多体問題とグリーン関数との関係の研究 - グリーン関数と多体問題(7) - 〈古典統計力学の正準集団〉
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(2) 98. 」 丘召 峻 ノく.`7:ll/1:iZil;{iノ 『 ラ七 洋艮lti-No42. E,,,が 付 く べ き で あ る が 、 そ れ も 上 と 同 じ 理 由 で 無 視 E.が す る 事 が で き る 。 こ う し て 、 こ の と き 、 我 々 は こ の2 個 の 部 分 系A,Bの. 重 要 で あ る事 が分 か っ た。 故 に 、 この とき 、. 相 互 作 用 は 十 分 に 弱 くて 、 それ ぞ. S(E,V)=kl・grA(軌. れ の 部 分 系 は 殆 ど 閉 じ た 系 と看 倣 す 事 が 出 来 る 。故 に 、 N,〉>N躍(914). (920). で あ る。. E,〉>E冠(915>. 我 々 は今 、熱 浴Bに 接 して 熱 平衡 状 態 に あ る小 さな. H。(9、,PB)〉>H。(9。,PA)(916). で あ る 。 又 、粒 子 数IV',,N,は. 部 分 系Aに 対 して 、 どん な 統 計集 団 を考 え るの が適 切 両 方 共 に 、巨視 的 に見. 我 々 は こ れ か ら 、E∼E+2△ 持 つ 合 成 系A+Bの. で あ る か?、 と言 う問題 を考 察 して いた 。 部 分 系Aに 対 す る ら 位 相 空 間 中 の 点(q.,p,)付 近 の. て 十 分 に 大 き い数 で あ る とす る。 の 間 に全 エ ネ ル ギー を. 小 正 準 集 団(ミ. ア ン サ ン ブ ル)を. ㈲. 体 積 素 片d3N・9Ad3N・pA中. ク ロカ ノニ カ ル. に含 まれ る微 視 的 状 態 の数 は 、. 考 察 す る。 △は 十分 に小 さな 量 で. あ る。 合 成 系 の全 エ ネル ギ ー は この エ ネ ル ギ ー 間 で保 存 され て お り 、 合 成 系 の 微 視 的 状 態(代. 表 点)は. この. エ ネ ル ギ ー 域 の 総 て の 点 を 等 し い 確 率 で 運 動 す る(等 確 率 の 原 理)。 故 に 、節(§)11の(675)式 され た 、 分 布 関 数(密. が』 漁. ・P.・)d3tVAgAd3tYApA(921). で あ る 。PA(q,,PA)は. ら 位 相 空 間 中 で の 分 布 関 数(密. 度 関 数)で あ る。. の右 辺 で 導 入. 度 関 数)PA.B(qA,PA,q,,PB)は. 次 に 、合成 系A+Bに. 対 す る ら.B位 相 空 間 中の 体積. 、 素 片d3N・qAd3N・Pnd3N・9Bd3N・p,中. に含 ま れ る微 視 的 状. (697)式 に 習 っ て 、 1. 態 の数 は 、 ifE・H。(9,,P.). P.9.、(q。,P。,q、,ρ. 論. 。)=+H。(qB,PB)・E・2△. 編 軌,脇,ρ 、い 伽♂瓶 謹%♂ 帽偽. O. (922) で あ る。. otherwise (917). で あ る。PA.B(q.,p.,qB,PB)の. 単 位 は 無 単 位(無 次 元)で. (922)式 の 表 現 で 、部 分 系Aに. の み 注 目 した と き 、そ. の 部 分 系Aの 位 相 空 間 ら 中 の 点(il ,A,PA)付 近 の 体積 素. あ る。 小 さ な 部 分 系Aの (熱浴)Bの. エ ネ ル ギ ・-E,と. 、 大 き な部 分 系. エネ ル ギ・ ・ 一・E,の 値 は 、. E・(E。+E。)・E+2△(918). 片d3N・qAd3N・PA中 (922)式 をrB位. に 含 まれ る微 視 的 状 態 の 数 は 、. 相 空 間 に 渡 っ て 積 分 した も の で あ る 。. 故に、. を満 足 して い る。 そ して 、 そ の 値 は この 式 を満 たす 範 囲 内 で 、 それ ぞれ 任 意 の値 を 取 る 事 が 出 来 る。 もち ろん 、 こ の場 合 、E,≧E,の 得 る が 、こ の ときに は 、T,>T,は. 様 な場 合 も起 こ り 明 らか で あ り、 こ の. 歯 躯 縣脇 ゐ臨 既 晦 叛 =承 賜 賜. 様 な状 況 の起 き る確 率 は ほ とん ど0と 言 っ て 良い 。 我 々 は既 に、節(§)11の(718)式. 乃 至(748)式 の所 で、. ・ 嗣 編幅 ・ 鮪 臨 塩. 熱 平 衡 状 態 に あ る現 実 の 巨視 的系 で は 、或 る1つ の 巨 視 的 状 態 が 実 現 して い る事 。 そ して 、 そ の 巨視 的 状 態 が合 成 系 の エ ン トロ ピー の式 で あ る(717)式 S(E,V)・kl・gr(E). =≠ 賜 賜. 互 =kl・gS)r. ・ 承 ,(E、)lrB(E-E,). 1=1. 嚇 棚 溜 識編:艶. [(717)式](919) を 支 配 して お り 、そ の 状 態 は(918)式. の 拘 束 の 下 で 関数. ら(E,)ら(E,)の 値 を最 大 にす る もの で あ る事 を述 べ た。 こ う して 、ら(E,)r,(E.)の. (923) こ こ で は 、(917)式 =承. 謹. を 利 用 し て い る。 式 を 続 け よ う。 の謹. 角 ・r,(E-H.(9,. ,P。)). 値 を 最 大 に す る 唯 一 の 組 互躍,. (924).
(3) 多 体 問 題 とグ リー ン関 数 との 関 係 の 研究. 一 グ リー ン関 数 と多 体 問題(7)一. とな る。. 〈古り廷統 計力 学 の正 準 集 団 〉. ら 位 相 空 間 に お け る 分 布 関 数(密. ρ。(9オ,PA)=c・n・t・iTt(935). PA(9、,P。)・rB(E-H。(q。,P。))(925). 我 々 は 以 前 に 、熱 平 衡 状 態 の 現 実 の 巨視 的 系 で は 、. 又 は 、. 或 る1っ の 巨視 的状 態 が実 現 してい る事 を述 べ た。 そ. H(9,P). して 、 そ の とき に は 、 ら(EA)lrB(E,)の値 を最 大 にす る 唯 一 の組 の 凡 とE.が. 述 べ た[(919)式. 、(920)式]。. エ ネ ル ギ ー 凡=凡. 重 要 で あ る事 を. 今 や 部 分 系Aに. と って 、. 付 近 の 値 の み が 重 要 で あ る と考 え. ρ(9,P)…nst・e--i・. 「(936). で あ る。(936)式 で は 、部 分 系 を識 別 して い る 添 え字A は 省 略 して あ る。rA位 相 空 間 も(936)式 で はr位 相 空 間 と記 す 。又 、粒 子数NAと はNとVと. 体積 ろ も(936)式 の表 現 で. 記す 。何 故 な らば 、よ り大 き な部 分 系Bに. 就 い て は 、そ の温 度 がTで られ る。 そ して 、合 成 系A+Bの べ た とき 、. 全 エ ネル ギ ーEと 較. 系 の粒 子 数Nと. で あ る の で、我 々 は(925)式 に 関 わ って 、次 の展 開 を実 行 す る事 が 出来 る。. (927). kl・9ρ 。(q.,P。)=kl・grB(11i-E。). (928). ー. (929). 8 雫 ﹁. 8. 輔)一 争. (936)式[(935)式]に. よ って 定 義 され る統 計集 団 を正 準. 集 団(カ. ア ンサ ンブル)と 言 う。. ノニ カル. 温 度Tの. 熱浴 に 接 した 系 の 状 態 が 、 状 態H(q,p)に. 態 が 、 そ の 系 のr位 相 空 間 中 の 点(g,p)付 近 の 体 積 素 見 出 さ れ る確 率]を. (930). 我 々 は、統 計 力 学 の 立場 か らの任 意 の 系 の 温 度Tを. 定. 議. 伽 いめ. と書くと・そ撚. 1. 義す る式 の(745)式 を利 用 した。. N!h. [∂∫(E,v∂IE)!=÷[(745)式](931) 中 のTは. 一 定 で、そ の温 度Tが 熱 浴. と の接 触 を通 して決 定 され る様 な系 に対 して適 切 な式. 片d3Ngd3Npに. 故 に 、(930)式. 熱 浴 と して振 る舞 っ て い る。. 体積Vは. 見 出 され る確 率[又 は、温 度Tの 熱 浴 に接 した系 の状 十. =. 凡 ト ￠. ∂ @ 囑 暢 ∂. ー∂. 幻. あ る と言 う情報 以 外 は忘れ. て 良 い か らであ る。 よ り大 きな部 分 系Bは 小 さな 部分 系Aに 対 しては 温 度Tの. E。=H。(9。,P。)<<E(926). =s、(E一. 、結局、. HA(9A,PA). (921)式 と(924)式 を比 較 して 、 我 々 は 次 式 を得 る。. 様 なEオ,E.の. 度 関 数)は. 99. よ り 大 き な 部 分 系(熱. 浴)B. の 温度 で あ る。. ,"β(q,P)d3"qd3Np. 一 薩 論. … ・ 岬. 劉9劉ρ. (937). (930)式 よ り 、. 一 再. 1・9ρ。(9。,P。)=1・9ら(E-E。) 誰@)一. 一1演. 盈(932). た. 好. 溜)d'・qd・Np. (938). とな る。 故 に 、 ρ漁 。,,P。)=rB(E-E。). 1. -. 一鯉) ekTd3Nqd3Np. (939). N!乃w9。(v,T). 舘ド)]・ ・告(933). で あ る。 こ こで 、 で あ る 。 最 後 の 式 の 右 辺 第1因. 廻 子 のekは. し な い 。 こ う し て 、 小 さ な 部 分 系Aを る 限 り、 そ れ は 定 数(constant)で 魍 ek=constant(定 E濯=Hオ(qA,PA)で. 凡 に依 存. 卿)≡ 続. ・舞 ザ ρ. あ る。. は 規 格 化 定 数 で あ り、 分 配 関 数(partitionfunction) 又 は 、状 態 和(sumoverstates)と. 数)(934). あ る の で 、 温 度Tの. (940). 考 察 の対 象 とす. 節(§)16で 熱 浴 で あ る大 き. な部 分 系Bと 熱 平衡 に あ る と ころ の小 さ な部 分 系Aの. 説 明 した. 呼 ば れ る。 因 子N!は. 「正 し い ボ ル ツ マ ン 計 数 法 」. (correctBoltzmanncounting)の. 規 則 に従 っ て現 れ た. もの で あ る。. β(g,p)は 古 典 統 計力 学 の 正 準 分 布 を表 わす 位 相 分.
(4) 近 畿 大 学1二 学 部 研 究 報1量rNQ42. 100. 布 関数 で あ る。. 1〆 漁=4新(948). 齢. 0. (941). 燃(Lv ,T)湖. を使 う、(947)式[(945)式]は. 卿叫 富. 位 相 分 布 関数 β(q,p)の単位 は 無 次 元 で あ る。 険(q,P)】=撫 単位](942). 更 に 次 の 様 に 続 く。. 任 意 の或 る物 理 観 測 量0(q,p)の 平 均 値 〈0>は、. 〈 ・〉=詣 ∫ ・忽薦. 晒. =景 伽. 凸 (949)式. =. N1紘 ㈲ ∫ 嚇. 等. め(943). と(940)式. の. d3gd3p(=dUdydzdp.dp,dp,)に1粒. 体. 積. 素. 片. 子 を 見 出す確 率 は 、. 次 の 様 に な る。. 導 き 出 そ う。. 2. 1h3-2L 考 察 す る 系 は 、分 子 数 がNで Tの. 近. と を用 い て 、 理 想 気 体 分 子 の マ ク. ス ウ ェ ル の 速 度 分 布 則(Maxwelldistributionof velocities)を. へ 代 入 し ょ う。 位 相 空 間 中 の 点. (q,p)←(Pl,y,z,p.pノ,p,))付. で あ る。 これ を 位 相 平 均 と 言 う。 (939)式. を(944)式. 切1(949). 体 積 が μ で あ り 、温 度. 戸. (950). ●v(2m。kT);・e2「k「d"dydzdp.dp,dP,. 熱 浴 に 接 し て 熱 平 衡 状 態 に あ る も の と す る。 マ ク. ス ウ ェ ル の 速 度 分 布 則 は 温 度Tに. あ る 理 想 気 体 の1. 分 子 が 速 度 が くVx,vン,Vi)と(呂+dVx,vン+め. 体積 に つ い て積 分 を実行 す る と、 上式 は 3P2. ン,Vi+砲)の. 血. (951). ・,k). (952). (2m・kT)'t・ ・「彌 ゆ 幽. 間 にあ る確 率(割 り合 い)を 問 うて い る の で あ るか ら、. と な る。. 1分 子 系 で 議 論 すれ ば十 分 で あ る。 P=mv=礁i+v.j・. (939)式. よ. り 、 位. 相. 空. 間. 中 の. 点 で あ る の で 、(951)式[(950)式. (g,p)←(x,y,z,p.PPt,p、))付. 近. d3qd'p(=dUdydzdp.dp,dp,)に1粒. の. 体. 積. 素. 、(944)式]は. 、. 片. (953). 子 を見 出す確 率 は 、. (2藷. 〕塞・e'([5i・llF)("`'?""t)dv.(tvrdLv,. とな る。. 瀞. ρ 肋 =. 「1痴}画9♂. が訪. 蒲轍. で あ る 。2,(V,T)は(940)式. e,(v,T)・ ∫ か. ρ. で 与 え られ る。 (953)式 、 又 は(954)式. =景捗 励 0. こ こ で、 積 分 公 式. で 与 え られ る 速 度 分 布 が マ ク ス. ウ ェル の 速 度 分 布 則 で あ る 。. 卿. (945). 体 積 につ い て 積 分 を実 行 す る と、. =新 晦 卿. 間 に在 る分 子 の割 合]は 、. 4n〔 2農丁〕号・轟(954). よ り、. 勅. 速 さがvとv+dVの. 轍(944). 向9の. =∫が 曝. 速 さ がvと ソ+dVの 間 に1粒 子 を見 出す 確 率[又 は 、. §18正. 準集 団 の 熱 力 学. 我 々 は 前 節(§)で. (946). 正 準 集 団(canonicalensemble)を. 定 義 し 、 正 準 集 団 の 示 す 分 布 、 正 準 分 布(canonical distribution)の. 式(935)式[(936)式. 、(939)式. 〕を 導. 出 した。. (947). 正 準分 布 をす る統 計集 団、 即 ち 、正 準集 団 を成 す 様 な1個. の 巨 視 的 系 の 熱 力 学(熱. 力学 諸 量 、熱 力学 的 関. 数 共)は 、(940)式 の 分 配 関 数(partitionfunction)[状.
(5) 多 体 問 題 と グ リ ー ン関 数 と の 関 係 の 研 究. 一 グ リ ー ン関 数 と 多 体 問 題(7)一. 態 禾口(sumoverstates)]. く占 典 糸充計 力 学 のII{準 集 団 〉. 101. u≡ 〈H(q,P)〉. e・(V・T)・ 簾. 洲. 赫[(94・)式]. H(e.P). 一 "!紘. 仰)fH(q・P>・'一"-d3"gd3Np. (954)'. と結 び 付 い た、 次 の 式 か ら総 て 得 られ る 、 と 主 張 す る. [(943)式 参 照](963) と 、統 計 力 学 的 エ ン トロ ピー 、即 ち(961)式. 事 が 出来 る。. こ ろの 、. .ε(ω (955>. 9.(v,T)≡ek「. ∫・一 偽. 又は、 F(V,T)≡-k7'logρ. 〃(レ 「,T)(956). で あ る 。 こ こ で 、F(V,T)は. 一一 『一姻 繋 仰)}. (965). あ る。 即 ち 、(955)式. 、又 は(956)式. に 関係 付 け られ てい な けれ ば な らな い。. は統 計力. 学 で のヘ ル ム ホ ル ツの 自 由エ ネ ル ギ ー の 定義 式 で あ る。 こ の 同 定[(955)式. (964). 統 計 力 学 の 方 で 定 義 され る. ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー(Helmholtz'sfree energy)で. を用 い た と. 、(956)式]が. 正 し い 為 に は 、即 ち 、. 最 初 に(a)を. 証 明 しょ う。. 考 察 下 の 系 が 、互 い の 相互 作 用 が無 視 され る事 が出 来 る と こ ろ の2個. の 部 分 系 、 そ の ハ ミル トニ ア ン が. 統 計 力学 の方 で定 義 す るヘ ル ム ホ ル ツ の 自由エ ネ ル ギ. H,(q,,p1)とH2(12,p2)か. ー が 、熱 力学 で定 義 され るヘ ル ム ホ ル ツ の 自由エ ネ ル. の と き 、(939>式. ギ ー に等 しい為 には 、 統 計 力 学 のヘ ル ム ホ ル ツの 自由. 分 系1の. ら成 っ て い る もの とす る。 こ. に 従 っ て 、 温 度Tの. 状 態 が 、 部 分 系1の. 熱 浴 に接 した部. 位 相 空 間ri中 の 点(9量,Pi). エ ネ ル ギー が 、熱 力 学 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自由エ ネ ル ギ ー の持 つ性 質 を総 て持 って い な けれ ば な らな い。 そ し. 付 近 の 体 積 素 片d3N,gld3N・Plに 見 出 され る確 率 は 、. て 、 そ の た め に は、 我 々は 次 の 事 を 示す 必 要 が あ る。. 〃1(et,P,). 蔓. (a)統. 計 力 学 のF(V,T)が. 示 量 変 数 で あ る。 N,1h'"・2.. (b)熱. ,(Y,,T). 力 学 で 定義 され るヘ ル ム ホル ツ の 自由エ ネ ル. ギ ーF(V,T)は. 、熱 力 学 で 言 う と こ ろ の 、系 の 内 部 エ ネ. ル ギ ーU(V,T)と. 温 度Tと. エ ン トロ ピ ーS(V,T)と. (966). ek「d3N・qid3N・Pi. よ り、. で あ る 。 そ し て 、 そ の 部 分 系1のF,位 数(状. 態 和)は. 相 空 間 の分 配 関. 、. (957). F(μ,T)={ノ(V,T)-7S(V,T). 卿. に よ っ て 定 義 され て い る 。 こ の と き 、. り論. 鯉. 岬. ハ(967). dU=-pdU+d9. (958). =-pdV+TdS. で あ る 。 同 様 に 、 温 度Tの 態 が 、 部 分 系2の. 故 に 、. 熱 浴 に 接 した 部 分 系2の. 位 相 空 間r,中. の 点(g2,p2)付. 状. 近 の体. dF=dU-7'dS-SdT 積 素 片`i3N292d3N2p2に. =-pdV+TdS-TdS-SdT ニ ーpdV-SdT. (959). 凡!紘 研. で あ るの で 、 熱 力学 の式. s=一〔劉. 見 出 され る 確 率 は 、. ・P・. 傷!. (960). が 成 立 して い る 。. で あ る 。 そ して 、そ の 部 分 系2のr2位 数(状. 態 和)は. 相 空 間 の分 配 関. 、. 故 に 、 統 計 力 学 に 於 い て も、 統 計 力 学 の 方 で 定義 さ れ る ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ーF(V,T)は. (968). 禦 謹幽. e・・(v2・T)=紅!演. ・. 〃2(9z.ρ ユ) 鳶 「d3N2q・ 2d3N㍉. ρ2(969). F(V,T)=-kTlog9"(V,T)[(956)式](961) に よ っ て 定 義 さ れ た の で あ る が 、 こ のF(μ,T)に. 熱力. 学の式と同じ関係式 F(V,T)=U(V,T)-7S(V,T)(962) を 仮 定 した と き 、(962)式 は 統 計 力 学 で の 系 の 内 部 エ ネ. であ る。 2個 の 部分 系は 相 互作 用 は 無 く、互 い に独 立 で あ る の で 、両 部 分 系 が共 に 温度Tの 系1の. 熱浴 に接 して い る と き、. 状 態 が 「、位 相 空 間 中の 点(gpA)付. 近 の体積素. ル ギー 片4w'q}d3N'Piに. 見 出 さ れ 、 且 つ 、 系2の. 状 態 がr,位.
(6) 102. }互謝隆 ノく∼ デ:llノ}二:音13{1ナfラ 毫き 艮{号NQ42. 相 空 間 中 の 点(il ,2,p2)付 近 の 体 積 素 片d3N・q2d31V・p、に 見. び禦 ・1 ",渉 渕. (985). 凸 め. 1. 出 され る 確 率 は 、 両 式 の 積. で あ る。 こ こで 、 1. 瓦1紘(耐. 雫)d・N,91d・N・Pl. と置 けば 、(985)式 は 次 の様 に も書 け る。. H2(93・a) 1. ●. (986). β ≡万. ek「d3Niq2d3Nip2 N、1h3N・. e"f'F(;'・ 「)・ 訪"∫. ρ 。、(v2,T). 〆. (987). ㎞)認9ゴwρ. 『. 1 Nlw、!が(N・"V・>eN. 両 辺 を β で微 分 しょ う。 次式 を得 る。. i(v,,T)(?N、(切. 〆仰)「 卿)一〔 響)珂. 〃1(el,PI>←Ht(92,ρ1) ●e鳶. 『4w・91d31》ig2d3tV・Pld3N292(980). で あ る 。gル 1とgκ 、は そ れ ぞ れ の 位 相 空 間r,とr,に. け る 規 格 化 定 数 で あ る 。 故 に 、eN,9N、 r,⑭r,で. は位 相 空間. の 規格 化 定 数 とな って い る。 こ う して 、これ. よ り 、 考 察 し て い る 系 の 分 配 関 数(状 の 分 配 関 数(状. 態 和)の. 態 和)は. ・嗣. 於. 、2個. 積. ゼ"㎞){-H(e・. 故に、. F(v・T)+〔∂F券 丁)) .p. ・誘. 飾. ∫H匂・ 塵 〃脳. を 得 る。(984)式. と な る 。(956)式. 認 ρ(989). r. ρ.(v,T)≡9,s.N2(v,+v,,T). =9,. ρ)U3Nqd'Np(988). (981). 、(v,,T)9。 、(v,,T). 酬. を使 えば 、. と(986)式 を 考 慮 す る と 、(989)式 の 右. 辺 は 、. ナ鯛. ∫ 晦 ρ ン伽 ・ 認め r. F(v,T)=-kTl・99。(v,T). ・ 酬 玄仰)!晦 パ 捧 め. =一 〃1・9ρ 。 、(Ui,T)e.、(v3,7'). =-kT1・9ρ 漁 =F. の. 一k7'1・ge. ,.、(V,,7¶). =〈H(9 ,P)〉. (990). [(943)式 参 照 】. ・ひ仰). ,(レ{,T)+F,(V,,T)(982). (991). と な り、 統 計 力 学 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー. と な り 、 これ は 統 計 力 学 の 巨 視 的 系 の 内 部 エ ネ ル ギ ー. F(V,T)が. で あ る。 故 に 、 統 計 力 学 の 式 の(989)式. 示 量 変数 であ る事 が 示 され た。. 次 に 、(b)を. U(V,T)が. 証 明 し ょ う。. (940)式1(954)'式. は 、F(J/,T),. 統 訓'力学 の 表 示 で 、. 】 は 正 準 分 布 の 分 配 関 数(状 態 和). F(v・T)+〔嘱7)). で あ る。. (992) ,,β・θ仰). α仰)・∫ 詣 〆粋 「. 卿. 【(940)式、(954)'式1(983) (955)式. 【(956)式】は 統 計 力 学 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 工. ネ ル ギ ーF(U,T)の. 定 義 式 で あ る。. と な る 。(986)式. よ り、. 14β =-d7' kT2 で あ る か ら 、(992)式. (993) は 、. F(V,T)-kT2(∂F撃)工. 十. 礁r). (994). F(r∫}. 2。(v,T)=e一. 故に、. π「. 1(955)式 】(984). で あ る。 故 に 、統 計力 学 の 式の 1・(V,T)・u(v・T)・T〔 ∂F蕩1τ)! を 得 る 。 熱 力 学 の 式 と 同 じ形 の 式 、. (995).
(7) 多 体 問 題 とグ リー ン関 数 との 関 係 の研 究. 3≡ 聾. 一 グ リー ン関 数 と多体 問 題(7)一. く古 典 統計 力 学 のil三 準 集団 〉. 103. 的 状 態 も 、 エ ネ ル ギ ー の 低 い 微 視 的 状 態 も共 に ふ く ま. 『)!(996). れ てお り、 正準集 団 は総 て の エネ ル ギー の微 視 的 系 を で 巨 視 的 系 の 統 計 力 学 的 エ ン トロ ピ ー を 定 義 す れ ば 、 F(V,T)=U(V,T)-78(7,T)(997). こ こ で は 初 め に 、1個. と な り 、 熱 力 学 の 式 と 同 じ形 の 関 係 式(962)式 こ う し て 、(b)は. を得 る。. 証 明 され た 。. 9κ(V,T)か. ,T)が. 的 状 態(1個. の 巨 視的 系 中の これ 等 の 微視. の 巨 視 的 系 を構 成 す る 微 視 的 系)の. 内の. 圧 倒 的 多 数 が 同 一 の エ ネ ル ギ ー を 持 っ て い る と 言 う意. 我 々 は 、今 や 、正 準 集 団 の 系 のヘ ル ム ホル ツ の 自由 エ ネ ル ギ ーF(7. 含 ん で い る事 とな る。. そ の 系 の 分 配 関 数(状. 態 和). ら 、式. 味 で 、 正 準 集 団(canonicalensemble)は. 数 学 的 に小 正. 準 集 団(microcanonicalensemble)に. 等 価 で あ る事 を. 示 す。. F(V,T)=-kTloge"(V,T)1(956)式. 】(998). に よ っ て 計 算 出 来 る 事 が 分 か っ た 。(998)式 は 正 準 分 布. 考 え て い る巨 視 的 系 の 平 均 エ ネ ル ギ ー は 系 の 内 部 エ ネ ル ギ ーU(V,T)で. のヘ ル ム ホル ツの 自由 エネ ル ギー の定 義 式 で も あ った 。. も あ る 。(943)式. よ り、 そ れ は. u(v,T)=〈H(q,P)〉 又 、 正 準 分 布 の 統 計 力 学 で 定 義 され る 内 部 エ ネ ル ギ ー U(V,T)と. エ ン トロ ピ ーS(V,T)と. ヘル ムホルツの 自由. ・ 丼1舷仰)即. エ ネ ル ギー 一'F(V ,T)の 問 に 、熱 力 学 の 場 合 と 同 じ 関 係 式 F(V,T)=U(V,T)-7∫(V,T)【(957)式. 、(962)式 】. (999) が 成 り立 って い る事 も分 か った 。 故 に 、 総 て の そ の他. 調. 凝. ρ (1005). 1(943)式 参 照 】 で あ る 。12〃(V,T)は 分 配 関 数(状. 態 和). の 熱 力 学 的 関 数 共 も、熱 力 学 に於 け る関 係 式 を用 い て F(μ,T)か ら計 算 す る事 が 出来 る事 は 明 らか で あ る。こ. e・(v・1')=病1渉・矯. 脳. う して 、. ρ=僻. 圧力. り!. 【(940)式 、(954)'式1(1006). (1000) で あ る 。 故 に 、(1005)式. s・ 一(∂Ei(1;.z'T))エ ン u (}=F(v,T)+Pμ. よ り、. ト ロ ピ ー(1001). 刑渉∫ ゆ 声)鞠 め 「. ギブ ス の 自由エ ネ ル ギー (1002). ・ 丼!渉 ∫ 嚇 r. u=〈H(q,P)〉=F(v,T)+TS(μ,T) 内 部 エ ネ ル ギ ー(1003). 故 に 、 我 々 は 、 正 準 集 団(callollicalensemble)に. め(1・. ・7). 並 ヱ」) を 得 る。 両 辺に 定数 θ 鳶 「 を掛 け算 して、 右 辺 を左 辺. 等 で あ る。. け る 総 て の 計 算 は 、分 配 関 数(956)式. 郷. 於. 1. へ 移 項 し、 更 に 、. の計 算 か ら始 ま る. を 消 去 す れ ば 、 最 後 に 、N!乃w. と言 う事が 出来 る。 "U(U,T)-H(q,P))G[F(V・rF"(e・P)】d3Ngd3」vp。. §19正. 準 集 団 に於 け るエ ネ ル ギー の 揺 ら ぎ. 温 度Tの. 熱 浴 に接 して熱 平衡 状 態 に あ る1個 の 巨視. 的 系 の示 す 内 部 状 態 、 即 ち 、無 限 個 数 あ る微 視 的状 態 の集 合 は 正 準集 団(canonicalensemble)と. ・. 「. (1008) を 得 る。(986)式. と(993)式 の 様 に 、. 呼 ばれ る。 β 訪[(986)式1・. 正準 集 団 中の 個 々 の微 視 的 状 態 の 持 つ エ ネ ル ギ ー は 、. ψ=遠47【(993)式1. 対 応 す る 微 視 的 状 態 を 表 わ して い るハ ミル トニ ア ン H(q,p)で あ る。正 準 集 団 の位 相 空 間r中 の エ ネ ル ギー. (1009) で 表 現 す る と、(1008)式. は、. 〃(9,P). 分 布 関 数 ρ(g,p)は. θ讐 一死 ア ー. ∫[u(v,T)-H(q,ル. に 比 例 して 、. H(9,P). ρ(q,p)oce一 丁. 卿. ∫ト"(…)ld3'Vqd3"P・o. r. (1010) 【(936)式 、(939)式. 】(1004). で あ る。 故 に 、 正 準集 団 中 には エ ネ ル ギー の 高 い微 視. と な る 。(1010)式. の 両 辺 を β に 関 して 微 分 し ょ う。.
(8) 104. 謎重畜 隆 ノく些≠1:学:吝1∼耐Fラヒ 軒乏1昏NQ42. 1[〔 ∂ 睾7)〕!炉 仰一 ・ 卿. 一{卿. ・ip仰ト臨 ρ)}. ト嚇. β〔 響)川. 〔∂u(v,Tψ))u・ 丼!紘 仰)F矧. ・ 丼!紘 仰)μ7)一 嗣. d3"qd3Np=0(1011) こ こ で 、 θ碗. 協. 匹禦 (1017). d3Nqd3Np=O. ・ 「)は定 数 で あ る の で 、 積 分 記 号 の 外 へ 出. す 事 が 出 来 て 、結 局 、そ れ を 式 か ら 落 と す 事 が 出 来 る 。. (943)式 に よれ ば 、上式 は物 理 量 の 平均 を取 っ て い る事 で あ る。 故 に、最 後 に、 次 式 を得 る。. 故 に 、 次の 様 に な る。. (1018) 〔∂び(v,T∂ β))v・. 〔∂警)レ. 叩. ・{卿 臨. め. ・!{u(v・7')-H(q・P)}. ρ)・ β〔響)球. 朔㎞》. 〈(u(v・T)-H(q・P)}2)・ ・. こ れ よ り、 系 の エ ネ ル ギ ー の 二 乗 平 均 の 揺 ら ぎ くH2)一 〈H>2・ 〈H2)一 び ・ 又1ま 、 系 の エ ネ ル ギ ー の 揺 ら ぎ の 二 乗 の 平 均 〈(u-H)2>は. ・ 次 の 様 に な る・. d3"q`i3Np=O(1012) 左 辺 の 第2の. 積 分 式 中 の β に 関 して 、(1009)式. を利 用. 〈H2>一 〈H>2=〈H2>一. す る と、. び. 一〈(u-Hア. β〔∂F(v,Tψ)) u一か ←破. 響))v. 〉. ・一(∂ び券7)) ,i. =一聾7)工(1・13) で あ る か ら 、(1012)式. ・kT2〔∂u(v,T ∂T))v(1・19). は 次 の 様 に な る。. とこ ろ 《. 〔∂暢7)IF禦. 凝. ρ・!.(u(v・T)-H(q・P)}. ・{17(V,T)-H(9・P)-T〔 響)ル. 禦!は. 系の 定 積 耀. 。 で あ るの. で、 上 式 は 次の 様 で もあ る。. 禦. 〈H2>一. 〈H>2=〈H2>一. び. (1020). ・kT2cr. 巨視 的 系 では系 の 内部 エ ネ ル ギー 一 一U=〈H>は. (1014). d3Ngd3Np=O. (995)式. 子 数1>に. 比 例 す る 。 又 、 系 の 熱 容 量C,,も 粒 子 数Nに. よ り、 比 例 す る 。 故 に 、 〈H>2。c1>2とCp・. v で あ る の で 、(1014)式. 数 は 圧 倒 的 に 大 き く 、1>矧023程(実. は 次 の 様 に な る。. る 。 故 に 、N2>>Nで (1020)式. 鳶 ・d'"qd3Np・. 〔 ∂ ひψ 伽)レ. 鯉,. 一〃(e・P} ・ek「d3"gd3Np=O. に. l 、 定 数N!h3N9. 。cNで. あ る。 粒 子. (1015). u(v・T)・F(v・T)-T〔 響)). 両 辺. 系 の粒. ∫脚. ■ ,T)-H(・1,P)}2. を 掛 け算 す る。 次 の 様 に. あ り、 揺 ら ぎ は 非 常 に 小 さ く 、. は 、相 転 移 の 直 前 の様 な特 異 な 状 態 で は無 く. て 、 標 準 的 な 揺 ら ぎ を 示 し て い る。 こ の と き 、. 厨. (1016). 質 ノ 〉→ 。 。)で あ. ・〈H>・び(1021). で あ るの で 、巨 視 的 系 中の 微 視 的状 態(正 準集 団)の ほ とん ど総 ての 状 態(系)が. エネ ル ギー 〈H>=Uを. 持. "(v,T). な る。. つ 。 勿 論 これ は 内 部 エ ネ ル ギ ー で あ る 。 故 に 、 正 準 集.
(9) 多 体問 題 と グ リー ン関 数 との 関 係の 研 究. 一 グ リ ー ン 関 数 と 多 体 問 題(7)一. 団 は小 正 準集 団 に等 価 で あ る と言 え る。. 1. 一鵬. 次 に 、同 じ正 準集 団 の エ ネル ギー の揺 らぎ の 問題 を 、. 105. く占 典 統,,1'力学 のIE準 集 団 〉. w耀 !、. ρ避. も う1っ 別 の仕 方 で計 算 してみ よ う、 そ して 、そ れ は 大 変 教 訓 的 で あ る。 正 準 集 団 の 分 配 関 数eκ(V,T)の. か. [(954)'式. 定 義 式 は 、(940)式. 上式中の積騨. 論. 劉め. ・ω關. まエネ. ε. 】 で あ った。. 式 ① 9 4 K. ρ W 冴 9 W. 4. 司 色 炸 〃. ∼ r レ !. @. ル ギ ーE∼E+dEの. 小正準集 団の場 合の位相 空間中. の 「 正 しい ボ ル ツ マ ン 計 数 法 」の 規 則(N!で. 割 り算 し. た 。)に 従 っ た 微 視 的 状 態 の 数 で あ る 。 ω￠)は 単 位 エ (1022) 系 の 粒 子 数 はNで. あ る 。1V1で. 割 っているのは、既に. 記 述 して い る様 に 、 「正 しい ボ ル ツ マ ン 計 数 法 の 規 則 」 に 従 っ て い る か ら で あ る 。[(940)式. の 直 ぐ下 を 参 照 せ. よ。]. ネ ル ギv-・ ・ 一 一 当 た り の 微 視 的 状 態 の 数 で あ る 。N!で の 割 り 算 は 織 り込 み 済 み で あ る 。 正 準 集 団 で は エ ネ ル ギ ー κ. 」乙 の 状 態 の 出 現確 率 ヂ 「を 掛 け 算 しな けれ ば な らな い。 故 に 、式 は 次 の様 に続 く。. 状 態 密 度tU(E)は. 小 正 準 集 団 の(698)式. 乃 至(693)式. の. ヨ. ・∫ω(E)e一吻. で 定 義 され る量 で あ る。. 0. r佃)・ Σ(E・ △)一Σ(E)=∂ 霧)△. ・ ・D(E")△ 06. 姻 "ア. 確. 沸. o 。冷1■﹂ 0 =. [(689)式 乃 至(692)式](1023) (・(E)=響1(693)式1(1・24). ゆ. ω(E)は 小 正 準 集 団 で エ ネ ル ギ ーEの 数Nを. ヨ. =∫ ・暫 ガ1㎎ 砲 盆. 位 置 で の 、粒 子. 持 つ そ の 系 の 、単 位 エ ネ ル ギ ー 当 た りの 量 子 論. 的 微 小 体 積 が"の 数 、 即 ち 、 識 別 出 来 る 微 視 的 状 態 の. 系 の エ ネ ル ギ ー が 一 定 値E(正. 数 を 表 わ して い る。 しか し 、 節(§)16の. ル ギ ー がE∼E+dE'の. ギブ ス の パ ラ. ドック スの 節 で述 べ た様 に 、 正 しい微 視 的 状 態 の 数 を 得 る に は 、「正 し い ボ ル ツ マ ン係 数 法 」の 規 則 に 従 っ て 、 我 々 は 、 本 来 、(1023)式. と(1024)式1(698)式. 乃 至(693). 式 】 の 各 量 を1v!で 、 割 り算 しな け れ ば な ら な い 。. 素 ω(麟(1・25). ギ ・-Eの. で あ る。. ヨ. 関 数 で あ る の で 、S(E)で. で 定 義 さ れ た 。 故 に 、(1027)式. は 次 の様 にな る。. (1028)'. 了・葺 レ剛dE. 正準 集 団 の 元 とな って い る一 個 の 巨視 的 系 の 状態 量. 値 は 、共 に 、示 量 変 数 で あ り、系 の 粒 子 数N. に 比 例 す る 。 系 の 粒 子 数NはNNIO23程(実 相 空 間 中の エ ネ. 間 に あ る 部 分 中 の 正 しい 微 視. 的 状 態 の 数 で あ る 。N!で 割 り算 す る 作 業 は 既 に 織 り込 み 済 み で あ る 。 そ し て 、 そ の 事 は 次 の(1027)式. の計算. 2>→ 。 。)で あ る 。 従 っ て 、(1028)'式. ⊥【 応(ε 圃 の 〆「. 質的 に 中 の被 積 分 関数. の値 は 巨 大 で あ る。 熱 平衡 状 態 で は 、一. 個 の 巨視 的 系 の 内部 状 態 で あ る微 視 的 状態 共[微 視 的 系 共、正 準集 団]は 総 ての エネ ル ギー を 取 る とは 錐 も、. か ら理 解 出 来 る 。. 正 準集 団 の 分 配 関 数(状 態 和)e"(V,T)は. 、以下の様. に も計 算 す る 事 が 出 来 る。. e,・(V・T)・ 肪. あ る 。]は 、. O. ギ ー-Uの. 正 準 集 団 の 内 のr位. ル ギ ー一 一 ・ がE∼E+dEの. は 小 正 準集 団 の エネ ル. で あ る と こ ろ の 系 の エ ン ト ロ ピー ∫ と 系 の 内 部 エ ネ ル. ω(E〕le一 耳 テ4E(1026) は 、粒 子 数 がNの. 間 に あ る。)を 持 つ 小 正 準 集 団. S(E)=々logω(E)【(753)式1(1028). e.仰)・. 間 に あ る正 しい 微 視 的 状 態 の 数. し くは 、 そ の 系 の エ ネ. で は 、 系 の エ ン トロ ピ ー ∫[∫. は 、粒 子 数 が ノvの小 正 準 集 団 の位 相 空 間r中 の エ ネ ル ギ ー がE∼E+dEの. (1027). 0. 誹. め1(1・22)式1. そ の ほ とん ど総 ての 微視 的系 が 、 そ の 巨視 的 系 の 内部 エ ネ ル ギ ー で あ る と こ ろ の エ ネ ル ギ ー 〈H(q,P)〉 ニひ ミ万 を 持 ち 、 エ ネ ル ギ ー の 揺 ら ぎ は 小 さ い と思 わ れ る 。 故 に 、 正 準 集 団 の 分 配 関 数(状 (1028)'式. の 値 は 、E=Eか. 態 和). らの 寄 与 が大 部 分 で あ る.
(10) 106. 1丘謂隆 人こノ 津11・:)':剖S{iJf究幸 侵1㍗NQ42. と考 え られ る。 故 に、 こ こで 、 我 々 は 、 小 正 準集 団 の. …封 糺. 統 計力 学 の 関係 式. [as(E,v∂E)]f;'[(745)式](1・29). 夷〔 鋤. を使 う事 が 出 来 る。 分 関 数etlrs(・ 〉・】の 鰍. で現 れ る。 故 に 、仮 に変 数Eの. はE=万. 関 数 と して 、. 真 実 で あ る の で 、(1036)式. の 不等 式 は物 理 学. か ら の 要 請 で あ る 。 そ し て 、 こ の 結 果 は(1034)式 学 的 要 請[関. 数y(E,V)が. 上 に 凸]と. 最 初 に 、 関 数 ∫(κ)のκ=牙. [響)]。. (1036). 体 系 の 熱 容 量 で あ る。一一 般 に 、物 理 系 に 対 して は 、. q.>0は. と 置 け ば 、 関 数 ,」"(E,V)の 極 大 点 で は 、. ・eGllS(E'Y>dEl・ 甜. の数. も矛 盾 し な い 。. を 中 心 とす る 、テ イ ラ ー. 展 開 の 式 を書 く。 響)],,-1}. =0(1031). ∫(・)=∫ ㈲ ・譲. が満 た され 、関 数 ン(E,V)が 変 数Eに. 】. T2c,.. q.は. .y(E,U),,,,t,Tlrs(EVE](1・3・). 1(1035)式. 1 一一 一 一 一一一 一一 くO. =一. (1。28)・ 式 の 繍. 、. 許一 暢 糾 曾. 対 して 上 に 凸 で極. 大 を持 っ た め に は 、. ・ … (1037). 次 に 、 こ の 式 を 参 考 に し て 、(1028)'式. [∂2ン(E,v∂E2)ド 欄 ・ 〔 誹. 階)!-,]2. 中の被 積 分 関. 数,古173(F・・")-El￠>ge(べ き)7S(E,V)髄. 面. の 周 り. で テ イ ラ ー 展 開 す る。 次 の 様 に な る 。 ・ei¥1'S(E'")"E1・ 古 ・イ 禦)] 、.・・. Is(朗. 一E・ セε(瓦の 一亙}. (1032). ・去{∂∫(E,vア[ ∂E)レ}圃. で な けれ ば な らな い。故 に 、 亙 は 次の 条 件 を満 た して い な けれ ば な らな い。 (1031)式. よ り、. ・圭τ[聖)L T[響)L (1032)式 は0と. (1033). だ・1. と 、(1033)式. 右 辺 の 第2番. の 関 係[(1032)式. の 右 辺 第1項. な る 。]よ り、. 階)L百 (1033)式. ・・(1・34). セ8伽)一. (1038). よ り、 0と な る。 故. 万}. ・圭7[響 りL か ら得 られ た. もの で あ るか ら、. 互 圃. ・…. ・{rs(U)-U}27≒. 部 エ ネ ル ギ ー)(1035). を 暗 に 含 ん で い る 。 又 、(1033)式 力 学 の 関 係 式(1029)式. は 小iE準 集 団 の 統 計. と も 両 立 して い る。. 卿. と(1036)式. 【(1027)式. ア ・…(1・39) を 使 っ た 。 故 に 、. 】は 、 次 の 様 に な る 。 ρ W 4 9 W 4. 1κ(9・pl. 艀. 献. =. ) ノ. fIl♂﹁. を 考 察 し ょ う。. こ こ で は 、(1035)式 (1028)'式. 伊. 次 に 、(1034)式. 目の 項 は 、(1033)式. ・…. に 、 次 式 を 得 る。 7s(E,V)-E・. の 条 件 は 、 極 値 条 件(1031)式. E=U(内. 、 回. [響)L、 一[議 際)}L ・隣)L. 。レ赤[卿叫 意 剛 漏. 、. 【(1029),父 」. 0.
(11) 多体 問 題 と グ リー ン関 数 との 関係 の 研 究. ♂. 喋. 一 グ リー ン関 数 と多 体 問 題(7>一. 〈占典 統 計 力学 の1E準 集 団 〉. δ 幅)・ 厩ぼ. 鴇E(1。4。). ギ. 107. (1048). 0. (1040)式 よ り、 正 準 集 団 の 微 視 的 系 共 の 持 つ エ ネ ル ギ ー 分布 は 、 エ ネ ル ギ ー値E=Uを 中心 と して 、 よ り高. . (1049). ∫δ(x-x。)dU・1. い エ ネ ル ギ ー を持 つ 系 とよ り低 い エ ネ ル ギ ー を 持 っ 系 の 分布 を持 つ ガ ウス分 布. の 様 に 記 述 して あ る 。 」皿. ei・{rs(・〉・,}.課(1。41). (1040)式. の 積 分 中 の 被 積 分 関 数e2k「'Cvを. う。系 の 内 部 エ ネ ル ギ ーUも で あ る 事 が 分 か る 。IE-ul=2k2(ル. の値の とき、. 考 察 しょ. 、系 の 定 積 熱 容 量C,も. 、. 共 に 示 量 変 数 で あ っ て 、系 の 粒 子 数 κ に 比 例 す る量 で あ る。 (1。41)式. の. 値. は. L⊥=0.368に. ピ_ク. 値. 。許(u>・}の. U(tIV,Croc1》(1050) 故 に、. 落 ち る.我 々 は. e2.718 超V2kT2Cu1 コ △E=2た. に . (1051). uu4万. (1042). 冒2Cレ. を このエ ネ ル ギー 分 布 の 幅(実 際 に は 、 ひ を 中 心 に左. で あ る。 粒 子 数Nは1>矧023程. 右 対 称 に 分 布 す る の で 、2△Eが 幅 で あ る。)と 言 う事. 泥 → 。 ○で あ る 。 故 に 、. で あ るの で 、実質 的 に. にす る。. 厩糎. 次 の積 分 公 式 を考 察 す る。. 》2讐 娠. =. - [σ. 砒. 〃. . θ 。。f IJ 。 ・. (1042)'. M=2kT2(]i,はN→. (M→0)、. 。,∠. 。。 の と き 、 極 め て 小 さ く な り. 次 の 関 数 は δ 関数 に近 づ く。. liml耀. N→c。2mtT2C. 故に、. 。limli(繋 〃→・ ・厘. ソ. 万. → δ(E-U)【(1045)式. ㌔ ・1. で あ る 。p→0の. (1044). 詳. (1053)式. の 結 果 は 、N→. 参 照1(1053). 。 ◎の と きE=Uで. 、正 準 集 団. 中 の総 ての 系 共が 同 一 のエ ネ ル ギー を持 つ 、 即 ち、 そ. 極 限 の とき 、. δ ω・縮. 幅. (1043). ∫・ 〆砒 ・ρ万 ・曹co. 工歩. (1052). .(B-uア の 積 分 中 の 被 積 分 関 数e2k「2c`'の. と な り 、(1040)式. ρ=⊥ で 置 き 換 え る 。 次 の 様 に な る 。 ρ. →・. の 与 え られ た 温 度Tに. 於 け る1つ. の 巨視 的 系 の 内部. エ ネ ル ギ ー に 等 しい エ ネ ル ギ ー を 持 つ 事 を 示 し て い る。. (1045). (1040)式. の 積 分 を 実 行 し ょ う。 こ の と き 、. x=E-{ノ(1054) で 定 義 さ れ る と こ ろ の 関 数 δ(κ)は、. 確. と置 けば 、. forx=O. dx'=dE(1055). (1046) fOl'x≠0. . ∫δ傾. ・1. (1047). の 性 質 を持 つ 、 デ ィラ ック のデ ル タ関 数 で あ る。 多 く の 教 科 書 中 で は 、 同 じ事 で は あ るが 、 デ ィラ ックの デ ル タ関 数 を. で あ る 。 変 数Eの. 変 域0∼. ∞ は 、 変 数 κの 変域 で は. .鍵 n1∼ 。。と な る。e2k「2c`'は. δ 関数 に 比 例す るの で 、. (1040)式. の 積 分 は 次 の 様 に 実 行 され る 。. 鱗仰)知訪醐 声 ㌦ 0.
(12) 108. 近 畿 大 学rl1学 部 研 究 報 告NQ42. 9)ラ. ユ. =・毒{劇. ン ダ ウ ・リ フ シ ッ ツ 著 、 小 林 秋 男 、 小 川 岩 雄 、. 了陣7砒. 富 永 五 郎 、 浜 田 達 二 、 横 田 伊 佐 秋 訳:"統. 一ひ. 理 学 第3版. 上"(岩. 計物. 波 書 店). 2. 砒 弼 躍. θ oofI冒蟹. ひ レ ψ 侮. ⊥ 艀 θ. 10)U.Fano:ReviewsofModernPhysics74vol29Nol (1955) 11)小. 田 恒 孝 著:統. 計 力 学(裳. 華 房). ⊥{窩(ひ トσ} =ek「. ●27zkT2(r,.(1056). [積 分 公 式(1042)'式. こ の 論 文 は 拙 著 原 稿"多. を使 っ た。]. 関 係 の研 究. 高 等 量 子 力 学 入 門1",内. 正 準 分布 に 於 け る系 の統 計力 学 的 なヘ ル ムホ ル ツ の 自由 エ ネ ル ギ ・ 一・F(V,T)の 故 に 、(1056)式. 定 義 式 は 、(956)式 で あ っ た 。. を用いて、. -ip-rs(U)}一. 】. 一lkTl・9伽 町)(1・57). 目次. フ ェ ル ミオ ン 系 の 量 子 力 学. §1,1序. 言. *§1.2状. 態 関 数 の 数 表 示 表 現 と生 成 ・ 消 滅 演算 子 の 導 入,な. と な る 。 右 辺 最 後 の 式 で 、粒 子 数 が 丼 → 。 ・の と き 、第 一 項(。cN)に 較 べ て 第 二 項(oclogN)は 無視出来る 。故. *§L3ハ. に、N→. *§1.4ハ. 。。の極 限 に於 い て 、 我 々 は 、 正確 に 17(v,T)=σ. ら び に 生 成 ・消 滅 演 算 子 の 交 換 関 係. ミ ル トニ ア ン を 生 成 ・消 滅 演 算 子 を 用 い て 記 述す る事 ミル トニ ア ン の 運 動 量 表 示,フ ェ ル ミ真 空,. 一TS￠1)(1058). フ ェ ル ミ 自 由 電 子 ・正 孔 系 の 記 述. を持 っ 。. *§1.5場. エ ン ト ロ ピー に 就 い て は 、(1057)式. よ り、 正 準 集 団. の 演 算 子 の導 入 と交 換 関係. *§1.6ハ. ミル トニ ア ン を 場 の 演 算 子 を 用 い て 記 述. に於いて、 S(U)=1il2'L一. 容. は じめ に 第1章. F(V,T)=-kTlog2.(V,T)[(956)式. 体 問 題 と グ リー ン 関 数 との. す る事 去ki・9(2・rkT・C,・)(1・59). *§1.7運. 動 量 表 示 で の 場 の 演 算 子 と ハ ミル トニ ア ンの記 述. で あ る。 小 正 準集 団 に於 い ては(755)式 で あ る。 故 に 、. *§1.8シ. 正 準集 団 と小 正 準集 団 で定 義 され るエ ン トロ ピー の 差. *§1.9ハ. ュ レデ ィ ン ガ ー 表 示 の 量 子 力 学 イ ゼ ン ベ ル グ 表 示 の 量 子 力 学 とハ イ ゼ ン ベ ル グの運 動 方 程 式. 異 は 一去ki・9(2・rkT2C・)・c1・g耀 度 で あ る 事 が 分 か る ・ *§1.10ハ. イ ゼ ン ベ ル グ 表 示 で の 生 成 ・消 滅 演 算 子 と 場 の 演 算 子,そ. 参 考文 献 1)J.M.Ziman著:"ElementsofAdvancedQuantum. 野 文 彦 著:"新. 第2章. 物 理 学 シ リ ー ズ18多. 体 問 題". (培 風 館) 3)高. 橋 康 著:"新. 物 理 学 シ リ ー ズ16物. の た め の 場 の 量 子 論1,H"(培. 性 研 究者. 高 等 量子 力 学 にお け る摂 動理 論 イ ゼ ンベ ル グ表示. *§2.2相. 互 作用 表 示. *§2.3相. 互 作 用 表 示 で の 生 成 ・消 滅 演 算 子 と場 の 演 算子. *§2,4Brillouin-Wignerの *§2.5時. Wiley&Sons,Inc)firsteditionandsecond edition. 摂動理論. 間 発 展 演 算 子U(' ,tl)の 積 分 方 程 式 に よ る. 表 現 と、そ の 時 間積 分 展 開級 数. 5)A.M.Zagoskin著:"QuantumTheoryofMany-Body Systems',(Spriger) ッ フ 著 、 井 上 健 訳:"新. 版. 量 子 力 学 上 、 下". (吉 岡 書 店) 7)西. 子化. *§2.1ハ. 風 館). 4)K.Huang著:"StatisticalMechanics"(John. 6)シ. れ ら の 交 換 関 係,そ. 参 考文 献. Theory"(CambrigdeUniversityPress) 2)高. し て,そ. れ か ら 、 ハ ミル トニ ア ン の 表 現,第2量. 川 恭 治 、 森 弘 之 著:統. 計 物 理 学(朝. 倉 書 店). *§2.6時. 間 発 展 演 算 子U(t,t!)の 計 算. *§2.7時. 間 発 展 演 算 子U(',tl)の 幾 つ か の 性 質. *§2.8時. 間 発 展 演 算 子U(t ,tl)とそ の 遷 移 確 率 呪 →、. *§2.9散. 乱 理 論 とS行. 列. *§2.10時. 間 非 依 存 の 摂 動 理 論 とS行. 列. ェ ル ミ オ ン ・ボ ソ ン 相 互 作 用. *§2.12Sマ. ト リ ッ ク ス 展 開;S≡U(+co. 量 子 力 学1(改. *§2.13相. ) 8. *§2.11フ ラ ン ダ ウ ・リ フ シ ッ ツ 著 、佐 々 木 健 、好 村 滋 洋 訳: 訂 新 版)(東. 京 図 書). 似変換の公式. ,一 ・ 一 ・o).
(13) 多 体 問 題 と グ リ ー ン 関 数 との 関 係 の 研 究. *§2,14、. 一 グ リ ー ン関 数 と 多 体 問 題(7)一. ∫マ ト リ ッ ク ス 展 開 式 の 計 算 例S2. *§2.15生. 成 ・消 滅 演 算 子(正. 規 積(N積)へ. の. *§3.6古. 典 場 の理 論. *§3.7場. の 演 算 子 と 第2量. *§3.8ボ. 準 備) *§2.16『. フ ェ ル ミ真 空 』 又 は 『フ ェ ル ミ海 』 に 関. 子化. ー ス 統 計 に 従 う シ ュ レデ ィ ン ガ ー 波 動 場 の 量 子 化(第2量. 子 化)と. ボ ソン. して の 電 子 と 正 孔 の 新 し い 生 成 ・消 滅 の 場 の. *§3,9Klein-G・rd・nの. 演 算 子 を 使 っ て の ε マ トリ ッ ク ス 展 開 式 の 計. *§3.10場. の 源 と場 間 の相 互 作用. 算例. *§3,11簡. 単 な 例1、. フ ォ ノ ン の レー リー 散 乱. *§3.12簡. 単 な 例2、. 核 力 と湯川 の 中間 子理 論. *§3.13荷. 電 ボ ソ ン と荷電 中間 子. ∫2. *§2.17N積 *§2,18縮. 約 積(コ. *§2,19Wickの. ン トラ ク シ ョ ン). 定理. 109. 〈占 典 統 計 力 学 の1E準 集 団 〉. 方程式. 参考文献. *§2.201∫. マ ト リ ッ ク ス のT積. *§2.21縮. 約 積 が0と. 表示. 第4章. グ リー ン 関 数 と多 体 問 題. *§4.1古. な る場 合. 典 物 理 学 の グ リー ン 関 数 と そ の 簡 単 な 例. *§2,22Wickの. 定理 の ダ イ ヤ グ ラ ム表 示. *§4.21電. *§2.23Wickの. 定 理 の 計 算 例S2式. *§4.3密. 度 そr到 1」. *§4.4統. 計行 列. *§4,5量. 子力 学 との 関係. *§4.6古. 典 統 計 力 学 の リ ュ ウ ヴ ィ ル(Liouville)の. *§2,24正. 規 形(N積. 中 の1項. 形 式)とWickの. *§2,25Feynmandiagramを. 定 理 の 関係. 眺 め た とき 、 逆 に それ. を 式 に 書 け る事 *§2.26グ. リー ン 関 数 の 定 義. *§2.27伝. 播関数の定義. *§2.28実. 変 数 関 数 の 定積 分 の値 を複 素積 分 の 留 数. 定理 *§ ・1,7量. *§4.9量. *§2,30運. 動量表示. *§2,31ダ. イ ヤ グ ラム の 寄 与 の 計算. 度 演 算 子 の 運 動 方 程 式). 子 統 計 力 学 の 小 正 準 集 団(ミ ク ロカ ノ ニ カ ル. 式 を運 動 量 表 示 す る た. めの準備. 子 統 計 力 学 の リ ュ ウ ヴ ィ ル(Liouvnle)の. 定 理(密 *§4.8量. の 定 理 を 応 用 して 求 め る 事 *§2.29Feynmandiagramの. 子 グ リー ン 関 数(1). ア ン サ ン ブ ル) 子 統 計 力 学 の 正 準 集 団(カ ノ ニ カ ル. アン. サ ン ブ ル) *§4.10量. 子 統 計 力 学 の 大 正 準 集 団(グ ニ カル. ラ ン ドカ ノ. ア ン サ ン ブ ル). *§2.32ダ. イ ヤ グ ラム の 寄 与 の 計算 例. *§2,33電. 子 ・フ ォ ノ ン 相 互 作 用. *§4.ll古. 典 統 計 力 学 の基 本 原 理. *§2.34修. 正伝播関数の計算. *§4.12小. 正 準集 団. *§2,35フ. ェ ル ミオ ン の ダ イ ソ ン(Dys・n)の. 方程式. *§4.13古. 典 統 計 力 学 の 小 正 準 集 団 か らの 熱 力 学 の. 節 点). *§4,14エ. ネ ル ギー 等 分 配則. *§2.36ボ. ソ ン の ダ イ ソ ン(Dyson)の. *§2.37修. 正 され た バ ー テ ッ ク ス(vertex,結. *§2,38修. 正 され た 真 空 部 分. *§4.15古. 典理 想 気 体. 々 は 今 何 を し て 来 た の か を 振 り返 っ て み. *§4,16ギ. ブ ス のパ ラ ドック ス. *§4.17正. 準集 団. *§4。18正. 準集 団 の熱 力 学. *§4.19正. 準集 団 に於 け る エネ ル ギー の揺 らぎ. *§4.20大. 正 準集 団. *§4.21大. 正 準集 団 にお け る密 度 の 揺 らぎ. *§4.22化. 学 ポ テ ン シ ャル と化学 平 衡 準 集 団 と大正 準集 団 の等 価性. *§2.39我. 方程式. 導出. る。 *§2.40フ. ェ ル ミ オ ン の ダ イ ソ ン(Dyson>の. 方程式. の別の形 *§2.41ボ. ソ ンの ダ イ ソン の方 程 式 の別 の形. 参 考文 献. 第3章. ボ ソ ン系 の 量 子 力 学. *§3.1量. 子 力 学 的 単純 調 和 振 動 子. *§4,23正. *§3.2ブ. ラベ ク トル,ケ ッ トベ ク トル,生 成 ・消 滅. *§4,24rv(N)の. 振 る舞 い. *§4.25マ. ク ス ウェル 架 設 線 の 意 味. *§3.3量. 子 力 学 的 一 次 元原 子 鎖 連 成振 動 子. *§4.26演. 習 問題 の訳. *§3,4量. 子 力 学 的 三 次 元格 子 状 配 列 原 子 連 成 振 動. *§4.27量. 子 統 計 力学 の 以 前 の議 論 のお さ らい. *§4.28熱. 力 学 第3法. *§4.29小. 正 準 集 団 で 扱 か う理 想 気 体. *§4.30正. 準 集 団 で 扱 か う理 想 気 体. 演算子. 子 *§3.5連. 続 体 媒 質 へ の 議 論 の 移 行 と 、場 の演 算 子 ・(・>P(・). 則.
(14) 110. 近 畿 大学L学 部研 究 軒乏告No42. *§4.31大. 正 準 集 団 で 扱 か う理 想 気 体. §4.32理. 想 フ ェ ル ミ気 体 の 状 態 方 程 式. §4.33黒. 体 放 射(空. §4.34固. 体 中 の 音 子(フ. 洞 放 射) ォ ノ ン). 以 下 続 く。 参考文献 の 内 、 紙 面 の 都 合 に よ り 、 第4章 4.18,4.19を. 、 節(§. 記 述 し た も の で あ る 。*印. 既 に 掲 載 済 み の もの で あ る。. § §)4.17, の 節(§)は.
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