線形代数学 II 第 6 回レポート課題（配布日： 11/12 ）
1 レポート課題 A
1.1 注意事項
以下の問題をすべて解答し，
Web
掲載の講義ノートを用いて自己添削して 提出すること．当然ながら 掲載の解答例以外にも別解があるため，解答例と同じ解法や表現である必要はない．自分の解答が合っ ているかどうか考えることも課題の一部であるが，解答例にあって自分の答案で書かれていない部分が ある場合には本当に省略可能な記述かを検討すること．必要な論証が不足していて自己添削でも追加さ れていない場合には再提出となることもある．様式は
A4
サイズとし，両面を使用すること．表紙をつける必要はない．レポート1
枚目表面の上に「基礎クラスと学生番号」「氏名」「科目名」「提出日」（締切日を遅れて出す場合には第何回の課題かも書 くこと）を記入し，
2
枚以上の場合には左上をホッチキスでとめること．提出締切は
11/19（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構 1
階事務室前のレポートボッ クス．このレポート課題でわからない内容がある場合には，講義ノートをよく読んで考えるこ と．それでもわからなければ，何らかの方法で教員へ質問することを強く推奨する．1.2 問題
1.
（講義ノート第9
章 例題5.4）
線形変換
D : P
2( R ) −→ P
2( R )
をD(f (x)) = (x − 1) df (x)
dx − 2f(x)
で定める．このとき，
P
2( R )
の基底[1, x, x
2]
に関するD
の表現行列を求めよ．2.
（講義ノート第9
章 例題5.5）
a
を実数とし，線形変換F : P
3( R ) −→ P
3( R )
をF (f (x)) = f (x − a)
で定める．このとき，P3
( R )
の基底[1, x, x
2, x
3]
に関するF
の表現行列を求めよ．3.
（講義ノート第9
章 例題5.13）
線形変換
D : P
2( R ) −→ P
2( R )
をD(f (x)) = (x
2− 1) d
2f (x)
dx
2+ (2x − 8) df (x)
dx − 6f(x)
で定める．このとき，Ker D
の次元と基底を求めよ．4.
（講義ノート第9
章 例題5.14）
線形変換
D : P
2( R ) −→ P
2( R )
をD(f (x)) = 2 df (x)
dx + (2x + 1)f (2)
で定める．このとき，Ker D
の次元と基底を求めよ．5.
（講義ノート第9
章 例題5.15）
線形変換
D : P
2( R ) −→ P
2( R )
をD(f(x)) = (x
2− x − 2)f
′′(x) + (x
2+ x)f
′(x) + ( − 2x + 1)f (x)
で定める．このとき，Ker D, Im D
のそれぞれの次元と基底を求めよ．1
2 レポート課題 B
様式は指定のものを利用し，片面に 解答すること（スキャンして成績保存する関係です）．
答案のバランスや体裁，読みやすさも評価対象です．解答用紙は
Web
からもダウンロードでき ます．提出締切は
11/19
（月）13:00
．提出場所は高等教育推進機構1
階事務室前のレポートボッ クス．いずれもレポート課題A
と同じです．何らかの理由で出し忘れた場合には，そのことを 講義開始前までに申告すれば，遅れても受け取る場合があります．1.
線形変換D : P
2( R ) −→ P
2( R )
をf(x) ∈ P
2( R )
に対してD(f(x)) = (x
2− 1) d
2f(x)
dx
2+ df (x)
dx − 2f (x)
と定義する．
(1) P
2( R )
の基底[1, x, x
2]
に関するD
の表現行列A
を求めよ．(2) Ker D
の基底と次元を求めよ．(3) (2)
で求めた基底をD
に代入して，Ker D
のベクトルとなっていることを確かめよ．（注意：
x
を変数とする2
次以下の実数係数多項式全体のなす実ベクトル空間をP
2( R )
で表す．なお，本問は定期試験の過去問です．）
3 次回講義までに自習しておくべき内容
•
後期の線形代数学は今回までの内容で一区切りです．線形写像を行列を用いて表すこと ができるため，行列の理論は自然科学のさまざまな分野で現れます．これを理解し，一般 のベクトル空間と線形写像に関する問題を，数ベクトル空間と行列の問題に翻訳して解 決できるようになることが，本科目の到達目標の1
つです．ただ，教科書にはあまり例が 載っておらず，表現行列の有用性があまり感じられない構成となっているので，講義ノー トの方で例は紹介しておきます．線形写像の表現行列に関する内容までが中間試験の範囲 です．最初のうちは表現行列の意味や計算法が捉えにくいと思います．私も学生の頃はそうで した．これについては数ベクトル空間
R
n よりも多項式空間P
n( R )
の問題を解いた方が 理解しやすいと思います．実際のところ，教科書P94〜97
の数ベクトルに関する表現行 列の問題は，応用上ではほぼ意味がない計算問題です．数ベクトル空間なら簡単な標準基 底をとればよく，他には5.4
節で学習する固有ベクトルからなる基底をとることが多いで す．普通は考えない変な基底の計算問題に疲れてしまって，本質を見失わないように注意 してください．•
大阪府立大学（http://www.las.osakafu-u.ac.jp/lecture/math/MathOnWeb/
，“大阪府立大
webmath”で検索すると見つかります）で「大学数学（その他の利用者はこちら）」
⇒「線形代数 計算ドリル型問題」を選ぶと問題演習が行えます．
次回の講義内小テストの範囲は，『与えられた線形写像の表現行列を求めてそれを利用する問 題』です．
