<ノート>多体問題とグリーン関数との関係の研究--グリーン関数と多体問題(13)量子統計力学(5)
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(2) 1 4 4. 近畿大学工学部研究報告. の項目を全面的に転記して置く。. No. 4 3. しあう。そして、表面電流のみが残り反磁性表面電流. 反磁性( d i a m a g n e t i s m ). となる。次に、図中の半円軌道は金属表面近傍の伝導. 物質に磁場をかけたとき、磁場と逆方向に磁化が生. 電子が円軌道を描けず金属内表面で反跳躍しながら進. じる場合、反磁性という。すなわち、反磁性というの. むものである。この電子共による電流は常磁性表面電. は負の磁化率をさす。反磁性の原因となるのは電子の. 流となる。そして、この反磁性表面電流と常磁性表面. 軌道運動である。電子の軌道運動に起因する磁化率は、. 電流とは打ち消しあい正味の磁性は生じない。こうし. 一般には正の寄与と負の寄与からなり、その和は状況. て、閉じた空間に在る自由電子の集団が静磁場中で作. により正にも負にもなりうるが負になることが多い。. る磁束の和は古典統計力学の範囲では Oとなり、閉じ. 反磁性の例としては、まず閉殻をもっ希ガス原子のラ. た空間中の自由電子の集団の軌道運動からは反磁性現. ーモア反掛性がある。これは、外部磁場が閉じた回路. 象は生じない事が分かる。これが古典統計力学のボー. にかかると、回路内に磁束を減少させる向きに電流が. ア=ファン・リューエンの定理である。. 流れるというレンツの法則から生じるものである。金. ランダウ ( L .D .Landa u)は、量子力学に基づいて金属. 属の伝導電子のような自由電子系の軌道運動からはラ. の伝導電子の様な自由電子系の軌道運動の量子化から. ンダウ反磁性がでてくる。半金属 B iは大きい反磁性. 反磁性現象が生じる事を示した最初の人である。これ. で知られているが、この原因はやや複雑で磁場によっ. をランダウの反磁性と言う。. てバンド問遷移が引起こされるとしてよく説明される。. M を外部磁場 Hの方向に沿っての誘導磁化とする。. 反磁性の著しい場合として、超伝導体の示す完全反磁. 即ち、 M を外部磁場 H の方向に沿ってのその系の単. 性がある。. 位体積当りの誘導磁気モーメントの和であるとする。. の自由電子の軌道運動(電子のサイクロトロン運動)に. このとき、強磁性体も含み、全く一般的に、その系の 磁化率( m a g n e t i cs u s c e p t i b i l i t 叫んは次式で定義され. よって生じるランダウ反磁性について考察する。. る 。. 我々は、これから、静磁場がかかったときの金属中. B o h r -van ボーア=ファン・リューエンの定理 ( Le euwent h e o r em)によれば、閉じた空間に在る自由 電子の集団が静磁場中で作る磁束の和は古典力学の範 囲では Oとなる。故に、閉じた空間中の自由電子の集 団の軌道運動からは反磁性現象は古典統計力学では生 じない。これは次の様に定性的に理解する事が出来る。. ん. E 3 ?. 位回6 ). さて、或るベクトル場 A=A(x， y， z )の回転 r o t Aは次 式で定義されるベクトノレ量であった。. 。 成 語 ( 琴 引 れ. 図 1を眺めよう。磁場 Hは紙面に垂直に表から裏の方 ( 2 5 8 7 ) 金属内表面. 0のときには、ベクトル rotAの発散 そして、 rotA* d i v ( r o瓜)は恒等的に 0となる。. か. d i vo t A )=0. ( 2 5 8 8 ). 何故ならば、. 州出)=ま(号与)引誓-警) 十三(等一号) 反磁性表面電流 θ2A. 82A _ 82A u 82A . . 82A _ 82A. = 一 一 一 一 一 " -+ 一 一 一 一 一 ー ム + 一 一 ー ム 一 一 ー ー ムx 今l d z一 e 泣 今 d z d x d x d z d x 砂 砂d ι. 図1. =0 向にかかっているものとする。圏中の円軌道は伝導電. ( 2 5 8 9 ). であるからである。ところで、 ( 2 2 8 9 )式乃至( 2 2 9 2 )式. 子のサイクロトロン運動である。電子は負の電荷を持. で記したところの電磁場を記述するマクスウェルの方. っているので電流の方向は矢印とは反対の方向である。. M a x w e l l 'e q u a t i o n s )によれば、磁場の持つ大切 程式(. 金属内部では隣り合う軌道同士の電子の電流は打ち消. な性質は、磁束密度 B の発散 divBが O と言う事である。.
(3) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題 ( 1 3 )ー〈量子統計力学 5 ). d i v B=0. ( 2 5 9 0 ). これは磁束線には泉源はなく磁束線が閉じている事を 表わしている。 ( 2 5 9 0 )式と ( 2 5 8 8 )式を比較すると、磁 束密度 B に対して、 B=ro~. 置に働くベクトノレポテンシヤルとして、. z. A， =A x ;x +Ay ， y+Az ，. = 十 。 附 +j. =J/ (A.m)=N/A. ( 2 5 9 2 ). 等である。ところで、ベクトルポテンシヤノレ A の決め ， t )を任意のスカラー関数(ゲ 方には任意性がある。 λか. ージ又はゲージ関数)としたとき、. A→A+gra d . λ ( 2 5 9 3 ) と変換しでも Bは不変である。何故ならば r o t ( g r a d . λ)=0. ( 2 5 9 8 ). 向島，y+ Oi. の関係を満足する様なベクトノレ A が存在する事が分 シャルと言う。ベクトノレポテンシャル A の 単 位 は (259D式の両辺の単位を比較する事により、 い ト T.m=Wb/m=H.AJm=V.s/m. 1番目の荷電粒子の位. 程度であるので無視して良い。. ~wD. かる。このベクトル Aを磁束密度 Bのベクトノレポテン. 1 4 5. のゲージを選ぶ。即ち. 孔=ら m 2 '. ，A=lμ 。凧 y， 2. V. ". ， A . ， =O. ( 2馴. と言うゲージを選ぶ。この様にゲージを固定すると. ω59D式は B， =rotA，. = ( 号 一 号 ) 孟 + ( 主 計 + ( 安 一 号 ) z = μ。 H五= μ。 H=B. ( 2 5 9 4 ). ( 2 6 0 0 ). であるからである。これをゲージ不変性と言う。故に、. となり、間違いなく一様な z方向の磁場 Bを与える。. 具体的な計算に当たっては λ( r ， t )( ゲージ又はゲージ. ( 2 5 9 7 )式は次の様に計算される。. 関数)を適当に選んで A を特定の形にしなければなら ない。とれをゲージを定める(ゲージを固定する、ゲ. ι ル ル. m 刷刷 JH4I. ，. ージを選ぶ)と言う。. ニ : > 一 ¥ p " A . .p . A τ ， + 士 二-e/{A. 最初に、原子中の原子核の周りを周回する電子共の. 会計Jザ. テンシヤ/レ A によって、. 1. : p →ーや e A Y. ( 2 5 9 5 ). 2m. 飢. 円. 、. +P z ， A . ，J. 一. ， ". る。磁場中では電荷 eの運動エネルギーはベクトルポ. 2m". +. L jm、. ので、ここでは電子共の持つスピンは無視する事にす. .. ，. N. 軌道運動に起因する磁性を考察する。軌道磁性である. 1_ 2. ，. +U(x 引I' 九 Y l'Z} 巧 X2'Y2 Z2・・ゾN'YN ZN). +p，，2 ). ， ，， ， ， ， ， ，. +U(X lZ I X2 Y2 Z2・ XN YN ZN) 1 Y. H Z 祭礼 ，. の犠に変化する。電子の場合 e<Oである。この式は小. y +p ， yX) ，. ) J( 裳 出昭一郎著「基礎物理学選書 5A 量子力学(I. 吟t 恥. 9式、頁A-7に導かれている。質量 華房)中の付録 A-1 m， 、電荷 e ， の荷電粒子が z方向を向いた一様な磁場. B中に在るとする。原子中の電子は質量 m， は総て等し ， も総て等しく負荷を持つ。系のハミル く、電子電荷 e. 解析力学のハミルトンの正準方程式は、一般化座標 q r. トニアン h h Q m i lは次の様に書ける。. とそれに正準共役な一般化運動量 P rとに対して、. 会計 判 苦 手-p/. 九mil =. 4. 2. +U(r r . ，r 1， 2， N). 一 計 ，p， ，. +U(r r . . ，r N) 1， 2，. + Z E i d A Z. ( 2 5 9 6 e .A. ( 2 5 9 7 ). ここで、 U(r r ， … ，r 1， N)は電子間の静電相互作用のエネ 2 ルギーである。運動する電子は磁場を伴なう。運動す. J. る荷電粒子聞の電磁相互作用のエネルギーは(ま. の. d h. q r=ニ デ ! ! ! ! ! . . .. P r=一ーァ斗 o q. 中. ( 2 6 0 3 ). を与えている。但し、. =X1'Yl， Zl>X2， Y2， Z2， " "X ZN N'YN，. r. ( 2 6 0 4 ). である。故に、 ( 2 6 0 2 )式より. ;a-ohMI-A.WzHV 司 p 巧 m， 2m ，.. ( 2 6 0 5 ). ム一 _ d h h Q m ' 1_P， μ ， l ! J -. ( 2 6 0 6 ). 一一一----" y. d p y ，. : o e. m， 2m ，.
(4) 1 4 6. 近畿大学工学部研究報告. 。. 上式の右辺の第一項は磁場 H の O次の項(常磁性項). h ' ， _ . ， p z z， = ー ニ ニ ム ー = 一 一 一 o P z ， m，. ( 2 6 0 7 ). であり、第二項は磁場 H の 1次の項(反磁性項)であ. 。. θh る事を注意して置く。後に分かるが一一血ιは H. と. よ. No . 4 3. e均 hQmil o h = 笠 +f . l o， δ X ， OX， 2m，'y， u. i z L H 2 x ， ( 2 6 0 8 ) 4m，. 。. θ I h ， TT_ f . l o2e ， 2 θUμ e h a m i l =一一 一 = 一 一 一'J..Hpx-. .~ ~， H2y， ( 2 6 0 9 ) 句 y ， ， ' 0 2m， 弓 4m，. λ=一ι oU E 泣 &. ( 2 6 1 0 ). 鋭. Z 方向. を持つ外部磁場 H が在るときの、 1つの原子の軌道磁 気双極子モーメント. 耐の z成分 m m伊. mmagn. Ik. である。. ( 2 6 0 5 )式と ( 2 6 0 6 )式より - μ. e， 一 人 =mjx. 7 1 y ，. ( 2 6 1 9 ). ーム. 九. = m J，+ffL肱. 伽紙]( 2酬. t. である。これ等を ( 2 6 1 8 )式へ代入する。. を得る。 次に、個々の荷電粒子の運動方程式を求める。 ( 2 6 0 5 ) 式を時間で微分する。. 、Hρ(__. θ I h削. f . lユ hQ I 4 . : . .旦 + ， y x x y， ， ， Hx/-m ， 一 一 = ) 土 叫 m， oH 守 2m 2. -Hvd. H m t. 一. g nhm. "x. 2 μ一 一 〆+. ，，，"". +ha い士宮こいす. ( 2 6 11 ). を得る。これへ ( 2 6 0 8 )式を代入する。. を得る。粒子 1の z軸の周りの角運動量 L は It--Jノ. mjXj=一 瓦十 μ:oe， Hy，. ( 2 6 2 4 ). 一寸)1. 1. 1. N. N土旦. ( 2 6 2 5 ). 例(勺竺)…. ( 2 6 1 5 ). 2 6 2 3 )式の左辺の単位は 故に、 (. 同様にして、次式を得る。. ・. F z = 5 7 μoe， Hx，. ( 2 6 1 6 ). θU. m， zs=-zf(2617). これは磁場中の荷電粒子の運動方程式である。 次に、 ( 2 6 0 2 )式を磁場 H で微分した上で負号をつけ る。次式を得る。. [ 乍. 磁荷×距離1 L]=Wbxm=[. 吟す:い ν). ) ，. p-，;y. ( 2 6 1 8 ). ( 2 6 26 ). となって、磁気双極子能率(磁気双極子モーメント)の 単位となる。又、右辺は. レ 。 ] = 十 f，d=ミ を考慮して. X. UJ. 卜 = 主 旦 三 竺 竺 I 伝 [ 巾 ケ ケ 剖L]=イ ￨ 同 云 古 ( A : t r ni (A.~ [磁荷附]=山. θU. な 斗 れ ，-. - V〆. ( 2 6 1 4 ). L .. 故に、次式を得る。. 町. x m. i. θU. ( 2 6 2 3 ). ここで、単位を調べて置く。左辺は. 2 2. m.. ( 2 6 1 8 )式]は次の様になる。 2 6 21 である。故に、 ( ) 式[. 2 --'). / l oe ， . ， .2 μ: o e， 一 十ι H"x ， +寸 : J . . .Hy ， 体. /lllt¥. 品) l. j T m，x = 一 θ U ん e T ( _ _~."....L.，.一 μ 一 ー+一 一一 【 目 ， ， . 一 一. 2m ， --~"I. ( 2 6 2 2 ). θhhamtI=+生2L oH 7 ， ; i '2m ，. である。 ( 2 6 1 3 )式を ( 2 6 1 2 )式へ代入する。 OX，. F. ( 2 6 1 3 ). 、‘.，. -μe. Py，=m ， y片方ム政，. 一 一z. s. V且. を得る。ところで、 ( 2 6 0 6 )式より. nr. d. ••. x. ，. FL. 、 ‘ 一 一. ( 2 6 1 2 ). ( 2 6 21 ). 、 、-x. lθU μo e ，U仇_ 一 f . lー ヤ2 一 + 一τ E 一 十 H"x， +生 LHy， m， OX ， 三m， 九 4mJ Z2mt s. Xj=一. =会与L(y ， 兵 -~， y， J. ω627). l : f d. 1 =哨 J ι ] =ば L い 土 手 [ 11 L z. k g・竺.
(5) 多体問題とグリーン関数との関係の研究 ーグリーン関数と多体問題 ( 1 3 )- <量子統計力学 5). =午 xm=. 励. xm=嗣 × 距 離 ] (2628). となって、やはり磁気双極子モーメントの単位である。. mm〓〓出. S J . l o Ue : . ， - L . T r 2m z. =μ。 ~S= μoe 一=. 附削 z . T. mu ，. V. 1 4 7. (2632). V. となる。. 電磁気学によると、電流の強さ Iの環電流が囲む面 積を Sとすると、この環電流は外部に対して、大きさ. 。 1 S. 。. ( 2 6 2 8 ) '. mmagmottc=μ m o m e n l. 単位は[去山. (2623)式は改めて、. m 2 1 = [ E i E x m ] =伽 xm]. 極子モーメントを持つ。ベクト/レ m. mmf. I h . _ _ . .. . : . . . .Une. _. . : . .. (2633). の磁気双 と書ける。. m刷 ' g n e U c. は 1個の原子の軌道磁気双極子モ. a g n e t t cの向きは電流. " ，. ーメントの z成分である。 の流れる向きと右ねじの関係にある。原子核の周りを 周回する荷電粒子の周期を T とすると、. 1=主 T. 今、体積 Y の巨視的物体を考えたとき、. Z 方向の外. 又は B) が在るときの、系全体のハミルト 部磁場 H ( ( 2 6 2 9 ). ニアン. Hham'l は、その物体の構成原子共に渡つての. 個々の原子のハミルトニアン hh. I. の平日を取ったもの. である。故に、 度. 44na. 虫貝. 速. 面. T 。S一. る あ で. 州. Hh a m i l=. ( 2 6 3 0 ). ' L ;hhamil. (2634). である。原子核座標原点に選んで平面極座標を用いる. である。その系の単位体積当りの平均誘導磁気モーメ. と、粒子の位置座標はか ， 0 )で与えられる。角運動量 L z. ント、即ち、その物質の磁化 M は. は 、. L z=日. ペ ル. =2. 2日 積 速 度. (2631 ). M= . l (-竺也L i v¥ dH}. (2635). である。. である。故に、 ( 2 6 2 8 ) ' 式は. z. 磁 界 は rの関数. H ( r ) y. z. S極 x. + q ( r ) [ Wb l. q~判明・ ml. mmagnonc(r)a. 誘導磁気双極子モーメント x. O. +Q[Wb l. N極 固定点 Oに在る点磁荷 であって空間の磁界源. 図2. は rの関数である.
(6) 1 4 8. 近畿大学工学部研究報告. No . 4 3. 2 6 3 9 )式への移行に就いては、電荷と ( 2 6 3 8 )式から (. 間の或る一点である座標の原点に固定された点磁荷で. 電流が存在しないときのマクスウェノレの方程式の内. A .turnlm]の磁場源で あって、周囲の空間の磁場 Hヤ)I. ( 2 2 9 6 )式の. ある。この様な点磁荷 +Q[Wb]を想定するには、細い. V. n u. X. E. 担 一 hu. 一 一 H. 図 2を考察する。図中の N極、即ち、 +Q[Wb]は空. 無限に長い棒磁石を考えれば良い。磁石の他方の端の. S極の -Q[Wb]は無限のかなたにあり場に影響を及ば. AY. 畑町一命. 的. 凸リ. d. 全く同様にして、力の y成分 F y { r )と z成分兵ヤ)は それぞれ、次の様である. O. Fy(r)=q(r~l dH: 出 +Z 位Rv+旦今ω R z1 今 d y l y' -~. .."". y. = 作 ) 手 ・ R=m 刷. mm 伊耐令)に作用する力. ( 2 6 4 2 ). が成り立つ事を使用した。. るである。 外部磁場 H ( r )によって、この誘導磁気双極子モーメ ント. ゐ m x一. ーメントは外部磁場 H令)中で磁場によって誘起され. 畑町一内仰. ，. 、. モーメントは mmagn耐い) = 0である。誘導磁気双極子モ. +. は誘導磁荷士q ( ∞) = 0となり、無限遠で誘導磁気双極子. /F4Illt. + q ( r ) [ Wb}へ引いたベクトノレである。固定点磁荷の作. AE. ト m叩制点)[Wb'm ]の 誘 導 磁 荷 q ( r )[Wb}から. 批. +. が在るものとする。 R[ m]は誘導磁気双極子モーメン. z. momlllfl. =∞で、は 0で、あるので、そこで る磁場 Hヤ)は無限遠 r. m y一h. ( 2 6 3 6 ). 〆Flail-. ( r )= =q ( r ) R[Wb'凶. magm.nc. 、 、. H. x. m. o t. v. 磁気双極子モーメント. dE で、静電場の場合、一 = 0であるので、. m g一砂. さない。 N極の点磁荷 +Q[Wb}から dm]の位置に誘導. [ ( 2 2 9 6 )式] ( 2 6 41 ). ・ 1 手. ( r ). ' g n . b c. mom . ， ， '. vy. Fか)は、次の様である。. vy. ( 2 6 4 3 ). 十 ) 一 件)H(r判包637). 時) = q ( r ) H (. カF ( r )の x成分えか)は. .(ドット)はスカラー積である。. 伴. 明) = q ( r. =q~け誓小. イザ(片平GRyJ. 別 )=q川 ) +q ( r. ( 2 6 4 4 ) 故に、 ( 2 6 3 7 )式の力 Fヤ)は. + ザ ( が} J. 乎 ( 凶 す タ 判 川 民 z J. R. y. dHI ^ 《. ( 2 6 4 0 ). ••. r. 1¥. のにする仕事 wヤ)同は F-. {mm-( けz J I E. ) ( 鉛 ω 6 ω 却 ω 紛 2. を、位置 rから無限遠の磁界 Hい) = 0までもって行く. v 副 い・. である。. ω ( 側 ω 鉛加側 ω 6 回3 拘 側 2 8. FE. 叫耐. R. . .. = q ヤ)雲・ R叫 申 即 M必 I c川. 。 6 ω. 場のカ Fヤ)が誘導磁気双極子モーメント凡gnebc( r ). F 、 ‘ ， ， @paE'M. 仲 什 ( r ヤ 刊. 十rzk)・ 誓 } ま. 、 、 ， a 一 ， ， ， w 、 ‘ ・. 叫 寺 乎 } 札凡乎 叱平 久 川 z } 川 = 吋 叫 q ( イ 4 雫 乎 } 久凡+与 乎2叱R 乎 Rz川 } Ry. e. である。・(ドット)はスカラー積である。. R. Rx. 的 ・ 害 ) ま +(mzrb)併. 時) = { m間. 一川)ィベザ(ーがJ +明示) +. R x +ザ R y千九}. ( 2 6 4 6 ). = ! ト が ) ・ 誓 ) 什{ m : 日 ) ・ 号ψ ).
(7) グリーン関数と多体問題(13 )一〈量子統計力学 5 >. 多体問題とグリーン関数との関係の研究. + ! ( m wか ) ・ 誓 ト =I 1mm伊. ( 2 6 4 7 ). 双極子モーメントの総和L:m叩 .Uc を系の体積 V で割 V m o m o n J ったものは、その系の磁化ベクトノレ M である。 L:m M = ι F L IWbfmzl=[Wb・ 山3 ] ( 2 6 5 3 ) 叩 副C. y+m ' cdHz+m ' g n e l i cdH m . 伊 l i cdHz1 m o m o ， ， 'x tY m o m f l n tz ). 土. 1 4 9. 脚. 師. 体積 Y の考察している正準系の内部エネノレギーの. +I 1mm甲 山 dHz+mm伊 Mc dHy+mm申 .lIcdHz1 二 、、 m o m o n t m o m o n lv o m " ， ， 'z }. 増加 dUは次の様である。. dU= TdS-VMdH. " ，. J. ( 2 6 5 4 ). 、. dQ=TdSの値は磁気双極子モーメントの向きを乱そ. Q g n cdHy + +I 1mm伊 山 dHz+mm m m . 伊 脚 d Hz1 〉 、 m o m m o m o n ty t z ). うとする温度 T と磁気双極子モーメントの向きを揃. 。 o r 耐. 酬. 刷. えようとする外部磁界との兼ね合いで決まる。ヘルム ホルツの自由エネルギー F の定義式は. f m m ヤ ) ・ dH. =. 刊. ( 2 6 4 8 ). c. ( 2 6 5 5 ). F=U-1S である。故に、. dF=dU-TdS-SdT. = j m mmc(H)・ 調. ( 2 6 4 9 ). ( 2 6 5 6 ). である。こうして、. dF=-SdTー悶fdH. ( 2 6 5 7 ). 調. 但 伊脚. m. HPEEdo. を得る。そして、これより、系のエントロピー Sと磁. ( 2 6 5 0 ). 化の強さ M を、それぞれ、次の様に得る。. 侍t . H. である。 ( 2 6 5 ω式は外部磁界 Hか)中で、誘導磁気双極. ( 2 6 5 8 ). S=. 子モーメント自身が持つエネノレギー(微小磁石として の磁性体物質が持つエネルギー、磁化した物質の磁場. 1(dF). のエネルギー)である。そして、このエネルギーは磁. V~ôH ) r. ( 2 6 5 9 ). ￨一一. 場H ( r )の方向に誘導磁気双極子モーメント m r g n e l i cの. 以前の節(~ ) 9の量子統計力学の正準集団(カノニカ. 向きを揃えようとするエントロピーと関係するエネル. ルムホルツの自由エネルギー F と統計力学量である. ギーとは異なる。. ， N， V)との、対応関係を表わ 分配関数(状態和) Z(T. 刷. レ /. 温度 Tの熱源を構成するところの外系に周囲を固. アンサンプノレ)中の ( 6 2 3 )式は、熱力学量であるへ. まれて、熱エネルギーの出入りを許された一定体積 y. す式であった。即ち、 F， r ; (N， V)=k B T l o g .Z(T λ V) [(623)式] (2660). の系は正準集団と大正準集団である。そして、正準系. である。故に、量子統計力学の正準集団に対して我々. は系の粒子数が一定 N であるが、大正準系は更に粒子. は磁化の強さ M の次式を持つ。. 共の出入りも許される系である。しかし、以前の節 (~ ) 2 1の大正準集団における密度の揺らぎ中の ( 1 2 0 5 ). M=k.T.~)og. Z(T λV) 。 oH V. 鮒1). 式辺りで述べた様に、大正準集団を構成しているほと. 他方、量子統計力学の大正準集団に対しては、正準. んど総ての微視的系共は同じ数の粒子数万を持って いる。故に、大分配関数 Zヤ ， T， N， v )は. 集団の場合のヘルムホルツの自由エネルギー. s ヤ ヱN， V， ) =玄zNZ(Tλ V) N=O. [ ( 1 2 0 6 )式 、 ( 1 5 7 3 )式参照] ( 2 6 51 ). 間 力 。 N，v) ，. [ ( 1 2 0 7 )式参照] ( 2 6 5 2 ) となり、この条件下では、大正準集団は単純に正準集 団に等価になる。 この様な系が外部磁界 H 中に在るときの誘導磁気. F(T λ V)の定義式と粒子数万使って. ヤ ， N， V)=-kBTlog.Z ， r (N ， v ). F. 金 主 主 主i. z-kBTloJ. z. [ ( 2 6 5 2 )式を使った。]. =-kBTl 拡 S ( z ， T， N， V)+kBT l ogZN. ( 2 6 6 2 ) ( 2 6 6 3 ).
(8) 1 5 0. 近畿大学工学部研究報告. v ) ω664). =NkBTl og.z-kBTl og:a 机万，. 1 2 )式と比較せよ。] [ ( 1 1 4 2 )式、(12. N o . 4 3. ( b ) 電子のスピン共は磁場に平行に並ぼうとする傾向 を持つ。 原子核はそれ等が電子の波動関数に影響を与えている. 故に、量子統計力学の大正準集団に対して我々は次式. 事を除くと、物質の磁気的諸性質にほとんど寄与しな. を持つ。. 8 0 0倍もの質量を持ち、あま い。原子核共は電子の 1. =kDT~O弘斗，Tλy)ì Q. oHI. ¥. V. りに重くて、正電荷を有する原子核の軌道運動による. ( 2 6 6 5 ). ノz ， T. N. V. ここで、ブューガサティ ( f u g a c i t y )zは体積 Y中の粒 子数の平均数万. 軌道磁気モーメントを持たない。又、原子核の持つ核 スピン磁気モーメント(核磁子は電子の磁子の約 3 1 1 1 8 0 0である。)電子のそれの 1 0 倍以下である。 外部磁場 H に依る電子スピンの整列は物質の常磁. 万=4Mb ， TNV) [(1m式参照] (26ω. 性に起源を与える。他方、電子共の軌道運動は物質の. と( 2 6 6 4 )式とを連立させて、消去する事が出来て、. の 2つの効果が競合し合う。しかし、我々はここでは. ( 2 6 6 5 )式の磁化の強さ M を万で表わす事が出来る。. 常磁性を完全に無視する。そして、電子共を束縛して. 反磁性に起源を与えている。 1つの物質中ではこれ等. いる原子核の効果も又無視する。 我々のここでの議論は、外部磁場 H 中のスピンを持. ~ 36 ランダウ準位. ( 2 5 8 6 )式へ戻ろう。. 。. M Xm豊百. [ ( 2 5 8 6 )式] ( 2 6 6 7 ). たない自由電子気体の理想化された問題に特化される。 外部静磁場 B ( = μ : o H )中の非相対論的自由 1電子の ハミルトニアン H加 mllは、次の様である。. が _eA)2. 系 が ん く O のとき、その系は反磁性 ( d i a m a g n e t i c ). HhQmll =. であると言われる。他方、 Xm >0 のときには、その. p a r a m a g n e t i c )であると言われる。物質の 系は常磁性(. ( 2 6 6 8 ). 電子の電荷は負 eくOである。ここで、運動量 pを. 示す磁気的諸性質は主としてその物質中の電子共の振 P=-i1 iV. る舞いに依っている。我々はこの節(~)では、系全体. の磁気的性質が 1個の原子の性質のみで決まる様な場 対して、物質の示す強磁性 ( f e r r o m a g n e t i sm)は異なる. と書けば、 ( 2 6 6 8 )式はシュレディンガー表示の量子力 ( = μ。 H )を z方 学のハミルトニアンになる。今、磁場 B. 原子に属する電子のスピン聞の、或いは、金属の伝導. 向に取る。電子に働くベクトノレポテンシャルとして. 合を考える。この様な場合を非強力系と言う。これに. 電子共のスピン聞の交換相互作用によるスピン共の整. A=A x I+A y Y+A z i. 列と言う協力現象である。このとき物質は自発磁化を 持ち、外部磁場 H を加えなくても巨視的大きさの体積. = 一μ。 H片 +Oy+Oz. で全磁気モーメントが Oでない区域(磁区)を持つ。 巨視的大きさの体積ではあるが、それでも尚、微小な. ( 2 6 7 0 ). のゲージを選ぶ。即ち、我々は. 多数の色々な自発磁化の向きを持つ磁区共の集合体で. 4=一μ。砂. ある強磁性体は、初め外部磁場 H がないとき、その平. A y= A z=0. 白671 ). 均磁化 M=Oを持つ。そして、ひとたび外部磁場 Hが. と言うゲージを選ぶ。この様にゲージを固定すると. 掛かったときには、外部磁場に対して磁化 M は磁気履. ( 25 91)式は. B=rotA. 歴を示す。我々はここでの議論で協力現象である強磁. f e r r o m a g n e t i sm)は扱わない。 性(. = ( 等 与 ) x 傍 与 ) y 件 与 ) ー. 物質の示す磁気的諸性質は主としてその物質中の電 子共の振る舞いに起因している事は既に述べた。そし て、これ等の電子共は 1つは原子に束縛されているか、. = μ。 Hま= μ。 H=B. 或いはもう 1つは近似的に自由な電子(伝導電子)で. ( 2 6 7 2 ). ある。外部磁場 H が掛かったときの物質の磁気的諸性. となり、間違いなく一様な z 方向に磁場 B ( = μ。 H )を与. 質に対しては、以下の 2つの効果が重要である。. える。. ( a ) 自由電子であれ、束縛された電子であれ、電子共. の軌道運動は磁場中で量子化されている。. ( 2 6 6 8 )式のハミルトニアンは次の様になる。.
(9) ( 1 3 )-. 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題. Hhamil合. 1 5 1. l k r e l k : zを消去して 故に、両辺から共通の項の e. 2. 』叫. ( v ) n2 θ2r. 1 : o f ァ (夙 +eμ ( Y )ーァヰ芋 かY t L .m L .m o v. = ネ ト eμoH片Y =二~~2 +2eμ:oHypei+e2μ川 L .m. 巴. 去k，zt(Y)=的). γ). ( 2 6 81 ). を得る。そして、これより、. ，. ) = ヰ レJ+PY2+P人 2例 時 X+向 γ 〆 ' P. =2~ ~X+eμo時)2+PY2+PZ2)(鉛73). )ー が す が 手 } 古{(せ叫時2 ( 2 6 7 4 ) 故に、波動関数 v )が満たすべき、ンュレデ、インガ 仏y，z ーの波動方程式は、次の様である。. 2t ( Y ) ( y +会 ) t千 J 云ヂ+ m (. ( Y ) ) 十写t ω。=ヱ凸互 >0. ( 2 6 8 3 ). Y o呈旦"_>0. ( 2 6 8 4 ). m. _ ' _ z _. u. - ) '. ( 2 6 7 5 ). z方向に掛かる外部静磁場 B ( = μ : o H )中の非相. 対論的 1 自由電子のハミノレトニアン H h aIを考えてい 刷. 2 6 7 4 )式と ( 2 6 7 5 )式の電荷は負 e<O るのであるから、 (. ( 2 6 8 2 ). をf 与る。ここで、. μ。 H -e 2 _ . f e k E '量 E一 一. 1( θ i n2d2 w n2d2 w nー +e μ 一一卜 i v r -一一与一一一千 =Evr .。砂 I 2md y " 2md z " 2m. ¥ dx 2. 我々は. <量子統計力学 5 ). 2m 2 6 8 2 )式は次の様になる。 と置くと、 (. ( Y )=的) } ( 云 手 + シ ル ハ2)t. ( 2 6 8 5 ). ( 2 6 8 6 ). であった。ハミルトニアンは位置座標は y座標のみを. これはんを中心にした y軸 1次元調和振動子に対す. 含んでいる。我々は次の形の波動関数 v y， ， z )を仮定 r ( x. るシュレデ、インガーの波動方程式である。 ( 2 6 8 6 )式の. する事によって、上のシュレディンガーの方程式を解. 固有値は. く 。. 叫. 加ω h 叱 肘 = 斗 吻 叫o h k ， x 偽z z ) = e i y， e t v r ( x， ( Y ). ( 2 6 7 6 ). 2 6 8 2 ) である。故に、 ( 式に対する固有値は. _ e .(. n2 1i E仇 j)= ーム+加。 Ij+~l j=O 以… - 2J ¥. このとき、. (サ叫砂)2vr=仇叫時). である。. 2 6 8 8 )式を外部静磁場がないときの自由 1 我々は、 (. }e1k，t(Y) (仕+ゆi k ， x. 電子のエネルギー. Z. 2 仇.，2 ) 土 肋2k九 f l2 k ，， + L . m.. EK=. =~批X+ eμ。時 Ye. iヤ. e'k， z. ( Y ) t. ( 2 6 7 7 ). ~2 y ) (267紛 ， kz e i 立( 内 4ιz 姐~n =e'k，x v: =~J 2 砂l 砂 l 司y ヤe 卯 f )}=-k 2 e "勺治，z ( 竺 笠 = ) tY か Z d z 2 ~ ~kze" d z. L加. L .m. x叩. t(Y) ーとmetkxXeilc~z 与斜 ov. z ， e ' k ' ' ' e ' k 母Y o. L .. d k 鳥~Zzγ/ωy)=Ee〆〆 計 手二 k/γJψet ヴパル(かけ i此勺 +1 L .m. ω. ( 2 6 7. 2 6 7 5 )式は次の様になる。 であるので、 ( 二. ( 2 6 8 8 ). ( 2 6 8 ω. と比較する。磁場方向 (z方向)の運動エネルギーは同 x y面)の運動は ( 2 6 8 8 )式 じであるが、磁場に垂直な面 ( では量子化されている。故に、この運動は角振動数が. uoH m. ーρ. ' 0 " [ ( 2 6 8 3 )式]の周囲運動である。そして、 ω。=一". これこそが物質内部で一様な磁場に垂直な z方向の螺 旋軌道であって、境界にぶつからない古典的電荷(電 子 e<O) のサイクロトロン運動である。 ω。はサイク. 2 6 8 8 )式はランダウ ロトロン(角)振動数である。 ( u } エネルギー準位である。 Oanda ランダウ. エネノレギー準位の式の ( 2 6 8 8 )式を更に変.
(10) 1 5 2. 近畿大学工学部研究報告. 形しよう。. No . 4 3. H=H まが点灯したときのエネノレギーの式 ( 2 6 8 8 )式. f i 2 k2 品 E{ k z， j)=ー ム +n~O ( 2 }+1 ). 2m. ( 2 6 9 0 ). 2. 。. f i2k _ μ( e ) i =ーム←一.t:" H(2j+) 1 2m 2m 2. [ ( 2 6 8 3 )式を利用した。. ( 2 6 91 ). l. 2 2. f ik _ ) j=O以 … =三五一 +sH(2}+1. ( 2 6 9 2 ). 圭ヰ坐. ときの z方向 1次元自由粒子の運動と全く同じなので、 ( 2 6 8 8 )式 [ ( 2 6 9 2 )式]の kzに許される値は同じく ( 2 7 01 ) 式で与えられる事が分かる。 Lは巨視的な大きさであ るので、離散的 k 2 6 8 8 )式 z の値の間隔は小さく、 ( 2. f i2k. [(2692) 式]の右辺の第一項の~は k の関数として. となる。ここで、我々は. Lm. [ W b ・ m]=仰 (A.t 旧制] ( 2 6 9 3 ). β. [ ( 2 6 9 2 )式]と比較する。 z方向に限って考えれば、状 態は波動関数に z方向に Lの周期的境界条件を課した. Lm. と置いている。これは電子の軌道運動に由来する磁気. 捷連続的である。 次に、外部静磁場 H=H まが点灯している中、 kzを. モーメントの量子力学的単位であり、ボーア磁子. 或る 1つの値に固定して、電子の砂面上の運動を考察. ( B o h rm a g n e t o n)と呼ばれるものである。(注 ボーア. 3 する。我々は一辺が Lの 1個の大きな立方体 V=L 中. [川 =[ J / ( Wb /m2 )]とする場合も. に系を置いている。そして、波動関数に周期的境界条 件を課している。 k， に許される値は( 2 6 9 9 )式の形をし. 磁子り=年並 Lm. ある。) ( 2 6 9 2 )式も又、ランダウ. エネルギー準位で. ある。 1辺が Lの立方体中の自由電子の波動関数 vに周. ている。. 与n，. k，. V f ( X +L， y， z ) =V f ( X ， y， Z ). ( 2 6 9 4 ). V f ( X， y+L， z ) =V f ( X ， y， Z ). ( 2 6 9 5 ). V f ( X ょz + L ) =V f ( X ， y， z ). ( 2 6 9 ω. が成立する。自由粒子のシュレディンガーの波動方程. f i k くて制限がある。 ( 2 6 8 6 )式はん"， ' τ を振動の中 -e μ : 01 1. 心とした y軸 1次元調和振動子の波動方程式である。 故に、その波動関数 f ( Y )は中心を y。に置く。. 式. Y o. 書. f i 2(θ z δ 2 θ 2 ). 一一 ￨-7+つ +~， I V /( r ) =EkV f k( r ) 2mlほ d v " oz"} k. ( 2 6 9 7 ). を満たし、 V=Lの立方体中で規格化され、周期的境 界条件を満たす波動関数は進行平面波の. れか)すeiJ<.r. ( 2 6 9 8 ). 1 i k _ 1 i 27r Y o喜一ームー=一一一一・"':.n~ -e μ。 H -e μ。 H L •. ι-2 7 rn L Y. 2 ， . .. Y. ι与n. ( 2 7 0 ω. ， : tl 士 ，2， . . .. (27ω. 円. z. k2+kv2+kz2). 包7 0 8 ). 。. [ ( 2 6 8 9 )式] (27ω. ". n〈e μoHL 2 2幼. 〈. 2 7 r. 円. 日リ. 、、，ノ. O4. J t. 、 ‘. z. .. 、 、 -. 今. ， ，z n +. 勾，& &. ny +. Ili--. ・x n s a -. 2. ， ，、 ‘ 、. q'. 均 一L ノ ，. 勾，曲目陣. flilt¥. 一 一. &H 一今'h. 。 円t. L m‘. ( 2 7 0 7 ). そして、晶=土であるので、. 波動ベクトノレ kを持つ状態のエネルギー固有値は. Ek=~2. O〈 h 2 zn L ーー一一 一一・ 一一一 _<L -e μH L •. 故に、. n . .= O.: t L : t 2 .… Y. ( 2 7 0 6 ). Oくれく Lである。故に、. 。. ( 2側. ( 2 7 0 5 ). である。 y。 が 砂 面 内 の 断 面 f 内 に 入 る 条 件 は. である。 kの許される値は次の形をしている。. n x=山. I i k ， =~=ーム=ーι I i k ， P -e 的H mω。 mω。 ω。. である。 ( 2 7 0 4 )式を利用すると、. 3. 子nx. 胸的式] ( 2 7 0 4 ). しかし、 n， の値は( 2 7 0 4 )式[ ( 2 6 9 9 )式]そのままではな. 期的境界条件を課す。そのとき、. k，=. n，=O ， : tl ， : t 2 ，. である。 初めに、 ( 2 7 0 2 )式[ ( 2 6 8 9 )式]を z方向の外部静磁場. e μH 2 <一一一: " L h. ( 2 7 0 9 ). を得る。こうして、 n ， の値は正で上式の範囲内のもの に制限されている。こうして、この範囲に九の量子化 単位子が入る個数は g= 互L2 -二竺E h. ( 2 7 1 0 ).
(11) グリーン関数と多体問題 ( 1 3 )一〈量子統計力学 5>. 多体問題とグリーン関数との関係の研究. である。 g はランダウ準位の縮退度であり、外部磁場. H と共に増加し、又 L2 に比例する。 ( 2 7 0 5 )式の右辺 の最後の式を眺めよう。電子一eがに方向へ走り出す まのローレンツカ F=-evxμoHによって、 と磁場 H::H y。を中心としたサイクロトロン周回軌道を描く。そし. て、その周囲軌道は金属の砂断面の. rの中に入って. 2 7 0 7 )乃至 ( 2 7 0 9 )式の条 いなければならない。それが ( 2 7 1 0 )式が L2 に比例するのは、ぞY面上へ 件である。 (. 153. と j+l準位の聞は 2sH=生 色並H である。図中の. m. (c) は H=HJのときのランダウ準イ立[但し、 k ，=0]. を表わしている。各準位の縮退度は g =今 む で あ る 。 (d)は磁場がないときの自由電子のエネルギース ベクトルである。 ~ 37 ランダウの反磁性と磁化率. 以前の節 (~)31. 大正準集団で扱う理想気体中の. 2 0 )式の議論をもう一度思い起こそう。 ( 1901)式乃至(19. の電子軌道の射影がエネルギーを変える事なしに平面. そこでは、フェルミ気体の大分配関数は次式で与えら. 中の擬任意の場所に中心を置く事が出来ると言う事実. れている。. を反映している。こうして、外部磁場 H=H 五が点灯さ れるとき、砂面中の運動と結び付いたエネルギー準位. s ( 叫. は擬連続スペクトノレから離散的なものへと変化する。 そして、準位間隔と縮退度は外部磁場と共に増加する。. 2 6 9 2 )式の E ( k " j )を示したものであ 固定したときの (. 昨 昨 叶 ト ( 卜 1 ト μ 吋 ト h 卜 ω z 切 + e. [ ( 19 1 6 )式] ( 2 7 1 1 ). 又、フェルミ気体の l o g . Sは次式で与えられている。. 図 3はランダウ準位を説明している。 図中の (a) は外部磁場 H を或る一定値 H=HJに. I J (. 叫. = 5 1 十J ). Tり. ( k " j )は破線で描かれている。図 る 。 H=Oのときの E. [ ( 19 2 0 )式] ( 2 7 1 2 ). 中の (b)は外部磁場 H を H=Oから H=HJへ強めて. メ4. 行ったときの E ( O ， j ) [即ち、 ι=0]を表わしたもので. zはフューガサティ ( f u g a c i t y ) z= e勺T である。 μは. ある。ランダウ準位のエネルギ一間隔は H=Oのゼロ. 粒子の化学ポテンシヤ/レである。 pは 1粒子状態の運. 山 川 =0準位の聞は βt H = 半 む で 、 J樹立. 動量であるが、粒子の量子状態を指定している。. Lm. E ( k ρ j ). Eい ， j ) n = n ，. E ( O， j ). j=6. 2βH 2βH 2βH. rI a 〆. " '. O. 2βH. 〉k，β O. (a). H (b). 図3. Hl (c). H=O (d).
(12) N o . 4 3. 近畿大学工学部研究報告. 1 5 4. 我々が、今、考察しているところの系、 z方向にか かった外部磁場 H=H ま中のスピンを持たない自由電 子が持つエネノレギ一国有値は ( 2 6 8 8 )式[ ( 2 6 9 2 )式]で与 えられた。. f. ょう。 p z1 : t(2718)式の様な離散値である。中z 中l こ がホ. = f. 中z個ある。又、[括弧]内の関数は pzに付. lL). 等+叫. E ( k z， j )=. j=O ， 1 ， 2， ， . ・. 2 7 1 3 ) [ ( 2 6 8 8 )式] (. φ jz= 2 J 中. いて左右対称関数である。故に、. z である。. f 旦し、ここで、 k _2 t r L. n ，=0， 士1 士 ，2， ・ ・. 2 7 1 4 ) [ ( 2 7 01)式] (. j=0 ， 1 ， 2， ・. [ ( 2 7 1 3 )剖. ( 2 7 1 5 ). そして、更に、量子数 jの各々は g重に縮退していた。 2 g一 - 三位互 L h. 又、ここで、我々は積分変数を p zから p に書き換えて おく。故に、我々は、次式を得る。. 1均 og.E=~笠豆勾テ対弘 flog 均o略g.ll+ h 凡拡. 一. ( 2 7 2 3 ). h討 1 = t E e1￨￨. 2 7 1 6 ) [ ( 2 7 1 0 )式] (. 故に、量子数 Jの各々の中にもう 1つ縮退準位共を識. z. ，-. h 同~. 別するところの量子数 α が有り、. I L. 川村 ￨ 剖 長 崎 叫 ( ぺ f ) 一 色 一 、' l l ol ! :l l+ze ¥ . . . . "' }I ぬ. l '. ( 2 7 1 7 ). α= 1， 2 ， 3 ， …， g. ( 2 7 2 4 ) ( 2 6 6 6 )式 は 量 子 統 計 力 学 の 大 E 準 集 団 の 体 積. である。我々はここで、 ( 2 7 1 4 )式と係わって. 21Z免 h p， =hk ，=一 -n_=-n. 2 7 1 8 ) n，=O ， : tl 士 ，2， ・ ・ ( L L と置く。この場合の p ， は運動量演算子ではなくて、 z. V[m3]中の粒子の平均数万を求める式であった。故に、 V[m3]中の電子共の平均数万は. 万 = 十 件 T， N， V). 方向に許される運動量の値を表わしている。. 司 子 会 ! 叶. 我々が、今、考察している系、温度 T 、体積 Y、外 部磁場 H=HZの大正準集団の大分配関数は( 2 7 1 1 )式. [ ( 2 6 6 6 )式] ( 2 7 2 5 ). い l. JEUja). に習って、次の様である。. z ( 哨+ z e寺 ). [ ( 2 7 2 3 )式を代入した。] ( 2 7 1 9 ). 亘 ， T， V. 但し、ここで、添字 λは量子数の組. 2gL~1 θ| 土s(p，J，a) 1 =一一 Yf z~ l o g . l l + z ekif ' " .I. hF t i a z. ι，α}を表示し j. サ ベ 寸). ている。もちろん、ここで、. ι叫. ， j， α ) =. J. h. である。 量子統計力学の大正準集団の磁化の強さ. z I e k"T. 、. 一 J. @ヤー︼同'. 7. Mザ. j. ( 2 7 2 6 ). D . I . a) B(. 粒子の平均数万を求める式の ( 2 6 6 6 )式を眺めよう。 我々は l o g .S ( z ， T， V )を計算する必要がある。. . t t p o + + z e.~lかHJlj. 1 +ze' s '. 留. j =V 0. M [Wb /m2]を求める式の ( 2 6 6 5 )式と、体積 V[m3]中の. =. -.--ao. -~B(pゾ，a) •. = 子t J 2- 1 中 +. [ ( 2 7 1 3 )式] ( 2 7 2 ω. 1 略 →2 5 1 4 1 + z e t ( P J a ) l. K' g l. IZ. 全~~ d. . ! " B( P ，J ， a ). ーで. ・e. 2f ! L岳 、 干 =ーエー予. j= O ， J : : l ， 士2 ， …. l ￨. 中. ( 2 7 2 7 ). である。 ( 2 7 21 ). 量子統計力学の大正準集団の磁化の強さ M [Wb /m2]を求める式が ( 2 6 6 5 )式であった。もう一度. 書く。 ( 2 7 2 2 ). M=kDT~(!og.E(z，T，N，V)ì ðH~. V. ， ).T.N.V. である。 p， についての和玄 を積分 中 z に置き換え [ ( 2 6 6 5 )式] ( 2 7 2 8 ).
(13) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題. そして、磁化率んを求める式が ( 2 6 6 7 )式 [ ( 2 5 8 6 )式]で ある。. ー ト. Q 2 : ld x ，. ん = 筈. 胸 帆 ω667 胤. ( 2 7 2 9 ). 古典的領域で磁化の強さ M を計算する目的で我々は 高温の極限 T →∞を採る。以前の節(~ ) 3 2 理想フェ. ( 1 3 )ー〈量子統計力学 5 >. 1 5 5. = = が. ( 2 7 3 6 ). を使うと、 ( 2 7 3 5 ) 式中の積分部分は、次の様になる。. j e す. 中. 2. = j同 志. ( 2 7 3 7 ). 2 1 21)式と ( 2 1 2 2 )式を眺め ルミ気体の状態方程式中の ( よう。この 1組の式は理想フエノレミ気体の状態方程式 である。厳密に言えば、この両式から zを消去したも のが状態方程式である。 ( 2 1 2 2 )式を変形して書く。. ョ ん( z ) v. 町平・3与 互J Z e 告. J. 伽 3 8 ). [ ( 2 1 2 2 )式 、 ( 2 1 7 6 )式] ( 2 7 3 ω. 2 ". ところで、無限等比級数は. 上式中の vは比体積. 寸. [ 仰 拭 ] (抑). である。又、 λはエネルギ -kBTを持つ質量 m の 1粒. a+ar+ar2+…. l r I1のとき、 く. ( 2 7 3 9 ). aー. 1-r. である。故に、 ( 2 7 3 8 )式中の和の項は ∞_ ^"o;. 研 一 川. 子の熱波長. 故に、 ( 2 7 3 5 )式は次の様に続く。. す eks T - 一 二τァ [ ( 18 2 2 )式 、 ( 2 1 2 4 )式] ( 2 7 3 2 ). 7 コ. 包7 4 0 ). ニヨ. l-ek， T. である。故に、 ( 2 7 3 8 )式は次の様に続く。 理想フェルミ気体の状態方程式中. である。節 (~)32. 位1 7 5 )式の直ぐ下の図]は位 7 3 0 )式を描いたも の図 1[. 辺 JEE 一発 e--τ-::-. 1 o g _ E周. 2. h. _ ! ' . l-eks T. f μ 1. のであり、フューガサティ ( f u g a c i t y )l z呈 ek， T I の振る. -~. -笠L 一一. r 寸一一. 2n 1 i-. 舞いを示している。体積 V中の粒子数 N を有限に保っ. る。次の様になる。 X I.r-l. . l !. x I. ! ! ! ! 1. z g L. e2ks T. 一 区瓦 一 鳴 ト 一 一 一 一 VmkBT. y=logeX=loge1+4.4(x-l)+4.11(x-lY 1 !. e2ksT 二2合. V2m九T1f. て、高温の極限 T→∞を採れば、熱波長 λ→ 0となり、 図より z→ 0を要求する。 関数 y =log.xを x=lの周りでマクローリン展開す. ( 2 7 4 2 ). 1-e. z g L_ e ' λl-e-2x. =--.---. +~. e~1 ( x 1 J+… . j ! X Il. ( 2 7 41 ). ( 2 7 4 3 ). 但し、ここで、熱波長 λとxはそれぞれ、. 原 一 向. X=. = か ト い 一 -1 吋かいド一」 1 小. [ ( 2 7 3 3 )式] ( 2 7 4 4 ). 次に、 ( 2 7 3 3 )式を参考にして、(27 2 4 )式を zの幕に展 開する。そして、. Z→. 0なので一次の項のみに留めて. 置く。次の様である。 L ~m. ( 2 7 4 5 ). である。我々は今、高温の極限を考察していたのであ. ヲz~L~r lv? な 古1t+魚崎(ぺ)( 四. hωA. x=ー一一」 2 九T. ~)J 中(幻34). るから、 T→ ∞ で xは極めて小さい。故に、我々は. ( 2 7 4 3 )式は xにおける最も低い次数の寄与のみを留め. ヂS J(jd)!e古九. 2. ここで、積分公式. 叫. る事にする。. ω735) e. s. 十. l. 叫斗寸十 X ) 2+.
(14) 1 5 6. No . 4 3. 近畿大学工学部研究報告. =-k. T' ; 1 ， ' 1 2 kB1"T2. rT. お(努) 2 H. ( 2 7 51 ). 3. .2 乞. 又、磁化率んは ( 2 6 6 7 )式を用いて、次の様になる。. 2x l-x+2X2 3. dM ~m. =土.(1-~x21. [ ( 2 6 6 7 ) 式] ( 2 7 5 2 ). θH. ( 2 7 4 6 ). 2x ¥ 6. J. 訪(努. であるので、 ( 2 7 1 6 )式の g の値と ( 2 7 4 5 )式の xの値を. 2 7 4 3 )式は次の様に続く。 代入して、 (. J 一 一i. l o g <z g L. J . . .1-!x2 ヒ官 R ー 一 一 w λ 2x¥ 6 l. 2 2 ef . . l n : ' 0H 2. ・ ー ァ ・ 一 一 ・ ー で 一 一 ・ -m. -3 一 x. Jh. d一 4一 3 2一 + 1一 + 一 2 c. 一今. x 一Z -一一. 同. 1 一x. =土. 2. n. ( 2 7 4 7 ). l. } r. τ =・ 半 ・ 孟{ 1 i ( 会. ところで、磁化 M の( 2 7 51)式も磁化率んの ( 2 7 5 3 ) 式も共に、フューガサティ ( f u g a c i t y )zを含んでいる。 我々は zを消去しなければならない。そのためには. ( 27 2 7 )式を検討しよう。. 万=戦トJ. d p. FOodeF15叫(1+~)} +1. [ ( 2 7 1 6 )式と ( 2 7 4 5 )式を代入した。]. } r. [ ( 2 7 2 7 )式] ( 2 7 5 4 ). z 一均. 中 Z. +. ρ L V. l. 一 zLh. 一. ∞rlJo. -epoH [ ( 2 6 8 3 )式の ω。=一-"'0'ーを使用した。. "す白川. 単 一h. 子・芳・宏1 { 一 去 ( 号 m. ( 2 7 5 3 ). = 子2 iek;r{か 1(う)}1. = 子 ・ 至 上{ l -2~(剖. l. 上. f J i t 叫す)}. 1. = 子{ 1 -; 4 ( 告} r. ( 2 7 4 8 ). 原 一. 叫. w. [ ( 2 7 4 4 )式の. zyj， 1.hz-dA2U21 2. --. 1. [近似公式 X くく lの と き 、 部 l-xを使用した。] l+x. 一 一ート f 一 ド 2 4 k/T m 2. 向 子 主 ~JL~..(;"!ìlI1_ _ t . _ J L : . ， r . " ! i l l ~~1 ek;r{会同(j+~)} 1 -e k ; r { f 1 ( せ ) }. k : r{ か 叫1 ( う ) } 7 5 ! e k B L ∞∞.... ( 2 7 4 9 ). ). -epoH [ ( 2 6 8 3 )式の ω。=一~ーを使用した。 l m. d. ( 2 7 5 5 ). ( 2 7 5 5 )式の計算は zの一次の項までに留めである。 ( 2 7 5 5 )式を l o g . Eの( 2 7 3 4 )式と比較しよう。両式が等. 磁化 M [Wb /m']の強さは ( 2 6 6 5 )式を用いて、次の様に. しい事が分かる。こうして zの一次の程度(オーダー). なる。. では、. M=kBTð~(同ezvV))zrHY [ ( 2 6 6 5 )式] ( 2 7 5 0 ). N= l o g， E. ( 2 7 5 6 ). である事が分かる。右辺の l o g . Eの計算結果は ( 2 7 4 9 ) 式である。故に、近似的に、 ~. zV. f. ru 起 ー 一 一. ←. ( 2 7 5 7 ).
(15) グリーン関数と多体問題 ( 1 3 )ー〈量子統計力学 5). 多体問題とグリーン関数との関係の研究. である。 zについて解いて、. 。( 加¥j"+~2i j=0， 1 ， 2 ， ' " ). E ( k z， j)=E ( O， j )=. z同N 3一 f 一λ =. ( 2 7 5 8 ). v v. E ( O， j+1 )州. 百 三 と. ( 2 7 5 ω. N. は量子統計力学の大正準集団の体積 Y 中の平均粒子 数 N に対する平均比体積である。 ( 2 7 51 ) 式 と( 2 7 5 3 )式とから、高温の極限(室温)で 2 /m] と磁化率んの最後の答えとして、 の磁化 M [Wb. 加 。 = 今!:H. j ) =. ( 2 7 侃). である。. 2 7 6 5 )式は次の様にも書ける。 ところで、 (. 長 す = 号 与 子 故に、. 我々は次式を得る。. k2 =k2 +k2 =竺旦(i + . ! . i. 缶詰(努J H. n ¥ J. く. O. ( 2 7 6 0 ). ( 2 7 6 5 ). である。故に、 dj=lのエネルギ一間隔は. である。ここで、. M. 157. ( 2 7 6 8 ). 2). 故に、 k空間中の電子軌道の面積 Sは. 日キムザ)=半(ぺ) 1 (eμ~01i ì2 一 一目 3kBlv~ 2m). ん. _^. …. ( 2 7 61 ). 2 竺竺.色色互( i + . ! . i i I m ¥ " 2). X. ，<0であって反磁性である事が分かる。これがラン. A3ぜい~). ダウの反磁性である。磁化率んは絶対温度 Tに反比. 刈. 2. 間 ). 例しており、キュリーの法員!J( C u r i e ' sl a w )に従ってい. となる。即ち、磁場中では k空間中の電子軌道の面積. るのが分かる。. は量子化されていて、 Sは H に比例して大きくなる事. エネルギー固有値の式( 2 6 8 8 )式をもう一度眺めよう。. ι = 0のときは電子は運動量 pz=Iiιをもたず、 z方向. が分かる。 次に、実空間における電子軌道の描く面積 Aを考察. の運動をやめて、 xy面内のみに留まりサイクロトロン. する。サイクロトロン周囲軌道の半径 R と周囲速度の. 周回運動をしている。そして、更に、 j=Oのときには、. 大きさ vとの聞には、 v=Rω。. 十。=(芳斗. E ( k z， j ) =E ( O， O ). 。 7 6 2 ). き 、 2次元の砂面中のスピンを持たない自由電子. eく Oは、その砂面中でサイクロトロン角振動数 ω. -eμ~oH. -----. 0-. m. [ ( 2 6 8 3 )式] ( 2 7 6 4 ). のサイクロトロン周囲運動をしている。そして、電子 の取るエネルギー準位(ランダウ エネルギー準位) 2 6 8 8 )式[ ( 2 6 9 0 )式 、 ( 2 6 91 ) 式 、 ( 2 6 9 2 )式]でに =0と は( 置いて、. の. 砂面に垂直な外部静磁場 H=HZが作用していると. R m. の量子化. 脚. 38 k空間と実空間での軌道面積の量子化と磁東. ( 2 7 71 ). ( 2 7 7 2 ). 。. m(jJ. である。故に、実空間の電子軌道の描く面積 A は A=nR2 幼 V 幼 2τ m ω o fl) =nR"=ーァτ= ーョ一τ " 1J+τ￨. 。. ・. mω n " m-ω [ 位7 6 8 )式を利用した。. ーメントが正にボーア磁子である事が分かる。 ~. 上ドム批一. 6 2 )式より、我々は最小限度の軌道磁気モ ばれた。包7. :故=. は電子の軌道運動に由来する磁気モーメントの量子力 学的単位であって、ボーア磁子 (Bohrmagneω n)と呼. P 。 R. [ ( 2 6 9 3 ) 式] ( 2 7 6 3 ). あ. β=竿 金主 [Wb・叫 L .m. る. 2 6 9 3 )式によれば、 である。 (. の関係がある。電子の運動量の大きさは. で. となる。これは 1個の電子が取る最も低いエネルギー. ( 2 7 7 0 ). 2坊 (.1) h ( . I ) =一一一 1 J+す 1 =一一一 1 J+す ￨ mω0¥ L.) mω0¥ L.) [ I i=h j 2Jrを利用した。. ~/. 1 ( 2 7 7 3 ). l. =f・誠H(j+~). 域 H ( ぺ)凡2，. ( 2 7 7 4 ). である。ところで、実空間の軌道面積 A を貫く磁束. φ[ Wb]は、. 仲合(ぺ). φ=AB=A. [ ( 2 7 7 4 ) 式を利用した。]. ( 2 7 7 5 ).
(16) 1 5 8. 近畿大学工学部研究報告. No . 4 3. ω云 仏 叱吋け ザ h 引 す ) h μ . = 加 h 吻 帆 ω 叫. 。 ( j + t ). E 時恥馴や ， 恥 β j 伽 ). =φ. 2+. 2. 叫0. [ ω ( 2 祁 76 2 )式] 包 ( 2喝 7 8 0 ω). であるので、 ( 2 7 7 4 )式は. 一 一 一 ( ムH l 引 J. φ。 (i+.!.1=~. 。. 。. μ Hl- 2 ) μH. j=O以. ( 2 7 7 7 ). である。故に、. 品1¥ k2=k_2+k2=ヱLi￨l+-i[ 匂7 6 8 )式] ( 2 7 81 ) 1 ' 1 ¥- 2). i = O .1 . 2 . . . . 〆2 7 7 ω. である。放に、磁場が存在するときの自由電子の状態. でもある。ここで、. を表わす点は k x k y平面の ( 2 7 81)式で表わされる、半径. =4 .1 3 6 x1 0 -15 [ J .S / C ]=[Wb]=[T'm2] = 4 . 1 3 6 xl O -7( G• cm2]. ( 2 7 7 9 ). 三Zの平面の円周上lこ限られる事となる。図. k=R. 5は( 2 7 81 ) 式[ ( 2 7 6 8 )式]を満たす自由電子の状態を表. は量子磁束である。こうして、磁場中では実空間中の 電子軌道の描く面積 Aが量子化されている事が分か. j=3. J=2. }=1. る。そして、磁場 H が強くなると量子数 Jを固定して 考えたとき、軌道面積 dは磁場 H に反比例して減少す るが、その中の磁束 φは一定である。 次に、 k空間の状態分布が磁場の中でどの様に変化 するかを考察する。最初に、磁場が存在しないときの 状態匙の許される値は ( 2 6 9 9 )式 乃 至 ( 2 7 01)式によって 与えられる。図 4は磁場が存在しないときの 2次元 k x k y面について許された状態を点で描いたものであ る 。. H=HZ. k y. ••••••••••••••• •••••••••••• •••• •••• •j . . . . •••••••••••••••••••• ••••••••••. ι. H=O. 図5 わす点を記入したものである。円周はそれぞれ量子数 j=0 ， 1 ， 2ム…の様に Jの次々の値に対応している。同. 2 7 8 0 )式 ( ( 2 7 6 7 )式]で表わされたエ 一円周上の状態は ( ンルギー. 可0，か長~x2+k/)= 加。(寸 [ ( 2 7 6 7 )式 、 ( 2 7 8 ω 式] ( 2 7 8 2 ) を持っている。各円周の面積 Sは( 2 7 6 9 )式で表わされ る面積. 2叩. 図4. u"H(.1i. =一'-1'''''1包~I i +ー 1 ' 1 ¥ - 2). [ ( 2 7 6 9 )式] ( 2 7 8 3 ). を持っている。円周と円周の聞の面積 dSは 次に、 z方向の磁場 H=戚が存在する場合を考察す る。磁場の下、電子が 2次元の砂面中でサイクロトロ ン周囲運動をしているときの、電子に許されるエネル ギー準位(ランダウエネルギー準位)は kz =0で 、. 必=三千互. ( 2 7 8 4 ). である o 各円周上に在る状態 kの数は円周聞の面積. dSに図 4の状態密度を乗じたものに等しい。故に、.
(17) 多体問題とグリーン関数との関係の研究. ・ ( 去 ). r. ルム. グリーン関数と多体問題. のための場の量子論. 2. 包7 8 5 ). = 今 互L. となり、量子数 jのイ直によらず一定となる。この値は. ( 2 7 1 ω 式のランダウ準位の縮退度 gに等しい。即ち、 図 4j=Oの円内にある状態の数の. lL }. と図 4の j=Oと j=lの円の聞に在る状態の数の. 1. ィ列。 H. .2. 一 一 2 …(2 t r ) 一2h. j の. ( 2 7 8 7 ). lLん. 縮退状態となる。次に、図 4の j=Oと j=lの円の間. j の. “新版量子力学上、下". (吉岡書庖) “統計物理学" (朝倉書. 庖) 8 ) ランダウ・リフシッツ著、佐々木健、好村滋洋訳: “量子力学 1 (改訂新版) " (東京図書). (2tr). 2h. ( 2 7 8 8 ). . ¥L ) 2. “統計物. 理学第 3版上" (岩波書庖). 1 0 )U .F a n o : R e v i e w so fM o d e r nP h y s i c s74v o 1 2 9 N o l ( 19 5 5 ) 1 1 ) 小田恒孝著:. “統計力学" (裳華房) “統計力学" (庚川書庖). 1 3 ) キッテル著、山下次郎、福地充訳:. “キッテル. 熱物理学" (丸善株式会社) 1 4 ) 小暮陽三著:. “基礎と応用. 統計力学" (森北. 1 . . A 1 -e•μ。H T 一 一 一2 2 … (2t r) 一2h. “電子伝導の物理" (裳華房). 1 6 ) キッテル著、宇野良清、津屋昇、森田章、山下次 郎訳:. “新版画体物理学入門上" (丸善株式会. 社). と図 4の j=lと }=2の円の聞に在る状態の数の C'... 富永五郎、浜田達二、横田伊佐秋訳:. 1 5 ) 田沼静一郎著:. 。. Y. 6 ) シッフ著、井上健訳:. 出版). 1 . . A C'.. 1 e μH. T 2 s " . ' " ー=---.. 2. _ y. o n s，I n c ) f i r s te d i t i o na n ds e c o n d W i l e y&S e d i t i o n 5 ) A . M . Z a g o s k i n著:“Q u a n t u mT h e o r yo fM a n y B o d y S y s t e m s " ( S p r i g e r ). 1 2 ) 桂重俊著:. が共に図 5の }=oの 円 周 上 へ 縮 退 し て 今 互L2個の. に在る状態の数の. ( Jo h n. 9 ) ランダウ・リフシッツ著、小林秋男、小川岩雄、. ( 2 7 8 6 ). 山. 1 .n " (培風館). 台、森弘之著: 7 ) 西川恭1. め =0)Jァヱ凸互 μ)2JdL2 (2 t rY i 1 ~2 t r) 2h. 1. 1 5 9. 4 ) K . H u a n g著:“ S t a t i s t i c a lM e c h a n i c s ". -2taPoH. 子 (. ( 1 3 )ー〈量子統計力学 5 >. j の. 包7 8 9 ). . ¥L) 2 が共に図 5の j=lの 円 周 上 へ 縮 退 し て 今 む 個 の 縮退状態となる。等々以下同様となり、図 4の円と円 との聞の状態 kはなくなり、図 5のそれぞれの円周上. この論文は拙著原稿“多体問題とグリーン関数との 関 係 の 研 究 高 等 量 子 力 学 入 門 1ぺ 内 容 目次. はじめに 第 1章. *~ 1.2 状態関数の数表示表現と生成・消滅演算子の 導入，ならびに生成・消滅演算子の交換関係. *~ 1.3 ハミルトニアンを生成・消滅演算子を用いて. へ縮退して、それ等の縮退度は量子数 Jによらず、い. -epoH.2. ずれも一定の値 -t-L[( 幻紛式参照]になるので. フエ/レミオン系の量子力学. ~ 1 .1 序言. 記述する事 *~1. 4. ハミルトエアンの運動量表示，フェルミ真空， フェルミ自由電子・正孔系の記述. *~ 1.5 場の演算子の導入と交換関係 *~ 1.6 ハミルトニアンを場の演算子を用いて記述. ある。 参考文献. する事. 1 ) J.M.Ziman著:“E l e m e n t so fA d v a n c e dQ u a n t u m. T h e o r y ". *~1. 7. ( C a m b r i g d eU n iv e r s it yP r e s s ). 2 ) 高野文彦著: “新物理学シリーズ 1 8多体問題" (培風館) 3 ) 高橋康著:. “新物理学シリーズ 1 6物性研究者. 運動量表示での場の演算子とハミルトニア ンの記述. *~1. 8. シュレデ、インガー表示の量子力学. *~1. 9. ハイゼンベルグ、表示の量子力学とハイゼン ベルグの運動方程式.
(18) 1 6 0. 近畿大学工学部研究報告. *~ 1.10ハイゼンベノレグ表示での生成・消滅演算子と 場の演算子，そして，それらの交換関係，そ れから、ハミルトニアンの表現，第 2量子化 参考文献. 第 2章. 高等量子力学における摂動理論. *~ 2.1 ハイゼンベノレグ表示. *~ 2.2 相互作用表示 *~ 2.3 相互作用表示での生成・消滅演算子と場の演 算子. *~ 2.4 Bri11ouin-Wignerの摂動理論 *~ 2.5 時開発展演算子 u，t{t } )の積分方程式による 表現と、その時間積分展開級数. *~ 2.6 時間発展演算子 u(u})の計算 *~ 2.7 時開発展演算子 u(t，t})の幾つかの性質 *~ 2.8 時開発展演算子 u，t(t Jとその遷移確率 W . *~ 2.9 散乱理論と S行列. . . . . b. *~ 2.10 時間非依存の摂動理論と S行列. *~ 2.11 フェルミオン・ボソン相互作用 *~ 2.12 Sマトリックス展開 ;S=U(叫ー∞) *~ 2.13 相似変換の公式 *~ 2.14 Sマトリックス展開式の計算例 S2 *~ 2.15 生成・消滅演算子 (正規積 (N積)への 準備). *~ 2.16. W フェルミ真空』又は『フェルミ海』に関. しての電子と正孔の新しい生成・消滅の場の 演算子を使つての Sマトリックス展開式の計 算例. S 2. *~ 2.17 N積. *~ 2.18 縮約積(コントラクション) *~ 2.19 Wickの定理 *~ 2.20 Sマトリックスの T積表示. *~ 2.21 縮約積が Oとなる場合 *~ 2.22 Wickの定理のダイヤグラム表示 *~ 2.23 Wickの定理の計算例 S2式中の 1項. *~ 2.24 正規形 (N積形式)と Wickの定理の関係 *~ 2.25 Feynman diagram を眺めたとき、逆にそれ を式に書ける事. *~ 2.26 グリーン関数の定義 *~ 2.27 伝播関数の定義 *~ 2.28 実変数関数の定積分の値を複素積分の留数 の定理を応用して求める事. *~ 2.29 Feynman diagramの式を運動量表示するた めの準備. *~ 2.30 運動量表示. *~ 2.31 ダイヤグラムの寄与の計算 *~ 2.32 ダイヤグラムの寄与の計算例. *~ 2.33 電子・フォノン相互作用. No. 4 3. ネ~ 2 . 3 4 修正伝播関数の計算. *~ 2.35 フェルミオンのダイソン (Dyson) の方程式 *~ 2.36 ボソンのダイソン (Dyson)の方程式 *~ 2.37 修正されたパーテックス(vertex，結節点) *~ 2.38 修正された真空部分 *~ 2.39 我々は今何をして来たのがを振り返ってみ る 。. *~ 2.40. フェルミオンのダイソン (Dyson)の方程式. の別の形. *~ 2.41. ボソンのダイソンの方程式の別の形. 参考文献. 第 3章 ボ ソ ン 系 の 量 子 力 学. *~ 3.1 量子力学的単純調和振動子 *~ 3.2 プラベクトル，ケットベクトル，生成・消滅 演算子. *~ 3.3 量子力学的一次元原子鎖連成振動子 *~ 3.4 量子力学的三次元格子状配列原子連成振動 子 *~ 3.5 連続体媒質への議論の移行と、場の演算子 u { r} p{r). *~ 3.6 古典場の理論 *~ 3.7 場の演算子と第 2量子化 *~ 3.8 ボース統計に従うシュレディンガ一波動場 の量子化(第 2量子化)とボソン. *~ 3.9 Klein-Gordonの方程式 *~ 3.10 場の源と場聞の相互作用 ネ~ 3 .11 簡単な例. 1、フォノンのレーリ一散乱. *~ 3.12 簡単な例 2、核カと湯川の中間子理論 *~ 3.13 荷電ボソンと荷電中間子 参考文献. 第 4章. グリーン関数と多体問題. *~ 4.1 古典物理学のグリーン関数とその簡単な例 *~ 4.2 1電子グリーン関数(1) *~ 4.3 密度行列 *~ 4.4 統計行列 *~ 4.5 量子力学との関係 *~4.6 古典統計力学のリュウヴイル(Liouvi11e)の 定理. *~ 4.7 量子統計力学のリュウヴィル(Liouvi11e)の 定理. (密度演算子の運動方程式). *~ 4.8 量子統計力学の小正準集団(ミクロカノニカ ルアンサンプ、ル). *~ 4.9 量子統計力学の正準集団(カノニカル サンブ、ル). アン. *~ 4.10 量子統計力学の大正準集団(グランドカノ *~ 4.11. ニカル. アンサンブソレ). 古典統計力学の基本原理.
(19) 多体問題とグリーン関数との関係の研究ーグリーン関数と多体問題 ( 1 3 )ー〈量子統計力学 5). *~ 4.12 小正準集団 *~ 4.13 古典統計力学の小正準集団からの熱力学の 導出. *~ 4.14 エネルギ一等分配則 *~ 4.15 古典理想気体 *~ 4.16 ギブスのパラドックス *~ 4.17 正準集団 *~ 4.18 lE準集団の熱力学 *~ 4.19 正準集団に於けるエネルギーの揺らぎ *~ 4.20 大正準集団 *~ 4.21 大正準集団における密度の揺らぎ *~ 4.22 化学ポテンシャルと化学平衡 *~ 4.23 正準集団と大正準集団の等価性 ( N )の振る舞い *~ 4.24 W *~ 4.25 マクスウェル架設線の意味 *~ 4.26 演習問題の訳 *~ 4.27 量子統計力学の以前の議論のおさらい *~ 4.28 熱力学第 3法則 *~ 4.29 小正準集団で扱かう理想気体 *~ 4.30 正準集団で扱かう理想気体 *~ 4.31 大正準集団で扱かう理想気体 *~ 4.32 理想フェルミ気体の状態方程式 *~ 4.33 黒体放射(空洞放射) *~ 4.34 固体中の音子(フオノン) *~ 4.35 磁化と正準集団と大正準集団の磁化率 *~ 4.36 ランダウ準位 *~ 4.37 ランダウの反磁性と磁化率 *~ 4.38 k空間と実空間での軌道面積の量子化と磁 束の量子化. *~ 4.39 パウリの常磁性 ~ 4 .4 0 不完全電子気体の磁気的性質 ~4 .4 1 ボース・アインシュタイン磁縮 ~4 .42 不完全ボース気体. ~4 .43 超流動 ~4 .44 ド・ハースーファン・アルフェン効果. 以下続く。 参考文献 の内、紙面の都合により、第 4 輩、節(~ ~ ~ ~) 4 .3 5，. 4.36， 4.37， 4 . 3 8を記述したものである。*印の節(~ ) は既に掲載済みのものである。. 1 6 1.
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