多体問題とグリーン関数との関係の研究

(1)

近畿大学工学部研究報告 No. 37， 2003年，pp. 197‑210 Research Reports of the School of Engineering，

Kinki University No. 37， 2003， pp. 197‑210

多体問題とグリーン関数との関係の研究

一高等量子力学における摂動理論

(12) ‑

橋爪邦夫*、林田秀人**

S t u d i e s o f r e l a t i o n s between many‑body problems and Green f u n c t i o n s

・

‑ ^P ê ^r ^t û ^r ^b â ^t ⁱ ô ⁿ ^t ^h ê ô ^r ^y ⁱ ⁿ advanced quantum mechanics (12)‑

Kunio HASHIZUME and Hi d e t o HAYASIDA

Synopsis

In this paper next subjects are discussed. _~31. Calculus of contributions of Feynman diagram.

~ 32. An example of calculation of contributions of Feynman diagram. _~33. Electron"phonon interaction.

~31 ダイヤグラムの寄与の計算

以前の節(~) 21のマトリックスのT積表示の中の (1111)式乃至(1114)式の所で、プエルミオン・ボソン相互作用の摂動ハミルトニアン密度の形式として、 4つの形式が考えられる事を述べた。そして幾らかの議論を経た後で、

最も合理的記述法であるとして、我々の論文では(1114)式の形式を採用する事を述べた。他方Zimannは彼の書物の中で(1111)式を採用している事も述べた。この節(~) 31 では、初めのしばらくはおmannの採用した形割1111)式

*近畿大学工学部建築学科

全世海上保安大学校

197

で話村去る。その目的は、 (1111)式のZimann形式では粒子 (フェルミオン又はボソン粒子)が時間軸を逆行する現象は正孔又は反粒子の時間軸上の!慣行を意味しているからである。ここでは初めにその事を取り扱うためにZimann 形式を取り挙げるのである。我々が採用した(1114)式の形式では粒子の時間軸上の逆行は物甜句に無意味であり、存在しない物理現象である。

ここで改めて以前の節(~) 27の伝播関数の定義の中の

Department of Architecture， Sch

， ∞

1 of Engineering Kinki University

Japan Coast Guard Academy

(2)

(1)伝播関数G

ル ' ‑ x )

の定義の所を読み返してみよう。

そこでは真の真空(barevacuum)またはフェルミ自由海 (free fermi sea)の非摂動ノ、ミルトニアン H。の基密状態

1<1>

0 }

[(1349)却を使って定義されたところの真の真空中の電子の1粒子グ、リーン関数G1(x;x') [(1351)式， (1352) 式、(1353)却を用いて、真の真空中又はフェルミ自由海中の自由電子の伝播関数(企ee‑elec凶 n propaga:伽)

G~(x' ‑x)を定義した。

もう一度それをここに書いておく。

G~(x' ‑x)三G1(x;x')

[(1355)式， (138砂地 (159ω

= ーや。 I r v ( x ルや)作。)

[(1351)式， (1384)吋(1591)

‑i

件。

IV'I

( x }

'1

/ * ( x ' )

<T

o )

伽 t>t' [(1352)式， (1385)刻 ( 1592)

+ i (

φ

。 I

V'ゆ

ν( オ

φ

。 ) あ

Ir t' > t [(1353)式， (1386)刻 ( 1593) ここで、縮約積(コントラクション又はベアリング)を計算するための容易な方法である

iーー「

4仇 )~(X2)=(φ

。 I r ^{ ^A ^l

(Xl)~

( X 2 湖

φ

。 )

[(1061)式， (1382)刻 ( 1594) を用いると、伝播関数

G J か ' ‑ x )

^{は次のようになる。}

「・ーーーー唱

G ; か ' ‑ x ) = ‑ i v I ( x ル吋/)

[(1387)式， (1470)埼 ( 1595) 右辺へ(1571)式を適用しよう。次のようになる。

ー叩帥-r')-i~トt')

G~(x' 十訪japL(山

哩

+ ∞ パ

^k

ペ心ト ‑ i

^t⁾

=

石 ;ypy

^e

ト:;t0 fur t>t'

卜=0 量)r t'>t

(15鉛‑1)

(1596・2)

(1597)

伝播関数 G~(x'- 卯時空点 x' で生成したフェルミオン粒子(真の電子)が伝播して、時空点

x

で消滅するまでの振る舞いを示す関数である。

(1595)式と(1597)式と比較すると、

応予(〆):;t0 ゐ'r t > t' (1598)

応予(ど)=0 伽 t'> t (15鈎) である。そして、もちろんこの場合、(1592)式は:;t0であるが、(1593)式は=0となる。(1599)式と(1593)式に就いては、粒子も何も無い真空状態

l

^<^T

o )

⁼

1 0 }

^{に最初に消滅の}

場の演算子〆

( x )

が作用するのであるから Oと成るのは当然である。

しかし、我々はここで、(1592)式[(1385)却と(1593)式的弱6)却をもう一度考察し直してみる。論文中の以前の節(~) 27の(1386)式の在る所の最後の方で説明したように、基献態1cI>

0 }

がフォノン真空で且つ固体中の電子が絶対O Kにあって、フェルミ球内に縮退した状態を表わしているとするならば、

φ ￨山ま

￨

同

φ

夙吋 o } ト = 1 仏

lk1人1 ρ，，

み

1

ん

lk

である。そして(路ω519.ω12)式誕[(臼ω31筋紛)王吋

q

の意味するところは、より早い時刻t'に位置r'で電子を1個生成し、伝播してより後の時刻Itに位置rでそれが消滅する事を表わしている。

ところで、相互作用表示でのフェルミオンの生成・消滅演算子は次のようであった。

〆刈内州州令恥，わ

1

制

) 弓 = キ z ^介 ^が ^戸 ^{ ^ト

^b^加

⁴

^r^ト^叫一与号

1

ー竹与 ) t

l.'

刈 t)=Z

戸九約3州 ( 1 側詳しくは記さないが、(1

ω0

式と(1602)式を(1592)式へ代入し、(16∞)式を考慮して計算を進めると次式を得る。

G可G~(x' “W(νjμ 川一寸x斗)= ^石 ^詰 j 討 ^訪抗 ^仇 Y 丸九 k b

^〉

f

^+叩曲 ^雌^伽^州^.^ベ⁽^ト^件^巾^t

^ふ ⁵

^令

^e

^ト^‑^イ^イ^t^'

+ ∞ メ

^h

ペ ^t ^l ⁺ ^{ ^k

^・

^r ^‑ ^f ^t ⁾

= 石 ; y h p p

^{ーニー} ⁽¹⁵⁹⁶^必

(3)

多体問題とグリーン関数との関係の研究ー高等量子力学における摂動理論 (12) ‑ 199

(1596‑1)式， (1596・2)式との違いは波数kに関する積分領 (1605) 域に違いがある事である。

次に(1593)式[(1386)吋を考察する。この式は、より早い時刻tに位置rで電子を1個消滅させ、次により後の時刻t'に位置r'で別の1個の電子を生成させる事を表わしている。

先走って述べるが、この場合の最終結果では収束因子である無限小因子の8の前の符号にマイナスが付く結果が得られるので、今は、次にこの場合を式で詳しく考察する。

(1593)式[(1386)却はt'> tに対するものである。ゆえに、

この場合の伝播関数 G~(x'

‑ x }

の計算を考察すると次のようになる。

G~(x'

‑ x } = + i (

φ

。 / V ' 吋

唱 +∞

~-{k・r'一子1+←引

= 訪 JAjaee

for t' > t (1606) 伝播関数 G~(x'

‑ x }

は時空点

x '

で生成した粒子が伝播して、時空点xで消滅するまでの振る舞いを表わす関数であった。ゆえに、(1605)式と(1606)式はより後の時刻t'で生成した粒子(真の電子)が時空間を伝播して、より早い時刻tで消滅するところの、粒子(真の電子)の時間軸上での逆行を表わしている事となる。しかし、この事を以前に述べたように国体のバンド構造モデ、ルに立って解釈すれば、これはより早い時刻tでの反粒子(正孔)の生成と、

その時空間中の伝播、そしてより後の時刻t'でのその反粒 [(1593)] (1603) 子(正孔)の消滅を表わしている事となる。

(1601)式と(1602)式を(1603)式へ代入すると次のようにな一般的に言って、粒子の時間軸の逆行は反粒子の時間軸

る。の順行を意味している。

G~(x' ^‑ ^x ^} ⁼ ⁺ ⁱ ⁽

^φo

⁽ ^I 芸品子炉

1

←ム)

・ ( 平戸

2"e¥

九 ) / c l > o }

= + i (

φ

o / L 訂正い

^h^r⁾^e^z⁽

^守

^t

^一千)仇

^￨^φ^o^}

= + i すよ

^e‑ⁱ^k^・(山)^e^t^与(山) 伽 t'> t k~V

[(160ω式の式形を考慮して計算を進めた。]

更に、次のように続く。

= + i ' ) ' . . ! . . e

^，^k^{・{トピ).土}?dE l

i t f (

^ト^/^，⁾

k~V 2m^・^J E‑

ι

^‑io

[(1459)式を利用した。]

ふ団地・(rイ}‑i互

e

^→^，⁾

~...!..

' ) '

^-r

_fdE~

2

7r V兵~_!

E‑ E . .

^‑i^δ

+∞

j k . r ' _十 ) γ ( k → ・ ⁾ ^t

= 訪 kpy ベ

^J

for t'>t 結局、次の結論に至った。

(1

ω

4)

。

tに対して、伝播関数

G ; _か ' ‑ x )

は次のようになる。

G~(x'

‑ x } = + i (

^φ

。 / V ' 吋

x '

粒子(電子)の生成

G ; _か ^， ‑ x )

あr

t ' > t

粒子(電子)の時間軸上の逆行

x

^{粒子(電子)の消滅}

r

図 1

図1と(Iω6)式[(1604)却とを比較しながら眺めてみよう。ブェルミオン線が時間軸を逆行し、反粒子または正孔粒子の!慣行が考えられるときには、(1606)式が示すように無限小因子8の前の符号が(1596)式とは違ってマイナスlこなる事が分かる。

次に後の考察の便利のために、(1606)式においてぶとx を入れ換えて書いた式も書いておこう。この場合、

t > t'に対して、伝播関数G~

か

^-x')^{は次のようになる。}

G~(xーが)=+i

件。/V'

^μ^(x

ル

^l(X'~^φ^。) ^伽 ^t^>^t^'

(1607)

(4)

唱 +∞

パ

^h^{・ト}

f ' L + { k ι f " )

= す f t j d E e e

for t > t' (1608) 次の真空分極の図(図2)を考察しよう。もちろん(1111) 式を採用したZimann形式で、書カれたファインマン図形である。

t

r

図2

これは不確定性原理によって、真空中においてさえも仮想的に粒子・反粒子対(電子・陽電子対)の生成(励起) とボソン(光子)の励起と、そしてそれ等の互いの消滅とが繰り返されている事を示した図である。

このダイヤグ、ラムは(1111)式のSマトリックス展開式の各次数項So' SI' S2'…の内の2次の項S2[(1123)埼へWickの定理(1135)式を適用して得られるN積項の和(2 次のダイヤグラム群、又は結節点(vertex)が2個のダイヤグラム群)の中の1つに現.:hるものである。そして、このダイヤグラムは(1596)式、(1608)式、(1411)式を用いて、

次の2重の4次元積分に対応している。

( ずまどか

⁴^x^d

^川か

^，

~x)Gtい附'-x)

(16ω) (1411)式の具体的な表現は(1588)式又は(1589)式にある。

次に、上述の(1111)式の形式(Zim出m形式)で書かれた真空分極のファインマン図形を、我々がこの論文で採用しているところの(1114)式の形式で描いてみよう。次のようになる(図3)。

t

4 q ' ' 2

︐ rx

︐ ︐

e

h o l e

dJ X i r

f

r

図3

このファインマンダ、イヤグ、ラムを節(~) 25に言己主した手順に従って式に書き下すと次のようである。

(

子 ⁾ ² ^j ^g ^z ^V ^有向

N

w ; ^: ^. ⁽ ^x

1

防(ゆ

^I

ーか

l

) o

¹⁺⁽

式の計算を進める。次のようになる。

= (

子 ⁾ ² ^t ^g ² ^炉

^4X

^ハ

「一一‑， iーー一寸

v f ( X E M F f b 2 ^以 ^・ ( x 1 ) i ; i か J o

¹

^‑ ⁽ ^x ^J ^p ^I ⁺ 仏)

= (

子 J ^~g2 ^H ^内

^d

( ‑ i 胤

⁽^xl‑x₂

X ‑ i 向。

⁽^x^)‑X2

) o

^1‑(X)

) o

¹⁺

仇)

[(1397)式と(1405)式を利用した。]

= ‑ ( 子 ⁾ ^j ^g ² ^ルい ²

旬

。

(x)-x

2 ^戸

^~O(Xl^-x

2

^)ø

^吋 ~l

^)ø吋~2)

五)r ら^>¹

，

⁽¹⁶¹¹⁾

但し、ここで、伝播関数々。

( x

₁‑x₂₎と句。

( x

₁‑x₂₎はそれぞれ準粒子の電子と正孔とが時空点4で生成して、伝播して、

時空点x₂で消滅するまでの振る舞いを表わしているが、それ等の関数形はそれぞれ(1397)式と(156ω式、(1405)式と

(5)

多体問題とグリーン関数との関係の研究一高等量子力学における摂動理論 (12)^ー 201

(1564)式を組み合わせる事から次のように得られる。

紘一 ψ d 取引 ) イコ

ο

九

山

r

J

一

守r n 出し

げ

E

4

一

E

e ‑

E AU

畑

r

J 4

μ

均

ゐ

' n

1

一例

=

+叩∞

パ

^h^同^叫^主^÷^も

，

^引

_サ

¹

.

¹¹

)

←(ト¹^h同町号÷，ら2

= 訪

^k

j F ! y ^ぜ a

^e

^ι

^吋

^E ⁽ ^I

^匙^的⁾⁺ⁱ^o

^ω

¹^路悶附

⁶^倒

^ω ^ω ¹ ^a

δ J o b l ‑ X 2 ) = + i W ( x l 腕仏)

均一

δ与h

一伸

︑

r

一一・民日日一円

ER

同一

4

一

E

e ‑E

AU

∞P

E‑

‑J

∞

+

件舟

一

L a

骨1

一例

一一

+叩∞

J {

^匙^ト^h^{叶 .}

=

石訪訪仇;

Y ^孔

訪丸^k

j F ? 1 F a ^{e J} ^e

^、 ⁽¹⁶¹³⁾

である。又、ボソンの消滅と生成の場の演算子州)と

砂市)は(1576)奴は(157械と、(1578)式又は(157航である。

(1611)式はボソンに関して演算子の形をしているので、

行列成分を求めるには、ボソン系に対する始状態

q l '

^晶^ωql

と終状態

q 2

，^lⁱ^wq2について

( q i l

⁽¹⁶¹^{1)式の演算子式}

I q ) )

D : o ( x ' ‑ x ) =

iG~(x;x')

= お ^P ^I ⁽ ^x ^' ⁾

i田ーー_i .‑‑‑‑，

= ^; ^I ^‑ ⁽ ^X ) o 吋 ^/ ⁾ ⁺ ^; ^I ⁺ ⁽ ^X ) o 汁/)

=

^O⁽^t^‑^t

初 ( x

，

x

^，⁾+^O⁽^t^'

ーゆ ⁽ ^X ^'

^，

^x ⁾

‑

1

a ︐ m

一同

帽

F l d

叩

e す

γ

1

一

y

‑

h

一向

‑

i

一勧

あ，r t > t' fur t < t'

=-L. ^{土.1-~宮崎・} ^(r-r') ^畑 ^ω

^e^‑¹^ω⁽^ト¹^'⁾

2tr _PO V

ケ

^J

^…

^ω2-W~ +iδ' [(1588)掲 ( 161砂である。

次に(1611)式を眺めてみよう。伝播関数々。(巧

‑ x J

[(1612)剖と δ~O(x)^‑X2)^[⁽¹⁶¹^{側は、それぞれ準粒子} の電子と正孔とが時空点x)で生成して、伝播して、時空点

X2で消滅するまでの振る舞いを表わしているので、それぞれダイヤグラム中でX)からX2へ向う 2本のブエルミオン線のe(電子)と

h U E

:fL)に対応している。他方、ボソン (1614) 場の演算子の〆(巧) [(1576)式， (157吟式] と〆+仏) を計算しなければならなし、

(1611)式の(1614)式の線に沿った計算は後に行なう予定でいる。

(1側)式を眺めてみよう。伝播関数併，

‑ x )

[(1596) 却は時空点のどで生成した真の電子が伝播して、時空点

xで消滅するまでの振る舞いを表わしているので、ダイヤグ、ラム中ではx'からxへ向うフェルミオン線に対応している。次に全く同様な理由によって伝播関数G~(x-x') [(1608)刻はダイヤグラム中でxからがへ向うフェルミオン線に対応している。他方、ボソンの伝播関数

D t o ( x ' ‑ X )

はダ、イヤグラム中では

x '

とxとを結ぶ矢印を持たない破線に対応している。そしてその関数形は(1483) 式乃至(1487)式と(1回8)式収は、(1589)却とより、

[(1578)式， (1579)却は一方の端は各結節点(パーテックス， ver絶対・の巧，x2と結び付き、他方の端は系の初期状態に対応する外部の点と、系の終状態に対応する外部の点へ結合するべく伸ばされたところのボソン線を表わす破線に対応している。

又、上に述べた事より我々は、ファインマン・ダイヤグラムを眺めたときに直ちに少なくとも、例えば'(1ω9)式の積分記号

H

の内側の式の部分を、文例え倒16献の積

分記号日の内側の式の部分制限に書く事が出来る事が分かる。

(1596・2)式，(1ω8)式， (1612)式， (1613)式， (1576)式， (1578)式をファインマン・ダイヤグラム中のブエルミオン線又はボソン線と比較しながら眺めてみよう。次の事柄が分かる。

(1)各フェルミオン線には波数ベクトノレkとエネルギー

(6)

Eが割り当てられる。

ω

各ボソン線にも波数ベクトノレqとエネルギーhωが割り当てられる。

ω

結節点(パーテックス， vertex)の

( r

，

t )

・へ向けて、

波数ベクトルk又はq、エネルギ

‑E

文はhωを伴って入って来る， ) . 又はーーー}‑...)伝播関数又は消滅の場の演算子からは、その結節点の

( r

，

t )

・は因子汁町一子)又はei(q.r‑ca)を受け取る。

ω

結節点(バーテックス， vertex)の

( r

，

t )

・から波数ベクトノレk又はq、エネルギー E又はhωを伴って出て行くれ〉又は・一一ームーー)伝播関数又は生成の場の演算子から民その結節点の(り)・

は因子e‑{ ker‑ft)又はe‑i(qer‑ca)を受け取る。

ω

²個の結節点(パーテックス， vertex)の

( r '

^，

t ' )

・と (r，

t )

・を結ぶフェルミオン線 x'二〉 . x は波数ベクトノレkとエネルギーEに渡る次の4重積分に寄与している。

句

パ

^b^{叫子，)七}

) j ト

^k^e^一^r^ト

ζ 子 z

^子^r

」一

i

切品 {凶d早

λ

(路ω611ω

ω

(MY i

国‑

但し、上式中の分母の:J:.iδの内、+符号はt>t'に対するもので、一符号はtくt'に対するものである。

エネルギーの

E ( k )

は真の電子を取り扱うときである。

フェルミ真空中の準粒子を取り扱うときには時)は

E

年)で置き換えられなければならない。又この場合粒子の時間軸に対する勝子はなく、順行のみが出て来

るので+iδのみが成立する。

ω

²^{個の結節点}

ο (

^{パ《い一テツクス，} ^ver^巾^胞

x

^幻)の

( r

ピ

' ν 刈

，t

(

ヤ

r，り川，

t )

• を結ぶボソン線 x' •←-一一→み一一-.... x は波数ベクトノレqと角振動数ω(エネノレギ‑1iω)に渡る次の4重積分に寄与している。

1i r. τ e→(q

〆・

‑at')et(q

・

^r‑^a^.^t⁾

一一一・一一 Idq‑:‑TτIdω

( 2

1!

r

^向

^r'2

^ω

^畑 ⁾ ^一 ^明

(1617) 次に、各結節点(パーテックス ver胞がの所での系の運動量とエネルギーの保存について議論する。

(1111)式の形式であるところのZimann形式で書かれたファインマン・ダイヤグラムの図2を、式で表現したのが (1倒防)式であった。上述の(1)と

ω

に従って、フェノレミオン線どき .

X G 1 ( X ' ‑ X )

に波数ベクトルhとエネルギーEが割り当てる。又フェルミオン線

x •

〉 .

X' G¹

か

^‑x^，^{}に波数ベクトル}^k^'^とエネ

ルギー

E '

を割り当てる。次にボソン線

j ・一一一一一・ x にも波数ベクトノレqと角振動数ω(エネルギ‑1i01)を割り当てる。上述の(3)と(4)に従うと、

G

ヤ ‑ x }

^の表現(1596・

a

^{式より結節点ぷ・は}

e ‑ { k

^町千，)

を受け取る。 G¹いい表現(1608)式より結節

M

・は

ei(hr千，)を受け取る。

D J o { x ' ‑ x }

^の表現(1⁶¹⁵⁾^式と

(1617)式とより結節点x'・はe‑i(q・r'‑ca')を受け取る。(16ω) 式は結節点x'・の時空座標について積分するように指示

している。ゆえにこれは結節点x'・の所で直ちに次式を与える。

J

f

êⁱ⁽^‑^k⁺^k^'^‑^q⁾ê^r^'ê^‑{^‑f+f

サ

^d³^r^'^d^t^'

( E E' i

=δ(‑k +k'‑q

} o l ‑

一+一一ω (1618) i た 1i

この式は結節点x'• の所で運動量とエネルギーが保存される事を示している。

次に、我々は結節点x・の所を考察しよう。再び上述の

ω

^と

ω

^{に従うと、}

G 1 ( x '‑ X )

の表現，(1596・

8

式より結節点

( . E '

x ・はeγ・r‑la')を受け取る。 G¹

か ‑ x ' )

の表現(1608)式より結節点x・は

e ‑ { k

^{斗)を受け取る。} ¹

者。か

^，

‑ X }

^の表現

(1615)式と(1617)式とより結節点x・はei(qer‑a.t)を受け取る。(1ω9)式は結節点x・の時空座標について積分するように指示している。ゆえに結節点x・の所で次式を得る。

(E E'

J

f

e恥k'+ゆre

‑ / l

ii‑tl+行td3rd (E E'

=δ(k‑k' +q)δ￨一一一+ω (161紛 l 1i 1i

こうしてこれは結節点x・の所でも運動量とエネルギーが保存される事を示している。

次に同じ真空分極のブアインマン・ダイヤグラムを (1114)式の形式で描いたところの図3を考察しよう。これを式で表現したのが(1611)式である。再び上述の(1)と

ω

に従って、電子のブエルミオン線のx₁^土

4

e X2

δ J o b l ‑ X 2 )

^{に波数ベクトル}

h

^{とエネルギー}

E

が割り当てる。又、正孔のフェルミオン線のx₁^竺

4

.x₂

(7)

多体問題とグリーン関数との関係の研究一高等量子力学における摂動理論(12)一 203

句。(有一

x J

に波数ベクトノレk'とエネルギーE'を割り当てる。次にボソン線の一一~-~高砂

J ‑ ( x

₁₎に波数ベクトノレq と角振動数ω(エネノレギ~1iω)を割り当てる。又、

ボソン線のx₂_{・一一〉一一一} 世^I

市 J

に波数ベクトルq' と角振動数al _{(エネルギ~1iol})を割り当てる。(1611) 式は各結節点x1‑とx2・の時到亙標について積分するように指示している。こうして我々は各結節点の所で直ちに次式を得る。

結節点(パーテックス，鴨VIe巾飴rx討)x有'1‑の所でで、は、

j ルj卜~i{-←H川トk-k'一北k'内，

( E E' i

=δ(‑k‑k' +q

) 8

1一一一一+ω (162ω

¥ . 1i 1i

結節点(パーテックス， vertex) _X2・の所では、

Hei{k+k' ‑q')erz

e ‑ { 円サ

²^d³

r

2dt

2

=δ(k + k' ‑q'

) 8 ( 互 + 互‑

^0)' ) (1621)

¥ . 1i 1i

とれ等の式は各結節点(パーテックス， ver胞x)の所で運動量とエネルギーが保存される事を示している。もちろん q ⁼q'， 1iω=1iω (1622) である事は明らかである。

以上述べて来たところから、ダイヤグラムの寄与の計算は今や次のように進行する。以下の文章はZimannの耕ヰ書を参考にした。

(1) 波数ベクトノレk (運動量1ik)とエネルギーE、もしくは波数ベクトルq (運動量1iq)と角振動数ω (エネルギ一元ω)を各内部フェルミオン線又はボソン線

と組み合わせる。

(2) 各内部線の運動量とエネルギーのみならず、外部線の持つ運動量とエネルギーをも考慮に入れて、各結節点 (パーテックス， vertex)の所でそれ等の量が保存されるように矛盾なきようにそれ等を割り当てる。そしてその際、独立変数の数は最小値になるようにする。

(3)各線上にそれぞれ対応する適当な伝播関数又は場の演算子を置き、積を作って、総ての独立な波数ベクトル(運動量)とエネルギ}とに渡ってその積を積分す

る。

~32 ダイヤグラムの寄与の計算例

次に前節(~)最後で述べたダイヤグラムの寄与の計算の進行手.)1慎に沿って1つの例を計算するoそれは1個のフオノンの発射と再吸収とによる1つの電子の自己エネル

ギーへの補正に対するダイヤグラムの寄与の計算である。

それは固体中のポーラロンの問題と理解する事も出来る。

図4に問題のダイヤグラムが示されている。内部フェル

t

k‑q

E ( k ) ‑ 1 i ω

δ ふか

1‑ X2)

k ， E 仇 )

、 ^xzpf ^仇)

ノ q ， 1 i ω x ーノ D i o ( X l‑X

₂₎

1

民

(X1)

k ， E 依 )

r

図4

ミオン線とボソン線及び、2本の外部フェルミオン線とに組み合わされるべき、それぞれに対応する波数ベクトルとエネルギーとが、 2個の結節点(パーテックス)x₁とx₂の所で保存されるように目論んで、図中に示したように割り

当てられる。こうして、独立変数の数は最小限になっている。内部線に対応する伝播関数々。

( X 1 ‑X 2 )

，1者。

( x 1 ‑ X 2 )

と

外部線に対応する場の演算子妃仏)，

V ; ; * ( X 2 )

もそれぞれ図中に記入してある。

これからの計算の準備のために、元々の定義式をここでもう 1度思い出しておこう。

a ; o ( x ' ‑ X } =

一

i V

^「

J

ー(一x一

W 、 ; . ( x

，) [(1395)刻 ( 1623)

=d 政 ( x )

^[⁽¹397)埼 ( 162必

D :

。¹か

' ‑ x ) = < / l

か

M ヤ)

^[⁽¹⁴¹¹⁾^{吋 ( 1}⁶²⁵⁾

= 4

^「^I^ー^い^ー^ーV‑‑Tか) [(1413)却 ( 162ω であった。ところで、(1557)式又は(1558)式によれば、

r‑‑‑‑i +叩司

二令イ

￠似(令~w.灰F巧:f*(ωx'斗，)=~ム一→.土

2 玄

:edJ枇仰rkte{1トトH円吋叶rピ吋.'う，)JdE ど二 21i V _k~ _∞ _{E- ι +ìδ}

(8)

+∞ 放・(rーヰI~(tィ)

す k J

^〉

^jF!

[右辺第1式へ(151ω式を利用するか、又は直接に (1558)式を利用した。]

である。次に、(1588)式又は(1589)式によれば、

お長 ¹ ⁽ ^{かム.土.土} I e

ⁱ^q^・^ト

r ) 7 d m f ! ? ) m

21t PO' ^V"q ふ ^ω ^一^ω^~+ið'

t; 句 nIq

・

⁽^r^イド時^‑^t^'⁾

一τ

bzYAJiω2

^{寸・‑"‑}^I^d^q^Id^{ω v}

̲ ( ) } 2 ( q ) +

iδ' (1628) [右辺第1式へ(1515)式を利用するか、又は直接に

(1589)式を利用した。]

である。

(1627)式を(1623)式へ代入し、文(1628)式を(1625)式へ代入すれば、伝播関数はそれぞれh 次のようになる。

∞ ^{放伽州帥ベ}ψか(^r一巾

E ^告

⁽^t^イ^‑^t^'

δ

_匂_弘_釧_:_ム

' o (

_以

川 ιμ ベ

^x

^斗 ^か ⁾ ^ト ⁼ す _J _F _F _? ₍ _‑ _! ^門 ^庖 ^〈 ^;

一

E 均 ^E 刷 ⁽

俳

叫 ^k

^h^吋糾^ゆ^恥

⁾

ふ⁾^ド

⁺

ル

ωi

^ル⁺

ⁱ

^村^δ ^(1側

t; ~句竺 ^t^崎q.(1令^r^ト‑rザ，)ト‑1ω^曲(tト‑イt'

D

巧 JU

^一寸^x

^斗)=一乙

^L^{一→.」と~f，陥}^'dq ^rd

ω

( 2 z Y A J i ω 2 ̲ ( ) } 2 ( q ) +

io' (163ω それぞれ内部フェルミオン線と内部ボソン線を記述しているところのこの(1629)式と(1630)式をファインマン図で示すと図5のようである。

t

x '

t

x

h， E _ら ₎

δ ムヤ ^' ^‑ ^x ⁾

〆

• x

"

/ / q _， h ω ( q )

. ・，， " D ムヤ ^， ‑ x )

図5

r

次に、図 4の 2本の外部フェルミオン線に対応するのは、

時空点_X1で電子を消滅する準粒子電子の消滅演算子の

￠仇)と、時空点X₂で電子を生成する準粒子電子の生成演算子の

W ( X 2 )

である。それ等はそれぞれ次式で表わされる。

制 ) = z d z e t ( k ^・ n ‑ L ) _ぇ

[(15^{紛地 ( 1}6ω

W 仏 ) = 芸品 ^T ^e ^‑ ^t ⁽ ^h ^・ ⁴ ^t ^z ^k

さて、これから図 4のダ、イヤグ、ラムの寄与を計算しよう。

それは波数ベクトル匙，エネルギ

‑ E ( k )

の準粒子電子が波数ベクトノレq，エネノレギ

‑ I i

ωの 1個のフォノンの発射と再吸収とを繰り返し、電子の周りにフォノンの雲を従えたポーラロンとなったときの電子の自己エネルギーの補正である。計算の際に、(1629)式と(163ω式の表現は図5 のダイヤグラムに対するものであって、図 4との違いに注意しなければならない。

我々が計算しなければならないマトリックス成分 Iは次式である。

1 =

(k l(子 ^)2jg2 ^俳句 ^d ⁴ ^ぬい ^'2)~ ^ム ^(X ^{1 寸:J}

V ; ; * ( X 2 ) r i t ;

(xl~k)

=

( k 子 ( i J ^を ^g ² ^{炉い} ²

(

訪 ^l ^k ^p ^‑ ^v ^q

^州 ^‑^r^l

^快 ^ら ⁾ ^‑ ^I ⁱ ^ω ⁾

ィ些些竺(t₂‑t_l)

e

. { 訪 ^‑fj4ph‑ 町 ) ト 4 : ) i J

lZ44)ι￨

￨ピ

t : k

^F^V^抑

(9)

多体問題とグリーン関数との関係の研究ー高等量子力学における摂動理論(12)ー 205

︑ ︐ ︐ ︐ n o m w

噌i

︐ ︐ ︑

︑ ︑ ︐ ︐

h

11 1P it tJ ' 弘

L a 主高

‑今必1

一戸

F T

ムい

b‑

fl 14 lu t

•

ところで、匙~

E ( k )

は鞠子電子の自己エネルギー補正する前の状態の波数ベクトルとエネルギーであるので、図 4から明らかなように計算中では共に定数である。ゆえに、

d(k‑q)= ‑q， d

倒的 ‑ l i o } =

^‑^lⁱ^d^，ω (1634) である。ゆえに、(1633)式の計算は次のように続く。

=剖(匂同子司ず

J ^土 ^与

2!^gO ²

^防

J

^炉

1"

^炉

" ⁴^匂^x"，，^.}

ハ

.^d.. ⁴^匂^x

" " ^， ^{ 2 1 ^土

や似1

^ム

r

1

^e♂&川叫(仇叫乃r日‑叫町

j v q ・叶竹 ⁽ ^k ⁾

^一

h J 2 ; ‑ q ) J

. { 命・土 J 4 e

^ル

唱が ^k ⁽ ^そ ⁾ ^ι ^j

( プ h ; } )

⁽^時3⁵⁾

.1Ik~F V~ 川~.t

(1635)式の計算は更に次のように続く。

(_i~21

? r

Ii 1² 1 付晶 ι パ -/~(t2-t1)

=

L

~) ;!g~1(2~1

J ; 0

JJd~x}d~巧 e'Ke，r²^叫 ^h

. { 伽 d ω 4 Z Z t l L i δ )

.{μ，ω，つ二二t

^，

~}

‑ 巾長 ^e ^t ⁽ ^K ⁴ ⁾ ^ι ^j

(プ九 ^I ^k ^}

⁽¹⁶³⁶⁾

・〆州~.t

ここで、(1636)式中に現れる積分の内、マトリックス成分の

( k l ‑ ‑ ‑ I k )

の部分を先に計算する。

I k } =

IOk1 ，Ok2'^・‑州

であるとして、

︑ ︐ ︐ ︐

A υ

︒

υ

L AU

︑

︐

︐ k点

︑

_{s a}

t t‑_﹀﹃

et tJ Il

‑‑

︾‑

f i l i

‑

l

‑

M

︑ 品目

・

' h

︐1l口 T

ム帥 l h h

‑

ー川

J O

‑

‑ ト l j ι 7 . Lト

ν

向E

‑ o v

k

町一

ru‑

‑ー

l j h

町h弘 f q t r ' u . A

一hR一_h

F 2 J

叶I﹁﹁1

一ガ

.e

町巧

‑ u v

‑ K

‑ a l

︐

E 2 r I l l t

︑

F ' E コザ

t f

十五 ] 一

Y F v f

￨

河川

U T

ね

Jr

・‑

T

勾

a

‑ k

・一

y f l J L U 4

喝

d b k 明

︑

︐ 圃

﹀

︐

t︑司

d r

= fl JI tt

‑

L‑ m

︐ ︐ ︐ ︑ ︑

Z4et(br1‑

与

t

1

) ( 0 . .. 0 . .

・・0.1...0・01

yμ ¥ "'1 町民 l

l ^肘同住} 1 ⁰ •，，0..仰 0)

=F1E ^戸

^‑z‑t2)

• (Ok1 ，Ok2'… 州

竺土 J い ( トトト

ke^，r^町r

，

‑与与剖与与与

サ

t

，

¹⁾

~で

^」^ム^一^一⁽^←^←^い^k^{山山}^い^'^"^'^.^{町叶}^r^.^r

y戸ザ抑1/2. . . 枠h

令私

^F

_W _V

_戸^ザ^抑2'" 山

= 土

e

トーも t ^・ ^か ^ー

^4tz)

y

1 ‑ik・(r:円山与(12‑t

， )

=‑e y ⁽¹⁶³⁸⁾ (1638)式の結果的制式へ臥すると、地)=~であ

ったので、その因子は同式中の最初の因子とい残して打ち消しあってしまう。この事を踏まえて、次に、(1636) 式中に現れる積分の内、空間・時間に渡る積分の部分の

JJd⁴x1d刈・・}の計算は次のようになる。

JJd⁴x1d⁴x

2e‑

・崎

(r2‑

)

r

，

^e¹^m⁽^t

²^‑

)

¹

，

^eⁱ^q

^・

⁽^r²^‑r

，い ' い )

= JJe^l(q'‑q)er2eーい}t2d³r

2dt

2

• JJei~ωγ(… }t'd³r

1

^dt

1

(10)

= ( 2 1 l "

18(q'一q

) 8

cω'ーω

知

(q‑q'

) 8

ωc

‑ o ' )

(1639) 我々は図4のダイヤグラムの寄与を計算していたのであった。(1639)式を元の式の(163ω式へ代入しよう。マト

リックス成分 Iの計算は次のように続く。

1 =

( k 司 ( l ^j ^g ² ^F 引内仙一似い ) i i I ; * ( x

₂

W ; (XI~ k )

=

⁽¹⁶³³⁾

=

⁽¹⁶³⁵⁾

=

⁽¹⁶³⁶⁾

= ( 子 ) ' _{~/{命}土づ仰向} ^d叫'伽'

E(k)- 1iω

ー

-E(k-q)+i5.ω^，^2ω

，~，

+iδ

‑ や 1 l "

18(q'‑q)δ(q -q')8~ω'

一

^ω^)8~ω

一

^ω^，)

= ( 司

²

まど ( 命 } 附土 → ^μ ^ω

ω2

‑ o ! +i δ •

^E⁽^k⁾^‑¹ⁱ^ω^‑E(k^‑q)+i8

(1似0) (1640)式は1個のフォノンの発射と再吸収とによる1個の電子(準粒子電子)の自己エネルギーへの補正に対するダイヤグラムであるところの、図 4の寄与を計算したのであった。しかし、この式の中には考察しているその物理系に依存して本来現れるべき、式因子F句)が現れてはいない。そこで、ここではやや天下り的ではあるが、式因子

F

ω

の入った形へ式を直して記して置く。

I=~.~

=ーーー・一ー 2! 1i

JIdqd

_r^'lu"'~2

^， ^ω|F ‑ o 同--."'3'T'"'7--~ !

⁺ⁱ⁸^‑È(k)-i~-=-È(k-q)+i8 (1₆₄1) 位し、ここで、式因子の

F ( q )

は

ほ一一

向

⁽¹⁶⁴²⁾

~33 電子・フォノン相互作用

我々は以前の節(~) 20において、相互作用表示で記述された標準的なフェルミオン・ボソン沖目互作用の摂動ハミルトニアン密度

H I ' ( X ) ₌ g

_'_l_'^μ

( X ) o I ( X } P I ( x )

^[⁽¹¹⁰⁸⁾吋 ( 1643) の表現形式に4つの形式が考えられる事を述べた。この4 つの形式の内の(3)番目のものをもう一度ここに書こう。

H

市 ^)=g 紡(ゆ

^I(XW~*(X)+

巧

^(x

) o I ₍ _x ) i i J ; ⁽ ^x ⁾

+

i i I ^; ^* ⁽ ^X ) o

^I

( x W~* (X)+ i i I : *

か

) o

^Iか

W ;

か)}

[(1113)吋 ( 164必 (1制式の右辺の最後の項を今 Hらか)と置き、この項を以下で考察する。

H

ら ( x )

=

g i i l ; * ( X ) o I ( X 阪 ⁽ ^x ⁾

⁽¹^臼⁵⁾

フェルミ真空(Fermivacuum)又はブェルミ海官'ermi sea)に対する鞠子電子の生成・消滅の場の演算子削)，

前)はそれぞれ次のように書けた。

r. E~ 1

i i

I ^: ^* ⁽ ^r

^，

^t ⁾ ⁼

_I_k

L

_l_>_k

^長

^eγ^叶^tJ~* ^[⁽⁷⁶^{制 ( 1}⁶⁴⁶⁾

F y .

r . E. 1

必 ⁽ ^r

^，

^t ⁾ =玄会 ^l ^'

^K^{・寸}^t^J

^え

^[⁽⁷⁶¹⁾^{吋 (胤}⁷⁾

Ikl>kF y

ポツン場の演算子〆

( x )

はボソン(フオノン)の生成と消滅の場の演算子砂¹⁺か)とゆ^Iーか)の両方を含んでおり、次の

ように書けた。

øI(r， t)=

〆

^(r，t)+^ゅ吋~，^t)

= { 歩 ) 冷 ⁽ ² ^q ^y ^t ^J ⁴ ^q ^t ⁾

‑ z b d i い叫)}

[(802)地(1似8) である。

(1641)式の解釈は次節(~)の説明と関係して行なうの (1似8)式は次のようにも書げる。

で、その後で行なう。

(11)

多体問題とグリーン関数との関係の研究

〆。叶歩 ) ミ

⁽²^ω

^{凡 … 川}

^I^q

(1649) (1646)式と(1647)式と(1649)式を、(1645)式へ代入する。

摂動ハミルトニアン密度のHらか)は次のように計算される。

H!~h(X) ⁼g

V ; : * ( X ) o I ( X 阪 ( x )

市長ト引 ι H ^{肘ト引}

{ 刻、

²^ω

ん ^{λ α} 川

ⁱ^q^e^r

=

予

^(lkirkk

ポ与え}

同三(2())q)-~

⁽â^qê^‑iâJ^q^t^‑â

^川

= 予防 ) 五

^I^k^'^l

酢

^'^q⁾^‑¹^e^‑ⁱ

…

^r

( a^aq^q^b

b ， : b

^k

，

^:^b^k^e

^{山 ‑}

^‑^a:q~~

‑出)

九^e (165ω 結節点(パーテックス)の所では運動量保存則とエネルギー保存則が成立していなければならないので、

』

ピ_=k+q for ^。_'q~~九 ^a:q~~九

}

である。ゆえに、(165ω式は結局次のようになる。

aqbk~九 for Ek' ⁼Ek +nωq

a:q~~bk for

Ek ⁼Ek' + ⁿ⁽⁾⁾^q

H ! : h ( X )

⁼^g

V ; : * ( X ) o I ( X ₎ _V _; : ( X )

= l Z J ( ^歩 ⁾ ^万 ^マ ^を ^か ^{q d} ^ふ

(1651)

(1652)

(1653)

こうして、相互作用表示ではあるが時間を含まない形となった。

一高等量子力学における摂動理論 (12)一 207

改めて、 (1653)式のHらは摂動ハミルトニアン密度(単位体積当りの摂動ハミルトニアン)であった。通常の意味あいでの摂動ハミルトニアンHふは体積空間rに渡っての積分を取ったもので、あった。ゆえに、

H ; ; h = j H ; ; h a ‑

v

I k

副

=

L

F(qXaq ‑

: a ぷ : ふ

イ旦し、ここで、

市 ) = ( 歩 ) 五常

と置いた。又、

q =

^玖^qであるので、

F ( q )

=

F ( ‑ q )

である。

後の計算の準備の為に次の計算をしよう。

H ふ I k

^，

O q )

⁼

エ

^F

句 '~ル恥a叫!q， -a:ι 心q'

^沈^比^ぬ^'⁺^吋

q

^ぜふ，

! 陣W阿kピ叫'1ド￨い>kp，q'

= l K 1 E f h ' ^{九仏え￨同)}

(1654.)

(1655)

(1656)

(1657)

Ik 記

^(q'

^)a:q'~~+q

^，

^~.lk

^，Oq)

首 PJ ^刈

(=0)

+F

ゅよふ I k

^，

O q )

(=0)

I

k

百十 ^q'ML ^え ^I ^k

^，

^O ^q ^}

= 言 ^; ⁽ ^q ^' ^M ^L ^え ^I ^k

^，

^O ^q ⁾

(=0)

‑F(q

)a =~.+q~lk

^，^Oq)

= -F(q~k ^‑q^，

l q )

⁽¹⁶⁵⁸⁾

量子力学の摂動論と(1658)式の結果を使おう。

(12)

摂動ハミルトニアンHふによる1次の摂動エネルギーの補正は次のようである。

( k

，

O q l H . ふ I k

，

O q )

=

( k

，

O q ‑ 1

F(q~k

‑ q

，

l q )

= ‑ F ( q X k

，

O q I k ‑ q

，

l q )

= 0 (1659) 又、 2次の摂動エネルギーの補正は次のようである。

~I~I(← kト一叶喝q払叫叫， 1叫 lq川ql同瓜叫|作k，O 州刈， Oq叫叫qt2

^一

J ( ^件 ^k

^ト^一^寸^叩

^q

^も^叫^叫

川 ^l ^q 叶

^，

^q ^l

^ト^一

F~伸 4 巾k

^一^払^似^叫

^ω ^q ^l 叫

^叫

q

^叫

} 1 ケ

E~依制k吋)一 E~依k^一^叶

q )

ト一hω叫

q

一

4 ケ i '

‑E(I

仇 ω

吋

k

)一E~依k^一

q ω )

一hω叫q

ーで

￨ F 叫

2

ーケ E ( k ) ‑E ( k ‑q ) ‑

1i{uq

= ，V" ，

r I F 刷

²d1q.̲‑‑ (16ω)

肋 y

J

E ( k ) ‑ E ( k ‑ q ) ‑

1iωq (1侃0)式の最後の式を得る為に

手 → 4 7 ^拘

^[⁽¹⁵¹⁵⁾^{埼 ( 1}⁶⁶¹⁾

を利用した。

他方、摂動 Hふを受けたところの系の状態関数は、 1次の摂動まで取るとして、次のように修正を受ける。

( k ‑ q

，

l q l H . ふ I k

，

O q )

I k )

=

I k

，

O q } + も ( k ) ‑ E ( k ‑ q ) : ム ^I ^k

^ーも

^l ^q ^}

= I k

，

O q ) ーも (k)‑fq)‑Mq!

日

l q )

(1662) (1645)式の摂動ハミルトニアン密度Hらから生じたと

ころの(1655)式の摂動ハミルトユアンHふは、国体中の準粒子の電子が状態kから、 1個のフォノンの放出又は吸収を伴って状態

k+q

へ散乱される過程を表わしている。

(1662)式の状態関数はこの散乱過程によって初期状態

I k

，

O q )

へ波数ベクト川のフオノンが1個生成した状態が混合した状態

I k )

が生じている事を表わしている。

(1鉛0)式の摂動エネルギーはフォノン場中の準粒子電子の自己エネルギー補正を表わしている。

我々は前節(~)の最後に、(1641)式の解釈は次節(~) 餌日ち、この節(~)の事]の説明と関係して行なうと書い

た。以下ではその件について考察する。

(1641)式中の被積分関数は大まかに言ってフォノン伝播関数の

V :

O(XI‑ X2)から由来する項と、準粒子電子の伝播関

数の句。(X1‑ X2)から由来するエネルギー分母の項との積から成っている。そこで、もしも我々が今(1641)式をωに渡って積分を取るならば、フォノン伝播関数[(1615)却の 2個の特異点のω=ωq又はω =‑{Uqをもう一方のエネルギ寸示母中のωへ代入する事が出来る。

ω= 引を代入した場合は正にこの節(~)で議論した

(166ω式の2次摂動項になる。

他方、 ω =‑(Uqを代入した場合、(164])式は図6のフアインマン・ダイヤグラムに示すような現象を表わしている。

t

q ， I i ω

フォノン

h

，

E(h)hh‑q

E 体 ‑ q )

図6

k， E ( k )

r

ここでは、フォノンは時間軸を逆行して時空点_X1で電子・

正孔対を生じ、その正孔は時空点_X2で初期電子と出会い互いに消滅する。低想遷移の中間状態で、の時間軸に沿っての

!防向のエネルギーの流れは

E { k ‑ q )

一同である。

図6の現象は(1662)式では考慮されてはいない。それは (1641)式の中に自然の内に入っているのである。

。

^J^.^M^.^Zim参考文献ân^著: Ê^lê^mêⁿ^t^so^fÂ^d^vâⁿ^cê^d^Quâⁿ^tû^m Theory" (Cambridge University Press)

2)T.D.Schltz著: 'Quantum Field Theory and the

多体問題とグリーン関数との関係の研究