数理科学概説 第 4 回レポート課題（配布日： 6/5 ）
1 注意事項
•
提出締切は7/24（水） 13:00．提出場所は理学部 3
号館3
階 数学事務室前のレポートボッ クス．ボックスは複数あるので，科目名・担当教員名（黒田）を間違えないこと．様式はA4
サイズとし，両面を使用すること．表紙をつける必要はない．レポート1
枚目表面の 上に「専攻・学生番号」「氏名」「科目名」「提出日」を記入し，左上をホッチキスでとめ ること．•
教員に質問する場合には，メールで約束をとり部屋を訪問すること．基本的にメールの みでの質疑応答には応じません．学生で集まって取り組む場合には，問題ごとに『誰と一 緒に考えたか』を明記し，特にお世話になったと感じたときにはAcknowledgment
をつ けること．また，相談後は各自で自分の言葉でレポートをまとめること．当然ながら他人 のレポートのコピペは厳禁である．問題を解く際に文献やネットなどを参考にした場合 には，問題ごとにReferences
をつけること．解答の際の注意
過去のレポート課題を提出し，さらに合っていた場合には，その箇所については簡単に 計算結果や図を書くだけでよい．未提出または誤っていた場合には丁寧に各ポイントを説 明すること．
つまり過去にレポート提出した部分の途中計算は正解度に応じてある程度省いてよいが，
今回のレポート課題のみでも
1
つの読み物として完結するようにはまとめること．2 問題
1.
微分法または線形代数について，応用例を１つ挙げてその内容を簡単に説明せよ．応 用とみなすかどうかの判断は各自に任せる．講義中に説明した例でもよいが，「自分の研 究分野に関する応用」や「数学分野以外における応用例」「私が知らない応用例」の場合 には評価が高いと思われる．難しい話題である必要はなく，自身の研究分野においては標 準的な内容であっても構わない．数学的に簡単な内容かどうかは評価に関係しない．本や 論文，webページなど参考文献があれば挙げておくこと．また，微分法と線形代数学の両 方を用いる応用例でも当然構わない（むしろ嬉しい）．（問題は裏へ続く）
1
2.
次はBrusselator
（ブリュセレーター）と呼ばれる，化学反応に関する数理モデルで ある．( ∗ )
(O1) A −→
k1X (O2) B + X −→
k2Y + D (O3) 2X + Y −→
k33X (O4) X −→
k4E
ここで，
k
1, k
2, k
3, k
4 は既知の反応速度定数であるとする．物質A, B
は十分多量にある ため，それらの濃度[A], [B ]
は定数とみなせると仮定する．(1) X, Y
の濃度[X], [Y ]
は時刻t
に応じて変化している．質量作用の法則により，反応 スキーム( ∗ )
から[X]
と[Y ]
の時間変化についての微分方程式を作れ．(2) (1)
で求めた微分方程式においてx :=
√ k
3k
4[X], y :=
√ k
3k
4[Y ], s := k
4t, a := k
1k
4√ k
3k
4[A], b := k
2k
4[B ]
と無次元化する変換を行えば，x = x(s), y = y(s)
に関する次の連立微分方程式( ∗∗ )
dx
ds = a − (b + 1)x + x
2y dy
ds = bx − x
2y
が得られることを示せ．仮定
未知関数
x(s), y(s)
は濃度を表すためx > 0, y > 0
とし，a, b
は正の定数である．また
b > a
2+ 1
を仮定する．(3)
上記の仮定の下で，Brusselator
（つまり，連立微分方程式( ∗∗ )
）が振動化学反応を 表していることを説明せよ．以下の補足に注意して解答すること．（さまざまな内容を説明する必要があるため，講義内容を復習しつつ構成をまとめ ること）
補足
（数学専攻以外の学生向け）
途中で現れる線形化行列の固有方程式の判別式
D
について，D > 0
であるとして よい．つまり，線形化行列の2
個の固有値が異なる実数として，平衡点の安定性を考 察すればよい．もし常微分方程式に詳しければ，数学専攻向けの注意に従って解答し ても構わない．（数学専攻の学生向け）
途中で現れる線形化行列の固有方程式の判別式
