IDC モデル

本章は，第1節で述べたように，仮説的学習軌道の表現形式を提案することが目的とし ているのであった．ここでは，前小節にて考察した具体モデルの生成と記述モデルの生成 という2つの数学的思考のパターンに基づいて，仮説的学習軌道の表現形式を提案するこ

ととしよう．ここでは，次の2点を仮定することとする．

1. 現在，その人が心に浮かべている，ある名辞 N の「意味」に対応する心的モデル は，Nが満たすべき条件の列挙によって記述できる．

2. N に関する推論は，現在の心的モデルに対する具体モデルを生成するか，現在の心 的モデルに対する記述モデルを生成するか，の2種類である．

上記の仮定を単純化して述べるならば，ある数学的対象に対する数学的推論の最小単位 は，具体化するか記述するかのどちらかである，ということを意味する．そして，以下で は，上記の仮定1に示されている，「ある主体S にとっての，ある名辞Nの『意味』に対 応する心的モデル」を記述するための，N が満たすべき条件群を，便宜上，「S にとって の『N』の条件群」と呼ぶことにしよう．この「S にとっての『N』の条件群」を用いて，

ある瞬間に学習者の抱いていると予測される心的モデルを表現し，各瞬間において刻々と 変化する心的モデルの様相を具体化(Instantiation)と記述(Description)の連鎖(Chain)に よって捉えようとする，この表現形式を，本研究では，IDCモデルと名付けることにしよ う．一口に「数学的思考」と言っても，いろんな思考があるけれど，少なくとも，何らか の問題を解決する際に，ある数学的対象に関連して学習者がどんなことを思惟し得るかを 表現するという観点から見れば，このIDCモデルは，仮説的学習軌道を表現するための1 つの形式を提供する．

IDCモデルに沿って数学的思考を捉えるとき，具体化(instantiation)，記述(description)，

抽象化(abstraction)の3つは，それぞれ密接に関連した心的過程である．いずれの過程

も，ある主体S にとっての，ある名辞N の「意味」に関わる過程である．これらの用語 を，本稿では以下の意味で用いる．

まず，具体化(＝具体モデルの生成)とは，S にとっての「N」の条件群に，S が新しい 条件を増やす思考である．例えば，ある学習者が「自然数nは奇数かつ素数である」とい う文を読む過程を，次のように3つに分けて考えよう．

1. 「自然数nは」という部分を読むことで，その学習者は，その学習者にとっての

「n」の条件群として，「nは自然数である」という条件を認識する．

2. 次に，「奇数かつ」という部分を読むことで，その学習者は，その学習者にとって

の「n_{」の条件群に，「}nは奇数である」という条件を追加する．

3. 最後に，「素数である」という部分を読むことで，その学習者は，その学習者にとっ ての「n」の条件群に，「nは奇数である」という条件を追加する．

この1→2，および，2→3の過程は，どちらも具体化である．文を読み進めるに連れ て名辞「n」についての条件が心的に増えていき，まさに「n」の具体像が徐々に明確化さ れていく過程として捉えることができよう．

記述(＝記述モデルの生成)とは，具体化の逆の過程であり，S にとっての「N」の条件 群から，S が条件を減らす思考である．例えば，ある学習者が25×7×4を計算しようと しているとしよう．このとき，その学習者にとって名辞「7」の条件群には，例えば，「7 は6の次の数である」，「7は自然数である」，「7は奇数である」等，様々な条件が含まれ ている可能性がある．しかしながら，前後の25と4から100をつくることできると想起 した瞬間，その学習者にとっての「7」の条件群からは，「7は自然数である」以外のすべ ての条件が一時的に捨象されなければならない．「7」について，それが6の次の数であっ たり奇数であったりといった情報は不要である．自然数の乗法が可換であることを活かす ためには，紙の上では「7」という記号を使いながらも，心的モデルとしては，7そのもの を表象するのではなくて，「7」が自然数を意味しているということさえ表象すればよい．

このことは，換言すれば，7の一部の属性のみを記述している，ということが言えよう．

この例が示すように，記述モデルの生成は，Mason (1989)の抽象化論の言葉を用いれ ば，「注意の移行」であり，抽象化でもある．時間にすれば一瞬ではあるかもしれないが，

自然数の乗法の交換則を適用する一瞬は，「7」という記号を，自然数という抽象的構成物 として扱わなければならず，記述と抽象化は，過程としては同一の過程であると言える．

したがって，IDCモデルとは，仮説的学習軌道を表現するための理論的枠組の1つであ り，ある名辞に関する推論が，実質的に具体化と抽象化(＝記述)の2種類で説明すること を試みる枠組である．IDCモデルを活用することで，仮説的学習軌道を統一した形式で表 現することができると期待される．