線形代数学 II 第 12 回レポート課題（配布日： 1/7 ）
1 レポート課題 A
1.1 注意事項
以下の問題をすべて解答し，Web掲載の講義ノートを用いて自己添削して 提出すること．当然ながら 掲載の解答例以外にも別解があるため，解答例と同じ解法や表現である必要はない．自分の解答が合っ ているかどうか考えることも課題の一部であるが，解答例にあって自分の答案で書かれていない部分が ある場合には本当に省略可能な記述かを検討すること．必要な論証が不足していて自己添削でも追加さ れていない場合には再提出となることもある．
様式はA4サイズとし，両面を使用すること．表紙をつける必要はない．レポート1枚目表面の上に
「基礎クラスと学生番号」「氏名」「科目名」「提出日」（締切日を遅れて出す場合には第何回の課題かも書 くこと）を記入し，2枚以上の場合には左上をホッチキスでとめること．
提出締切は1/21（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構1階事務室前のレポートボック ス．このレポート課題でわからない内容がある場合には，講義ノートをよく読んで考えること．
それでもわからなければ，何らかの方法で教員へ質問することを強く推奨する．
1.2 問題
1. （講義ノート第11章 定理4.3）
実計量ベクトル空間V において，直交系は1次独立であることを示せ．
（講義ノートの解答でK=Rとしたもの）
2. （講義ノート第11章 定理4.6）
実計量ベクトル空間 V の正規直交基底を v1,v2, . . . ,vn とする．ベクトルx,y∈V を x=
∑n j=1
xjvj, y=
∑n j=1
yjvj と表すとき
xj = (x,vj), ∥x∥2 =
∑n j=1
x2j, (x,y) =
∑n j=1
xjyj が成り立つことを示せ．
3. （講義ノート第11章 例題4.10）
標準内積を与えた R3 の次の基底にグラム・シュミットの直交化法を適用して，R3 の 正規直交基底を求めよ．
(1) v1 =
1 1 0
, v2 =
−2 0 1
, v3 =
3
−1 1
(2) v1 =
1 1 1
, v2 =
1 2 3
, v3 =
−2
−1 2
4. （講義ノート第11章 例題4.13）
P2(R)に次の内積を与える．
(f(x), g(x)) =
∫ 1
0
f(x)g(x)dx
P2(R)の基底 1, x, x2 から，グラム・シュミットの直交化法によりP2(R) の正規直交基底 を構成せよ．
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2 レポート課題 B
様式は指定のものを利用し，片面に 解答すること．答案のバランスや体裁，読みやすさも評 価対象です．解答用紙はWebからもダウンロードできます．
提出締切は1/21（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構1階事務室前のレポートボック ス．いずれもレポート課題Aと同じです．何らかの理由で出し忘れた場合には，そのことを講 義開始前までに申告すれば，遅れても受け取る場合があります．
1. V を実計量ベクトル空間とし，v1,v2, . . . ,vn を V の正規直交基底とする．
(1) v′1,v′2, . . . ,v′n も V の正規直交基底とする．
このとき，基底 [v1,v2, . . . ,vn] から基底 [v′1,v′2, . . . ,v′n] への基底の変換行列 P は 直交行列であることを示せ．
(2) v′1,v′2, . . . ,v′n を V の基底とする．
このとき，基底 [v1,v2, . . . ,vn] から基底 [v′1,v′2, . . . ,v′n] への基底の変換行列 P が 直交行列ならば，[v′1,v′2, . . . ,v′n]も V の正規直交基底であることを示せ．
V は Rn とは限らないので注意すること．もしわからなければ V = Rn という限定された 場合のみの解答でもよい．また，(1)と(2)の片方のみでもよい（当然，評価は満点とはならな いが）．
なお，設問の関係で(1)と(2)に分けているが，上手く解答をまとめれば(1)と(2)を同時に 証明することは可能なので，そのようにまとめてもよい．上の設問を要約すると
『正規直交基底 [v1,v2, . . . ,vn] から基底[v′1,v′2, . . . ,v′n]への基底の変換行列を P とすると [v′1,v′2, . . . ,v′n] が正規直交基底 ⇐⇒ P は直交行列
が成り立つ』となる．
3 次回講義までに自習しておくべき内容
• グラム・シュミットの直交化法はまずアイデアを理解しているかどうかです．さらに，
必ず練習をして計算できるようにしておいてください．数ベクトルの場合および他のベ クトル空間で具体的な計算ができるかどうかは試験で見せてもらいます．
• 直交行列は次回と次々回の主役です．2次直交行列の具体例（回転行列）は把握してお く必要があります．以前は高校数学で扱っていたので教科書には説明がありませんが，非 常に重要です．他には直交行列の定義と講義内で説明した定理も理解しておかないとやや 大変かもしれません．
• 大阪府立大学（http://www.las.osakafu-u.ac.jp/lecture/math/MathOnWeb/，“大
阪府立大 webmath”で検索すると見つかります）で「大学数学（その他の利用者はこち
ら）」⇒「線形代数 計算ドリル型問題」を選ぶと問題演習が行えます．
次回の講義内小テストの範囲は，『グラム・シュミットの直交化法による正規直交基底の構成』
です．
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