Z 、 0 ﹂. 'AAU. 〆I ' B I -. ノ. 、. /talli--. AV'I. 2 h一 AZ 、 、 + σ AWJ 2 h一 11113J + ‘ ↓o AVd 、. 一 一 e. h一 2 一 一. σv' nuI /F1t1、 14t 2 h一 h一 2 + + AE AE 1112/ σZ 2、 h一 、'inU. 一 一as. h一 2. 1電子のスピン角運動量は. i I I i I i s=一 . . =一 _=一 ー 2σ ，s 7 2σy .，s 2σ' 品. ( 2 8 1 2 ). する事はない。常に一定の大きさである。又、スピン z 方向とする。)に着目して観測をしたと が或る方向 (. き、初めて、実験的に得られるスピン角運動量の z成 分は +;[J-s]か 、. ( 2 8 1 3 ). 必. -;[J s ]のいずれかの 2つだ. けである。この事を踏まえて、我々がスピン角運動量 を電子の軌道角運動量 I=rxpと同様な数学的形式. である。スピン角運動量の交換関係は. l s x， s y j =和 z '~y ， szj= 凧 ， [ s z， s x l =耐. 速さは大きくなったり、小さくなったり、停止したり 角運動量 sの空間に対する方向は確定できない。我々. である。スピン演算子の行列表現は. である。. oeH=UxHx+σyHy+σz H z. ( 2 8 1 4 ). 12y~ 伊， ψ)=IV +1)n2Y~(e， tp). ( 2 8 21 ).
(4) 166. 近畿大学工学部研究報告. l.r~伊， ψ~=mñY~ 伊，伊) m=I， l-1 ， 1-2， …， 1. ( 2 8 2 2 ) ( 2 8 2 3 ). 2. m.=+一 . 一 一. 2 '2. ぬ==s ( s+1)ñ2α ==.!..~ 1i2α. 22. 印==S ( S+1 ) n2 β=1.2h2P. 22. sα= = m .1 iα=+1hα 2. = j m. S z s = =桝. ( 2 8 2 4 ) ( 2 8 2 5 ) ( 2 8 2 6 ) ( 2 8 2 7 ) ( 2 8 2 8 ). 向きスピン状態と下向きスピン状態の固有関数であり、 互いに規格直交状態にある。固有関数 α とβ を基底関 数に選んで表わした演算子 S2 と S zの行列表示は、それ. 日4(;?片. ( 2 8 3 4 ). 我々は今、量子統計力学の正準集団を考察している。 から成り、温度 Tの外系である熱源によって固まれ、 熱源と熱エネルギーの遣り取りをしながら熱平衡状態 に在るものとする。この N粒子多体系のエネルギー固. によって識別される。電子はフェルミ粒子であるので、 ( 2 8 3 5 ). 0 ， 1. np， g=. 系の全粒子数は N であるので、. : L : L. ( 2 8 3 6 ). np'8 = N. g. である。こうして、上 2式の制限条件下で N粒子系の エネルギー固有値瓦は、次の様になる。. E . = L L九 人. ( 2 8 3 7 ). g. 判長s H J ν( 長 叫 ， ，_1}. ぞれ、次の様である。. s. sH. 有値 E .は各一粒子準位共 &p， g への電子の占有数 n 8 p'. ここで、 αとβ はそれぞれ z軸の正向きに対して、上. s = ( fj)刊~). 五. Bo_v = -g ・ L .m. 即ち、系はスピンを持つ N個の電子(フェルミ粒子). で記述したとき、次式共を得る。. S=-，. N O . 4 3. ( 2 8 2 9 ). ( 2 8 3 0 ). 次の表記を導入しよう。. np，+1 王- n ! ' . p. ( 2 8 3 9 ). nn ;. ( 2 8 4 0 ). : Ln. ( 2 8 41 ). ド三. p， +1. 行列は共に対角行列であるので、当然の事ながら演算 子 σzの固有関数とその固有値は、それぞれ、 α，sと. ( 2 8 3 8 ). =N t. : L. ( 2 8 4 2 ). np， 1= N. ↓ =N-N t. (ベクトル表示)は. の様になる。. 31111ノ. ' ' E e s a. 〆. 一 -. ，. 、 、 、 R F. ﹄. lit-j. 'lhU. 一 一 α. 、nu'I. このとき、 ( 2 8 3 8 )式の系のエネルギ一回有値 E .は、次. fl 1、 、 、 1. + 1，ー 1 である。或いは又、スピン上向き状態の固有 関数 α とスピン下向き状態の固有関数 βの行列表示. ( 2 8 31 ). ι=手 { ( 長s H } :長 ( ++ s H } ; }. であるので、. =計;吋)長 -ßH:L~; n ; ). σα=(~ 0ル (~}=+1・α. σß==(~ ~1)(~}==(~1トー1・(~)=一l・β. =討; + n J ) 手-sH(Nt-N↓ ) 正準集団(カノニカル ( 2 8 3 3 ). となり、演算子 σzの固有関数と固有値は、それぞれ、. α， β と + 1， 1 である。 以上を踏まえて ( 2 8 2 0 )式へ戻ると、 a.Hの固有値. ( 2 8 4 3. アンサンプル)の量子統計. 力学的分配関数 ( p a r t it i o nf u n c t i o n，状態和 s u mover s t a t e s )Z(Tλ v) は、以前の節 (~)9 の (613) 式で定義 された。. Z ( T λV ) =: Lek.T. [( 6 1 3 )式] ( 2 8 4 4 ). は gHである。ここで、 g=:t1である。 ( 2 8 1 8 )式を眺めよう。一粒子エネルギー準位は、次. の様である。. 故に、今の場合、考察している系の分配関数 Z ( T ， N， V ) は次の様である。.
(5) 多体問題とグリーン関数との関係の研究 ーグリーン関数と多体問題(14 )ー〈量子統計力学 6>. ム Ei子~(n:+nt. Z ( T λv ) = 玄e. * 合同. ，. I N f- N 1. ( 2 8 4 5 ). 目下~ 1. 1 6 7. Ln;=N ↓=N-N tの拘束を受けている事を示してい る 。 質量 m の N個のスピンのない粒子共からなる理想. 但し、ここで、和記号すの上部の*印は和を取る. 問み}. フェルミ気体の正準集団の量子力学的分配関数は、次 の様に書ける。. とき、 ( 2 8 3 5 )式と ( 2 8 3 6 )式の拘束条件がある事を表わ. 内 λ V)=Z~) 守一寺子去、. している。我々はこの拘束条件下でもはも;}の総ての 可能な組み合わせに渡って和を取らなければならない。. A : F(T. N . v ). =e--tr. そして、その為には系統立てて計算を進めなければな らない。. ( 2 8 4 8 ). ( 2 8 4 9 ). ここで、和記号石は束縛条件. 最初に、上向きスピン?の全電子数として 1つの任 意の整数 Ntを選ぶ。このとき、下向きスピンの全電. 2 :np=N. ( 2 8 5 0 ). 子数 N↓が自動的に決まる。そのとき、 Ln;=N ↑ と. ，. の下で、全ての組合わせの組 ~p}1こついての和を取る. Ln;=N-Nt(=N ↓)を満たす様な、各運動量 p状態に 事を意味している。上付き添字のや)はスピンのない粒 対する上向きスピン↑と下向きスピン↓の電子の占有 数の組制， も;}の、総ての組合わせの組に渡る和を 取る。系の電子の総数 N は一定で決まっている。我々 は、先に、 Ntの数値を任意に選んだのであるが、実 際は Ntのその数値は Oから N の総ての数値を取る事 が出来る。故に、我々は、次に、 Oから N の総ての整 2 8 4 5 )式 数 Ntに渡って和を取らなければならない。 ( 中で、. 子系を表わしている。又、 ( 2 8 4 9 )式の F ( T λ. の系の熱力学量であるヘノレムホノレツの自由エネルギー である。以前の節 (~)9 の (623) 式に示した様に、熱力. 学的量であるヘノレムホノレツの自由エネルギー. F ( T λv )と統計力学量である分配関数(状態和) Z ( T λv )との聞には次の対応関係があった。 F ( T λv ) =一 九T l o g . Z ( T λv ) [( 6 2 3 )式] ( 2 8 5 1 ). 故に、 Nt-N.=N ( N-Nt)=2Nt-N t-. ( 2 8 4 6 ). であるので、 ( 2 8 4 5 )式は次の様になる。. 玄I ，. A : F(T凡 v ) Z ( T λv ) =ek， T' ".. ，. ( 2 8 5 2 ). " ' } 2古子お. である。(古典統計力学では ( 9 5 6 )式参照) 次に、この様に表記したとき、質量 m の Nt個のス. 、B-" 、. Z ( T λ. ピンのない粒子共からなる理想、フェルミ気体の正準集. im(ZNTJ)÷ v ) = fek.T~"-'" e N =O¥ ¥ 0 . . :1. 弓 d. t 弓. a a 4. 白 。. hit--﹄Il--ノ. z '. e. 一. 1V. す m制. 団の量子力学的分配関数. z r. は、次の様に書ける。. 『LZE14-iF(TJJ) ιー zt)= ev，zm=e 但し. v )はと. エ. ここで、和記号誌の上部の村印は色々な組. } I. 合わせの組ト: こ渡って和を取るとき、各々の組合わ せト:}の全てが、それぞれ、 Ln;=N tの拘束を受け. ( 2 8 5 3 ). とこで、和記号おの上部の材印は束縛条件. 2 :n;=Nt. ( 2 8 5 4 ). P. ている事を示している。そして、同様に又、和記号詰. こ渡って和 の上部の…印は色々な組合わせの組制i を取るとき、各々の組合わせ伝)の全てが、それぞれ、. の下で、全ての組合わせの組制について和を取る事 を表わしている。 個のスピンのない粒 同様に、質量 m の N.(=N-N ) t 子共からなる理想フェノレミ気体の正準集団の量子力学 的分配関数. z r = Z. 払は、次の様に書ける。.
(6) 1 6 8. 近畿大学工学部研究報告. ェ ー. ' r Lf : " : -~F(T，Nj ，V) エ. Zだ 主 ZEN?= ekJ72mEekBT. N O . 4 3. 1. 1'1. を意味している。. ( 2 8 5 3 )式と ( 2 8 5 5 )式を使うと、 ( 2 8 4 7 )式[( 2 8 4 5 )式]. ( T ， N， v )は次の様に書ける。 の分配関数 Z N. rよ. 2 8 5 9 )式へ代入して、 2 8 61)式を ( この項を無視する。 ( 結局、次式を得る。. 2s 〓. _ _ _ __ _N 1 1 _ ( T ilogeZ ， N， Y ) =一.-~ßH +ー 2 s H ' : ! k B T ' kBT" N. F ( T NY)JF(T. V ) } ) + F r ， I ¥ ' t ， v ， r (N-Nt， ェ シ ・ す か(. k~T[ßH(子 lJ. TN ( : T. 叩 仰 1 ι Z N ， ， 件 v ト占 ι Z 」 占 仰 ?占 杓札 主 ι =仰 ι 71 ! : . . . 了 τ~F(仰 71 ブF L レ ' B' B' 舟吋. =. 同. 陶吋". Nf~O. ( 2 8 5 8 ). ーす竹町)+耐久 ， v ) } ]伽). 故に、. 3 6の( 2 6 61)式を眺めよう。量子統計力 以前の節(~ ). よ1 ( T， N， o g .Z v ) 一 =-Lm kBT. 学の正準集団に対する磁化の強さ M は、次式で与えら. .，!:!....て~Il刷r 土 F(T ， N， 叫 ， '~F(T 川 ， v). o g .) : e + 士1. 叩. -kBT'----' kBT Nl. 23 ， . ，5 5 / 1 0 の様に極めて小さい値になる。故に、. ゑ(内古 予 1 >e. .. す1og.N. ，. 吋皐. F(T， V) Nj，. . ，1 023 の大きな値なので、 となる。ところで、 N，. N =O¥. =e. 叩. 2 8 61) ) } ( 一古巾一丸 V. Z ( T λV)=ekBT ZleksTP-ulzrzfNT￨(2857). J. 叩. Nt=O. C" -. の下で、全ての組合わせの組制について和を取る事. 土町. 叩. ( 2 8 5 6 ). ↓. ， 件土. N 2 τ ; ; ;仰 ? ー と F(T，. 斗N-l o gN42ipHF ↑ーよ F ( T ， N ， v ) r -. ここで和記号石の上部の刊は束縛条件. " 2 . ; n= N =N-Nt. ム. o g .L e 士1. ( 2 8 5 5 ). 叩. 叩. れた。. ι g. 咋. 噌 e M=kBdlo. Nt=<O. ( 2 8 5 9 ) 辱る。 を1. 2 8 5 9 )式の右辺第二項の値を近似的に求め ここで、 ( よう。外部磁場 H [A• t u r n l m J中で、質量 m のスピン を有する、体積 Vの N 個の粒子からなる正準集団が、 温度 Tの外系と熱平衡にあるとき、系に実現される上. (286 幻 2)式より、. i 但. 2N θl og.Z(T λYL土 r V k B T 'lN dH )V. = が ( 号 明. 2 8 5 9 )式の右 向きスピンを持つ粒子共の平均値万↑は、 (. z ， N. 辺第二項中の和. 中の N+HI 聞の項共の中の最大項. N ) =よ.些NVt-. ( 2 8 6 4 ). kBT. N O と. である。そして、それが Ntの平均値でもあるので、 . ，1 N， 023程度で N+1起 N なので、近似的に、. e"8'. " ' eA. N1=O. 2 8 5 9 )式の右辺第二項は となる。故に、 (. l. である。故に、外部磁場 H[ A ・t m ' J u r n l m J中で、体積 V [. マ. ， Nt ， Vトよ F(T ， N-N"V) 2~xHiif-~F(T T ' ， . ，Nek. r ' • kBT' ， 'k，. ( 2 8 6 5 ). ，. [ ( 2 8 4 6 )式を使った。. ι2 土 /lHN， τ~F(T ， N ， 外占a F(T ，Nj ，v) 予. ↓ ). β( N t-N V kBT. 一 一. で、温度 T[凶の熱平衡状態に在る正準系の磁化の強 さ(単位体積当りの磁気モーメントの和). ( 2 8 6 0 ). /m2] =[Wb・ 士、次式で得られる。 M [Wb mlm'H β仰↑ N ) β(万↑一万↓) M =一一一一一一=一一一ー一一 V V. ( 2 8 6 6 ).
(7) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題 ( 1 4 )ー(量子統計力学 6>. 但し、ここで、 β は電子の軌道運動に由来する磁気モ ーメントの量子力学的単位のボーア磁子. 霊ヰ坐[附・ m l. β. m. [ ( 2 制式] ( 2 8 6 7 ). . l. であった。. μ = [ 勾 次に、以前の節(~ V三. ところで、我々は未だ N↑の値を知らない。次に、. 2 8 6 2 )式を参 我々は N tを明瞭に見出さねばならない。 (. ) 3 2の( 2 1 2 9 )式を参照しょう。 [ ( 2 1 2 9 )式1 ( 2 8 7 5 ). k B T. v( ギリシャ文字)は N 個のスピンのない粒子共から. なる理想フェルミ気体の化学ポテンシヤル μ と上式 の関係にある。故に、. 中l.. μ=kBTV=[. ( 2 8 7 6 ). r. -Nt， V ) } である。 v又は v ( N )をこの様に記したとき、我々は. ( 2 8 6 8 ) このとき、 ( 2 8 6 2 ) 式は次の様に書ける。. 土l o g .Z(T λ. [ ( 1 0 91 ) 式1 ( 2 8 7 4 ). r. L. 考にして、次の関数 f(N t)を定義しよう。. ホ )=sH(予1 )ー す 付 Nt，v)+巾. . l. θ. 1 6 9. ( 2 8 7 3 )式の左辺第二項と第三項を、次の様に書く事が 出来る。. v ) =土 f帆. ( 2 8 6 9 ). kBT. [年九=九時. ( 2 87 7 ). ( 2 8 5 9 )式の直ぐ下で説明した様に、熱平衡状態で系に. [村川 V)L~Nl ♂V. 実 現 さ れ る 上 向 き ス ピ ン を 持 つ 粒 子 の 平 均 値 Ntは. ( 2 8 5 9 )式の右辺第二項中の和. ↑. z. 中の N+l個の正の. J~IF(T，N -Nt， v )坐二旦2 l. N1=O. 1 θ(N-N↑ ) 訓 ↑ ￨. 項中の最大項を与えるものである。 ( 2 8 6 0 )式の係数 N. = [ F U I ; 1 ナU Y ) l N NH N. を除く寡項(イクスポネン、ンャル項 e x p o n e n t i a lt e r m ) はその最大項である。故に、その対数を取った ( 2 8 61 ). 2 8 61)式を ( 2 8 5 9 )式へ代 式も最大ある。そして、その ( 入して得られた ( 2 8 6 2 )式も最大である。故に、 ( 2 8 6 8 ) 式を参照して、. 問. f(P↑ )=m叫f(Nt~. ( 2 8 7 0 ). 故に、 ( 2 8 7 3 )式は次の様になる。. kBT~(T， Nt ，v)- ， v r (N-Nt， v) } =2sH (2879). であり、万?を見出す条件は. 或いは又、 ( 2 8 7 ω 式の関係より、化学ポテンシヤル. [Ô~tt)L~N. =0. ( 2 8 71 ). df(N). v ). δ I F ( T ， Nt， V )d . ' F ( T， N-Nt， V ). ず t=2m-17一 一. m. であるので、 ( 2 8 71)式の条件は. 2ßH-[時t ，v)L~N. [ 吋Nt，v)]. ( 2 8 8 0 ). である。. から導いた式で、あって、. Ntを見出す条件式であった。. この条件は外部磁界 H が掛かる中、与えられた温度 T で、スピン上向きの粒子共の平均数 Ntが、スピン上. ( 2 8 7 3 ) と同等になる。 正準系の化学ポテンシヤル μ の定義式は、以前の節. ) 2 0の(1091)式で与えられている。. ， v. ( 2 8 7 9 )式或いは ( 2 8 8 0 )式は、 ( 2 8 71)式又は ( 2 8 7 3 )式 ( 2 8 7 2 ). (~. V )を用いて書くと、 μ( T， R ¥， ーμ( T， N-N t )=2sH. 2 8 6 8 )式より、 となる。或いは、 ( N. μ( T λ. ( T. 向き粒子共の化学ポテンシヤ/レ μ ， N t， v )がスピン下. ( TN. V ). N t， よりも 向き粒子共の化学ポテンシヤル μ ， -.
(8) 1 7 0. No. 4 3. 近畿大学工学部研究報告. 2sHだけ大きい、その様な数万↑である事を述べてい. と. ( N 一 丸 ) 圭 kBTv(N- Ni)=eF(2N-2Ni). μ. る 。. 行[ぷ成)ト}. 我々は、低温と高温の極限で条件弐( 2 8 7 9 )式 [ ( 2 8 8 0 ) 式]を解く。. ( 2 8 8 7 ). 以前の節(~ ) 3 2の( 2 2 0 8 )式の下から ( 2 2 1 5 )式のした. 2行目までをもう一度読み返そう。全ての一粒子エネ ルギー準位共が E重縮退にあると仮定したとき、系の. を得る。故に、丸を見出す条件式である ( 2 8 7 9 )式 [ ( 2 8 8 0 )式]は、次の様になる。. フェルミエネルギ}は、 ¥llj. 一. /'till-tt. F. NV z一 Z 一σo f o -. が一、 加 、 、. 〆 'E. N. 、 ・E. [ ( 2 2 1 5 )式] (2881 ). μド -Nt )μ(民 )=kBT~炉↑ )-vヤ -Nt ) }. t ). =eA2N t)-eA2N-2N. である。そして、スピン sの 1粒子に対して縮重度 gは [ ( 2 2 0 9 )式] ( 2 8 8 2 ). g=2 s+1. 4引 請 コ ー. l である。電子の場合、 s=ーであるので、 g=2となる。 2. ( 2 8 8 8 ). =2sH. ここで、我々は. 1Ill-ノ. 山 一y. h 一初. /1111¥. F. E. 制. 、 、. 故に、現在の系に対するフェルミエネルギーは. ヲN . 2N ↑ -N 1=守 一 ( r=. プ ー. ( 2 8 8 3 ). である。 以前の節(~ ) 3 2の( 2 2 2 4 )式をもう一度書く。この式. は低温高密度主 >>1 (又は、 kBT<<SF) のときの化. 一 1: ;r: ;+1 ). ( 2 8 8 9 ). : : : ;万t : : : ; Nの範囲で変化するので、 r と置こう。 Ntは 0 は 1 : : : ;r : : : ;+ 1の範囲で変化する。 ( 2 8 8 9 )式より. v. 2N r ) t=N(I+. 学ポテンシヤノレ μ に対する展開式である。ここで、. ( 2 8 9 0 ). 2N-2 民 =2N-N(I+ r )=N(I-r). ν=かま比体積 ( vは …. λ=侍 は 熱 波 長. ) } +. eF仰 1 _2N t. ( 2 8 91 ). である。 ( 2 8 8 3 )式へ ( 2 8 9 0 )式と ( 2 8 91)式を代入すると、. r + . . ). ベットのヴイ)である。. それぞれ、次の様になる。. 行(ぞ. 山. =kBT l og.z=S. 制. 土門吋. )=eAN(I+ r ) ). [( 2 2 2 4 )式] ( 2 2 8 4 ). ( 2 8 9 2 ). LT. 展開パラメーターは」ーである。 (vはギリシャ文字 S F. r. 長(呼ゴ. )=抑(l-r))=. eA2N-2 万" i. のニュー) 低温領域 kBTくく eFに於いて、我々は化学ポテンシャ レ / μ=kBTv(N)に対して、 ( 2 8 8 4 )式[( 2 2 2 4 )式]の展開. ( 2 8 9 2 )式と ( 2 8 9 3 )式を ( 2 8 8 8 )式へ代入する。次の様に. を使う。. なる。. lEli-ノ. 叫v. 、 、. 11?l/. が一初. 、 、. 7 Z ". 山y. ". 1 ' 1 2 1eFt 2 N)1. un一知. 2 rknT l 2. .u =kBTv(N)=sF(2N~I- :'~ I 一去コ I + ・ ト. ( 2 8 9 3 ). ( 2 8 8 5 ). N )はスピンがないときの N 粒子系のフ. である。ちゃ. 今立・{予(呼~r. 4. ヱ/レミエネルギーに当たる。これより. 引呼. 点 川 ( 2 8 8 6 ). ( 2 8 9 4 ).
(9) 多体問題とグリーン関数との関係の研究 ーグリーン関数と多体問題 ( 1 4 )一〈量子統計力学 6). y. この段階で、 ( 2 8 8 3 )式の. 神 ) = 割 引. 3. 1 7 1. ぷ-(1 ぷ. y= ( 1 +. 23. [ ( 2 8 8 3 )式] ( 2 8 9 5 ). 4一 3 一 一VJ. 2sH. を利用する。 ( 2 8 9 4 )式は次の様になる。. r '. eAN). eF (NXl+r)~ -eAN 沖r 戸. かTr・ _1[ { " _ì~ ，{ _ i n+"'=2sH 羽i{ l 吋 τ-( 川寸. r. ; r2. r. + 1. ( 2 8 9 6 ) 故に、我々は. _23. 。 +r)~ -(l-r)~ 図1 QU. q oy. 9H (. ， 、 、AU. ﹂ 1 t i t -. 3 4一 一 一。 =. F. ( 2 9 0 4 ). . . . .. ，~_.. . ， . ._... 2sH. ーが小さい値のとき(このとき、 4 竺 てくくと 、i e F ( N ) ~. I='~ ~..... ，~.~ ~ ' ' ， e F ( N ) L. ，. N ". 書く。)、 ( 2 9 01)式は ( 2 9 0 4 )式で近似できる。これは. 的に解く事が出来る。即ち、左辺を. y 呈 (1 +r)~ ート r)~. 出が大きな値のときにのとき 2 β. くく乎と書. 4一 3 一 一 y. く。)に相当するとも言える。このときの近似解 rは v '. ( 2 8 9 8 ). と置き、 yを rの関数としてグラフに描き、次に、. [ ( 2 9 0 4 )式] ( 2 9 0 5 ). と. y=e 2 集 τ N). ( 28 9 ω. eF{N. t. J F'. ウ8 H. ( 2 8 9 7 )式はその高次項を無視して、グラフ的に近似. y=2 嬰τ. 4 γ. のグラフも長めの破線で描いてある。図から分かる様. 万Tを見出す条件式である。. 五割{(I+r内 外. 1-3. y=. ' E t. ( 2 8 8 9 )式から温度 Tでの民が求まるので、匂 89の式は. 、，. である。図中には. raE. -EA. を得る。温度 T を決めて上式を解いて rがもとまれば、. 2一 3 、 ‘ + 3 1一 vy F' +. r. ( 2 8 9 7 ). z 、 ‘ 2 一 3 ・ ' ' ﹁ t'1JtpL 一 一o. v d 一 d -r d. 到品r{(l+rt~ -(l-r)-~}+ 合. [ ( 2 9 0 2 )式] ( 2 9 0 6 ). F寸. の交点で与えられる。故に、. のグラフとの交点として rのイ直が求まる。. 4. 次に、 T=Oの絶対 O度のときを考える。とのとき、. 2sH. E r司王ぴ}. ( 2 8 9 7 )式は次の様になる。. ( 2 9 0 7 ). より、. 0 寸 M ぷ 一 +0 ト 川 イ 寸 小 r )). r : : ;. そして、グラフ的に上式を解く事を考える。図 1を参. 3sH. 五万}. ( 2 9 0 8 ). を得る。故に、 ( 2 8 8 9 )式又は ( 2 8 9 ω式から. 照しょう。左辺を -E且. 2ト p ' r. Ea ，E SE、 --. ， ，、 ‘ 2.. -3 v ' ‘ 、+ ， ，. 一 一 y. ••. 刊誌). ( 2 9 01 ). と置き、 rの関数として実線でグラフが描かれている。 次に、右辺を. 2sH. y=ζ研. ( 2 9 0 9 ). を得る。 ( 2909 同 り 、 H=Oの と き 再 与 と な り 、. ( 2 9 0 2 ) 粒子共の内の半分はスピン上向きを持ち、残りの半分. と置いて、横破線のグラフが描かれている。 2個のグ. はスピン下向きを持つ事が分かる。又、 H>Oのとき. ラフの交点が rの値を与える。 ( 2 9 01)式のグラフの原. し. 点 r=Oでの傾きは、. 3. となり、スピン上向きに系が変位する。.
(10) 7 2. 近畿大学工学部研究報告. No . 4 3. r 起訴){1-7~ ( 判. ( 2 8 6 6 )式は温度 T の 熱 平 衡 状 態 で の 磁 化 の 強 さ M [Wb.mlm']= [Wb / m ' ]を表わしていた。一方、. ( 2 9 0 9 )式は T=Oでの Ntの値である。. 2 8 8 9 )式収は、 ( 2 8 9 0 )式l と上の ( 2 9 21)式から、 を得る。 (. H J 2N -NN 7型 -7 三τ ( 2 9 1 0 ) 2eFl N ) ↑. となるので、絶対 O度とくく企但に対して、 2 β. 2 民. の磁化の強さ M を与える式であった。故に、我々は、 磁化の強さ M. N ). β( 2 N. t M =一 一子一 一一. そして、磁化率ん. :γ とττ Xm"'~ 2eAN ル ?ーゥて. 一. である。 ( 2 8 6 6 )式は温度 Tの熱平衡状態に於ける、系. s ( 2 N t-Nt]. β2NH-3F2H(2911) N 玄( N ' y一玄( ) V. m. [ ( 2 8 6 6 )式] ( 2 9 2 3 ). 3p2H 1 ， tr2(ksT i 2 j ド 宅τ τ ￨ト ー 2e l N ) I 1 2 ~ e F l N ) ) I V F. ( 2 9 2 4 ). = 当 社I t ( 品J2}H. ( 2 9 2 5 ). ( 2 9 1 2 ). ー. ア寸コ~ 1 -ー. を得る。 、 次に、低温ではあるが有限温度 Oくん T<eAN)で 且つ、図 1の 築 く く 領 域 、 即 ち 、. ( 2 9 21 ). s<<eF(N)の. " " F ¥ . . . .). 領 域 に 対 し て 考 察 す る 。 我 々 は こ の と き rの幕で. を得る。そして、磁化率 X . .は. く lであるので、 ( 2 8 9 7 )式の左辺を展開する。 rく. 九1 ) + j r トr. ( 2 9 1 3 ). 一小ト 4. ( 2 9 1 4 ). =者þ{I-7~ ( 品) 2 }. X . .. ( 2 9 2 6 ). である。 最後に、高温低密度主〈く Iの場合を考察する。熱波. 。+作. ( 2 9 1 5 ) ( 2 9 1 6 ). ν. 長 λは. = J 嘉. 2 8 9 7 )式は次の様になる。 である。放に、 (. である。フェルミエネルギ -eAN)は. l ( 十 一1 廿. ) = 割 引. eF仰. ) } =訴 づr. 一( 1. ( 2 9 1 7 ). 子-7~ ( J -~十議} 劫(. n. ( 2 9 1 8 ). v. V は比体積. ( 2 9 1 9 ). i. i¥ Vノ. v = 7. v 3、 2. ノ. 42. 、j. [ ( 2 1 7 9 )式] ( 2 9 2 9 ). であった。 Tが十分に大きいとき. 。→∞)には、 ( 2 9 2 7 )式より λ→ 0である。故に、 ぷ → 0である。故に、 ( 2 9 2 9 )式の第一項のみを残して、. 故に、. r = i ( l t ( T ' . 訴 劫J. ) 3 2の ( 2 1 7 9 )式の展開式を利用する。. 3 4 3 ; : 1( ， i ? i2 1( ， i 1(1 i z=一 一 + ー で l一 一 ] - ー で ] - ] + ー で ] - ]. 故に、. ~++出品J}= 禁}. [ ( 2 8 8 3 )式) ( 2 9 2 8 ). であるので、この条件は kBT>>eAN)の場合である。 以前の節(~. 故に、. 故に、我々は. [ ( 2 1 7 7 )式] ( 2 9 2 7 ). λ. ( 平 ). z : : : : : : ( 2 9 2 0 ). [( 2 1 8 0 )式] ( 2 9 3 0 ). を 持 つ 。 フ ュ ー ガ サ テ ィ (fugacit y )zは以前の宣告 (~) 2 0の ( 1 0 9 8 )式で導入された量であり、.
(11) グリーン関数と多体問題(14 )一〈量子統計力学 6). 多体問題とグリーン関数との関係の研究. μ. k.T. 2 9 3 1 ) [( 10 9 8 )式] (. z=e". で定義された。故に、. ー = ι んT. ( 2 9 3 2 ). l o g .z. げ) J 1. 導入して、 μ王 k BTv. [ ( 2 8 7 6 )式] ( 2 9 3 3 ). とした。 ( 2 9 3 0 )式と ( 2 9 3 2 )式と ( 2 9 3 3 )式とから、我々. ( 2 9 4 4 ). である。 こうして、我々は β! f. 2pH. である。更に、我々はギリシャ文字の v (ニュー)を. pH. r ev-l e h r - e h T P H =一一一一ー=一一一一一一一 = t a n h一一一 2 sH J i : 空旦 e<s' +1 e町 +e"81. k.T. ( 2 9 4 5 ). を得る。 尚、双曲線正弦 s i n h x、双曲線余弦 c o s h x、双曲線 正接 t a n h xの定義式は、それぞれ、. は次式を得る。. v(N)~lOg.(ヂ). e -e smnx=一 一 一 一 一 一 2. ( 2 9 4 6 ). e +e cosnx=一一一一 2. ( 2 9 4 7 ). 可. ( 2 9 3 4 ). 向. このとき、. 173. Ntを見出す条件式の (2879)式[(2880)式]. 民. ( 2 9 4 8 ). e -+e. は次の様になる。. 戸. 斗. 手. んT { l O g .. 曹 1. tanhx=~ 一一e一一x=一一一. -bge4. =2sH. である。 ( 2 9 3 5 ). 共立数学公式改訂増補 メJ I四三二、永倉俊充. ( 2 8 9 0 )式と ( 2 8 9 1 )式から. (泉信一、近藤基吉、穂. 共立出版)p83 逆双曲線函数の. 展開によれば、. 民=36+r). ( 2 9 3 6 ). = 4 4ィ). N-民. ( 2 9 3 7 ). である。放に、これ等を ( 2 9 3 5 )式へ代入して、. l 位互並立}-1OEZ並ヱ}=2sH 九T 2V 2V. 王二三+王-+.. 1. 1- x=x+. 357. わ ￨ く) 1. ( 2 9 4 9 ). である。故に、 xが小さい値のときには、. t a n h -Ix同 x. ( 2 9 5 0 ). である。故に、このとき、 ( 2 9 3 8 ). である。故に、我々は. lOEZ 色r )_1館 主(l-rL2pH 一 一 “ v v kBT. t 叫. ( 2 9 3 9 ). を得る。 ( 2 9 3 9 )式の左辺は次の様に変形できる。 3. . A .h+r). ρ二 . d=l弘二 五 λ : 1 1 r l. t a n h x田 x. ( 2 9 51 ). と近似できる。故に、 ( 2 9 4 5 )式は. r=t 袖 sH~ßH kBT kBT. ( 2 9 5 2 ). 2 8 8 9 )式[( 2 8 9 0 )式]と ( 2 9 5 2 )式から となる。 (. 2 丸一 N=Nr娼 sHN kBT. ( 2 9 5 3 ). である。 ( 2 8 6 6 )式は温度 Tの熱平衡状態に於ける系の. l o g， 並 土r )-10. 磁化の強さ M を与える式であった。故に、我々は磁化 の強さ M. =凡 j 土E 1-r. ( 2 9 4 0 ). 些亙 ヨ} y. M-. 故に、 ( 2 9 3 9 )式は次の様に書ける。. l + r ヲβH. l o g，~一一=ーとー '1-r kBT. 制. [( 2 8 6 6 )式] ( 2 9 5 4 ). p2HN. ( 2 9 5 5 ). kBTV. ( 2 9 41 ). Nβ2 ~_r__H. ( 2 9 5 6 ). k B T v. 故に、. を得る。そして、磁化率んは. 1+r2T. 一一一 = e -. ( 2 9 4 2 ). T. l r. である。故に、 2 β! f. である。故に、. ， . ， -. ( 2 9 5 7 ). である。 βは電子の軌道運動に由来する磁気モーメン. 2pH. 1 +r=ek，T -re勺T +r=e-'~. Xm~β2 k B T v. ( 2 9 4 3 ). トの量子力学的単位のボーア磁子. 呈ヰ坐[恥・ m ]. β. L .m. 2 9 5 8 ) [ ( 2 8 6 7式)] (.
(12) 1 7 4. 近畿大学工学部研究報告. であった。又、. v v = 7 は比体積. No. 43. 目次. であった。. はじめに. X . .の定性的図を示している。 図 2は ん T. 第 1章. フェルミオン系の量子力学. ~ 1 .1 序言. *~ 1.2 状態関数の数表示表現と生成・消滅演算子の. k B T X m. f一v. 導入，ならびに生成・消滅演算子の交換関係. *~ 1.3 ハミルトニアンを生成・消滅演算子を用いて 記述する事. *~ 1.4 ハミルトニアンの運動量表示，フェルミ真空， フェルミ自由電子・正孔系の記述 *~1. 5. k B T. e A N ). ンの記述. *~ 1.8 シュレディンガー表示の量子力学 *~ 1.9 ハイゼンベルグ表示の量子力学とハイゼン. 参考文献. 1 ) J.M.Ziman著:“ Elementso fAdvancedQuantum ( C a m b r i g d eU n iv e r s it yPress). 2 ) 高野文彦著: “新物理学シリーズ 1 8 多体問題". 3 ) 高橋康著:. “新物理学シリーズ 1 6物性研究者. のための場の量子論 1， n " (培風館) ( Jo h n. o n s， l n c ) f i r s te d it i o n and s e c o n d W iley & S dition. h e o r yofMany-Body 5 ) A .M .Z a g o s k i n著:“ QuantumT ( S p r i g e r ). 6 ) シッフ著、井上健訳:. “新版量子力学上、下" “統計物理学"(朝倉喜庖). 8 ) ランダワ・リフシッツ著、佐々木健、好村滋洋訳:. “量子力学 1 (改訂新版)" (東京図書). *~ 2.1 ハイゼンベルグ表示 *~ 2.2 相互作用表示 *~ 2.3 相互作用表示での生成・消滅演算子と場の演 算子. *~ 2.4 Brillouin-Wignerの摂動理論 *~ 2.5 時開発展演算子 u(t，t])の積分方程式による. 富永五郎、浜田達二、横田伊佐秋訳:. “統計物. 理学第 3版上" (岩波書庖) 1 0 )U .F a n o : R e v i e w sofModernP h y s i c s74vo129N o 1 ( 19 5 5 ) 1 1 ) 小田恒孝著:. “統計力学" (裳華房) “統計力学" (庚川書庖). 1 3 ) キッテノレ著、山下次郎、福地充訳:. “キッテル. 熱物理学" (丸善株式会社) 1 4 ) 小暮陽三著:. “基礎と応用. *~ 2.6 時開発展演算子 u，t(t ] )の計算 *~ 2.7 時開発展演算子 u，t(t ] )の幾つかの性質 *~ 2.8 時間発展演算子 u，t{t ] )とその遷移確率叱→ *~ 2.9 散乱理論と S行 列 *~ 2.10 時間非依存の摂動理論と S行列. b. 9 ) ランダク・リフシッツ著、小林秋男、小)1岩雄、. 1 2 ) 桂重俊著:. 参考文献. 表現と、その時間積分展開級数. (吉岡書府) 7 ) 西川恭1 台、森弘之著:. 統計力学"(森北出. *~ 2.11 フェルミオン・ボソン相互作用 *~ 2.12 Sマトリックス展開;S=u(+∞，ー∞). *~ 2.13 相似変換の公式 *~ 2.14 Sマトリックス展開式の計算例 S2 *~ 2.15 生成・消滅演算子 (正規積 (N積)への 準備). *~ 2.16. W フェルミ真空』又は『フェノレミ海』に関. しての電子と正孔の新しい生成・消滅の場の 演算子を使つての Sマトリックス展開式の計. 版). 1 5 ) 田沼静一郎著:. “電子伝導の物理" (裳華房). 1 6 ) キッテル著、宇野良清、津屋昇、森田章、山下次. 郎訳: “新版固体物理学入門上"(丸善株式会社) この論文は拙著原稿“多体問題とグリーン関数との 関係の研究. 場の演算子，そして，それらの交換関係，そ. 第 2章高等量子力学における摂動理論. 4 ) K .Huang 著:“ StatisticalMechanics". Systems". ベルグの運動方程式. *~ 1.10ハイゼンベルグ、表示での生成・消滅演算子と れから、ハミノレトニアンの表現，第 2量子化. (培風館). 巴. する事. *~ 1.7 運動量表示での場の演算子とハミノレトニア. 図2. Theory". 揚の演算子の導入と交換関係. *~ 1.6 ハミルトニアンを場の演算子を用いて記述. 高等量子力学入門 1ぺ 内 容. 算例. S 2. *~ 2.17 N積 *~ 2.18 縮約積(コントラクション) *~ 2.19 Wickの定理 *~ 2.20 Sマトリックスの T積表示.
(13) 多体問題とグリーン関数との関係の研究 ーグリーン関数と多体問題 ( 1 4 )ー(量子統計力学 6>. *~ 2.21 縮約積が Oとなる場合 *~ 2.22 Wickの定理のダイヤグラム表示 * i f2 .23 Wickの定理の計算例 S 2式中の 1項 * i f2 .24 正規形 (N積形式)と Wickの定理の関係 * i f2 .25 Feynman diagram を眺めたとき、逆にそれ を式に書ける事. * i f2 .26 グリーン関数の定義 * i f2 .27 伝播関数の定義 * i f2 .28 実変数関数の定積分の値を複素積分の留数 の定理を応用して求める事. * i f2 .29 Feynmandiagram の式を運動量表示するた めの準備. * i f2.30 運動量表示 * i f2 .3 1 ダイヤグラムの寄与の計算 * i f2.32 ダイヤグラムの寄与の計算例 * i f2 .33 電子・フォノン相互作用 * i f2 .3 4 修正伝播関数の計算 * i f2 .35 フェルミオンのダイソン ( D y s o n ) の方程式 * i f2.36 ボソンのダイソン (Dyson)の方程式 * i f2.37 修正されたパーテックス (vertex，結節点) * i f2 .3 8 修正された真空部分 * i f2.39 我々は今何をして来たのかを振り返ってみ る 。. * i f2 .40. フェ/レミオンのダイソン ( D y s o n )の方程式. の別の形. * i f2 .4 1. ボソンのダイソンの方程式の別の形. 参考文献. * i f3.1 量子力学的単純調和振動子 * i f3 .2 ブラベクトル，ケットベクトル，生成・消滅 演算子. *~ 3.3 量子力学的一次元原子鎖連成振動子 * i f3 .4 量子力学的三次元格子状配列原子連成振動 子. * i f3 .5. 連続体媒質への議論の移行と、場の演算子. u ( r1 p ( r ). * i f3 .6 古典場の理論 * i f3 .7 場の演算子と第 2量子化 * i f3 .8 ボース統計に従うシュレディンガ一波動場 の量子化(第 2量子化)とボソン. * i f3.9 Klein-Gordonの方程式 * i f3.10 場の源と場開の相互作用 * i f3.11 簡単な例 1、フォノンのレーリ一散乱 * i f3.12 簡単な例 2、核力と湯川の中間子理論 * i f3.13 荷電ボソンと荷電中間子 参考文献. 第 4章. * i f4.3 密度行列 * i f4.4 統計行列 * i f4 .5 量子力学との関係 * i f4 .6 古典統計力学のリュウヴィノレ(Liouvi1 1 e )の 定理. * i f4 .7 量子統計力学のリュウヴィル(Liouvi1 1 e )の 定理. グリーン関数と多体問題. * i f4.1 古典物理学のグリーン関数とその簡単な例 *~ 4.2 1電子グリーン関数(1). (密度演算子の運動方程式). * i f4 .8 量子統計力学の小正準集団(ミクロカノニカ ルアンサンプ、ル). * i f4 .9 量子統計力学の正準集団(カノニカル. アン. サンブ、ル). * i f4.10 量子統計力学の大正準集団(グランドカノ ニカルアンサンプル). * i f4.11 古典統計力学の基本原理 * i f4.12 小正準集団 * i f4.13 古典統計力学の小正準集団からの熱力学の 導出. * i f4.14 エネルギ一等分配則 * i f4.15 古典理想、気体 * i f4.16 ギブ、スのパラドックス * i f4.17 l E準集団 * i f4.18 正準集団の熱力学 * i f4.19 正準集団に於けるエネルギーの揺らぎ * i f4 .20 大正準集団 * i f4 .2 1 大正準集団における密度の揺らぎ * i f4 .22 化学ポテンシャルと化学平衡 ネ. 第 3章 ボ ソ ン 系 の 量 子 力 学. 1 7 5. i f4 .23. 正準集団と大正準集団の等価性. * i f4.24 W ( N )の振る舞い * i f4.25 マクスウェル架設線の意味 * i f4 .26 演習問題の訳 * i f4 .2 7 量子統計力学の以前の議論のおさらい * i f4.28 熱力学第 3法則 * i f4 .29 小正準集団で扱かう理想、気体 * i f4 .30 l E準集団で扱かう理想気体 * i f4.31 大正準集団で扱かう理想、気体 * i f4 .32 理想、フェルミ気体の状態方程式 * i f4 .3 3 黒体放射(空洞放射) * i f4.34 固体中の音子(フォノン) *~ 4.35 磁化と正準集団と大正準集団の磁化率 * i f4.36 ランダウ準位 * i f4 .37 ランダウの反磁性と磁化率 * i f4 .3 8 k空間と実空間での軌道面積の量子化と磁 東の量子化. * i f4.39 パウリの常磁性 i f4.40 i f4 .4 1 i f4 .42 i f4 .43 i f4.44. 不完全電子気体の磁気的性質 ボース・アインシュタイン凝縮 不完全ボース気体 超流動. ド・ハースーファン・アルフェン効果.
(14) 1 7 6. 近畿大学工学部研究報告. 以下続く。 参考文献 の内、紙面の都合により、第 4 章、節(~)4. 3 9を記述. したものである。*印の節(~ )は既に掲載済みのも のである。. No. 4 3.
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