<ノート>多体問題とグリーン関数との関係の研究--グリーン関数と多体問題(16)量子統計力学(8)
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(2) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 136. §41ボ. ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮. こ の 節(§)の 議 論 は 、KHuang著``Statistical Mechanics"の. 第1版(旧. 版)と. 第2版(新. 版)と. に負. う所 が 多 い 。 理 想 ボ ー ス 気 体 に っ い て の 計 算 は 、 以 前 の 節(§)31大. 正 準 集 団 で 扱 う理 想 気 体. 式 辺 りか ら(2081)式. の 前4行. 中 の(2003). 目辺 りに か け て議 論 して. い る 。 そ し て 、 そ の 議 論 の 最 後 の 方 で 、 ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タイ ン凝 縮 現 象 に 触 れ 、 後 の 節(§)で. 改 め て記. 述 す る 予 定 で あ る 事 を 述 べ た 。 我 々 は こ の 節(§)で. z. ボ. ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮 に つ い て 議 論 す る. 。. 体 積F中. に 含 ま れ る 質 量 〃2のN個. [(2057)式]〈3250). の 粒 子 共 か ら成. る 理 想 ボ ー ス 気 体 の 状 態 方 程 式 が(2034)式. を ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン積 分 と言 う。こ こ で 、r{≧). と(2035)式. はr(ガ. ン マ)関 数 で あ る 。 そ して 、r関. に 与 え られ て い る 。 但 し、 厳 密 に は フ ユ ー ガ サ テ ィ. (1973)式 乃 至(1979)式. (fugacity)zを 消 去 し て 状 態 方 程 式 が 得 ら れ る。 フ ユ ー ガ サ テ ィzは. 式[(2063)式]と(3248)式[(2064)式]は. 数 の性 質 は. (3250)式[(2057)式]の. 辺 り に 記 述 され て い る。(3247). 内 の η」. 、そ れ ぞれ 、. 22. と 〃呂三 の 特 別 の 場. 合 の式 で あ る。 状 態 方 程 式(3245)式. と(3246)式. に研 究 す る た め に 、 我 々 は 、 第2の. の持 っ 諸性 質 を詳 細 方 程 式 の(3246)式. ÷十li。+無)[(2・6賦 2. 〈3246)式] (3251). を解 い て 、 温 度rと. 比 体 積vの. 関 数 と して フ ユ ー ガ サ. テ ィ(fugacity>zを. 見 出 す 。 温 度 丁 は(3249>式. の熱 波. 長 λ の 中 に 見 出 され る 。 故 に 、 ・=・(乙 ・)一・(ろ・)(3252) で あ る。 (3251)式 [(2035)式](3244) で あ る 。(3243>式[(2034)式]と(3244>式[(2035>式]は. rp1.、1,、. っ い て解 くた め に は、我 々は 最 初 に. 関 数 δ、(z)の持 っ 諸 性 質 を 研 究 し な け れ ば な ら な い 。 、. 又 、 次 の 形 に も 書 く事 が 出 来 る 。 但 し 、 厳 密 に は フ ユ ー ガ サ テ ィ(fugacity)2を 消 去 して 状 態 方 程 式 が 得 ら れ る。. をzに. 5 JohnE、Robinson昏. まPhysicaIReview83678(1951). で ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 積 分 関 数(Bose-Einstein integralfunction).
(3) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(16)一. (3257)式 は 総 て のa値. に 対 し て 適 用 で き る 。 そ して 、. そ の 級 数 は 、 も し も 、 回 ≦2π な ら ば 無 条 件 に 収 束 す る。 こ こ で 、 ζ(蚕一の は 通 常 の リー マ ン の ツ ェ ー ター 関 数(Riemannzeta-function)で. あ る 。(3257)式. は直 ち. に 次 のボ ー ス関 数 の微 分 の 性 質 を与 え る。. ♂居夢 α)一←1γ晦. α)(3258). (3257)式 は あ ま り大 き くな い 正 の σ 値 に 対 して α=0 の 付 近 で 非 常 に 急 速 に 収 束 す る。 例 え ば 、0〈 α ≦1に 対 して 、 少 な く と も 誤 差1%以. 内 の精 度 で 、我 々 は 次. 式 を 持 つ 。0〈 α ≦1の 範 囲 は(3256)式. の 関 係 よ りzの. 範 囲 に して 、1>・ ≧1← α36787944}・ ウ に 対 応 して い る.. σ<1に. 対 し て 、F(々,α)は. に 発 散 す る。(3259)式. σ=1に. α→0の. は σ=1で 2. 対 し て 、施. と き α一 國. の様. あ る の で そ れ に 当 る。. α)は α→ ・ の と き1。駐. の様 α. に 発散 す る。 σ>1に. 対 し て 、F(瓦. α)は α →0の. け て 収 束 す る 。(3260)式. と(3261)式. と き ζ(ケ)に向. は そ れ ぞ れ σ2 2. と σ=互 で あ る の で そ れ に 当 る 。 そ し て 、 そ の 内 の 2. 1<σ ≦2に 対 して は 、F(≧,α)は. α ニ0で 無 限 大 の傾. き を 持 つ 。 しか し、関 数 そ れ 自身 は 有 限 で あ る 。(3260) 式 は σ=2で 2. は σ=互>2で 2 図1に β一α=2と Robinsonの. あ る の で そ れ に 当 る 。 し か し、(3261)式. あ るの で それ に は当 らない 。. は 上 記 の 関 数 共 が0<α. ≦1の 領 域 に 対 して 、. 共 に 、 示 さ れ て い る 。 こ の 図 は 工E. 論 文 か ら転 載 した も の で あ る。 α>1(即. ち 、 α36787944r・. ・>z>0)に. 対 し て は 、F(σ,α)は. 良. く知 ら れ た 幕 級 数 展 開 に よ っ て 都 合 良 く計 算 され る 。 (2067)式 乃 至(2070)式. を 眺 め よ う。(3250)式. のボ ー. ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 積 分 は 次 の 展 開 式 で 記 述 出 来 る 。. く量 子 統 計 力 学8>. 137.
(4) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 138. を 変 域0≦z≦1に. 然吋. 対 し て 描 い た も の で あ る。. 急α)で あるので図・中㈱F園. ・変. 域0≦ ε≦1の 図 を 更 に 変 域1≦ α≦・Dま で 拡 張 し て 描 い た も の に 相 当 して い る 。. で あ る の で 、 関 数 わ3(z)は0と1の. 間 のzの. 実数 値 に対. 5 して 有 限 で 正 の単 調 増加 関数 で あ る。 そ して、 同 じ事. で ある欄F傷. α)は・と・ ・の間の実数値 に対 して. 有 限 で 正 の 単 調 減 少 関 数 で あ る 。 そ して 、z=1で. 微分. は 発 散 す る 。 こ れ は1<σ. α)は. α=0で. ≦2に た い して は 、F色. 無 限 大 の 傾 き を 持 っ 。 しか し 、 関 数 そ れ 自身. は 有 限 で あ る と述 べ る 事 に よ っ て 、関 数F(ケ,α)の 形 で 、. 既腿. べている・ これは図 ・中の関数 イ 妾 α〕の. α →0で. の 振 る 舞 い を 眺 め る と 良 く理 解 で き る 。. 以 前 の 節(§)31の(2007)式. 乃 至(2017)式. お い て 、p=0の. ヨ で あ るの が分 か る。 (3251)式[(3246)式1を. 多 喬. ÷. (2022)式[(2013)式]に. を眺 め よ. う。 ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 統 計(ボ ー ス 統 計)の 式 よ り 、 系 の 任 意 の 温 度7に. 0≦ わ,(・)≦λ612…(3274). 基 底 状 態p=0,ε. 次 の様 に書 き 替 え よ う ・. ㊥[(3251)式](3275) 2 よ れ ば 、 系 の 任 意 の 温 度7で. 。=0を. 占 め る ボ ー ス 粒 子(ポ. 、. ソ ン). 共 の数 瓦 は 、. 運動量状. 尻=、 ≒ 七[(2・13脚2・22)式] 態 を 取 る ボ ソ ン の 平 均 数 万。レ。 、は 2 rqり7腐 、. z. で な け れ ば な ら な い 。 こ う して 、 我 々 は 、 理 想 ボ ー ス 気 体 の 状 態 方 程 式(3245)式. と(3246)式. の 内 の 第2の. 程 式(3246)式[(3251)式]を. 満 た す 為 に は 、2が. 方. 0≦z≦1(3273). で あ る事 が 必 要 で あ る のが 分 か る。 図2は 関 数 う、(z) 互.
(5) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(16)一. く量 子 統 計 力 学8>. 139. ・は比 体 積 ・一券 で あ る・ 図3は ・の 関数 と して 砲. 大 正準 集 団 で議 論 して い る。系 の平均 の全 ボ ソ ン数 」 ▽ をp=0に 対応 す る平 均 の ボ ソ ン数 π。と残 りの 和 の平. を 描 い た も の で あ る 。z→1で. 均 転 とに分 離 して書 く と、次 の様 で あ った 。. 万。(z)→・oとな る 。. ヱ. 2→1へ. 増 加 す る に 連 れ て 、 充。は 全 ボ ソ ン の 内 の 大 き. な部 分 を含む 様 に増 加 す る。尻 にお け る この 増加 をボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮 と 言 う. 。. (3277)式[(3275)式 変 数7の. 値 が0と1の. 参 照]又 は(3279)式. を 眺 め よ う。. 間 の 或 る 中 間の 値 の とき 、 も し. も、. F とな る 。 こ れ は 系 の 最 低 エ ネ ル ギ ー 準 位p=0. 包仰)≡剃. を系の単位 体積 当 り平均 雫)個 のボー. ス粒 子 共 が 占 有 す る 事 を 意 味 し て い る 。 しか し 、 図3 か ら 分 か る 様 に 、zが'0と1の はp=0準. 間の 中 間の値 の ときに. 位 を 占 め る ボ ー ス 粒 子 共 の 平 均 の 数 汚。(z). は 系 の 平 均 の 全 粒 子 数1Vに (3282)式[(3281)式]の. 較 べ て極 めて 少 数 で あ る。. 不 等 式 は 関 数 δ,(≧)の値 が 与 三. え られ た とき 、 与 え られ た比 体 積v=逸 の 温度rが. 臨界 値 場 ②. よ り も 小 さ いr<る(z)な. ら ば 成 立 す る。 或 い は 又 、. (3282)式[(3281)式]の. られ た と き 、1っ 比 体 積vが ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮 の 簡 単 な 説 明 は 、 以 前 の 節(§)33の(2022)式. 乃 至(2028)式. の 直 ぐ 下3行. 目辺 り ま で の と こ ろ で 既 に 一 度 な さ れ て い る 。 我 々 は. に対 して、 系. 不 等 式 は 関 数 わ、(z)の値 が 与 え 5. の 与 え られ た 温 度rに. 臨 界 値v。(z) .'、. 三. 対 して、系 の.
(6) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 140. よ り も 小 さ いv<v。(z)な. らば成 立 す る。 それ では 系 の. zの 値 が 幾 らで あ る か は 、 系 が 比 体 積vで. 、 温 度7を. 1v. 取 る と きzの 値 が 幾 ら で あ る か と言 う問 題 に 帰 着 す る 。 問 題 の こ の 設 定 は(3251)式. 乃 至(3252)式. の 所 で な され. て い る。 そ して 、 そ の 解. 熱 波 長(臨. をzに つ い て グ ラ フ 的 に 解 く事 で 見 出 され. る。 こ の 問 題 は 後 に 議 論 す る。 次 に 再 び 、(3277)式[(3275)式. を. とき を 考 察 す る 。 こ. の 注 意 を し て 置 こ う。z→1はz=1で. レ ≠1)z+血. 一 定 に保 つ と き 、 或 る 転 移. 界 熱 波 長)λeよ. 或 る 転 移 温 度(臨. して も 良. り も長 い 熱 波 長 で 、 又 は 、. 界 温 度)乃. よ り も 低 温 で 、理 想 ボ ー. ス 気 体 の ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タイ ン 凝 縮 が 起 き る 事 を 参 照]又 は(3279)式. 眺 め よ う。 今 度 は 我 々 はz→1の こ で1つ. 正 準 集 団 な の で 、v=Lと. い 。)、即 ち 、 系 の 体 積7を. ・一 ・@,・)一・(λ,・)[(3252)式](3286) は(3251)式. 定 に 保 つ と き(大. は な い。. 示 し て い る。 λじと 島 の 値 はb、 ①=2.612… 三. で あ る事. に 注 意 して 、 そ れ ぞ れ 次 の 様 で あ る 。. 冨1で ㌍ が 充 分 小 さ い の で あ る 。 我 々 は. 今 、Zが 充 分 に1に 近 い と こ ろ を 考 え る 。こ の と き 万。①. を、 螂. ② §瑞(1)(3287). と書 く。 瑞 ① は2=1を な い 。zが. 代 入 した と き の 瑞(z)の 値 で は. 充 分 に1に 近 い と き のzの. 値z=1-△zを. 代. 入 し た と き の 瑞(2)の 値 で あ る。 故 に 、 嬬 ① は 万 に 近. (3291)式 よ り転移 熱 波 長(臨 界 熱 波長)る い 大 き さ の 有 限 量 で あ っ て 、 万。①=。 。で は な い と考 え る 。 包 ① ≠。 。)図3と(3280)式. が 示 す 様 に2→1へ. 増. 加 す る にっれ て 、 系 の 最低 エネ ル ギー 準位. 1 間 距 離v3の1.38培. 程 度 の波 長 で あ る事 が分 か る。. 故 に 、(3292)式 の転 移 温度(臨 界 温度)ろ. p=O(ρp← 。)≡ε。)=0を 占 め る 粒 子(ボ ソ ン)の 平 均 数. は平 均 粒 子. は熱 波 長 が. 平均 粒 子 間 距離 のL38培 程 度 の 大 き さ を与 え る温度 で あ る。. 万。② が 系 の平 均 の全 粒 子 数 万 と同程 度 の 巨視 的 量. 次 に、(3289)式[(3288)式]の. 不 等 式 は 、系 の 温 度7. に な る の で あ る。 こ の 現 象 を ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ. を一 定 に 保 っ とき には 、或 る転移 比 体積(臨 界 比 体 積) vσを定 義す る。 そ して、Vcよ りも小 さな 比 体積 で理. ン凝 縮 又 は 単 に ボ ー ス 凝 縮 と 言 う。. 想 ボ ー ス 気 体 の ボー ス ・アイ ンシ ュ タイ ン凝 縮 が起 き. 改 め て 、(3277)式[(3275)式 盛. プ. ー. 、1し. 一盛← ス. 》一 ハ. 参 照]又 は(3279)式 し 出. を眺. る 。 再 び 、 ゐ、①=2.612…. 鼻1寝. に 注 意 して 、. 三. で あ る。 こ う して、臨界 温 度 島 と臨界比 体 積v。 を用 い る と、 理 想 ボー ス気 体 の ボー ス ・アイ ンシ ュ タイ ン凝 縮領 域 はvが 一 定 に保 たれ る とき に は7<島(ゾ)の 領 域 で あ り、. と な る。 万。① は 系 の 最 低 エ ネ ル ギ ー 準 位p=0. 7が 一 定 に保 たれ る とき に はv<Vc② 魁 ←。)≡ε。窩0)を 占 め る 粒 子 共(ボ. の 領 域 で あ る。. ソ ン)の 平 均 数 で あ (3252)式. を 眺 め よ う。 我 々 の 最 初 の 目的 は 温 度7と. っ て 、そ の値 は系(大 正準 系 〉の 平均 の全粒 子 数 万 と. 比 体 積vの. 同程 度 の 巨襯. 見 出す 事 で あ っ た。 そ して 、そ の た めに 初 め に我 々 は. 量 で あ る.属 ① は そ の戦 ・7. 体鞘. りの. (3251)式. 関 数 と して フ ユ ー ガ サ テ ィ(fugacity)zを. 中 の 関 数 δ、(z)の持 つ 諸 性 質 を 研 究 し た の で. 値 で あ る。 この様 に最 低 エ ネ ル ギー 準位 を 占 め る粒 子 数 が 巨視 的 な大 き さにな る この現 象 をボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タイ圏 ン凝 縮 又 は単 にボ ー ス凝 縮 と言 う。. を. あ っ た 。 関 数 わ、(z)の持 っ 諸 性 質 が 分 か っ た の で 、我 々 互.
(7) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(16)一. は 今 や7とvの. 関 数 と してzを. を グ ラ フ 的 に 解 く 。 温 度rは. く量 子 統 計 力 学8>. 141. 見 出 す た め に(3251)式 熱 波 長 λ の 式(3249)式 を 描 い た も の で あ る 。 全 体 積7は. 大 き い 、 し か し、 有. 限 の 値 で あ る 。 グ ラ フ の 両 曲 線 の 交 点 が(3296)式 [(3295)式. 、(3251)式]の. 比 体 積vの. 解 を 与 え る 。 即 ち 、 温 度7と. 関 数 亙 と フ ユ ー ガ サ テ ィ(fugacity)zの v. 関 係 を 与 え て い る 。 こ う し て 、zがrとvの. 関数 と し. て 見 出 され る。. 図5は こ うして得 られ た ・と 量 の 関係 を与 える図 で あ る。 図4を. 眺 め て 考 え よ う。7→. 。 。の 極 限 の と き 、我 々. は 次 式 を 得 る。. 亙 ≦ゐ 、① 罵2612… v互. に対 して亭 ま、 。の 値 は 雛. で 見 出 さ れ な け れ ば な ら な い 。 図6にzの. 嚇. 法. グラ フ を示. す。. (3299)式 の 括 弧 中 の 不 等 式 は(3288)式[(3289)式]か ら分 か る 様 に 、 系 の 体 積7を. 一 定 に保 つ とき に は転 移. 温 度(臨 界 温 度)ろ[(3292)式]を 決 め 、系 の 温 度rを 一 定 に 保 つ と き に は 転 移 比 体 積(臨 界 比 体 積)γ c [(3293)式]を. 決 め る 。ち な み に 、亙 ≧∂,O)篇2石12..は. 7≦ 堀 こ矯. し 、1≦. v三. v三 て い る。. δ、① 一2。612...は7≧. 寧. 対応 し.
(8) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 142. 次 に 、 上 述 の 考 察 を よ り厳 密 に す る 為 に 、 も う 一 度 初 め に 返 っ て 、 体 積7中. に 含 ま れ る 質 量 初 のN個. の. 粒 子 共 か ら成 る理 想 ボ ー ス 気 体 の 状 態 方 程 式 を 眺 め よ う。そ れ は(3243)式. と(3244)式. 式 の 対]、 又 は(3245>式 (2066)式. の 対[(2034)式. と(3246)式. と(2035>. の 対[(2065)式. と. の 対]で あ る 。但 し 、厳 密 に は そ れ 等 の 対 の 式. か ら フ ユ ー ガ サ テ ィ(fugacity)zを. 消 去 して 一個 の状. 態 方 程 式 が 得 られ る 。 我 々 は こ こ で 、 こ の 対 か ら成 る 状 態 方 程 式 の 内 か ら 第2の そ れ は(3244)式[(2035)式]ま. 方 程 式 の 方 を 書 く。 そ し て. (3251)式]で. た は(3246)式[(2066)式. 、. ん. で あ る.監. ≡Σ 死 は励 起 状 態 中 に在 るボ ソ ン共 の数. あ る。故 に、. 5。。) で あ る。 こ うして、 我 々 は大 正 準集 団 の 体積7中 るボ ソン共 の 平 均 の全 数 万 をp=0に. に在. 対 応 す る項 稀 と. 残 りの和 の項 孤 とに分 離 して 、 次 の様 に書 く。. [(2066)式. 、(3246)式. で あ る 。 こ の 方 程 式(3300)式. 、(3251)式](3301). 又 は(3301)式. がどこか ら. 導 か れ た か の 初 め の 初 め は 、 以 前 の 節(§31)「. 大正準. 集 団 で 扱 う理 想 気 体 」 の(2004)式[(1927)式]か. ら始 ま. る。. 万,は1つ. の 運 動 量 状 態p中. る 。 故 に 、(3302)式. の ボ ソンの平 均 の数 で あ. は 当 然 の 事 と して 、. ∫'り2. 我 々 は 話 の 筋 道 を も う 一 度 反 省 し て み よ う。 我 々 は (3301)式 の 直 ぐ 下 で 、(3300>式. 又 は(3301)式. が どこか. ら導 か れ た の か を顧 み る 事 を 命 題 に 置 い て 議 論 を して 来 た 。 そ し て 、(3300)式 か ら右 辺 の 第2項. と(3301)式. の 和 を1っ. は(3313)式. の 積 分(3307)式. の条 件 で置 き換. え る事 に よ っ て導 き出 され た の で あ った。 次 にす る数 行 の 議 論 はK.Huang著"Statistical晩chanics" (secondedition)のp289の. 第1行. け て 書 い て あ る 事 で あ る 。即 ち 、. 目 か ら第5行. 目に掛. 「この 積 分[(3307).
(9) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(16)一. 式 の 事]は ・例 え 我 々 が 和[Σ. 死 の 事]カ ・ら 項 共 の 任 意. く量 子 統 計 力 学8>. 1粒 子 波 動 関 数 で あ る(3318)式. 143. の 解 監(r)は. 、. 雛。 ・) の有 限の 個数 を引 き去 っ た と して も、 変 わ らない 。 と 言 う事 は 明 白 で あ る。」. Σ. とあ る 。 我 々 は 元 々 、. → 景 ∫♂p[(2024)式]の. 様 に和 を積 分 で 置 き換. P. え た 。私 は こ こ で はK.Huangの. で あ る。 ここ で 、1粒 子 の運動 量 固 有 値 は. 著 書 の 原 文 の説 明文 を. 私 自身 が 十 分 に 納 得 行 く様 に 説 明 す る 事 が 出 来 な い の で 、K.Huangの. 著 書 の原文 の説 明文 を こ こで はそ の ま. ま 受 け 入 れ て 、 話 を 先 へ 進 め る 事 に す る。. で あ る 。 但 し 、 こ こ で 、 η.,η ン携 は そ れ ぞ れ0又. こ う して 、 よ り一 般 的 に は(3301)式[(3300)式]は の方 程 式 で置 き換 え られ るべ き で あ る。. 負 の 整 数 で あ る 。 又 、 こ の1粒 は(3323)式[(1628)式]を. K.Huangの. は正. 次 子 の エ ネ ル ギ ー 固有 値. 用 い て、 次 の 様 で あ る。. 著書 の原 文 の説 明文 で は この 式 が(3301)式. と同 じとい うの で あ る。(3315)式 の こ こで は右 辺 の第 3項 の 括弧 中に項 共 の任 意 の或 る有 限 の個 数 が 現 われ てい る。 しか し、括 弧 中 の これ 等 の い ずれ の項 もが 7→ 。 。に な るに連 れ て0に 近付 く事 を 証 明す る事 が 出来 る。. と 置 こ う。 万p(.。)≡濡 は エ ネ ル ギ ー 準 位 εp(刈 ≡ε。を 占. め る 粒 子 数 で あ っ た 。 故 に 、1,(.。声1。 の:場 合. 乙. で あ っ た 。 又 、 フ ー ガ サ テ ィ(fugacity)zの 0≦2≦1で. 変域 は 昌2〃 ル〆ゐ". あ っ た の で 、 次 の 不 等 式 が 成 立 す る。. を 得 る 。(3317)式 瓦. の不 等 式 は 次 の様 に な る。. 一ll. 彩. 丼 個 の 相 互 作 用 の な い 、ス ピ ン を 持 た な い 自 由粒 子 共 (ボ ー ス 系 と 、 フ ェル ミ系 と 、 ボ ル ツ マ ン 系)の. 、1. 粒 子 シ ュ レデ ィ ン ガ ー 方 程 式 は. で あ る 。1粒. 子 波 動 関 数 砺,←)に 対 して 、 κ,ン,2にっ い こ れ は(3315)式. て の 周 期Lの. と(3301)式. が結 局 同 じ事 を示 してい る。. 周 期 的境 界 条 件. 勢 は大正準集 団で取 り扱った ときの体穂 ま れ る 平 均 の 全 粒 子 数 に 対 す るp=0(ε9(・. 中に含. ・)=8・)準. 位 を 占 め る 平 均 粒 子 数 瑞 の 割 合 で あ る 。(3292)式. を 課 す 。 こ の と き 、 体 積7=L3の. 空 間 で規 格化 され た. の.
(10) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 144. と な る 。 こ こ で 、(3299)式. は 、体 積7を. 一 定 に保 っ とき の理 想 ボー ス気 体 の ボー. を 参 照 し ょ う。. コ2.、. ス ・ア イ ンシ ュ タ イ ン凝 縮 が 起 き る た め の 転 移 温 度(臨 界 温 度)で あ る。 次 に 、(3294)式 の. は 、 温 度7に. お け る 質 量 〃2の 粒 子 の 熱 波 長 で あ る 。故. に 、7は _2π. 充2,___、 を 得 る.他. 方 、1≦6,0)-2.612…1こ v男. 対 し て は 、 。は. し2り を 持 つ 。 次 に 、(3293)式. の 内 の 第1の. 式の. σ3. は 、温 度7を 一 定 の 保 った とき の理 想 ボ ー ス 気 体 のボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮 が 起 き る た め の 転移 比 体 積(臨 界 比 体積)で. あ る。 故 に、. 系 の体 積7又. は 比 体積v=三. が 一 定 に 保 たれ る と き. ,A、. に は 、(334。)式 の 不 等 式 歪 ≧δ、￠)=2612.は v三. で あ る 。 そ し て 、 (3332)式. と(3334)式. とか ら我 々 は 次. 式 を得 る。. こ こ で 、(3314)式[(3311)式3を. 告 争+圭 う 、 ω 7. で あ る。 故 に 、 それ は 直 ち に、. も う 一 度 書 こ う。. 風.
(11) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(16)一. に対 応 し、樽. 式 亙 ≦δ、① 一2bl2,.は. 以. vヨ. に崩. く量 子 統 計 力 学8>. (f・g・ ・i・y)。の領 域 は 津. ・∂、① 一2.612…. を 図 示 した も の で 、p=0. 定 義 され て い る も の と す る 。 こ の 領 域 はr≧ ろ に 対 応 し て も い る 。 こ の 領 域 で は 、(3299)式. の準 位 を 占有 す る ボー ス粒 子 の平 均 の 占有 の 割合 であ. ら、2は. 中 の下 方 の 式 か. 次 式 の 根 と して 定 義 さ れ る 。. る。 図 よ りrく ろ の とき、 系 中の粒 子 共 の内 の有 限 の. !、23-.一. 唯一 の準 位 を 占拠 す るの が分 か る。他 力. (3328)式 の 争 ≦灘. ・声. →呼. →・ ・)壷 よ. (3293)式. の 右 辺 の 第1式 LA、. 争. に 対 して. v5. し て い る。 図7は(3340)式. 割 合 がp=0の. 145. か ら. λ3「. 、船 ∩. がP≠ ・ に対 して 常 に ・で あ る事 を示 して い る.. 故 に 、我 々が 持 つ状 況 をま とめ る と次 の様 で あ る。 7>ろ の と き、 系 中 の総 て の粒 子 共 の 内の 或 る有 限の 割 合 がp=0の. 唯一 の 準 位 を 占拠 す る事 は な い。粒 子 呉. は 総 て の準 位 共 に渡 って 薄 く拡 が って 占 めて い る。 他. 5 を得 る 。 更 に 又 、 こ の 式 へ(3335)式 (3341)式. 一. に対して踊 限の割合の劉. 粒 子 共 がp=0の. 爺〕 ㌔. 準 位 を 占拠 してい る。そ して 、粒 子 共. の 内 の残 りの ものはp≠0の. 準位 共 に渡 って 薄 く広 が. っ て 占 めて い る。 絶 対0度@罵0)で. を得 る。. は総 て の粒 子 共 が (3299)式. p=0の. を 利 用 す る と、. に等 価 な式 と して、. 準位 を 占め て い る。. 以 下 に記述 す る21行 の文 章 は 、K.Huang著 ``Stati stica1顛echanics"(secondedition)P290の. 中 の 上 方 の 式 の 亙.δ,0)-2612… v互. 中 で はz=1で. の巌. あ る の で 、zは 特 に 挙 げ て 述 べ る 必 要 は. な い。. 直 訳 で あ る。. 理 想 ボ ー ス 気 体 の 状 態 方 程 式 は 以 前 の 節(§31)の. ボー ス ・ア イ ン シ ュ タイ ン凝 縮 は、時 々 、「運動 量 空. (2034)式. と(2035)式. とか ら、次 の様 で あ っ た。. 間 中 の凝 縮 」 として 記述 され る。 しか しな が ら、 我 々 はそ の熱 力 学的 表 現 が 一 次 の相 変化 く 訳者 注. 潜熱を. 伴 う相 変 化)の それ で あ る と言 う事 が 分 か るで あ ろ う。 も し も、 我 々 がそ の 状 態方 程 式 の み を調 べ る な らば 、 我 々 は ボ ー ス ・ア イ ンシ ュ タイ ン凝 縮 と通 常 の気一 級 凝 縮 との 問 の違 い を識 別 出来 ない。 も しも、理 想 ボ ー ス気 体 の粒 子 共 が重 力 場 中 に置 かれ るな らば、 そ の と き、 丁 度 、気一 液 凝 縮 に於 け る様 に 、凝 集 領 域 中に2 個 の 相 の 空 間的分 離 が在 る で あろ う。「 運 動 量空 間 中の. [(2035)式](3346) 厳 密 に は 両 式 か ら2を 消 去 した も の が 理 想 ポ ー ス 気 体. 凝 縮 」 と言 う言葉 は 、 単 に、 ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タイ. の状 態 方 程 式 で あ る。 そ して、 この式 は直 ち に、 次 の. ン凝 縮 の原 因が 系 の波 動 関数 の 完全 対 称性 に在 り、 ど. 形 に書 き換 える事 が出 来 た。. の よ うな粒 子 間相 互 作用 に も無 い 、 と言 う事 実 を 強設. ,η1,、1ノ. 、. す るの に役 立っ て い る に過 ぎな い。 (3299)式 を も う一度 眺 め よ う。(3299)式 の結 果 と し て 、理 想 ボー ス気 体 の総 ての 熱 力学 的 関数 共 は 凝縮 領 域 に対 す る と、 そ の領 域 の補 領 域 に対 す る とで 異 な る 解析 的表 現 に よっ て 与 え られ るで あ ろ う。 凝 縮 領域 に. [(2066)式](3348). お い て のみ これ等 の解 析 的 表 現 は簡 単 で あ るで あ ろ う. 厳 密 に は 両 式 か ら2を 消 去 した も の が 理 想 ボ ー ス 気 体. そ の他 の領 域 に お い て は 明瞭 な 式 を得 るた め に数値 計. の状 態 方 程 式 で あ る。変 数 で あ るフ ユー ガ サ テ ィ. 算 が必 要 で あ ろ う。 (3299)式 と(3340)式 を眺 め よ う。 以 後 、 この節(§) の残 りの部 分 を通 して総 ての議 論 で フユー ガ サ テ ィ. (fugacity)zの. 変 域 は0≦z≦1で. 定 義 さ れ た(2057)式 は 、r(の. をr(ガ. あ る 。変 域0≦z≦1で. の ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン積 分. ン マ)関 数 と して 、.
(12) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 146. で あ る 。(3357)式. を(3353)式. で あ る事 が 分 か る。 次 に、. と比 較 す る と、. (3356)式[(2157)式]よ. り、. 直接 計算 を実行 して 、. で あ る の で 、 結 局 、(3352)式. が 導 か れ た。. フ ユ ー ガ サ テ ィ(fugacity)zの る の で 、z→1を. 変 域 は0≦2≦1で. 除 い て(3347)式[(2065)式. グ ーuσ 、 で あ る 。v>Vcは. ノ. ー. 一一 一. 系 の 温 度7を. 匿'一. ボ ー ス ・ア イ. ン シ ュ タ イ ン 凝 縮 が 起 き る 遷 移 比 体 積(臨 vσよ り も 大 き い(密. (Riemanzetafunction)で. こ の と き に は 、(3343)式. あ る 。 リー マ ン の ツ ェ ー タ. 関 数 に つ い て は 、 以 前 の 節(§32)の(2155)式 目 か ら(2160)式. 一一 '. 一 定 に 保 って体 積 を変. 化 させ た と き 、 ボ ー ス 気 体 の 比 体 積vが. で あ る。他 方 、 ζ(z)≡ζ(ろ1)は リー マ ン の ツ ェ ー タ 関 数. あ. 、(3245)式]. 度 が 低 い)と. 界 比 体 積). き を 表 わ して い る 。. よ り. の 上5行. に 至 る 辺 りで 既 に 議 論 し て い る 。 そ し. て 、 リー マ ン の ツ ェ ー タ 関 数 の 定 義 と性 質 の 簡 単 な 説 明は 「 共 立. 数 学 公 式 改 訂 増 補 」(泉 真 一. 立 出 版)のp306に. 他3名. 共. 見 られ る 。. で あ る 。 故 に 、 図4よ. り. 2<1(3363) で あ り、(3360)式. は 明 らか に 成 り立 つ 。 次 に 、v<Vcは. 系 の 温 度rを 一 定 に 保 っ て 体 積 を 変 化 させ た と き 、 ボ ー ス 気 体 の 比 体 積vが ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮 が 起 き る 遷 移 比 体 積(臨 界 比 体 積)vσ よ り も小 さ い(密 度 が 高 い 、 凝 縮 して い る)と と き に は 、(3343)式. き を 表 わ して い る 。 こ の. より. で あ る が 、実 際 に は 、(3343)式 と共 に く3364)式 と(3465) 式 は 使 え な い 。 何 故 な ら ば 、(3343)式 は 。礪. 域 力逆. が 成 り立 つ 前 提. ≦δ、① 一・612...に 対 して 趨 vを. と し て あ る か ら で あ る。こ の 条 件 は7→. され る. 。 。でz<1で. あ.
(13) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(16)一. り、(3361)式. 、(3362)式. 、(3363)式. 当 る。 我 々 の 今 の 条 件 はv<γcで. く量 子 統 計 力 学8>. 147. が 成 り立 つ条 件 に. 、 既 に 、 ボ ー ス ・ア. イ ン シ ュ タイ ン凝 縮 に在 る状 態 で あ る。 と ころ で 、 ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮 は2→1で 起 き るの で あ ㌦. る か ら、 図4でz→1の. 近 傍 を眺 めれ ば 良 い。 図 か ら. は 図 中 のB(B')点. 乙. ノ. を連 ね た も の で あ る が 、 そ れ は. 分 か る様 に、 この と き、. な の で 、結 局 、v<vσ の 場 合 に も(3360)式 こ う し て 、 結 局 、 我 々 は(3347)式. が 成 り立 っ 。. か ら次の 状 態方 程 式. を得 る 。. ▼'72`「. (3370)式 度7に. よ り 、v<γcに. つ い て 、Pはvに. 8の 水 平 直 線!昭. 対 して 、或 る与 え られ た 温 依 存 しな い 事 が 分 か る 。(図. と.4'β'の部 分)図8は. で は 温 度 の 違 う も の2本)を. 等 温 線 共(図. の様 に して得 られ る。. 示 して い る 。. P雫. 次 に 、 図9は 図 中 に 描 か れ た の 遷 移 曲線(transiti。nline)の. 理 想 ボ ー ス 気 体 の ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ. タ イ ン 凝 縮 遷 移 に 関 わ るP-7図 中 の 遷 移 曲 線(transitionline)の. を 表 わ して い る 。 図.
(14) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 3. ㌧. へ 、(3373)式[(3293)式. 乙. で あ る 。(3384)式 を(3382)式. ノ. 、(3333)式]と(3330)式. を組合. へ 代 入 す る 。次 式 を 持 っ 。. 禦)一 ÷脚)一 ÷嶋 属乃三 ①. せ た式 の. で あ る の で 、 こ れ を(3385)式. へ 代 入 す る。 こ う して 、. 我 々 は 、 結 局 、 次 式 を 得 る。. の 様 に 遷 移P-7曲. 線 の(3376)式. を得 る。. 図8の 等 温線 の水 平部 分 溜(7)或 い は オ'β'@')は気 液 凝縮 の場 合 にお け る様 に、 そ の領 域 で は系 は2相 の 混 合 で あ る と解 釈 す る事 が 出 来 る。 護点(オ 縮 相 で あ り、B点(B'点)は. 点)は 凝. 気 相 に帰 属 す る。等温 線. の 水 平部 分 の途 中は2相 間 の相 遷 移 の領 域 で あ る。 図8の 温度rの 等 温 線 の 水平 部 分 に相 当す る圧 力 は ボー ス理想 気 体 の ボー ス ・ア イ ン シ ュ タイ ン凝 縮 相 と気 相 の平衡 の 蒸 気圧 魂 ② を与 え る。(3370>式 よ り、 _1_、. た 髄7.∴. 、. ノ. これ が 蒸気 圧 曲線 の勾 配 を与 え る式 の ク ラ ウ ジ ウス ・ ク ラペ イ ロン の式 で あ る。 と ころ で 、一 般 的 に純 粋 な物 質 の2相 が熱 平衡 状 態 に あ る とき を考 え る。温 度7、 圧力Pの. 下 で 、第1の. 相 の 比 体積 を 判、 第2の 相 の比 体積 をv2と す る 。 又 、 温 度7、 圧 力Pで. 単 質 量 の物 質 を第1相 か ら第2相 へ. 転 移 させ る とき の潜 熱 を1と す る。 こ の とき、 平衡 の 温 度7と 圧 力Pの. 関係 を 決 め る、次 の 、方 程 式 が成 り. 立っ 。. 、_一... α11W2一. 乙. γ1ノ. で あ る 。 これ は 蒸 気 圧 曲 線 で あ る 。 次 に 、 蒸 気 圧 曲線. そ し で 、 こ の 式 が ク ラ ウ ジ ウ ス ・ク ラ ペ イ ロ イ ン の 式. の 勾 配 を 与 え る 式 を ク ラ ウ ジ ウ ス ・ク ラ ペ イ ロイ ン の. (Clausius-Clapeyron'sequaqtion)で. 式(Clausius-Clapeyron'sequaqtion)と. 気 相(G)と. 言 う。(3381). 式 か ら、 直 ちに 、. 液 相(L)が. あ る。 例 えば 、. 熱 平衡 状 態 に あ る とき には 、. 7711. で あ る。1は. 気 化 熱 で あ る。 又 、 液 相(L)と. 固 相(S)が. 熱 平 衡 に あ る と き の 融 解 曲線 の 勾 配 に つ い て も 同 様 に 、 4P1泌(3390) 4ブ で あ る 。1激 導 出 は"基 共 著(学. 雑 、-v、) は 融 解 熱 で あ る 。(3389)式 礎教育. 物 理 学 コ ー ス1"森. 術 図 書 出 版 社)pp247-249に. と(3390)式. の. 田章 他4名 在 る。. (3387)式 へ 戻 ろ う。 理 想 ボ ー ス 気 体 の ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮 の 場 合 、 図8か. ら分 か る様 に 、 気 相.
(15) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(16)一. は 比 体 積Vcを 故 に 、2相. 持 っ 。他 方 、凝 縮 相 の 比 体 積 は0で. く量 子 統 計 力 学8>. 149. あ る。. 間 の 比 体積 の 間 の 差 は. △v=v2_Vi=Vc(3391) で あ る。 故 に 、. で あ る 。 但 し 、Lは1粒 そ し て 、(3387)式. 子 当 りの 遷 移 の 潜 熱 で あ る 。. と の 比 較 よ り、. 一'一. ゐr1、. し. 、FTTT1. 証 明 古 典 統 計 力 学 の 大 正 準 集 団 のヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由エ ネ ル ギ ー を 表 わ す 式 の(U42)式[(1211)式. を得 る。 ボー ス ・ア イ ン シ ュ タイ ン凝 縮 は潜 熱 を 伴 う. 、(1212)式. 〕. は 、'. 遷 移 で あ る の で 、 一 次 の 相 転 移 で あ る。 次 に 、理 想 ボ ー ス 気 体 に対 す るそ の他 の熱 力 学 的 関 数 共 を考 察 す る。. [〈1142)式](3400). 初 め に 、 内部 エネ ル ギー こ1の式 は 次 の様 で あ る。. で あ る。 こ こで 、 ρ(z,7,7)は 考 察 下 の 古 典 統 計 力 学 の 大 正 準 集 団 の 大 分 配 関数 で あ り、 そ れ は 定 義 式 の (1105)式 か ら、 9仏. の. 靴7)睾 Σzガ9N色7)[(UO5)式](3401) ガとむ. で あ る。 そ して 、 燃(F,7)は 温 度7の. 体積7の. 系 が粒 子 数N、. 古 典 統 計 力 学 の正 準集 団 で あ る とき の分 配. 関 数(1107)式 で あ る。 量 子 統 計 力 学 の 場 合 も これ に 習 っ て 、 大 正 準 集 団 の 系 のヘ ル ム ホ ル ツの 自 由エ ネ ル ギ ー は 次 式 で 計 算 され る。. 証明 この 式 共 は 、既 に 、 以 前 の節 く§31)大 扱 う理 想 気 体. 正 準集 団 で. の(2094)式 乃 至(2112)式 で議 論 して い. る。 そ こで の結 果 の(2112)式 か ら ノ. F一 翫 ノ1。9。・一た。71・9。 菖(・,F,り(3402) 量 子 統 計 力 学 の 大 正準 集 団(グ ラ ン ドカ ノ ニ カ ル ン サ ン ブル)の 議 論 は 、 以 前 の 節(§)10で. ＼. ア. な され て い. る 。 そ して 、 そ の簡 潔 な説 明 が 以 前 の 節(§)31の (2084)式 乃 至(2097)式 に な され て い る。 系 を 構 成 す る 粒 子 種 が 一 種 類 の とき 、 大 正 準 集 団 の 量 子 統 計 力 学 的 大分配 関数 は、. で あ る。 こ こ で 、Z、(7,r)は 正 準 集 団 の 量 子 統 計力 学 1>1cい. で あ る 。v<Vc又. は7<島. か ら 分 か る 様 にz=1で. の 場 合 、(3293)式. 」ビθ. 的分配 関数. と 図5と. あ る の で 、 ∂5(2)の 代 わ り に 三. 7A、. 幽,4一. レ. 次 に 、ヘ ル ム ホル ツ の 自由 エ ネ ル ギ ーFの 様 である。. で あ る 。(2097)式[(1918)式. 式は次 の. で あ る 。 次 に 、(3405)式 得 る。. 〕に よ れ ば 、. を(3402)式. へ 代 入 して 次 式 を.
(16) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 50. 卿8」{. で あ る 。故 に 、こ れ に(3394)式 結 局 、(3398)式 10g。1=0で. と(3399)式. と(3395)式. を代入 して 、. と を 得 る。 な おz=1の. とき. あ る 事 に 注 意 せ よ。. [(964)式. 、(1001)式. 、(1249)式](3416>. で あ る。 故 に 、. 証 明 終 わ り。 次 に 、ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル ギ ーGの. 式 は 次 の様 で あ. る。. で あ る 。(3417)式 へ(3398)式. 又 は(3399)式. 次 の 様 に な る 。 初 め に 、v>Vc又 、. を代 入 す る。. は7>ろ. に 対 して は. (3448)式 を 使 う。 我 々 は こ の と き 図5か. ら分 か る 様 に. 証 明 ギ ブ スの 自由 エネ ル ギー の定義 式 は. zは λ=. G=F+.P7. 2痂2. を通 して 温 度7の. 関数 で あ る事 に注. 海んβ7 意 す る。. σ一. で あ る 。(3411)式. 一7が . へ(3398)式. と(3399)式. 、(3394)式. と. (3395)式 を 代 入 す る 。 す る と 、 直 ち に 次 式 を 得 る 。 1,,、1,,、. 証明 統 計 力 学 のエ ン トロ ピー ∫を与 える式 は 、. で あ る 。 と こ ろ で 、 以 前 の節(§)31の(2058)式 ボ ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン積 分(2057)式 を持 っ て いた 。. よ り、. は 次 の 漸化 式.
(17) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(16)一. 7 . く量 子 統 計 力 学8>. 151. z. で あ る 。 こ の 式 は(2075)式. と(2070)式. か ら直 接 求 め る. 事 も 出 来 る。 故 に、 1. z. 'n昌__、. で あ る。 証 明 終 わ り。 次 に 、定 積 熱容 量 ら の 式 は 次 の様 で あ る。 ゐ.(z}. 冒'一. 一z. も 得 られ る 。 こ の 式 も又(2072)式. と(2070)式. か ら直 接. 求 め る事 が 出来 る。 (3384)式. と(3426)式. と(3427)式. を(3419)式. へ代入 し. ＼. 証明 定積 熱 容 量CFを. 与 える 式 は 、. て 、 計 算 を 進 め る 。 次 の 様 に な る。 ∴.!.＼. 在 一r∂σ 、. で あ る。(3437)式 へ(3394)式. 又 は(3395)式. 次 の 様 に な る 。 初 め に 、v>Vc又. (3394)式 壷 使 う。 こ こ で 、 再 びzが. 何 故 な ら ば 、(3420)式. の結 果 か ら、. の 右 辺 の 第3項. と第5項. は正負. 打 ち 消 し 合 っ て 消 え る か ら で あ る。 次 に 、v<Vc又. は7<乃. λ=. て 温 度 丁 の 関数 で あ る事 に 注 意 す る。. 芳 わ亙② 一1(343・) 2 で あ る の で 、(3428)式. はT>篇. に 対 して は(3399)式. を 使 う。. を代 入 す る。 に対 しては 2痂2 溺たノ. を通 し.
(18) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 152. 皇 とな って 、絶 対0度 付 近 で は 仰 は72の. 様 に0に. な. る事 が分 か る。 理 想 ボー ス気 体 の 定積 熱 容 量 の この 振 る舞 い は 、以 前 の節(§)33で 議 論 した 光 子 気 体 の定 積 比 熱 の式 の(2414)式 が示 す 結 果 2. で あ る。 次 に 、v<vσ. 又 は7く. る に 対 し て は(3395)式. A「^r^而. を 使 う。. 、コ. や 、以前 の節(§)34で 議 論 した 音 子気 体 の 定積 熱 容 量 の 式 の(2579)式 が 示 す 結 果. が 共 に 、 そ のCγ が 絶 対0度. 付 近 で73の. 様 に0に. なる. 事 を 示 す の と は 対 照 的 で あ る。 次 に 、エ ン ト ロ ピー8の (3444)式. 式 の 内(3415)式. を 考 察す る。. を代 入 して 、. L(3415)式1(3448) で あ る。 これ よ り、7=0で8=0で. あ る事 が 分 か る。. これ は 熱力 学第3法 則 と一致 してい る。 そ して 、 これ は理 想 ボ ー ス ・アイ ン シ ュ タイ ン気 体 が ボ ー ス ・ア イ ン シ ュタ イ ン凝 縮 を した とき凝 縮 相(7=0で. は系 全. 体 が凝 縮 相 で あ る。)がエ ン トロ ピー を持 た な い事 を意 味 して い る。 凝 縮 相 がエ ン トロ ピー を持 た な い ので あ るか ら、気 相 と凝 縮 相 が混 在 す る遷 移領 域 中 の任 意 の 有 限 温度 で は、 系 の全 エ ン トロ ピー は 気相 が持 って い る事 とな る。(3340)式 を眺 め よ う。v<Vc又 はr<7と の 遷移 領 域 中 で は 、大 正準 集 団 で取 り扱 っ た と きの 体積 γ 中 に含 まれ る平 均 の全 粒 子 数 π に対 す るp=0 図10は 理想 ボー ス気体 の定 積 熱容 量 の 式 の(3434) 式 と(3435)式 と を図示 した もの で あ る。 これ 等 の 式 中 で λ とzが 共 に 温度7の ば な らな い 。熱 波 長 λは. 関数 で あ る事 に注 意 しな けれ. ←,← 。)=ε 。)準位 の凝 集 準 位 を 占 め る平均 粒 子 数 瑞 の 割合 は 、.
(19) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(16)一. く量 子 統 計 力 学8>. で あ る。 故 に 、7<7と の遷 移 領 域 中で は気 相 中の粒 子. を 得 る 。 同 じ式 は(3333)式[(3293)式. 共 の割 合 は、. て、. 、(3373)式]を. 153. 用い. 3. 気相 中の粒 子 数 の割 で あ る。 故 に 、全粒 子 中 の気 相 中に在 る粒 子 の数 は、. で あ る の で 、(3461)式 を(3457)式 気 相1粒. 気相中に在る粒子蝶. 〕 隔( . へ 代 入 し て 、同 じ く 、. 子 当 り の エ ン ト ロ ピー の 式. ). とな る。今 、気 相 の1粒 子 当 りの エ ン トロ ピー を5(小 文 字)とす る と、気 相 と凝 縮 相 が 混 在す る遷 移 領域 中の 系 の 全エ ン トロ ピー3(大 文 字)は有 限温 度 で は総 て気 相 が持 って い るの で 、. を得 る。 気 相 と凝 縮 相 問 の1粒. 子 当 りの エ ン トロ ピ ー の 差. (比 エ ン ト ロ ピ ー 、spedacentropyと 一. 言 う。)趣. は. 〆_、. 2. で あ る 。故 に 、(3393)式 よ り、1粒 子 当 りの 遷 移 熱Lは ゐ,① 五一号㌔ 麦 ①7=趣. ・ア(3464). 至 と書 け る。 これ は ボ ー ス ・アイ ンシュ タイ ン凝 縮 を一 次 の相 転 移 と して解 釈す る事 に 自己矛 盾 の な い事 を示 して い る。 He4原 子 は 陽子2個. と 中性 子2個 と電 子2個 か ら構. 成 され る原 子 で あ る。そ して、以 前の節(§)29の(1621) 式 の 下12行. 目辺 りか ら始 めて説 明 して あ る様 に 、 そ. の構 成 要 素 で あ る陽 子 も中性 子 も電 子 も共 に ス ピ ン 1蜷 2. 持 つ フ ェル ミ粒 子 で あ るが、 フ ェ,レミ粒 子 偶 数. 個 か ら成 る粒 子 を1つ の粒 子 と看 倣 した ときそ れ は ボ. で あ る 。故 に 、(3459)式 を(3456)式 気 相1粒. へ 代 入 し て 、結 局 、. 子 当 り の エ ン ト ロ ピー の 式 と し て 、.
(20) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 154. 一 ス粒 子 で あ るの で、He4原. 子 は ボー ス粒 子 で あ り、. ボ ー ス統 計 に従 う。He4原 子 の ス ピンは0で あ る。 図 11は 物 理 学辞 典(物 理 学 辞 典 編集 委 員 会編 の液 体 ヘ リウム の項 か ら転 写 したHe4の. ヘ リ ウ ム の 原 子 量 は4 ,003で あ る 。 故 に 、 ヘ リ ウ ム 分 子 の1モ. ル はM=4.003xlO-3〔kg〕. で あ る。 ア ボガ. ドロ 数 は 万」諮6.022×1023個!molで. あ る 。 故 に、 ヘ リ. 培 風館). 相 図 で ある。. ウ ム 分 子1個. の質 量 は. He4の 気 体 を1気 圧 の 下 で冷 却 す る と4,21Kで 液 化 す る。 こ の液 体 は通 常の 液 体 と考 え られ 液 体ヘ リウム1 と呼 ばれ 常流 動 状態 で あ る。 液 体ヘ リウム1は 相 図 の λ線 を横切 る とき λ転 移 と呼 ば れ る相 転移 を行 な い 、. い4bbノ. 物 理 学 辞 典(培. 風 館)に. よ れ ば 、 λ点 で 液 体 ヘ リ ウ ム. 液 体 ヘ リウムHと な る。 そ の とき 、 λ転移 の温 度付 近 で液 体 ヘ リウム の比 熱 は 異 常 な 振 る舞 い を示 し、 それ は対 数 的(logarithmically)に 無 限 大 とな る。図12は 物. 1の 密 度 は ρ=0,146×103〔kglm3〕 体 ヘ リ ウ ム1の1〔kg〕. で あ る 。 故 に 、液. 当 りの 体 積 は. 理 学 辞 典(物 理学 辞 典 編 集 委 員 会編 培風 館)の 液 体 ヘ リウム1の 項 か ら転 写 した 比熱 の超 流動 転 移 温度 付 近 での 図 で ある。液 体ヘ リウ ム 皿 は超 流 動 状 態 で あ る。. ポ ル ツ マ ン 定 数 は 秘=1,38MO舶. 数 は 海=1,055x10馴. 〔J/K〕 、 プ ラ ン ク 定. 〔J・s〕 、63①=2,612…. で あ る。. 三 これ 等 の 数 値 を(3513)式. へ 代 入 す る。. 図12. 液 体 ヘ リウム ∬の 状態 は 、我 々 が今迄 して 来 た議 論 の. 得 られ た値 の 乃 鋸3、148Kは 理 想 ボ ー ス気 体 を仮 定 し. 様 な 粒 子 間相 互 作用 の な い単 純 な理想 ボー ス気 体 モデ. て得 られ た もの で あ る。 実験 の 示す 値 の 乃=2.172K. ル で は な く、He4が 液 体 で あ る が故 に分 子 間 相互 作 用. は分 子 間 相 互 作 用 を持 つ 実在 ボ ー ス気 体 の ボー ス ・ア. が 強 い はず で ある の で、 そ れ は分 子 間相 互 作用 を有す. イ ン シ ュ タイ ン凝 縮 の 飽和 蒸 気 圧p;α0497気. 圧下で. る不 完 全 ボー ス 気体 の ポー ス ・ア イ ン シュ タイ ン凝 縮. の相 転 移 温 度 で あ る。 理想 ボー ス気 体 を仮 定 した この. で あ る、 と仮 定 す る の が 自然 で あ る。 そ して、 そ の事. 簡 単な 計 算 は 正 しい オ ー ダー の 大 き さの転 移 温度 へ 導. は 奇 数個 の フ ェル ミ粒 子 か ら成 るが故 にフ ェル ミ粒 子. い てい る。 故 に 、 これ は λ線 を横切 っ て λ転移 と呼 ば. で あ る とこ ろのHe3原. れ る相 転移 を して得 られ る液 体 ヘ リ ウムHは ボ ー ス ・. 子 か ら成 り、フ ェル ミ統 計 に従. う液 体 且e3中 で はそ の 様 な 転移 が起 きな い と言 う事 実 に よ っ て支 持 され る。 相 図 の λ点は 飽 和蒸 気圧 p=α0497気. 圧 、転 移 温 度7=2.172Kで. ある。. (3292>式 を も う一 度 書 こ う。. アイ ン シ ュ タイ ン凝 縮 相 で あ る事 の傍 証 で もあ る。 最 後 に我 々 は2っ ば か り注意 を与 え てお く。1. ボー ス ・ア イ ン シ ュ タイ ン凝 縮 は 、系 の粒 子 数 が保 存 され る とき に のみ 現 れ る事 が出 来 る現 象 で あ る。故 に、 光 子 共 は凝 縮 しない 。 即 ち 、光 子 共 は真 空 中へ 消 え失. Aユ,. せ る と言 う、よ り単 純 な他 に取 るべ き方途 を持 っ 。2. 相 対 論 的 ポ ー ス気 体 に対す るボ ー ス ・ア イ ンシ ュ タ イ ン凝 縮 の総 て の議 論 には粒 子 共 だ け では な くて 、反 粒 子 共 を も説 明 の 中へ 取 り入 れ な けれ ばな らな い 。 これ は系 の 体積7を. 一 定 に保 っ た ときの理 想 ボ ー ス. 気 体 のポ ー ス ・アイ ンシ ュタ イ ン凝 縮 が起 き る為 の転 移 温 度(臨 界温 度)を 与 え る 式 で あ る。. 参 考文 献 1>」. ㌦M、Ziman著:"ElementsofAdvancedQuantum.
(21) 多 体 問 題 とグ リー ン 関 数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン関 数 と多 体 問題(16)一. Theory"〈CambrigdeUniversityPress) 2)高. 野 文 彦 著:"新. 体 問 題". *§1,10ハ. イ ゼ ンベル グ表 示 で の 生成 ・ 消 滅演 算 子 と 場 の 演 算 子,そ. 橋 康 著:"薪. 物 理 学 シ リー ズ16物. の た め の 揚 の 量 子 論1,H"(培. 性 研 究者. 風 館). 第2章. イ ゼ ンベ ル グ 表 示. edition. *§2.2相. 互作 用表 示. *§2.3相. Systems,,(Spriger) 量 子 力 学 上 、 下". 川 恭 治 、森 弘 之 著:"統. 計 物 理 学"(朝. ン ダ ウ ・リ フ シ ッ ツ 著 、 小 林 秋 男 、 小 川 岩 雄 、 富 永 五 郎 、 浜 田 達 二 、 横 田伊 佐 秋 訳:"統 理 学 第3版. 上"(岩. 計物. 波 書 店). 10)U.Fano:ReviewsofModernPhysics74vol29No1. 11)小. 田 恒 孝 著:"統. 計 力 学"(裳. 12)桂. 重 俊 著:"統. 13)キ. ッテ ル 著 、 山 下 次 郎 、 福 地 充 訳:"キ. 計 力 学"(廣. 熱 物 理 学"(丸. 華 房). 表 現 と、そ の時 間積 分 展 開 級 数 *§2.6時. 間 発 展 演 算 子 σ(Lの の 計 算. *§2,7時. 間 発 展 演 算 子 σ￠,の の 幾 つ か の 性 質. *§2・8時. 間 発 展 演 算 子 σ￠,亀)とそ の 遷 移 確 率 鷹. *§2,9散. 乱 理 論 と3行 列. *§2.10時. 間 非 依 存 の 摂 動 理 論 と8行. *§2.11フ. ェ ル ミ オ ン ・ボ ソ ン 相 互 作 用. *§2.13相. 川 書 店). 礎 と応 用. ト リ ッ ク ス 展 開;8塞. ッテ ル. *§2.15生. 北出. *§2.16『. →み. 列. σ(+。 。 ,一。 。). 似 変 換 の公 式. *§2ユ43マ. 善 株 式 会 社). 暮 陽 三 著:"基. 摂動 理 論. 聞 発 展 演 算 子 σ(ら4)の 積 分 方 程 式 に よ る. *§2。123マ. (1955). 14)小. *§2.4Brillouin-Wignerの. 倉 書 店). ン ダ ウ ・リ フ シ ッ ツ 著 、佐 々 木 健 、好 村 滋 洋 訳: "量 子 力 学1(改 訂 新 版)"(東 京 図 書). 9)ラ. 算子. *§2.5時. (吉 岡 書 店). 8)ラ. 互 作 用 表 示 で の 生 成 ・消 滅 演 算 子 と場 の 演. ・ 版. 子化. 高等 量 子力 学 に お け る摂 動 理 論. *§2.1ハ. ッ プ 著 、 井 上 健 訳:"新. れ ら の 交 換 関 係,そ. れ か ら 、 ハ ミル トニ ア ン の 表 現,第2量. Wiley&Sons,Inc)firsteditionandsecond. 5)A,猛Zagoskin著:``QuantumTheoryofMany-Body. 7)西. し て,そ. 参考文献. 4)K.Huang著:``StatisticalMechanics"(John. 6)シ. 155. ベ ル グの運 動 方 程式. 物 理 学 シ リー ズ18多. (培 風 館) 3)高. く量 子 統 計 力 学8>. トリックス 展 開 式 の 計 算 例 成 ・消 滅 演 算 子(正. 亀. 規 積(N積)へ. の. 準 備) 統 計 力 学"(森. フ ェル ミ真 空 』 又 は 『フ ェル ミ海 』 に 関. 版). し て の 電 子 と正 孔 の 新 し い 生 成 ・消 滅 の 場 の. 15)田. 沼 静 一 郎 著:"電. 16)キ. ッテ ル著 、宇 野 良清 、津 屋 昇 、森 田章 、 山 下 次. 郎 訳:"新. 子 伝 導 の 物 理'(裳. 版 固 体 物 理 学 入 門 上"(丸. 華 房). 善 株 式 会 社). 演 算 子 を使 って の εマ トリ ック ス展 開 式 の計 算 例s2 *§2.17N積 *§2,18縮. この 論文 は拙 著 原 稿"多 体 問 題 とグ リー ン 関数 との 関係 の研 究. 高 等 量 子 力学 入 門1",内. 容. 目次 は じめ に 第1章. フ ェル ミオ ン系 の 量 子力 学. §1.1序. 約 積(コ. *§2,19Wickの *§2.205マ. ト リ ッ ク ス のT積. *§2.21縮. 約 積 が0と. 定理 の ダイ ヤ グ ラ ム表 示. *§2,23Wickの. 定 理 の 計 算 例82式. 言. *§2.24正. 態 関数 の数 表示 表 現 と生 成 ・消滅 演 算 子 の. *§2.25Feynmandiagramを. *§1.3ハ. 導 入,な らび に生 成 ・消滅 演 算 子 の交 換 関係 ミル トニ ア ン を生成 ・消滅 演 算子 を用 い て. *§1.4ハ. 記 述 す る事 ミル トニ ア ンの運 動 量表 示,フ ェル ミ真 空 ,. *§1.6ハ. ミル トニ ア ン を場 の演 算 子 を用 い て記 述. す る事 *§1.7運 動 量 表 示 で の場 の演 算 子 とハ ミル トニ ア ン の記 述. 規 形(N積. 形 式)とWickの. 中 の1項 定理 の 関係. 眺 め た と き、 逆 にそ れ. を 式 に 書 け る事 *§2.26グ. リー ン 関 数 の 定 義. *§2.27伝. 播 関数 の 定義. *§2.28実. 変 数 関 数 の 定 積 分 の値 を複 素 積 分 の 留 数. フ ェル ミ 自由電 子 ・正孔 系 の 記述 の演 算 子 の 導入 と交 換 関係. 表示. な る場 合. *§2.22Wickの. *§1.2状. *§1.5場. ン トラ ク シ ョ ン). 定理. の 定理 を応 用 して求 め る事 *§2.29Feynmandiagramの. 式 を運 動 量表 示 す るた. め の準 備 *§2,30運. 動量表示. *§2,31ダ. イ ヤ グラ ム の寄 与 の 計算. *§2.32ダ. イ ヤ グラ ム の寄 与 の 計算 例. *§1.8シ. ュ レデ ィ ンガー 表示 の量 子 力学. *§2.33電. 子 ・フ ォ ノ ン 相 互 作 用. *§1.9ハ. イ ゼ ンベ ル グ表 示 の量 子 力 学 とハ イ ゼ ン. *§2.34修. 正 伝 播 関数 の計 算.
(22) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 156. *§2.35フ. ェ ル ミ オ ン の ダ イ ソ ン(Dyson)の. 方程 式. 方 程式. *§4.14エ. ネル ギー 等 分 配 則. *§4.15古. 典理想気 体. *§4.16ギ. ブ ス の パ ラ ドッ ク ス. *§2.36ボ. ソ ン の ダ イ ソ ン(Dyson)の. *§2.37修. 正 され た バ ー テ ッ ク ス(vertex,結. *§2.38修. 正 され た 真 空 部 分. *§4.17正. 準集 団. *§2.39我. 々 は 今 何 を し て 来 た の か を 振 り返 っ て み. *§4.18正. 準集 団 の熱 力 学. *§4.19正. 準集 団 に於 け るエ ネ ル ギー の揺 らぎ. *§4.20大. 正 準集 団. *§4.21大. 正 準 集 団 に お け る 密 度 の揺 ら ぎ. *§4.22化. 学 ポ テ ン シ ャ ル と化 学 平 衡. *§4.23正. 準集 団 と大正 準 集 団の 等価 性. 節 点). る。 *§2.40フ. ェ ル ミ オ ン の ダ イ ソ ン(Dyson)の. 方程 式. の別 の 形 *§2.41ボ. ソン の ダ イ ソン の方 程 式 の別 の形. 参 考文 献 第3章. *§ 生24躍(N)の. ボ ソ ン系 の 量 子 力 学. *§3。1量. 子 力 学 的 単純 調 和 振 動 子. *§3.2ブ. ラ ベ ク トル,ケ. ッ トベ ク トル,生. 成 ・消 滅. 演算子. 振 る舞 い. *§4.25マ. ク ス ウ ェル架 設 線 の意 味. *§ 生26演. 習 問題 の 訳. *§4。27量. 子 統 計 力 学 の 以前 の議 論 の お さ らい. *§3.3量. 子 力 学 的 一次 元 原 子 鎖 連 成 振 動 子. *§4.28熱. 力 学 第3法. *§3.4量. 子 力 学 的 三 次 元格 子 状 配 列 原 子 連 成 振 動. *§4.29小. 正 準 集 団 で 扱 か う理 想 気 体. *§4.30正. 準 集 団 で 扱 か う理 想 気 体. *§431大. 正 準 集 団 で 扱 か う理 想 気 体. *§4.32理. 想 フ ェ ル ミ気 体 の 状 態 方 程 式. *§4.33黒. 体 放 射(空. *§4.34固. 体 中 の 音 子(フ. *§4.35磁. 化 と 正 準 集 団 と大 正 準 集 団 の 磁 化 率. *§4.36ラ. ン ダ ウ準位. *§4.37ラ. ン ダ ウ の 反 磁 性 と磁 化 率. 子 *§3.5連. 続 体 媒 質 へ の議 論 の 移 行 と、場 の 演 算 子 晦Pω. *§3.6古. 典 場 の理 論. *§3.7場. の 演 算 子 と第2量. *§3.8ボ. 子化. ー ス 統 計 に 従 うシ ュ レデ ィ ン ガ ー 波 動 場 の 量 子 化(第2量. *§3.9KleirGordonの. 子 化)と. ボ ソン. 方程 式. *§3.10場. の 源 と場 間 の 相 互 作 用. *§4.38k空. *§3.ll簡. 単 な 例1、. フォ ノ ンの レー リー散 乱. *§3。12簡. 単 な 例2、. 核 力 と湯 川 の 中 間子 理 論. *§3.13荷. 電 ボ ソ ン と荷 電 中間 子. グ リー ン 関 数 と多 体 問 題. *§4.1古. 典 物 理 学 の グ リー ン 関 数 とそ の 簡 単 な 例. *§4.21電. 子 グ リー ン 関 数(1) 度4テ U. *§4.4統. 言十そテ り. *§4.5量. 子 力 学 との 関係. *§4.6古. 典 統 計 力 学 の リュ ウ ヴ ィ ル 〈Li・uvme)の. *§4.9量. *§4.41ボ. ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮. *§4.42不. 完 全 ボ ー ス気 体. §4.43超. 流動 ・ハ ー ス ー フ ァ ン ・ア ル フ ェ ン 効 果 子 ホー ル 効 果 録. 熱 力 学 的 関 数 と熱 力 学 的 関 係 式. 以 下 続 く。. 子 統 計 力 学 の リュ ウ ヴ ィ ル(Liouville)の. 参考文献. ア ン サ ン ブ ル) 子 統 計 力 学 の 正 準 集 団(カ ノ ニ カ ル. 子 統 計 力 学 の 大 正 準 集 団(グ ニカル. し た も の で あ る 。*印 の で あ る。. 度 演 算 子 の 運 動 方 程 式). 子 統 計 力 学 の 小 正 準 集 団(ミ ク ロ カ ノ ニ カ. アン. ラ ン ドカ ノ. ア ン サ ン ブ ル). *§411古. 典 統 計力 学 の 基 本 原 理. *§4.12小. 正準 集 団. *§4.13古. 典統 計力 学 の小 正 準 集 団 か らの熱 力 学 の 導 出. 完 全 電 子 気 体 の磁 気的 性 質. *§4.46付. サ ン ブ ル) *§4,10量. ウ リの 常 磁 性. *§4.40不. の 内 、 紙 面 の 都 合 に よ り、 第4章. 定 理(密. ル. *§4.39パ. §4.45量. 定理. *§4.8量. ォ ノ ン). 間 と 実 空 間 で の 軌 道 面 積 の 量 子 化 と磁. §4.44ド. *§4.3密. *§4.7量. 洞 放 射). 束 の 量子 化. 参考文献 第4章. 則. の 節(§)は. 、 節(§)4.41を. 記述. 既 に掲 載 済み の も.
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