線形代数学 II 第 11 回レポート課題（配布日： 12/17 ）
1 レポート課題 A
1.1 注意事項
以下の問題をすべて解答し，
Web
掲載の講義ノートを用いて自己添削して 提出すること．当然ながら 掲載の解答例以外にも別解があるため，解答例と同じ解法や表現である必要はない．自分の解答が合っ ているかどうか考えることも課題の一部であるが，解答例にあって自分の答案で書かれていない部分が ある場合には本当に省略可能な記述かを検討すること．必要な論証が不足していて自己添削でも追加さ れていない場合には再提出となることもある．様式は
A4
サイズとし，両面を使用すること．表紙をつける必要はない．レポート1
枚目表面の上に「基礎クラスと学生番号」「氏名」「科目名」「提出日」（締切日を遅れて出す場合には第何回の課題かも書 くこと）を記入し，
2
枚以上の場合には左上をホッチキスでとめること．提出締切は
1/7（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構 1
階事務室前のレポートボック ス．このレポート課題でわからない内容がある場合には，講義ノートをよく読んで考えること．それでもわからなければ，何らかの方法で教員へ質問することを強く推奨する．
1.2 問題
1.
（講義ノート第11
章 例題1.9(1)
〜(3)
） 実ベクトル空間R
2 のベクトルx =
( x
1x
2) , y =
( y
1y
2)
に対して，
(x, y)
を次で定める ときにR
2 の内積となっているかを判定せよ．(1) (x, y) = x
21+ x
1y
1+ x
2y
2(2) (x, y) = 2x
1y
1+ 3x
2y
2(3) (x, y) = x
1y
12.
（講義ノート第11
章 例題3.2
）
V
をR
上の計量ベクトル空間，W をV
の部分空間とする．このとき，W の直交補 空間W
⊥ はV
の部分空間であることを示せ．（講義ノートの解答でK = R
としたもの）3.
（講義ノート第11
章 例題3.8）
R
4 の部分空間W =
⟨
1 2
− 3 1
,
2 5
− 8 1
⟩
の直交補空間
W
⊥ の次元と基底を求めよ．ただし，R
4 の内積は標準内積とする．1
2 レポート課題 B
様式は指定のものを利用し，片面に 解答すること．答案のバランスや体裁，読みやすさも評 価対象です．解答用紙は
Web
からもダウンロードできます．提出締切は
1/7（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構 1
階事務室前のレポートボック ス．いずれもレポート課題A
と同じです．何らかの理由で出し忘れた場合には，そのことを講 義開始前までに申告すれば，遅れても受け取る場合があります．1.
A, B
はn
次正方行列とする．次の命題が正しければ証明し，誤りならば具体的に反例 を挙げてそれが反例となっていることを説明せよ．反例は2
次正方行列で挙げればよい．(1) λ
をA
の固有値，µをB
の固有値とする．このとき，λ+ µ
はA + B
の固有値で ある．(2) λ
をA
の固有値，µ
をB
の固有値とする．このとき，λµ
はAB
の固有値である．(3) A
の成分a
ij がすべて正の実数とする．このとき，A の固有値はλ > 0
をみたす．（反例の場合は無限個の解があるので，時間のあるものは反例を挙げて説明するだけでな く『どのような場合に成り立たないか』を考えてみてもよい．）
3 次回講義までに自習しておくべき内容
•
内積については，まずは定義を理解しておいてください．最初は関数の内積など不思 議かもしれませんが，進んだ内容の量子力学や量子化学などではすぐに現れます．フーリ エ級数などもこのアイデアなので，ぜひ慣れておいてください．内積を導入することで 直交という概念が使えるため，関数の集まりの世界でも垂線を下ろして最短距離を求め ることができるようになります．•
教科書では直交補空間について演習問題扱いになっていますが，非常に大事な概念で す．学期末試験には関連する問題を出す予定なので，定義や計算法など必ず復習しておい てください．•
大阪府立大学（http://www.las.osakafu-u.ac.jp/lecture/math/MathOnWeb/
，“大阪府立大
webmath”
で検索すると見つかります）で「大学数学（その他の利用者はこちら）」⇒「線形代数 計算ドリル型問題」を選ぶと問題演習が行えます．
次回の講義内小テストの範囲は，『内積の定義の確認と具体的な計算』です．
