線形代数学 II 第 10 回レポート課題（配布日： 12/10 ）
1 レポート課題 A
1.1 注意事項
以下の問題をすべて解答し，Web掲載の講義ノートを用いて自己添削して 提出すること．当然ながら 掲載の解答例以外にも別解があるため，解答例と同じ解法や表現である必要はない．自分の解答が合っ ているかどうか考えることも課題の一部であるが，解答例にあって自分の答案で書かれていない部分が ある場合には本当に省略可能な記述かを検討すること．必要な論証が不足していて自己添削でも追加さ れていない場合には再提出となることもある．
様式はA4サイズとし，両面を使用すること．表紙をつける必要はない．レポート1枚目表面の上に
「基礎クラスと学生番号」「氏名」「科目名」「提出日」（締切日を遅れて出す場合には第何回の課題かも書 くこと）を記入し，2枚以上の場合には左上をホッチキスでとめること．
提出締切は12/17（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構1階事務室前のレポートボッ クス．このレポート課題でわからない内容がある場合には，講義ノートをよく読んで考えるこ と．それでもわからなければ，何らかの方法で教員へ質問することを強く推奨する．
1.2 問題
講義中に説明したようにさまざまな形の正解があるので，解答例と違うからといって誤りと は限りません．自己採点の際には注意すること．
1. （講義ノート第10章 例題2.23）
A = (4 1
2 3 )
とおく．自然数 n に対して，An を求めよ．
2. （講義ノート第10章 例題2.24）
2つの数列 {an},{bn} は a1 = 1, b1 = 2 であり，次の漸化式をみたしている．
{ an+1 = 5an+ 2bn
bn+1 =an+ 4bn (n= 1,2,3, . . .)
(1) A= (5 2
1 4 )
とおく．自然数 n に対して，An を求めよ．
(2) 一般項 an と bn を求めよ．
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2 レポート課題 B
様式は指定のものを利用し，片面に 解答すること．答案のバランスや体裁，読みやすさも評 価対象です．解答用紙はWebからもダウンロードできます．
提出締切は12/17（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構1階事務室前のレポートボッ クス．いずれもレポート課題Aと同じです．何らかの理由で出し忘れた場合には，そのことを 講義開始前までに申告すれば，遅れても受け取る場合があります．
1. 3次正方行列 A が
A
2
−1 3
= 2
2
−1 3
, A
4 0 1
=−2
4 0 1
, A
−6 2 1
=−
−6 2 1
をみたしている．また，E を3次単位行列として
B = 2A3+ 3A2 −8A−9E
とおく．
(1) B が対角化可能か判定し，もし対角化可能ならば対角化せよ．
(2) B が正則かどうか判定し，もし正則ならば逆行列を求めよ．
（今回は論証問題ですが，これまでの講義内容やレポート課題から解答は十分可能です．突飛な 発想は必要ではありません．ただし，解法はいくつも種類が考えられ，記述の仕方も何パター ンかあるので，人によって解答はかなり違うと思います．採点者が教員だから意図を汲んでく れるだろうとは思わずに，同級生に伝えるつもりで自分の考えた道筋がわかるよう記述してく ださい．学期末試験ではこのような論証が中心となる問題が複数出されると思います．）
3 次回講義までに自習しておくべき内容
• 行列の対角化の応用については第14回の講義でも再度扱います．とにかく対角化可能 かどうかの判定はできるようにしておいてください．具体的に正方行列が与えられた時 の対角化判定法と対角化の計算法（講義ノートの例題）のみでなく，上のレポート課題の ような正方行列の成分が未知の場合も議論できる必要も出てきます．最初は計算法のパ ターン暗記でもよいですが，どこかの時点で計算法の中身を理解して抽象的な問題にも 対応できることを目指してください．
• 次回はベクトルの内積について学習します．高校数学Bで学習する平面ベクトルや空 間ベクトルの内積について，具体的な計算はできる前提で進めます．
• 大阪府立大学（http://www.las.osakafu-u.ac.jp/lecture/math/MathOnWeb/，“大
阪府立大 webmath”で検索すると見つかります）で「大学数学（その他の利用者はこち
ら）」⇒「線形代数 計算ドリル型問題」を選ぶと問題演習が行えます．
• 講義中に述べた通り，対角化の問題の答えは人によって異なります．自己採点に自信の ない場合には，上記サイトで演習すれば別解にも対応して正誤判定してくれます．
次回の講義内小テストの範囲は，『対角化可能性の判定と対角化の計算』です．
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