<ノート>多体問題とグリーン関数との関係の研究--グリーン関数と多体問題(11)量子統計力学(3)

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(1)N o . 4 3 ， 2 0 0 9 年，p p. lO l -1 l7 R e s e a r c hR e p o r t so ft h eF a c u l t yo fE n g i n e e r i n g ， K i n k iU n i v e r s i t yN o . 4 32 0 0 9 ，p p. lO l -1 l7. 近畿大学工学部研究報告. 多体問題とグリーン関数との関係の研究. 11 ) ーグリーン関数と多体問題 ( 〈量子統計力学 3 ). 橋爪邦夫本. S t u d i e so f r e l a t i o n sbetweenmany-bodyproblems andGreenf u n c t i o n s -Greenf u n c t i o nandmany-bodyproblems( 1 1 )一一 Quantums t a t i s t i c a lmechanics3 KunioHASHIZUME*. S y n o p s i s l nt h i spaper ，n e x ts u b j e c ti sd i s c u s s e d， ~3 2， Thee q u a t i o no fs t a t eo fani d e a lg a s . Herewe c o n s i d e rt h ee q u a t i o no fs t a t eo fas p i n l e s si d e a lFermig a s .l nhight e m p e r a t u r e sandlowd e n s i t y，weo b t a i n r e c t i o n st ot h ec l a s s i c a li d e a lg a slawa r eduet o t h eformo fav i r i a le x p a n s i o no ft h ee q u a t i o no fs t a t e . The∞r quantume f f e c t s . Thes e ∞ndvirialcoefficienti sd e d u c e d .I nlowt e m p e r a t u r eandh i g hd e n s i t i e s，weo b t a i n kn T t h ee x p a n s i o nf o rt h ec h e m i c a lp o t e n t i a li nt h ee x p a n s i o nparameter '"8' Nextweo b t a i nt h ea s 戸n p t o t i c EF. k n T e x p a n s i o no ft h ei n t e r n a lenergyU i nt h ee x p a n s i o nparameter '.B~ Wea l s oo b t a i nt h es p e c i f i ch e a ta t 8F. c o n s t a n tvolumeCv. ~. 前節(~ ) の( 1 9 4 3 )式と ( 1 9 4 4 )式に与えられている。. 32 理想フェルミ気体の状態方程式この節(~)の議論は、K. Huang 著“ Statistical. P 41l'r l J t p z l 一一=マ I p.l o g . l l+z eザ … ￨中 kBT n ui l l 勾. M e c h a n i c s " の第 1版 (I 日版)と第 2版(新版)に負う所が多い。. [( 19 4 3 )式] ( 2 1 1 3 ). 前節(~ )3 1に於いて、我々は、量子統計力学の大正. p ， Q. 一 J. p a. ース気体とを議論して来た。この節(~ )では理想フェ. 何一グ. l一v. 準集団の理論に基づいて、理想フェルミ気体と理想ボルミ気体の議論を更に深める。スピンを持たない理想フェルミ気体の状態方程式は、. [( 19 4 4 )式] ( 2 1 1 4 ). C e n t e rf o rt h eA d v a n c e m e n to fH i g h e rE d u c a t i o n，. 近畿大学工学部教育推進センター. F a c u l t yo fE n g i n e e r i n g .Kin k iU n i v e r s i t y 1 0 1.

(2) 1 0 2. 近畿大学工学部研究報告. 厳密には、上式から zを消去して状態方程式が得られ. No . 4 3. y. ( 2 1 2 3 ). v=ー-. N. る。. は比体積である。又、. 医師. 次に、 ( 2 1 0 5 )式と ( 2 1 0 6 )式の右辺の積分の式のそれぞれを部分積分して、式を更に書き替える。すると、スピンを持たない理想フェルミ気体の状態方程式の、. [( 2 2 )式] ( 2 1 2 4 ) 18. 新たな、次の表記を得る。は、エネルギー kBTを持つ、質量 m の 1粒子の熱波長. ・・. P 4 下 x2 一一ー=一 E一一一ー- a I knT 1 . /. ， . A3 ~o1 e -+1. である。 2 1 2 2 )式[( 8 8 )式]もしくは ( 2 1 1 6 ) 我々は最初に、 ( 19. z. 1 9 7 1 )式]によって決定される様な、フユ一ガガ、サテ式[(. [ ( 19 7 ω式] ( 2 1 1 5 ). 寸. J e J } トト川 ω [ 仰 ( 日 1 ω 叩 l 附 O ω 9 削… { ト言討ペ呑司竹. イω y ). 下 x2. 2. v. 万・・ 11hlax 3. A. テンシヤ/ルレ]の振る舞いを研究する。何故この様な zの. z. 振る舞いを研究するのであろうか。その答えは以前の 2 1 1 6 ) [ ( 1971)式] (. 厳密には、上式から zを消去して状態方程式が得られる。次に、我々は、(19 7 2 )式のフェノレミ・ディラック積分、 z>Oに対する. 節(~ ) 2 9の ( 1 8 1 0 )式の前後を挟む 1 3行中に説明しで. ある。 zの値を N を用いて表わす事が出来るならば、もちろん、今の場合は N は v=去の形で入っている。そして、理想フェノレミ気体を論じている今の場合、 N. ゐ. l一則. rん. 2 1 1 7 ) [ ( 1972)式] (. z. で表わされた zをフェルミ気体の(18 01)式へ代入して、理想フェルミ気体のエントロピ - 8の値を求める事が出来る。そして、これより理想フェルミ気体の総ての. 1 9 7 9 )式の r関数の式のと、 (. その他の熱力学的関数共を決定する事が出来るからで. = 3 f r ( % ) =子市). ある。又、理想フェルミ気体の高温低密度の極限はボノレツマン気体に導くので、ボルツマン理想気体も論ずる事が出来るからである。なおボルツマン理想気体に. とより、. ついての明瞭な計算は既に、節(~) 2 9の(18 1 1 )式乃至 ( ω 2 幻日1 1. It--Fノ. 、、. FIt--t. 一、、、. 〆一. f. Nv 一. +1. や)=封印. ( 1 8 5 6 )式の辺りで詳しく記述した。そして、ボノレツマ. ン気体に対して zの値を N を用いて表わした式は. z. z. 凶 [ ω ( 1 ω 18州 9 5. 。一 A v. :J"V耳. y一 N f一. レ. 斗命 z か ) ト=τ 会ポん( 4 ι To二 e%L. 2 1 2 0 ) [ ( 1986)式] (. [( 18 2 8 )式] ( 2 1 2 5 ). であった。. z. 小さな zく<1に対しては、我々は次の幕級数展開式. 2 1 1 6 )式を[(1970) 2 1 1 5 )式と ( である。故に、我々は、 (. を持つ。この式は ( 2 0 0 0 )式で導かれている。. 式と (1971)式を]書き替えて、スピンを持たない理想フェルミ気体の状態方程式の、更なる、次の表記を得. 三叫三. ん( z ) =. [( 2 0 0 0 )式] ( 2 1 2 6 ). る。. 咽EA. 、、，，，. ηL. nL. nt. ，，‘、. + 4 -3 s f 一 2 z 一崎士4. 3. 喝 d一ラ. 一勾. +. 上式共中に出て来る. 包 J-. 次に、大きな z>>1 に対しては、五 ( z )を次の様に. 厳密には、上式から zを消去して状態方程式が得られる。. z. 2 1 2 2 ) [ ( 1988)式] (. 2-3 z - 一2守&. ( z ). ヲ&. v. 一一. ( “ そか ) 料. [ ( 1987)式] (2121 ). 計算する。.

(3) 1 0 3. 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題(11)ー〈量子統計力学 3). v e. 言. 111﹄ilt ノ. Ma. 一一Z. 、、. e ー、¥. /till--. 一 μ. ・一. ~ 3~I 3 V ) 2+… - vE _ -v)+ =v2 + -vEか '2!22 か 1!2. ( 2 1 2 8 ). v ) + ;イ + = v ; ÷ヤ-. と置とう。故に、 vは化学ポテンシヤル μ と、次の様に関係付けられている。(注. vはギリシャ文字). = 一kι B T. ( 2 1 2 9 ). v= I o g .z. 2 1 2 0 )式の ( 2 1 2 8 )式を (. z )の式へ代入する。すると、 λ(. 一・・. 2 1 3 4 )式 [ ( 2 1 31 は、更に、次の様に ) 式1 である。故に、 ( 続く。. ボ正r(vifJ(x-v). z ) 今(. 依 1ILI--ノ. + v. V. 2 1 3 0 ) 8 6 )式 2 1 2 0 )式] ( [ ( 19 、 (. UEF. x ， a a 1-z 、 ‘ ・. 3 一8 +. 次の様に計算される。. ヂ ) = 去j 守. ( 2 1 3 5 ). ( v i + j v i f計 + . . } t 立!向x ( 2 1 3 6 ). = 去 ! 正門. ( 2 1 31 ). 但し、ここでは、. t=x-Y. ( 2 1 3 7 ). dt=dx. と置いている。変数 tについての積分域は v→+∞で. ここで、部分積分の公式. 2 1 3 6 )式の計算を進めるにあたって、変ある。我々は (. f ' f ( x ) g ' ( X ) g j tか妙==[ 協か防か) J J. 数 tについての積分域を次の様に分割して進める。. 2 1 3 2 ) [ ( 2 0 3 7 )式] (. d t J d t-J d t J. ( 2 1 3 8 ). =. 2131)式は次の様に続く。を利用すると、 (. d. 2 一. ( 2 1 3 6 )式の計算は次の様になる。. 吋 4. ム (ex~:-~ r 一封{ ・}3. . . } t J + j v i t計 + 記向×(. 1. 去思壬古!戸f i f. ( 2 1 3 9 ). ( 2 1 3 3 ). 3. Z 3 j z i t f. ところで、 ( 2 1 3 9 )式の右辺の第二項の積分は. ( 2 1 3 4 ). ( 2 1 3 3 )式の右辺の第一項は数学の不定形の極限を求めるド・ロヒoタル( L 'H o s p i t aI)の定理を利用すると Oで. ぺベ. の程度 ( o r d e r )の大きさである。故に、 z 我々は、次の様に書く事が出来る。. 与や)ポF 4 1 7 H i t t v i t Z + ) d. L 'H o s p i t aI)の定理にある事が分かる。ド・ロヒ。タル ( 50)式辺りで述べた定理 1、定理 2、系ついては、(19. /bF 、. +. ¥Ili--ノ. +. vI. v. +. 3一 8. zI. v. 、. 2 3一 +. V. リン級数展開して書こう。. Y=f か) = f か)+i仰い)+j/怜イ +. FI. /tPIti--t. M 4F 一. 次に、 ( 2 1 3 4 )式中のがを x=vの周りでマクロー. +O(e-v). 。. で既に説明している。. ( 2 1 4 0 ) 但し、ここで、.

(4) 1 0 4. 近畿大学工学部研究報告. 吋 Uiiydt. No . 4 3. ) ( 2 1 41. と霞いている。. 斗計三五・M l b l. ( 2 1 41)式の被積分間数の内 f を除く部分の ( 2 1 4 2 ). 下す. ベペ3 2 1 4 4. は、変数 tについての偶関数である。他方、関数 t '. の部分は、変数 tについて、 n=Oと偶数偶関数であり、 n=奇数. ( 2 1 4 3 ) に対しては. =2nlfLdu ~e "+1. に対しては奇関数である。. 故に、 ( 2 1 41)式は次の様になる。. ( 2 1 5 2 ). ところで、「新数学公式集 I 初等関数J (大槻義彦. n=奇数 >0 に対しては、. r=0. ( 2 1 4 4 ). 監修、室谷義昭訳丸善)の p341 定積分指数関数によると、次の積分公式が成立している。. n=O に対しては、. 院内. I o=itlydt=2. !五此 =(1- 汁(α).ç~α). d t. 、 2 l一 til-Jノ. AU fil--¥. 今L. 一一. -咽目且. ∞ 0 1lill-J. l一+. -ρLV. 今ゐ. rill--﹂. 一一. f f iし、ここで、. Reα>0. r い)は i(ガンマ)関数である。ガンマ関数に. 1 9 7 3 )式乃至(19 7 9 )式で既に説明している。ついては ( ( 2 1 4 5 ). ( 19 7 7 )式によれば、. い. r +1)=ni か ) =n ! [ ( 1977)式] ( 2 1 5 4 ) である。次に、 ζ ( α )はリーマンのツェータ関数. n=偶数 >0 に対しては、 'E. Gry. det. 一 n 勺一 +. 一. ﹁. ，. p s Jo ∞. e e g 、. 6. 今4. 一，， = 一d. a一+ よ. e一t 乍 'E‘. 71e4. 一一 I ". ( 2 1 4 6 ). (Riemanz e t af u n c t i on>である。リーマンのツェータ. でろ. と. 関数の定義と性質の簡潔な説明は「共立改訂増補 J(泉信一他 3名. [ 品I L = [ 時I L = [ 剖. 1. 定義 1. 定義 2. である。故に、 ( 2 1 4 6 )式は次の様に書ける。. るベ! ? 4 1 4 1. 共立出版)の p306に見. c ( z ， a )= 竺-L-. 自い +n)'. 5 b ) = 5 b ， l ). ( 2 1 5 5 ). 0<a 壬I. r. ( 2 1 4 7 ). = ( e ' + I Y. 数学公式. 出す事が出来る。. R e ( z )>1，. 作， a ) =よ ~Z-I己申 ( z Hl_e-x. ( 2 1 5 6 ). xは実数. ( 2 1 4 8 ). I. である。. ( 2 1 5 5 )式より. 次に、我々はここで、. ( 2 1 4 9 ). u=λ I. 作. ) z z t. ( 2 1 5 7 ). でもある。我々は ( 2 1 5 2 )式で、 1 .の n=偶数 >0のみ n. u. n. e ' '. λ u一一一 t. l一 F 一一. と置き、変数変換をする。このとき、. du=Adt. ( 2 1 5 3 ). ( 2 1 5 0 ). J.dt=1du(2151) λ. である。故に、これ等の式を代入して、 ( 2 1 4 8 )式 [ ( 2 1 4 6 ) 式]は更に次の様になる。但し、 n=偶数 >0であった。. を扱うので、 ζや )，仰) . c 炉)を考察しておく。 ( 2 1 5 6 ) 式より、. 的)=制百ゐ 7.

(5) グリーン関数と多体問題(11)- (量子統計力学 3 >. 多体問題とグリーン関数との関係の研究. I s=0. = 市 ! 云汐 = そ. ( 2 1 5 8 ). [ ( 21 4 4 )式] ( 2 1 7 2 ). ん=(2x6X6-1沖21-6) ; ( 6 ) =竺ポ、 "" 21 k B T. 事を思い出そう。 z>>1のときの展開式である ( 2 1 4 ω 式は、このとき次のように書ける。. ，でr~二依=竺:. まい. ( 2 1 5 9 ). 90. q4)~e"-1. q b ). f o r z>>1 [ ( 2 1 4 0 )式] ( 2 1 7 4 ). I 宇 XS •. z< くl のときの展開式は ( 2 1 2 7 )式に与えられている。. 6. tr. 一r和一一一 H e " -1山 --9 4 5. ( 2 1 6 ω. を得る。包 1 5 8 )式乃至 ( 2 1 6 ω式の計算には上述の「新. もう一度それを書いておく。. 1_2. 1_3 1 3( Z ) =Z _ ; " Z 2+τz一寸 Z 4+・ 22. 数学公式集 I 初等関数 J(大槻義彦)を参照すると良. 32. 42. f o r zくく l. い。例えば、. 区北 =--Zl. [ ( 2 1 2 7 )式] ( 2 1 7 5 ). Z2m. ~. ポ + ト0 ( ; ). od+40og. 時 ) = r お ! 伊一. ( 2 1 7 3 ). ここで、我々は、 v=log.z=. f . l _ [ ( 2 1 2 9 )式]であった. 引の = 市 ! 王手此 -. 1 0 5. e-1-- 6 X. ( 21 61 ). f : t .k. 2. 1 3 ( z ). i 立土-dx=主: 6 m 土 ~ e1 1 5 f ; jk. ( 2 1 6 2 ). 4. X. 壬 !i k =十. 写真. 1 ) " + 1. 包1 6 3 ). n. 4 0 o g ez長. f. 起て. 、. 3 Itr. v. n=1， 2， 3，・・ .. z. 但し、えか)はベルヌーイ多項式で、. 3 2 ーよ B 4 ( X ) = X4 -2x +x. 包1 6 4 ). 一一. F. n u. 一一 n u. ，s ， . ‘ 、 B 、・. ー一知. 3 0. ( 2 1 6 5 ). Z. 図1 図 1は 1 3 ( z )のグラフを示している。 (2124)式の直ぐ. が載っている。. ( 2 1 5 2 )式 [ ( 2 1 4 6 )式、 ( 2 1 4 8 )式]は次の結果になる。. ω. X n. 1 .=( 2 n l ) ( 1 21-n) ; ( n ). ( 2 1 6. 下辺りで述べた様に、我々は ( 2 1 2 2 )式によって決定さ r μ 1. れる様な. l z e Iの振る舞いを研究する。そこで説呈. kBT. 但し、 n=偶数 >0 である。明した様に、我々は zを N を用いて表わしたいのであ. 我々は次式を持つ。. [ ( 2 1 4 5 )式] ( 2 1 6 7 ) [ ( 2 1 4 4 )式] ( 2 1 6 8 ). 1 0=1 =0 1 1. 刊. 除川 r 防. x2. ι=0. ) ÷ 2 ω) [ ( 2 1 4 4 )式] ( 2 1 7 ω. いい仰川 -2すい)十. 4. 位1 7 1 ). Y る。現在の場合 N は v=ーの形で入っている。 ( 2 1 2 2 ) N. 式より直ちに. よ=λ ( z ). [ ( 2凶式 ] ( 2 1 7 6 ). を得る。故に、任意の与えられた令 0 )の値に対す. 2 1 7 6 )式を満たす zの値は図 1のグラフから求まる。る(.

(6) 1 0 6. 近畿大学工学部研究報告. グラフから、乏が増加するにつれて zが単調に増加す v. No . 4 3. T→∞のとき λ→ 0、放に f→ O である。こうして、我々はこの条件下で. f. [ ( 18 2 8 )式、( 2 1 2 5 )式] ( 2 1 8 0 ). z=一-. るのが分かる。又、比体積付)を国定山き、. v. を得て、 ( 2 1 7 9 )式はボノレツマン気体のときの式へと形 λ幅一で町が減少するとき. Zが. を変える。ボース気体とフェルミ気体の粒子共の、それぞれの. 単調に増加する事が分かる。. エネルギー準位 Bpへの平均占有数は、それぞれ、. d 一は. f一v一械. に一長め一波初一熱. の高温低密度の場合を考える。. _ . ! L. ( p)z e n_)=ーー一一一一一一 kET. w. 原一. ，. ーニι. (ボース気体). l-zek， T. [ ( 18 2 2 )式、 ( 2 1 2 4 )式] ( 2 1 7 7 ). [ ( 19 3 3 )式] 位1 81 ) と. であったので、 T=大. の高温では λは小さくなる。. そして、 fは更に小さくなる。又、高温では熱運動の活発化のために平均粒子間距離が大きくなるので、比. . .. ユヱ. ( n ， ) =. (フェルミ気体). l+zeks T. 体積 V は大きい。故に、主くく lの条件は、フエルミ気. [ ( 19 3 5 )式， ] ( 2 1 8 2 ). v. 体が高温低密度にある状態に相当する。 fくく vである。く y3であるから、平均粒子間距離がは熱波故に、 λ〈長 λよりも、はるかににより大きい。こうして、我々. 3. であった。再び、 T→∞. 2 → O で ( 2 1 7 9 )式が成り立っときには、包 1 81)式と ( 2 1 8 2 )式は両方共に. ( n ， ) =ぞ e 寺. ( 2 1 8 3 ). は考察しているフェルミ気体に対してどのような量子効果も無視する事が出来る事を期待する。グラフからく lでもある。故明らかな様に、五くく 1のときには zく v に、 ( 2 1 2 2 )式と z<<1のときの λや)の展開式 ( 2 1 2吟. z F ( 7 5 ) E J. ( 2 1 8 4 ). のマクスウエノレ・ボノレツマンの式へと形を変える。. ( 2 1 8 4 )式は ( 2 1 7 7 ) 式を利用して得られた。 ( 2 1 1 3 )式[(19 4 3 )式]と ( 2 1 1 4 )式[(19 4 4 )式]の対、. +. +. 一u・ 4 zz 一. 3z 3少. 一2 z z. f一v. 式とを結び付けて、 ( 2 1 7 6 ) 式から次式を得る。. ( 2 1 1 5 )式[(19 7 ω式]と ( 2 1 1 6 )式[(1971)式]の対、 ( 2 1 21 ) ( 2 1 7 8 ). 式[(19 8 7 )式]と(21 2 2 )式[(19 8 8 )式]の対は、いずれも、スピンを持たない理想フェルミ気体の状態方程式表わ. この式は近似的に解く事が出来て、次の解を与える。. 4 ) 4 ー( : ) 34 千古(: )さ. z. ( 2 1 7 9 ) 我々は、今や、主くく 1の高温低密度のフエルミ理想気 V. 体に対して、 zを N の関数として書く事が出来た。 (寸である。). している。そして、各対の式から zを消去するとスピンを持たない理想フェルミ気体の完全な状態方程式が得られる。これ等の 3個の対の式の内のいずれを採用しでも良いのであるが、ここでは我々は今、包 1 21 ) 式 [ ( 19 8 7 )式]と ( 2 1 2 2 )式[(19 8 8 )式]の対を採用して考察する。 z<<lのとき. 助)=芝叫ヱ. [ ( 1 9 9 7 )式] ( 2 1 8 5 ). 研一川. の展開式が成立していた。故に、状態方程式の第 1式. ( 2 1 21)式は次の様に書ける。高温の極限.

(7) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題 (11)- (量子統計力学 3 >. P 1 1 1， 1 ，一一一ー=ー: 1z -ーで-Z'+ーでーz '-ーでー Z匂 + ・ knT λ "1 " " 22 32 42. 1 0 7. 2 1 8 9 )式の場合の、古典的理想気体の状態しかし、 (. 今. 方程式. l. ~=1 又は主主 =1. 次に又、 zくく lのとき. ( 2 1 91 ). RT. k b T. [ ( 2 0 01)式] ( 2 1 8 6 ) ∞ ヤム. Z. M. iwv. F4 九一. 世 3p. からの修正は、古典的実在気体のときの説明の様な分子間相互作用共によるのではなくて、量子効果共によ. [ ( 2 0 0 0 )式] ( 2 1 8 7 ). るのである。. ( 2 1 8 9 )式の場合の第 2ビリアル係数は. の展開式が成立していた。故に、状態方程式の第 2式. 2 2 J } 1 尭 i 1v N. . .(1 1 ' " B ( T )= A 5 =~NAI ベ一一 mkBT) 2 - 2¥ l 2. ( 2 1 2 2 )式は次の様に書ける。. (2191)'. ノ. 11 1 1 ，一=ーで IZ-ーでー Z'+ーてー Z -ーでー Z'+・ l 包. 今. V. A-I. 22. 42. 32. である。或いは、. ). NA を除いて. る ) 五 t ( 三=. 2 1 8 8 ) [ ( 2 0 0 2 )式] ( ( 2 1 8 6 )式の両辺へ vを掛け算して、次に zへ ( 2 1 7 9 )式. ( 2 1 9 2 ). を代入すると、対 ( 2 1 21)式と ( 2 1 2 2 )式の状態方程式は. である。そして、総てのその他の関数共は古典的理想、. 次の様に得る。. 気体に小さな補正を加えたものに帰著する。. pv V 1， 1 ，一一一ー=: : 1z -ーでー Z'+ ーで一Z 一ーでー z匂 + ・・・ knT λ， 1 " " 1. 今. - ¥ 22. 32. 42. 2 : ι-. l. 生. ). 中 + 立与J -( ぞ l '+ H ] 3 %. 〉〉. l の低温高密度の場合を考える。. V. λ ここでも、熱波長(平均ド・プロイ deB r o g l i波長) は、. 伯凶ω 舵脱胸 ω 脳2 叫 )式 ω 捌幻 λ， ω 8 m 1 2 K 停 ! 廃嘉. { 与す( : J-( : ) ¥ !. -2 %. ム. 3 %. -3. ω ( 2 1 9 3 ). であるのでで、、 T=小. : ( 叶立与 1 '1 1 ' + ] ' ]. 式. の低温では λは大きくなる。そ. して、 fは更に大きくなる。又、低温では粒子共の熱運動は低く、平均粒子間距離がは小さい。故に、. 主>>1の条件は、フェルミ気体が低温高密度にある状 v. =lttM-t-2-t-I+14)2+. づ4 t. r o g l i波長〉 λは平均粒子間熱波長(平均ド・ブロイ d eB 距離よりも、はるかに大きい。こうして、系の性質に与える量子効果共はもれなく重要となる。そして、パ. これはピリアル展開 ( v i r i a le x p a n s i on)の形である。古典的実在気体の状態方程式は、アボガドロ数 NA '=NAv、気を使って、 1モルの気体に対して、体積 V. 体定数 R=NAk B として、. 主-=1+並 RT. L . . . L些 v ' ". v '. 態に相当する。 23 >>vである。故に、 λ>>V3となり、. r i n c i p l e )から来る P a u l ie x c l u s i o np ウリの禁制原理 ( 量子効果共は特に重要である。. ( 2 1 2 4 )式の直ぐ下辺りで述べた様に、我々は今、フ 2 1 2 2 )式ェルミ気体の状態方程式の第 2の式である (. ( 2削 ). のビリアル展開の式で書ける。 B ( T )， C ( T )， … をそ. [ ( 1 9 8 8 )式]. 7於か). 2酬 [(1制式、 ω122) 式] (. れぞれ第 2ピリアル係数、第 3ビリアル係数、…と言. によって決定される様な zの振る舞いを研究していた。. う。そして、このときの理想気体からのずれは分子問. 1 0 9 8 )式で導フューサティ ( f u g a c i t y )と呼ばれる zは (. 相互作用共によると説明された。. 入されて、.

(8) 1 0 8. 近畿大学工学部研究報告. ト. μ k. T. 百三( n ， ) =s，. [ ( 1 0 9 8 )式] ( 2 1 9 5 ). z=e'. No. 4 3. [ ( 17 68)式] ( 2 2 0 2 ). で定義されていて、 μ は考察している系の化学ポテン又、我々は大正準集団でそれを扱い(~ 3 1 大正準集. シャルであった。 T→ O(T=極めて小)の絶対 O度付近を考察する。. 団で扱い理想、気体) ( 1 9 3 5 )式を得た。. ( 2 1 9 3 )式より、このとき、 λ→∞ (λ=極めて大)である。. ( η ) =と与. λ( z )1 =互I[(2194)式]のグラフを表わす図 1 2. [ ( 19 3 5 )式] ( 2 2 0 3 ). . ¥ V). を眺めよう。 λが極めて大きいとき関数んや)の値は. ここで、 L k.T z=e" '. 大きく、対応する zは大きい。故に、大きな z>>1に. [ ( 1 9 0 4 )式] ( 2 2 0 4 ). 3 ( Z )の展開式の (2174)式が成立対して成立する関数 f. である。 ( 2 2 0 2 )式と ( 2 2 0 4 )式中の μ はいずれも考察し. する領域である。故に、我々は ( 2 1 9 4 )式と ( 2 1 7 4 )式と. ている理想フェルミ気体の系の化学ポテンシヤル ( c h e m i c a lp o t e n t i a Dで、ある。化学ポテンシヤル μの定. から次式を持つ。. ， V， T ) 義式は系のへルムホノレツの自由エネルギー F(N. ZZて1 = ( l o g eぷ. ( 2 1 9 6 ). ; ) ' ¥ I 7 f. いる。故に、 μ は系の状態に依存する。故に、 μ は系. 故に、 ( 2 1 9 3 )式の λの表現を代入して、. i ( i f j : トキOogeZ)i. の温度 Tに依存する。. ( 2 1 9 7 ). z. 1粒子量子状態 p 上の平均占有数. 1¥ 3. I4v I mkBT. 絶対 O度での化学ポテンシャルであるところのフェ 2 2 0 0 )式の物理的意味をルミエネルギー μ= 6F の式、 ( 研究する為に、フェルミオンの絶対 O度付近における. を得る。そして、これより、. log.z~137f 21i ・ .~幼2 O g . z~I 一一一ー一一一ーー -. を用いて(10 91 ) 式[ ( 1 0 9 2 )式]で、又は系のギプスの自由. T， P)を用いて ( 1 0 9 4 )式で与えられてエネルギー G(N，. ( 2 1 9 8 ). ( n を調べる。 p). ( 2 2 0 2 )式、又は、 ( 2 2 0 3 )式へ絶対 O度の μ呈与を代入して、. を得る。故に、. 町中・託手 ) '. Z. ( n. である。. 長 ( 与y. F=. ( 2 2 0 5 ). ek.T +1. ( 2 1 9 9 ). である。 ( 2 1 9 5 )式と比較すると、理想フェルミ気体の系の絶対 O度での化学ポテンシヤノレ μ= 8F は次の様. 内. 部三士. p). ( 2 2 0 0 ). 6F をフェルミエネノレギー ( Fermie n e r g y )と言う。こう. を得る。 ( 2 2 0 5 )式は絶対 O度付近で使える式である。. 1粒子量子状態 pのエネルギー準位 6p がフェルミエネルギー 6F よりも小さいときには、. 6p く 6F であっ. てね o ( 古 → 十とき、万 → 0となる。. して、 ( 2 1 9 9 )式は. ，. .T z坦 ek . ". [ ( 2 1 9 9 )式， ] ( 2 2 01 ). 故に、このとき、. ( n p )=1. である。次に、. >6 の p. 6. F. と書ける。理想フェルミ気体を構成するフェルミ粒子共が、運. ときには. 動量 pの 1粒子量子状態を占拠する平均の占有数. ( n p )の式は既に求められている。我々は小正準集団でそれを扱い(~. 式を得た。. 29 小正準集団で扱う理想気体)( 17 6 8 ). のとき T→ o [_1→∞ i. l kBT. なる。故に、このときは、て我々は、. e ニザ→∞と. ). ( n p )=0. である。こうし.

(9) 1 0 9. 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題 ( 1 1 )ー(量子統計力学 3). f o r. ，. P Fを定義する。運動量空間 P x，P y ' P Z中の半径 P Fの球. 6 <6 F. 一一O. T p. B. ，，，、、、n a ‘ ‘ ，，，、. ( 2 2 0 6 ). 内に在る格子点の数は、(16 31)式より、 V r， .. O. f o r. V 4. τ JId'p=τ ・一司p / h 3. ，. 6 >6 F. ( 2 2 1 2 ). J. J. を得る。 ( 2 2 0 6 )式の物理的意味は次の様である。パウ. である。これは縮退を考えないときの状態数である。総ての 1粒子エネルギー準位が g重縮退をしている. リの禁制原理 ( P a u l ie x c l u s i o np r i n c i p l e )の為に、同一. 場合、状態数はこの g倍で、あって、これが全粒子数(或. 量子状態に 2個のフェルミ粒子が存在する事が出来な. いは、フェノレミ面の下の全状態数) Nに相当する。故. N. F. それより下位に正確に N 個の状態が在るところの 1. ( 2 2 1 3 ). F = ( 4 ! : V y h = ( 吋 4 n g ) l 4 n g V. 粒子エネルギー準位である。運動量空間 P x， P y ' P 'を考えたとき、系の基底状態ではフェルミ粒子共は、その. E 、 4， 3 て一し・. 00. を満たす。こうして、フェルミ準位 6F とは、単純に、. るあで. は最も低い可能な準位共から順番に占めて行く。そして、有限のエネノレギー準位のフエノレミ準位 6F まで準位. v一がそ. い。それ故に、系が基底状態にあるときには、粒子共. ( 2 2 1 4 ). を得る。故に、 ( 2 2 11)式よりフェルミエネルギー. rr. f i i ( F e r i m is u r f a c e )と呼ばれる、半径表面がフェルミ f. 寸(乎引写. P Fの球を満たす。 ( 1 6 2 2 )式乃至(16 3 2 )式を眺めよう。スピンを持たないフェルミ気体で、総ての 1粒子エネルギー準位に縮. を得る。 g= 1 (縮退がない)のときには、 ( 2 2 1 5 )式は. 退がない場合(縮重度 g=1の場合)、運動量空間の半. ( 2 2 0 0 )式になる。. 径 PFの球内の格子点の数が粒子数 N に等しい。故に、 (4. iV. 3. g￨-ZPF￨-r=N l3" r )h '. 但し g=1. ( 2 2 0 7 ). となり、フエノレミ面の半径 P Fは. f. 次に、我々は低温高密度一 >>1に対するフェルミ気 v. 体の熱力学的諸関数を求めよう。その為には、初めに、フェルミ気体の状態方程式の第 2の式であるところの ( 2 1 2 2 )式[(19 8 8 )式、( 2 1 9 4 )式]. と、 z>>1のときの f 3 ( Z )の展開式である (2174)式を組. PF=(fgh=(23)EM である。次に、上述したよりも、より一般的条件の下で、系のフエノレミエネルギー与を計算する。今、総ての一粒子エネルギー準位共が g重縮退にあると仮定する。例えば、スピン sの 1粒子に対して縮重度 g は. g=2s+1. み合わせる。 z>>1は図 1から. λ伝 ) = 互 >>1に相当し、 2 ". v. 低温高密度に当たる。次式を得る。. 与すい . oz)%引ふ} g .. ι. ( 2 2 1 6 ). ( 2 2 0 9 ). である。尚、フェルミ粒子奇数個から成る粒子はフェ. 故に、. ルミ粒子であり、フェルミ粒子は半整数のスピンを持つ。上述した様に、系が基底状態にあるときには、可能な最も低い準位から順番に粒子共が状態共を占めて行くので、 6F を決定する条件は、この場合、. L :( n ' ) r = o= N. g. ω. ( 2 2. である。 ( 2 2 0 6 )式はフェルミエネルギ - 6F よりも低い. F. S. 2一 Fm p一2 =. エネルギー状態の N 個の状態がある事を述べている。. ( 2 2 11 ). と置いて、フェルミ球面上の 1粒子の運動量の大きさ. 3 7 r2 体. 己 =Oogez);+竿(log.)しー V. ( 2 2 1 7 ). d. である。これより. . 2 2 -互(loge)-i( l o g e Z ) i =竺L 4. v. 8. ( 2 2 1 8 ). ωm 士土 i L 4. 一号一ω 〈 ( 器r [ ω ( ω 2 1 悶9 の 3)式を使用した o. ].

(10) 1 1 0. 近畿大学工学部研究報告. である。 ( 2 1 9 6 )式乃至 (2201)式を眺めよう。 ( 2 1 9 8 )式. N O . 4 3. ( 2 2 2 5 ). kBT F-=BF. Lは同様に粒子数密度の関数である。今議論している. 2 2 01)式とより、と(. r. 竿 2 字苧こ . 洋L 引訂4 巾0 恥 o g g ι . ν z ) μ 州 i 九九由斗￨ ι 剖陪手i 引告 v ¥m " B 1). 斗. 帽. 斗ぷ小州)メ. ¥ " B 1). ( 2 2 2 0 ). 1 N 低温高密度一 >>1は粒子数密度 n=一=でが高密度 v. v. y. で大きな値になるので、 ( 2 2 1 5 )式の BF は大きな値となり、 ( 2 2 2 5 )式から号も大きな値となる。故に、温度 T. 4 令{10ινヰ y 小. ) ( 2 2 21. g . z T. と近似できるので、 ( 2 2 1 9 )式 [ ( 2 2 1 8 )式]は次の様に書ける。. ( 2 2 2 6 ). を意味する。そして、この温度領域 T ではフェルミ気体は、その粒子共が可能な限り最も低いエネルギー準. . r. 吋会y_~2会 (. 恥g.z. の低温高密度は Tくく九. 位へ行く傾向があるので、気体は縮退していると言われる。そして、じは縮退温度と呼ばれる。. +. 縮退温度品を簡単な例で見積もってみよう。. = ( 寺l l ( 出 ( ず + . ). れる。金属銅中の伝導電子系を考える。銅原子の電子. ( 2 2 2 2 ). 成して、銅原子 1個から伝導電子 1個が供給される事. 故に、. 配置は 3 d'048であるので、 4 8電子が伝導電子系を構となる。銅の密度は室温で p=8.93g/cm3である。銅の. H ぞ ) : 許可. 吋. 金属中の伝導電子系はフェルミ気体として取り扱わ. 3 . 5 4 6 である。アボガドロ数は原子量は 6 NA =6 . 0 2 2 x1 023 個 /mol である。故に、銅の 1モル. 63.546g中に 6 . 0 2 2 x 1 023個の原子が含まれる事となる。故に、銅 1モル中の伝導電子の数もその値に等しい。. r. る =1 { 引ぞ ~2 + . }. 銅の 1モルの体積は. 6 3 . 5 4 6 v =一一一一 =7.116cm = 7 . 1 1 6 xl O -m 8 . 9 3 3. 叶一号 ( ぞJ + . . }. 6. ( 2 2 2 7 ). である。故に、電子 1個当りの体積の比体積は 6 7 . l1 6 x1 0 v=一一一ーでず=1 .1 8 2 x1 0 -29 m 3I 個 6 . 0 2 2 xlO 咽. を得る。 ( 2 1 2 9 )式を眺めよう。とうして、我々は低温高密度のときの化学ポテンシャル μ に対する、次の展. ド … …. 文、電子数密度はその逆数であって、. ( 2 2 2 9 ). となる。金属中の電子のスピンは. パ ρ刈ゐ l 噌均 o o g ル . .z 戸一九 = 舟 Eヰ叫寸. ( 2 2 2 8 ). μ. n=8 . 4 6 0 x1 028個 1m3. 開式を得る。. B' • - " B. 3. s = jであるので、. F. 1粒子エネルギー準位の縮退度は g{=2s+1)=2であ ( 2 2 2 4 ) knT. sF. である。. 34 i 1=l .055x1 0 J.S である。 ( 2 2 1 5 )式よりフェルミエ. ネルギー BFは. 23U A. 一ゆ. =1 . 153x1 0 一回 J= 7 . 2 0e V. 2. 一一. f ﹁. 1川ノ 3 一広 l 2﹁以一 z 一o b 4 Ei 6一一 x 一、・. uL加. O. 次式で定義する。. y. 剖一. v. 2-3. 1 N 子数密度 n=ー =τ の関数である。フェルミ温度 Lを. 欽一 J. ー刊比体和(引を含んでいる。故に、日粒. ムいごμ. 一般的な式である。]で導入されたフェルミエネルギ. E. は総ての 1粒子エネルギー準位が g重縮退したより. h一 Z. ( 2 2 1 5 )式 [ ( 2 2 0 0 )式の BFは g=1で総ての 1粒子エネルギー準位に縮退がない場合である。 ( 2 2 1 5 )式の BF. 剖誌. "B'. :!・ 2 w. 展開パラメーターは. 3 1 る。電子の質量は m= 9 .1 0 9 x1 0 k g、プランク定数は. ( 2 2 3 0 ). である。ちなみに、比較のために、銅の仕事関数の実験値は、 5 . 02 : t0 . 0 9e Vである。.

(11) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題(11)- (量子統計力学 3>. 2 3 ボルツマン定数はん=l . 381x1 0 J/Kである。故に、. 銅中の伝導電子系のフェルミ温度再は. l . lS3x1 0 -18 んl.381x1 0 " ". ユ=一一一寸干=8.349x104K. F=. ( 2 2 3 1 ). となる。 04K 一般的に金属中の伝導電子のフェルミ温度は 1. 111. れる。. u=: L8 p ( n p ). = 工長( n. p). = 計三・的p ). 中. の程度である。故に、室温では金属電子系は縮退したフェルミ気体である。理想フヱ/レミ気体のフェルミ粒子共が運動量 pの 1. z p・2 j 〆( n p ). ( 2 2 3 5 ). 中. 粒子量子状態を占拠する平均占有数は ( 2 2 0 2 )式 6 8 )式]より、 [( 17. ( η ) =三土 e k.T. ここでは、運動量空間中の体積素片 dPxdpydP.=d3p 中. [ ( 1. 7 6 8 )式、 ( 2 2 0 2 )式] ( 2 捌. の格子点の数が干のである事[(附)式]を利用し. +1. であった。 μ は系の化学ポテンシヤルであって温度 T に依存する。絶対 O度のときには μ= 8F であった。 [( 2 2 0 5 )式参照] 今、絶対 O度とは言わない迄も、フ. た。次に、ここで、部分積分の公式. f f かkか知=ドヤkか) tf F か ) g ' か防. ( 2 2 3 6 ). f. ェルミ系が低温高密度一 >>1にある場合を考えるな v ら、そのときの化学ポテンシヤノレ μ は ( 2 2 2 4 )式で書けた。故に、我々は次式を持つ。 ( 2 2 3 3 ). BF. ~ 11 目・ -'0. nr. . r2m. ， n M ‘ 、、，，， n ，，， ‘ 、、. E-pz-P2 一一一2m 2m. . . 2 . . . . . L .. nk. ，・. p a. 1. に」. δ一命. ，do. @ ，aE. V .4 7 r 11_5 . 一一一一ー r. が 2mI l s. l-5. 伺. 2 2 2 4 )式である。 vは (. であるので、. 寸・ ~: {[~p5(n，)I 廿会(n，)dP} 、Bitill-plit--J. ( n p )= 云 ?. を使おう。 ( 2 2 3 5 )式は次の様になる。. ( 2 2 3 4 ). ( n ， )は p2を通してのみ pに依存してい. る。理想フエ川気体の平均占有数. ( n p )を図 2に示す。. = ヰ4 4 ( 会 ( ち ) ) 中 1. IL. 、、，，，， t. 、、. r . . . . ! . . . . L _ . I ek . r2m +1). •. nnr. ， f't. V L 5 1 0 207r2m1 i3~ r IOP. ( 2 2 3 7 ). ek与云¥ --2 -p -2mk] _. 十ト. =訪沖・. T. B. ( 一寸叩. 5. ekBT 2m. ム. t v. . 1 _v ksT. SF. 図2. . r r . E 20 mγifL.Lv127 6ek. 2. ___rln. 2. ( 2 2 3 8 ). 7 r. e 1. k• T 2m. 1 +1. 図 2を眺めよう。図 21 n . ¥ " i8.=手の関数として ( 、 . ， L .m. 理想フエノレミ気体の内部エネルギーは次式で与えら. が描かれているが、もしも、 pの大きさ p の関数とし.

(12) 1 1 2. て、. 近畿大学工学部研究報告. No . 4 3. ( n を描いても、同様な図が得られる。故に、. ヂい V)2. p). ( 2 2 3 7 )式中の一手 {nJは鋭いピークをなす。そして、中、. <1. 2 2 4 6 ) +..Jdx (. ここで、 x→fの変数変換を行なう。. それは P=PFのところで δ関数となる。. と置く。. 変換を行なう。 x呈. [ ( 2 1 3 8 )式] ( 2 2 4 8 ). dt=dx 2. p ーー一一・ k B T2m. ( 2 2 3 9 ). と置く。このとき. である。変数域は : O ;x : O ;t<∞ O: v: く∞→ -. i I 2 子v jtNtr(viい. ( 2 2 4 ω. である。故に、. か x Y. ) ( 2 2 41. p = mkBT. + ・・・知. dx=-L.zb. f d t=f d t-f d t. 2 4 2 ). んT m'. であるので、. [ ( 2 1 3 8 )式] ( 2 2 51 ). ( 2 2 5 0 )式は次の様になる。 mknT .. mknT. j t r l t l y x ( v iヂ子v i t 2. ip= ニヨ=-dx= 一一~dx. (2m んTx)五. p. t+. K. -A. 一. T・. 欣一角以. + ・・・知 ( 2 2 4 3 ). + 3 v i 1 f Xドヂt 戸i. を得る。包2 4 1 )式と ω243)式を ( 2 2 3 8 )式へ代入する。. + ・・抑. ι. 次の様になる。. Ty 刀こ〉 ? 寸怜(叫 2 帥 m叫例 V 九 k 州川げ山 201r m e ( +1 ) l2x ) ~ iy 1. =ポず. ( 2 2 5 2 ). ( = ! I < ところで、上式の右辺の第二項の積分はど V くl ZJ. ' B. 2 2 f i 2{. x-v. の程度 ( o r d e r )であるので、式は次の様に書ける。. t i iffftr(JfJt+子2. e j. ・(ギ)瓦住戸 +. B ( 2 m k TY. ¥ ノ o¥ e -. 1 1. ( 2 2 4 4 ) ここで、がを x=v の周りでマクローリン級数展開を. O ( e -. d t + +…). x2=/(x)=/か)+~f'かXx-v)+ ! l. ! . r かXx-vy+…. J b v ) 2 +… v Eか = v Z + E v E ( x v ) + l f v E ( x v Y +…. ~ 1 5 ~I 5 3 -v)+一 =v2 + . : . ・・・ '2!22 l ! 2. 5 ~I. ¥. 1 5. ( 2 2 4 5 ). 2 2 4 4 )式中の積分部分の計算を進める。である。 (. { )ヂ川析すX. v ). ( 2 2 5 3 ). ここで、. 行なう。. ~. ( 2 2 5 0 ). 今、積分を次の様に分割する。. 。. を得る。次に、. U. ( 2 2 4 9 ). と変化する。 ( 2 2 4 ω式は次の様になる。. P=(?mkBTx)~. 6. [ ( 2 1 3 7 )式] ( 2 2 4 7 ). t=x-v. ( 2 2 3 8 )式の計算を進めよう。初めに、 p→xの変数. I. f i γ t. [ ( 2 1 41)式] ( 2 2 5 4 ). と置く。 ( 2 2 5 3 )式は次の様に書ける。. ; ょと刊= I o v i」I J +手μ + . . . ¥ e +lr ~. X V -. 1 .. ( 2 2 5 5 ). l S. 1 .の値は ( 2 1 6 6 )式に求められて有り、具体的には、例えば、次の値を持つ。. ι=1. [ ( 2 1 6 7 )式] ( 2 2 5 6 ).

(13) グリーン関数と多体問題 ( l l )- <量子統計力学 3>. 多体問題とグリーン関数との関係の研究. [ ( 2 1 6 8 )式] ( 2 2 5 7 ). / 1=0. ぃjz2[ω) 式]. ( 2 2 5 8 ). 1 1 3. 品7仇Ty ・(ギ)~ ( . ::T)~. 等である。故に、 ( 2 2 5 5 )式は次の様になる。. +. 今. V. V. Jrch. z 5一 8 +. ﹁. 一術 = 一命 . ry ロ. X. p ぬa f'o. v ri 一九+. f i. m1 V 5 t r ' n ' N. ~. = ーーーー・ーァー7一一lV6 2 ( 2 2 5 9 ). ( 2 2 6 5 ) '. D. ところで、 g=1でエネルギー準位に縮退がないとき、. f. ( 2 2 2 4 )式は低温高密度一 >>1のときの理想気体の系. ( 2 2 1 5 )式 [ ( 2 2 0 0 )式]から、フェルミエネルギーは. v. の化学ポテンシャル μ に対する展開式で、あった。それ. 6F. をもう一度書いて置く。. . 1. グ. 2. t r. kRTv=k R T l o g .z=8パl一二二一 I .-8μ=. ' 1. ( 2 2 6 5 ). 6tr:NY. である。故に、. (kn Ti I+…ト 1 2 l8F ) 2. = 割引=ゑ[ (n2) 2 6 t r2 N. t r2 n3N. 6. = 1 一一￨一一=ーナブ一一一 l2m) V _ = - =. 8，，2. [ ( 2 2 2 4 )式] ( 2 2 6 0 ). ( 2 2 6 6 ). L"m. 、. ゐ. 放に、これより、 ( 2 2 5 9 )式中の v2 と v2 については、次式を. V. 6. ( 2 2 6 7 ). 一一一ーーーー = ーーーーーーー . ーーー一 t r2n3N ~ ~ ~. 得る。. L"m ゐ. { 到ぞ) ¥ . . . y ベ剖 ~l. ( 2 2 61 ). ( 2 2 6 2 ). v~ = [ 吾川到ぞJ + . . . y. 品. 何 i・ ( 会y (2mk Ty B. 2 i. ~. 22m2. 恰i ) {l-~. 7~ぞ [) ¥ i. ~. 6. = っ-mιN・一γτ ・. ( 2 2 6 3 ). l. 3. ・8F2. 6F2. = ; h F ( 捌). ( 2 2 6 4 ). 次に、第 2の係数因子の計算は次の様である。. 故に、これ等の ( 2 2 6 2 )式と ( 2 2 6 4 )式を ( 2 2 5 9 )式へ代入た上で、元の理想フェルミ気体の内部エネ/レギー U の. 2 2 4 4 )式 [ ( 2 2 3 5 )式]を表現すると、次の様にな式である ( る。，. を得る。 ( 2 2 6 7 )式を ( 2 2 6 5 ) ' 式へ代入しよう。結局、次式を得る。. 起(る)~ { 1 % .割引2 + . . J. 1-V. ~F ゐ. 土. V. 1. 、. 2_5_ kBT _ ( ， . . ， _1_ r¥ 3_ (mkBTi 2 (8F 1 一斗~.(2mkBTy ・|一一一|…|一一| 2 0 t r " m " n " ， ~ 2 ) 8 l kBT) u. = i Z .竺色立ENR; 8 nN. J. 3. ( 2 2 6 9 ). "-T. ところで、 ( 2 2 6 7 )式から、ーl. L. ム. ﹀. +. ( 2 2 6 5 ) ここで、 ( 2 2 6 5 )式中の係数因子部分のみを先に計算する。第 1の係数因子の計算は次の様である。. 6 t r2. V が. z 一一一一一一 . 一一一ー一一一一 N _~ ~ ~. 、1111tillJ. ¥-ltItttノ. u. 15¥. 汁. F 一一E. E L κ. 2. L￨jT乙. +ffi. ，、一 l. ¥ 1 l l j z一 l. u n一4 1 ↓2 〆 fili-、 -t 、口 1 2 z一 d什. r. -¥1ill-/. 54. 、、、. /alli--. ﹁i114lip--tl﹂ X. 5一一 2F E九一 [k ﹁￨い l / 汁一 fいl l l z 一8 一 vT 5 一九+. kn T ， _ ._ " (mknTi u=す今τ7 ・(2mkB Ty・￨ニ子￨ L U t r m -n L. m. L. ( 2 2 7 0 ). & Fゐ. である。 ( 2 2 7 0 )式を ( 2 2 6 9 )式へ代入する。次式を得る。. v. 品 γ( ・ ( 年) E i z 2 b f 加. kBTy. mA : 2. 川 T T 削 w 三 2. 込弘か払B吋巾). 22m2. 2 6ρ F.

(14) 1 1 4. No . 4 3. 近畿大学工学部研究報告. =~JI'2(kBT)2 N土. ( 2 2 71 ). す L とP(4nv 2 • L ゅ J竺 P{ o4d 旬，. E -F. l ¥. Ip~，. 2 個の係数因子の ( 2 2 6 8 )式と ( 2 2 71)式とが求まった 2 2 6 5 )式へ代入して、低温高密ので、次に、それ等を ( 度の温度 Tトくじ)の理想フェルミ気体の内部エネルギ. 4n VI 1_ 5 γ 一 2 n V =一一一3I ~ p5I 一， ; -p / 2mh L 5 5mh3 rJo. ro J. -uの計算を進める。次の様になる。. 咋イ元(ぞ2)+ . }. 2m' 2mh'γ I. 2m h';. ( 2 2 7 4 ). ところで、 g=lでエネルギー準位に縮退がないときに. lil-ノ. M. F. /1111¥. P. 和平(十三(ぞ2 )+ . }. 、、訓一M. は、 ( 2 2 1 4 )式 [ ( 2 2 0 8 )式l から、フェルミ半径は. l. [ ( 2 2 1 4 )式、 ( 2 2 0 8 )式] ( 2 2 7 5 ). である。故に、. = ( 器y. =jhH. p /. +iNEF 制引1-~. 7~ぞ (J + . . }. → ベl i十 ( ぞ) ¥ 1 :十 ( ぞJ + . } =~N6F{1十2(ぞr + }. ( 2 2 7 2 ). 寸 ( 乎 ) ー. [ ( 2 2 6 5 ) " 式] ( 2 2 7 7 ). である。 ( 2 2 7 6 )式を ( 2 2 7 4 )式へ代入する。次の様になる。. 手乏し笠.(~I 3h5 ， ; t. p I 2m 5mh3 . l 4 nV. 品 γ ( 歩 ) ・ ( 前・ (2幼)ラ. 叫. = ドt ( 5 5 司王. を得る。 ( 2 2 7 3 )式は低温高密度主 >>1で、温度 V. =;hFω78). Tトく乙)における、理想フェルミ気体の内部エネルギ. ーの展開式である。. ( 2 2 7 3 )式の第 1項は、与えられた密度での理想フェルミ気体の基底状態のエネルギーである。それは. ト. F. に成る事でもうなずけるのである. が、ここでは、我々は気体の基底状態のエネルギーす p I 叩. ( 2 2 7 6 ). である。又、 ( 2 2 6 5 )グ式からフェルミエネルギーは. U. T=Oで u=. 5. h. t を直接計算する事によって、その事を確かめ m. これは ( 2 2 7 3 )式の第 1項と一致する。 2 2 7 3 )式を眺理想フェルミ気体の定積熱容量 C 、( vはめる事によって、次の様に計算される。. 6F の中に体積. V が含まれている。. 引か日. ι= (. L .. 3_ _. ・ ' I J ・・. =; :JVEF. る。このとき、運動量空間中の体積素片. 仰沖z圭内中の格子点の数が予のである事. 5. 今.(kJl. = ;ぞ ). [ ( 1631)式]を利用して、和を積分で置き換えて計算を. B( Nk. 進める。故に、. L. LI--"ー l. ( 2 2 7 9 ).

(15) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題(11)ー(量子統計力学 3 >. C ~.. 1 r~. kBT. 一v 両一---. Nk 2 B. (2280). 占有数. h)は、. 115. T=Oでの平均占有数 (220拭とは異. 8F. である。 T→ Oになるときには Cvは直線的に Oになる。フェ、 (2279)式よりルミ理想気体のエントロピー Sは (2281 ). ~n_. 28 F ~. 28 F. (2282). よ EF. これは熱力学第 3法則を証明している。. 同. ルミ系の基底状態の. (knTL . : . : l t ー V l V k BT. (2286). ¥ 6~ J ¥ VF J. T→∞のとき、エネルギ一等配則により、 1粒子の. である。これより、定積熱容量. 平均エネルギーはちTである。故に (2283). 2u. h. 上方の全励起エネルギーは. となる。故に、 T→ Oでエントロビーは S→ Oとなる。. U=NZKT. 8F の上方のんT程度のエ. ( L T) N程度である故に. 2. S=ldS=ヱニlLldT=二ニlLT. エネノレギーを持つ粒子共が、. 8F の下方の k BT程度の. ネノレギーへ励起されている。励起された粒子共の数は. であるので、極低温においては、 2T. 共の内の幾らかの数がエネルギー準イ立 6p > 8F へ励起されている。大雑把に言えば、. 2. d匂 CvdT 1r"k B dS=一一=一一一=. : : .N::. J Ld T T T 2 8F. 同. なって、 (2233)式の様である。図 2を眺めよう。粒子. G. 島 ( ぞ)Nk. (2287). B. が出て来る。. であり、. ι = ( 笠T1 =以 θ 1 . 2. ( 2 2 8 4 ). ( 2 1 1 0 )式]と、低理想フェルミ気体に対する (2109)式 [. 温高密度主 >>1で温度 Tくく九の理想フエノレミ気体の v. となり、 Cv. 3. N正B. 2. ( 2 2 8 5 ). である。図 3は会的T に対して大まかに描いたも "" 市'B. 内部エネルギーの式(2273)式とを組み合わせると、低温高密度乏 >>1で温度 Tくくじの理想フェルミ気体の v 状態方程式 t ( p λ T)=Oの具体的な式が、次の様に得られる。. のである。. ，. 勺一向. F. ， (k nT 2 U 2 1 1_ _5 ~B~ p=.::. ・-=ート 817~ 1 + J_ 1r2J J. 3V 5v. ~. J. 1 2. l8F. +…. (2288). ). (2288)式によれば、理想フエ/レミ気体の圧力は決し. て Oにならない。故に、絶対 O度 (T=O) において 3. も、理想フェルミ気体は外部の固定した壁の内に閉じ. 2. 込められている必要がある。これはパウリの禁制原理のために、絶対 O度で運動量 Oの状態を占めるフェルミ粒子は唯だ 1個のみであって、その他の粒子は絶対 8F. kBT. O度でも有限の運動量を持つからである。こうして、それが O点圧力の起源を与えている。こうして絶対 O 度でも、理想フェルミ気体を閉じ込める壁が必要とな. 図3. るのである。 (2121)式と (2122)式を振り返って見ょう。我々は、. 捌 2 2 ω 別 8 8 捌 O ω ) 低温でえが T に比例するぽ問う事鞍胡実刻[( 照、図 3参照]は次の様に定性的に理解できる。 T>Oの温度では、 1粒子量子状態 p上のフェルミ粒子の平均. 初めに関数主=ん ( z )の振る舞いを研究していた。図. v. " 2. く 1の即ち主くく lの 1を参照せよ。そして、次に、 zく v.

(16) 1 1 6. 近畿大学工学部研究報告. f v. 高温低密度と、 z>>1の即ちー >>1の低混高密度のときのフェルミ理想気体の性質を研究した。ヨこの任意 V. の値共(図 1参照)に対する熱力学的関数共を得るためには、関数んか)とん ( z )を [(2121)式、 (2122)式参. No. 4 3. *~ 1.6 ハミノレトニアンを場の演算子を用いて記述する事. *~ 1.7 運動量表示での場の演算子とハミルトニアンの記述. *~ 1.8 シュレディンガー表示の量子力学 *~ 1.9 ハイゼンベノレグ表示の量子力学とハイゼンベルグの運動方程式. 照]数値計算法的に求めなければならない。. *~1.1Oハイゼンベルグ表示での生成・消滅演算子と. 場の演算子，そして，それらの交換関係，それから、ハミルトニアンの表現，第 2量子化. 参考文献 1 ) J.M.Ziman箸:“ElementsofAdvancedQuantum Theory". 第 2章高等量子力学における摂動理論. ( C a m b r i g d e Univ e r s it yPress). 2 ) 高野文彦著: “新物理学シリーズ 1 8多体問題" (培風館) 3 ) 高橋康著:. “新物理学シリーズ 16物性研究者. のための場の量子論 I， I I " (堵風館) 4 ) K.Huang 著:“ StatisticalMechanics". 参考文献. *~ 2.1 ハイゼンベルグ表示 *~ 2.2 相互作用表示 *~ 2.3 相互作用表示での生成・消滅演算子と場の演算子. ( John. Wiley & Sons， l n c ) first e d it i o n and second. *~ 2.4 Brillouin-Wignerの摂動理論 *~ 2.5 時間発展演算子 u，t(t )の積分方程式による表現と、その時間積分展開級数. edition 5 ) A.M.Zagoskin著:“QuantumTheoryofMany-Body Systems". ( S p r i g e r ). 6 ) シッフ著、井上健訳:. “新版量子力学上、下". (吉岡書庖) 7 ) 西)1恭治、森弘之著:. 統計物理学(朝倉書庖). 8 ) ランダウ・リフシッツ著、佐々木健、好村滋洋訳:. 量子力学 1 (改訂新版) (東京図書) 9 ) ランダウ・リフシッツ著、小林秋男、小川岩雄、. 富永五郎、浜田達二、横田伊佐秋訳:. “統計物. 理学第 3版上" (岩波書庖) 1 0 ) U.Fano: ReviewsofModernPhysics74vo129No1 ( 19 5 5 ). *~ 2.6 時開発展演算子 u，t(t )の計算 *~ 2.7 時開発展演算子 u(t，t))の幾つかの性質 *~ 2.8 時開発展演算子 u(t，t))とその遷移確率 W . *~ 2.9 散乱理論と S行列 *~ 2.10 時間非依存の摂動理論と S行列 *~ 2.11 フェルミオン・ボソン相互作用 *~ 2.12 Sマトリックス展開; S:;u(+∞，ー∞) *~ 2.13 相似変換の公式 *~ 2.14 Sマトリックス展開式の計算例 S2 *~ 2.15 生成・消滅演算子 (正規積 (N積)への. . . . . b. 準備). *~ 2.16. ~フェルミ真空』又は『フェルミ海』に関. しての電子と正孔の新しい生成・消滅の場の. 1 1 ) 小田恒孝著: 統計力学(裳筆房). 演算子を使つての Sマトリックス展開式の計算例. この論文は拙著原稿“多体問題とグリーン関数との関係の研究. 高等量子力学入門 1"，内容. 日次はじめに第 1章. フェルミオン系の量子力学. ~ 1 .1 序言 *~1. 2. 状態関数の数表示表現と生成・消滅演算子の導入，ならびに生成・消滅演算子の交換関係. *~ 1.3 ハミルトニアンを生成・消滅演算子を用いて記述する事 *~1. 4. ハミルトニアンの運動量表示，フェルミ真空，フェルミ自由電子・正孔系の記述. *~1. 5. 場の演算子の導入と交換関係. S 2. *~ 2.17 N積 *~ 2.18 縮約積(コントラクション) *~ 2.19 Wickの定理 *~ 2.20 Sマトリックスの T積表示 *~ 2.21 縮約積が Oとなる場合 *~ 2.22 Wickの定理のダイヤグラム表示 *~ 2.23 Wickの定理の計算例 S2式中の 1項 *~ 2.24 正規形 (N積形式)と Wickの定理の関係 *~ 2.25 Feynmandiagram を眺めたとき、逆にそれを式に書ける事. *~ 2.26 グリーン関数の定義 *~ 2.27 伝播関数の定義 *~ 2.28 実変数関数の定積分の値を複素積分の留数.

(17) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題 ( l l )ー(量子統計力学 3>. の定理を応用して求める事. *~ 4.8 量子統計力学の小正準集団(ミクロカノニカ. めの準備. *~ 4.9 量子統計力学の正準集団(カノニカル. *~ 2.29 Feynmandiagramの式を運動量表示するた *~ 2.30 運動量表示 *~ 2.31 ダイヤグラムの寄与の計算 *~ 2.32 ダイヤグラムの寄与の計算例 *~ 2.33 電子・フオノン相互作用 *~ 2.34 修正伝播関数の計算 *~ 2.35 フェルミオンのダイソン (Dyson) の方程式 *~ 2.36 ボソンのダイソン (Dyson)の方程式 *~ 2.37 修正されたパーテックス (vertex，結節点) *~ 2.38 修正された真空部分 *~ 2.39 我々は今何をして来たのかを振り返ってみる。. *~ 2.40. フェルミオンのダイソン ( D y s o n )の方程式. の別の形. *~ 2.41. ボソンのダイソンの方程式の別の形. 参考文献第 3章. ボソン系の量子力学. *~ 3.1 量子力学的単純調和振動子 *~ 3.2 ブラベクトル，ケットベクトル，生成・消滅演算子. *~ 3.3 量子力学的一次元原子鎖連成振動子 *~ 3.4 量子力学的三次元格子状配列原子連成振動子. *~ 3.5 連続体媒質への議論の移行と、場の演算子 u ( r1 p ( r ). *~ 3.6 古典場の理論 *~ 3.7 場の演算子と第 2量子化 *~ 3.8 ボース統計に従うシュレディンガ一波動場の量子化(第 2量子化)とボソン. *~ 3.9 Klein-Gordonの方程式 *~ 3.10 場の源と場開の相互作用 *~ 3.11 簡単な例 1、フォノンのレーリ一散乱 *~ 3.12 簡単な例 2、核力と湯川￨の中間子理論 *~ 3.13 荷電ボソンと荷電中間子参考文献第 4章. 1 1 7. グリーン関数と多体問題. *~ 4.1 古典物理学のグリーン関数とその簡単な例 *~ 4.2 1電子グリーン関数(1) *~ 4.3 密度行列 *~ 4.4 統計行列 *~ 4.5 量子力学との関係 *~ 4.6 古典統計力学のリュウヴ‘イ/レ(Liouville)の定理. *~ 4.7 量子統計力学のリュウヴイル(Liouville)の定理. (密度演算子の運動方程式). ルアンサンプル). アン. サンプル). *~ 4.10 量子統計力学の大正準集団(グランドカノニカルアンサンプル). *~ 4.11 古典統計力学の基本原理 *~ 4.12 小正準集団 *~ 4.13 古典統計力学の小正準集団からの熱力学の導出. *~ 4.14 エネルギ一等分配員 *~ 4.15 古典理想気体 *~ 4.16 ギブスのパラドックス *~ 4.17 正準集団 *~ 4.18 lE準集団の熱力学 *~ 4.19 正準集団に於けるエネルギーの揺らぎ *~ 4.20 大正準集団 *~ 4.21 大正準集団における密度の揺らぎ *~ 4.22 化学ポテンシヤルと化学平衡 *~ 4.23 正準集団と大正準集団の等価性 *~ 4.24 W(N)の振る舞い *~ 4.25 マクスウェル架設線の意味 *~ 4.26 演習問題の訳 *~ 4.27 量子統計力学の以前の議論のおさらい *~ 4.28 熱力学第 3法則 *~ 4.29 小正準集団で扱かう理想、気体 *~ 4.30 正準集団で扱かう理想気体 *~ 4.31 大正準集団で扱かう理想、気体 *~ 4.32 理想フェルミ気体の状態方程式 *~ 4.33 黒体放射(空洞放射) *~ 4.34 固体中の音子(フォノン) *~ 4.35 磁化と正準集団と大正準集団の磁化率 *~ 4.36 ランダウ準位 *~ 4.37 ランダウの反磁性と磁化率 *~ 4.38 k空間と実空間での軌道面積の量子化と磁 J I. 束の量子化. *~ 4.39 パウリの常磁性 ~4 .40 不完全電子気体の磁気的性質 ~4 .41 ボース・アインシュタイン凝縮 ~4 .42 不完全ボース気体. ~4 .43 超流動 ~4 .44 ド・ハースーファン・アルフェン効果. 以下続く。参考文献 .3 2を記述の内、紙面の都合により、第 4章、節(~ )4 したものである。*印の節(~ )は既に掲載済みのものである。.

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