線形代数学 II 第 7 回レポート課題（配布日： 11/19 ）
1 レポート課題 A
1.1 注意事項
以下の問題をすべて解答し，Web掲載の講義ノートを用いて自己添削して 提出すること．当然ながら 掲載の解答例以外にも別解があるため，解答例と同じ解法や表現である必要はない．自分の解答が合っ ているかどうか考えることも課題の一部であるが，解答例にあって自分の答案で書かれていない部分が ある場合には本当に省略可能な記述かを検討すること．必要な論証が不足していて自己添削でも追加さ れていない場合には再提出となることもある．
様式はA4サイズとし，両面を使用すること．表紙をつける必要はない．レポート1枚目表面の上に
「基礎クラスと学生番号」「氏名」「科目名」「提出日」（締切日を遅れて出す場合には第何回の課題かも書 くこと）を記入し，2枚以上の場合には左上をホッチキスでとめること．
提出締切は11/26（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構1階事務室前のレポートボッ クス．このレポート課題でわからない内容がある場合には，講義ノートをよく読んで考えるこ と．それでもわからなければ，何らかの方法で教員へ質問することを強く推奨する．
1.2 問題
1. （講義ノート第9章 例題5.17） R2 の基底
[(5 2 )
, (7
3 )]
から [(2
3 )
, (−4
1 )]
への変換行列 P を求めよ．
2. （講義ノート第9章 例題5.18）
R3 のベクトルを次で定める．
v1 =
1 0
−2
, v2 =
2 1 0
, v3 =
0
−1 5
(1) v1,v2,v3 は R3 の基底であることを示せ．
(2) R3 の標準基底 [e1,e2,e3]から上で示した基底 [v1,v2,v3]への変換行列P を求めよ．
3. （講義ノート第9章 例題5.20）
P2(R)の基底 [1, x, x2] から [1, x+ 3,(x+ 3)2] への変換行列 P を求めよ．
4. （講義ノート第10章 例題1.5，1.6(1)，1.7） 次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ．
(1) A=
(5 −1 2 2
)
(2) A =
(1 −1 1 3
)
(3) A=
1 3 3
−3 −5 −3
3 3 1
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2 レポート課題 B
今週はレポート課題Bはありません．復習用に過去の定期試験問題を挙げておきます．なお，
解答は掲載しないので，各自で検算方法込みで考えてください．提出の必要はありません（定 期試験前に返却できないので）．
1. 次の行列
A=
1 −3 6 0 2
2 −5 9 2 2
3 0 −9 0 6
−1 1 0 1 −3
が定める線形写像 TA に対する KerTA と ImTA のそれぞれの次元と基底を求めよ．
2. 写像D:P3(R)−→P3(R) を次で定義する．
D( f(x))
= (x2−x−2)df(x)
dx + (−3x+ 3)f(x)
(1) D は P3(R) の線形変換であること，つまり D が線形性をもつことを示せ．
(2) P3(R) の基底 [1, x, x2, x3] に関する D の表現行列 A を求めよ．
(3) KerDの次元と基底を求めよ．
3. f :R4 −→R5 を線形写像とする．
(1) rankf = 3 であるとき，dim Kerf を求めよ．
(2) Kerf ={0} であるとき，rankf を求めよ．
3 次回講義までに自習しておくべき内容
• 次回は中間試験です．今日の講義内容の『基底の変換行列と表現行列の関係』までが範 囲です．固有値と固有ベクトルに関する内容は期末試験の範囲とします．
試験範囲の小テストやレポート課題は必ず見直しておいてください．特に小テストやレ ポート課題Aで問われている内容で理解できていないものがあれば，必ず復習しておか なければなりません．重要な内容については毎週のレポート課題で触れているので，ここ で再度列挙することはしません．初回に述べましたが，「解答を読んで理解する」と「何 も見ずに解答を作ることができる」にはかなりギャップがあります．解答例を眺めるだけ で手を動かしていない場合には，本番で解けない可能性もあります．
また，前日はよく寝てくること．1つ論証問題ができるようになっても，行列の基本変 形などで計算ミスをしてしまうとマイナスの方が大きいです．
• 試験に関する注意事項はwebに掲載してあります．なお，webでは80点満点となって いましたが，集計の簡便さから100点満点で実施に変更します．特に試験内容が変わるわ けではありません．
• 大阪府立大学（http://www.las.osakafu-u.ac.jp/lecture/math/MathOnWeb/，“大阪
府立大webmath”で検索すると見つかります）で「大学数学（その他の利用者はこちら）」
⇒「線形代数 計算ドリル型問題」を選ぶと問題演習が行えます．
次回は中間試験なので，小テストはありません．
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