線形代数学 II  第 9 回レポート課題（配布日： 12/3 ）

線形代数学 II  第 9 回レポート課題（配布日： 12/3 ）

1 ^{レポート課題} A

1.1 注意事項

以下の問題をすべて解答し，

Web

掲載の講義ノートを用いて自己添削して 提出すること．当然ながら 掲載の解答例以外にも別解があるため，解答例と同じ解法や表現である必要はない．自分の解答が合っ ているかどうか考えることも課題の一部であるが，解答例にあって自分の答案で書かれていない部分が ある場合には本当に省略可能な記述かを検討すること．必要な論証が不足していて自己添削でも追加さ れていない場合には再提出となることもある．

様式は

A4

サイズとし，両面を使用すること．表紙をつける必要はない．レポート

1

枚目表面の上に

「基礎クラスと学生番号」「氏名」「科目名」「提出日」（締切日を遅れて出す場合には第何回の課題かも書 くこと）を記入し，

2

枚以上の場合には左上をホッチキスでとめること．

提出締切は

12/10（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構 1

階事務室前のレポートボッ クス．このレポート課題でわからない内容がある場合には，講義ノートをよく読んで考えるこ と．それでもわからなければ，何らかの方法で教員へ質問することを強く推奨する．

1.2 問題

講義中に説明したようにさまざまな形の正解があるので，解答例と違うからといって誤りと は限りません．自己採点の際には注意すること．余裕があれば，他の計算問題にも取り組んで おくことを勧めます（例題

2.19

は確認テストに使えます）．

1.

（講義ノート第

10

章 例題

2.11〜2.18

のどこか）

 次の行列

A

が対角化可能か判定し，可能ならば対角化せよ．

(1)

（例題

2.11

）

A =



 6 − 3 − 7

− 1 2 1 5 − 3 − 6





(2)

（例題

2.12） A =



 3 − 1 − 1

− 2 2 1 4 − 2 − 1





(3)

（例題

2.15

）

A =



 3 2 − 1 2 3 − 1 2 − 1 3





(4)

（例題

2.14

）

A =



 



− 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 4 0 0 − 1



 



(5)

（例題

2.18） A =



 



3 0 − 3 3 1 2 − 3 1

− 1 0 3 − 2

− 3 0 5 − 4



 



1

2 レポート課題 B

様式は指定のものを利用し，片面に 解答すること．答案のバランスや体裁，読みやすさも評 価対象です．解答用紙は

Web

からもダウンロードできます．

提出締切は

12/10（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構 1

階事務室前のレポートボッ クス．いずれもレポート課題

A

と同じです．何らかの理由で出し忘れた場合には，そのことを 講義開始前までに申告すれば，遅れても受け取る場合があります．

1.

 

A

を

n

次正方行列とし，ある自然数

k

に対して

A

^k

= O

であるとする．このとき，A の

n

個の固有値はすべて

0

であることを示せ．

（Hint：これだけの条件から

F

_A

(x)

を直接決定することは難しい．固有値と固有ベクト ルの定義に立ち返って考える．前回のレポート課題

B

もヒントになりうる．）

2.

  行列

A =

( − 1 − 9

1 5

)

について，以下の手順で

A

ⁿ を求めよ．（

E

は単位行列）

(1) A

の固有値を求めよ．

(2) (1)

で求めた値を

λ

とし，B

= A − λE

とおく．B² を計算せよ．

(3)

実数

a, b

に対する二項定理

(a + b)

ⁿ

=

∑

n k=0

n

C

_k

a

^k

b

^n−k と同様に，今回は行列

B

と単 位行列

E

が可換なので

(λE + B)

ⁿ

= (λE)

ⁿ

+

_n

C

₁

(λE )

ⁿ⁻¹

B + · · · +

_n

C

_n−1

(λE)B

ⁿ⁻¹

+ B

ⁿ

と文字式のように展開することができる．(1), (2) の結果も用いて，Aⁿ を求めよ．

3 次回講義までに自習しておくべき内容

•

 固有値と固有ベクトル，行列の対角化に関する問題は学期末試験でも必ず出題されます．

–

具体的な

3

次または

4

次正方行列に関する対角化（対角化可能性の判定）

–

固有値や固有ベクトル，固有空間の定義の論述

–

定義を踏まえて，固有値が固有方程式の解として計算できる根拠の証明

–

固有値や固有ベクトルに関する重要な定理（抽象的なトピック）

については，学期末試験までに内容を理解しておくこと．行列の対角化については教科 書や講義ノートの問題を解いて手を慣らせておいてください．問題をまったく解かずに 計算法を暗記してくるだけでは，試験時間内に終わらないと思います．

•

 大阪府立大学（http://www.las.osakafu-u.ac.jp/lecture/math/MathOnWeb/，“大

阪府立大

webmath”

で検索すると見つかります）で「大学数学（その他の利用者はこち

ら）」⇒「線形代数 計算ドリル型問題」を選ぶと問題演習が行えます．

•

 講義中に述べた通り，対角化の問題の答えは人によって異なります．自己採点に自信の ない場合には，上記サイトで演習すれば別解にも対応して正誤判定してくれます．

次回の講義内小テストの範囲は，『対角化可能性の判定と対角化の計算』です．

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