§ 8.2 無数の微小な Carnot サイクルの考え方

§ 8.2.1

復習

——Carnot

サイクルの熱効率から導かれる

Clausius

の関係式

Carnot

サイクルならば

,

高温熱源からの入熱

Q_H(>0),

高温熱源の温度

T_H,

低温熱源への放熱

Q_L(>0),

低温熱源の温度

T_L

のあいだに

, Clausius

の関係式

Q_H

T_H = Q_L

T_L (7.22)

が成立した

^†695.

ここに

,

両辺は正値であるが

,

便宜上

,

熱が正であるときを入熱

,

負であるときを放熱と定義しなおす

.

そこで

,

放熱を

, Qf_L ≡ −Q_L

とおきなおす

(Q_L >0

かつ

Qf_L<0).

すると

, (7.22)

は

,

Q_H

T_L =−Qf_L

T_L (8.5)

と書き換えられる

.

簡単のため

,

以下では

, Qf_L

を

,

改めて

,

単に

Q_L

とかく

^†696.

§ 8.2.2

大きなサイクルの小さな

Carnot

サイクルへの分割

任意のサイクル

,

例えば円形のサイクルを考える

.

左端の熱平衡状態

A

から出 発し

,

状態

I

を経由し

,

右端の状態

B

へと至り

,

状態

II

を経て

,

状態

A

へと戻る

^†697.

これを,

N

個の小さな

Carnot

サイクルを用いて近似することを考える. すなわ ち, 短い等温線

2

本と断熱線

2

本からなるサイクル

N

個の総和を考える

^†698.

N

個おのおのの

Carnot

サイクルについて

, Clausius

の関係式が成立する

: Q_Hi

T_Hi

|{z}

入熱

=−Q_Li T_Li

| {z }

放熱

(i= 1,2,· · · , N) (8.6)

ここに, 左端から右端へと向かって,

i= 1

から

i=N

まで番号を付けて, 各

Carnot

†695Carnotの定理の(i)より,理想気体の制約は既に取り払われている(§7.4).

†696つまり,巡り巡って,同じ記号を使うわけだが,混同に注意を要する. 同一視が気になる者は,異 なる記号を用いればよいだろう.

†697これらの各記号は,一旦忘れてよい. 登場には今しばらく待っていただくこととなる.

†698図は板書する. 「小さな」とは,断熱線ではなく,等温線が小さな(短かな)サイクルを指すもの とする.

サイクルを区別した

.

具体的に書き下すと

, Q_H1

T_H1 =−Q_L1

T_L1 (8.7)

Q_H2

T_H2 =−Q_L2

T_L2 (8.8)

· · · (8.9)

Q_HN

T_HN =−Q_LN

T_LN (8.10)

である

.

たとえば

, (8.7)

は

,

左端の小さな

Carnot

サイクルに対して成立する

Clau-sius

の関係式である

.

順次

,

視線を右へと動かせ

,

右端の

Carnot

サイクルまで辿り 着くと思えばよい

^†699.

両辺の総和をとると, 次式をうる:

∑N i=1

Q_Hi T_Hi =−

∑N i=1

Q_Li

T_Li (8.11)

§ 8.2.3

断熱線の共有と相殺

たとえば

,i= 1

のサイクルの断熱膨張の断熱線は

, i= 2

のサイクルの断熱圧 縮の断熱線と

, “

両端を除いて

”

一致する

.

したがって

,

各

Carnot

サイクルは

1

本 の断熱線を

(

両端を除いて

)

共有している

.

N → ∞

の極限をとるとき

,

各断熱線が順次相殺され

,

左端と右端の断熱線だ けが残る

.

§ 8.2.4

微小等温線への極限——Clausius 積分の発現

2

本の等温線は有限の長さをもつが

,

これらを

,

ともに

,

微小な長さへと近づけ

る. すると, 各

Carnot

サイクルは,

2

本の微小な等温線および有限の長さの断熱線

から構成される. すなわち,

N → ∞

の極限をとるとき,

(i)

等温線の長さが微小になるがゆえに

,

入熱と放熱の値も微小量すなわち

d^′Q

となる

^†700.

†699この箇所の理解は,文章だけでは困難であるがゆえに,図をよく眺めよ.

†700しかしながら,温度は何の影響も受けないことに注意せよ. そもそも,熱源とは, どれだけ熱を 供給しても温度が不変な理想的な外界であったではないか.

133 ⃝c 2017 Tetsuya Kanagawa

(ii)

不連続であった各等温線の接点が連続につながる

.

その結果

,

等温線は

,

元の サイクルを描く曲線へと収束する

^†701†702.

(iii)

隣同士の

Carnot

サイクルで共有していた断熱線の両端が一致し

,

その断熱線

は相殺される

^†703.

その結果

,

左辺は

,

以下のような線積分となる

:

Nlim→∞

∑N i=1

Q_Hi T_Hi =

∫

A→I→B

d^′Q

T (8.12)

簡単のため

,

高温を意味する添え字

H

を略し

,

同時に

, d^′Q

が入熱も放熱も表現で きるようにした

.

つまり

,

正負どちらもとりうる

^†704.

積分範囲は

,

左端の状態

A (

始 点

)

から

“

状態

I

を経由して

”

右端の状態

B

まで至る過程

A→I→B

であった

^†705†706.

いっぽう

,

右辺は

,

右端の状態

B

から

“

状態

II

を通り

”

左端の状態

A

まで至る 過程

B→II→A

に沿う線積分となる

^†707:

− lim

N→∞

∑N i=1

Q_Li T_Li =−

∫

B→II→A

d^′Q

T (8.13)

両辺をまとめる:

∫

A→I→B

d^′Q

T +

∫

B→II→A

d^′Q

T =







∫

A→I→B

+

∫

B→II→A

| {z }

A→I→B→II→A (一周)





 d^′Q

T =

I d^′Q

| {z }T

Clausius積分

= 0

(8.14)

†701隣同士の等温線の温度変化は滑らかとみなせるほどに小さい.

†702全ての等温線が滑らかにつながる——これは,微小な長さの曲線が無限個集まって有限の長さ の曲線を形成する—— 1/∞ × ∞= 1とみなせる. たとえば,デルタ関数の議論に似ている(応 用数学).

†703[注意]等温線と異なり,断熱線の長さは有限であり続ける. ただし,この極限操作にともなって, 長さは変化する.

†704dU や d^′Qなる記号は,微分であるから,必ず正負両方の値をとる. したがって,われわれが何 も考えずとも, 自動的に正負すなわち入熱か放熱かを判定してくれる. そして, 本節はじめで, 有限量としてのQが正負どちらもとりうるように定義し直したことも思い返そう.

†705ここで, 決して, A→Bと書いてはならない. 理由はすぐにわかる.

†706[数学]これはベクトル解析でいうところの線積分である.

†707左辺と右辺でそれぞれ経由点が状態Iと状態IIと異なることに注意せよ.

可逆サイクルの

Clausius

積分

可逆過程から構成されるサイクルでは

Clausius

積分

I d^′Q

T

がゼロとなる

: I d^′Q

T = 0 (8.15)

ここまでの要点と注意事項をまとめておこう

^†708:

1)

小さな

Carnot

サイクルの各等温線の長さをゼロに近づける極限において

,

全て

の

Carnot

サイクルの総和は

,

元のサイクルへと収束する

.

2)

等温線の長さは微小であるが, 断熱線の長さは有限である. それゆえ, 全ての入 熱と放熱は微小量である

^†709.

3)

断熱線の全てが相殺される

^†710.

4)

不可逆サイクルに対しては

,

次式が成立する

(

後述

):

I d^′Q

T <0 (8.16)

ドキュメント内 1.5.1 SI kg, m, s ,, (ページ 138-141)