線形代数学 II 第 4 回レポート課題（配布日： 10/29 ）
1 レポート課題 A
1.1 注意事項
以下の問題をすべて解答し，Web掲載の講義ノートを用いて自己添削して 提出すること．当 然ながら掲載の解答例以外にも別解があるため，解答例と同じ解法や表現である必要はない．
自分の解答が合っているかどうか考えることも課題の一部であるが，解答例にあって自分の答 案で書かれていない部分がある場合には本当に省略可能な記述かを検討すること．必要な論証 が不足していて自己添削でも追加されていない場合には再提出となることもある．
様式はA4サイズとし，両面を使用すること．表紙をつける必要はない．レポート1枚目表 面の上に「基礎クラスと学生番号」「氏名」「科目名」「提出日」（締切日を遅れて出す場合には 第何回の課題かも書くこと）を記入し，2枚以上の場合には左上をホッチキスでとめること．
提出締切は11/5（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構1階事務室前のレポートボック ス．このレポート課題でわからない内容がある場合には，講義ノートをよく読んで考えること．
それでもわからなければ，何らかの方法で教員へ質問することを強く推奨する．
1.2 問題
1. （講義ノート第8章 例題2.13）
実数を成分とする m×n 行列 A に対して，A を係数行列とする斉次連立1次方程式 Ax=0 の解全体のなす集合
W ={x∈Rn|Ax=0} は Rn の部分空間となることを示せ．
2. （講義ノート第8章 例題4.18）
R上のベクトル空間 V のベクトル v1,v2, . . . ,vk の1次結合によって表されるベクト ル全体からなる集合
W =⟨v1,v2,· · · ,vk⟩={x1v1+x2v2+· · ·+xkvk |xj ∈R, j = 1, . . . , k}
は V の部分空間であることを示せ．（講義ノートの解答は複素数が成分の場合も考慮して K となっていますが，気にせず実数の場合でよい．）
3. （講義ノート第8章 例題4.16）
行列
A=
1 2 1 2
−1 −2 0 1 3 6 2 3 2 4 1 1
に対して，連立1次方程式 Ax=0の解空間 をW とする．このとき，R4 の部分空間 W の次元と基底を求めよ．
（レポート課題Aは裏面へ続く）
1
4. （講義ノート第8章 例題4.22）
R3 の部分空間 W
W =
⟨
1 0 1
,
−1 1
−2
,
0
−1 1
,
2 2 0
⟩
の次元と基底を求めよ．
（やや難しいので，最初は解答を読んで内容を理解し，別の日に解くような形でもよい．）
2 レポート課題 B
様式は指定のものを利用し，片面に 解答すること（スキャンして成績保存する関係です）．
答案のバランスや体裁，読みやすさも評価対象です．解答用紙はWebからもダウンロードでき ます．
提出締切は11/5（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構1階事務室前のレポートボック ス．いずれもレポート課題Aと同じです．何らかの理由で出し忘れた場合には，そのことを講 義開始前までに申告すれば，遅れても受け取る場合があります．
1. ベクトル v1,v2,v3,v4 ∈R4 を
v1 =
1
−2
−3 2
, v2 =
2
−3
−1 1
, v3 =
1
−1 2
−1
, v4 =
0
−1
−5 3
で定める．R4 の部分空間 W =⟨v1,v2,v3,v4⟩ の次元と基底を求めよ．
（注意：必ずレポート課題Aの後に取り組むこと．なお，本問は中間試験の過去問です．）
3 次回講義までに自習しておくべき内容
• 『解空間の基底と次元』と『生成される部分空間の基底と次元』がこの講義の前半のテー マです．見た目は違う形で何度か現れます．計算の羅列のみでなく，必ず定義に基づいた 議論ができるようにしておいてください．
• 大阪府立大学（http://www.las.osakafu-u.ac.jp/lecture/math/MathOnWeb/，“大阪
府立大webmath”で検索すると見つかります）で「大学数学（その他の利用者はこちら）」
⇒「線形代数 計算ドリル型問題」⇒「ベクトル空間」を選ぶと問題演習が行えます．こ こまでの範囲は「部分空間の定義」，「1次独立」，「解空間の基底」，「生成される部分空間 の基底」です．講義ノートには適宜範囲が書いてあります．ここで計算演習をしっかりし ておけば，小テストや定期試験ともに問題なく取り組めるようになるのでお勧めです．
次回の講義内小テストの範囲は，やや長めに時間をとって『斉次連立1次方程式の解空間の 基底と次元』『有限個のベクトルで生成される部分空間の基底と次元』です．講義中に述べたよ うに，行列の基本変形の前後の文章による説明を記述できるかが重要です．何も見ずに論述で きるようになるまで，よく練習しておいてください．
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